Гравитация Земли

Ускорение, которое Земля передает объектам на ее поверхности или вблизи нее Гравитация Земли, измеренная НАСА GRACE миссия, показывающая отклонения от теоретической гравитации идеализированной гладкой Земли, так называемого земного эллипсоида. Красный цвет показывает области, где сила тяжести сильнее, чем стандартное значение сглаживания, а синий показывает области, где сила тяжести слабее. (Анимированная версия.)

гравитация Земли, обозначенная g, является чистым ускорением, которое передается объектам из-за комбинированного воздействия гравитации (из распределения массы внутри Земли ) и центробежной силы (из Вращение Земли ).

В единицах СИ это ускорение измеряется в метрах в секунду в квадрате (в символах, m /s или м · с) или, что эквивалентно, в ньютонах. на килограмм (Н / кг или Н · кг). У поверхности Земли ускорение свободного падения составляет примерно 9,81 м / с, что означает, что без учета влияния сопротивление воздуха, скорость объекта свободно падающего будет увеличиваться примерно на 9,81 метра в секунду каждую секунду. Эту величину иногда неофициально называют малым g (в отличие от, гравитационная постоянная G называется большой G).

Точная сила гравитации Земли варьируется в зависимости от на месте. Номинальное «среднее» значение на поверхности Земли, известное как стандартная сила тяжести, по определению составляет 9,80665 м / с. Эта величина обозначается по-разному как g n, g e (хотя иногда это означает нормальное экваториальное значение на Земле, 9,78033 м / с), g 0, gee, или просто g (который также используется для локального значения переменной).

вес объекта на поверхности Земли - это направленная вниз сила на этот объект, определяемая вторым законом движения Ньютона, или F = ma (сила = масса × ускорение). Ускорение свободного падения вносит вклад в общее ускорение свободного падения, но другие факторы, такие как вращение Земли, также вносят свой вклад и, следовательно, влияют на вес объекта. Гравитация обычно не включает гравитационное притяжение Луны и Солнца, которое учитывается с помощью приливных эффектов. Это вектор (физика) величина, и его направление совпадает с отвесом.

• 1 Изменение величины
  • 1,1 Условное значение
  • 1,2 Широта
  • 1.3 Высота
  • 1.4 Глубина
  • 1.5 Местная топография и геология
  • 1.6 Другие факторы
• 2 Направление
• 3 Сравнительные значения по всему миру
• 4 Математические модели
  • 4.1 Модель широты
  • 4.2 Поправка на свободный воздух
  • 4.3 Поправка на плиту
• 5 Оценка g по закону всемирного тяготения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Невращающаяся совершенная сфера с однородной плотностью массы или плотность которой изменяется исключительно в зависимости от расстояния от центра (сферическая симметрия ), создала бы гравитационное поле однородная величина во всех точках на его поверхности. Земля вращается и также не является сферически симметричной; скорее, на полюсах он немного более плоский, а на экваторе выпуклый: сплюснутый сфероид. Следовательно, есть небольшие отклонения в величине силы тяжести на его поверхности.

Сила тяжести на поверхности Земли варьируется примерно на 0,7%, от 9,7639 м / с на горе Невадо-Уаскаран в Перу до 9,8337 м / с на поверхности Северного Ледовитого океана.. В крупных городах он колеблется от от 9,7760 в Куала-Лумпуре, Мехико и Сингапуре до 9,825 в Осло и Хельсинки.

Условное значение

В 1901 г. третья Генеральная конференция по мерам и весам определила стандартное ускорение свободного падения для поверхности Земли: g n = 9,80665 м / с. Он был основан на измерениях, выполненных в Pavillon de Breteuil недалеко от Парижа в 1888 году, с применением теоретической поправки для преобразования в широту 45 ° на уровне моря. Таким образом, это определение не является значением какого-либо конкретного места или тщательно разработанным средним значением, а соглашением об использовании значения, если более точная фактическая местная стоимость неизвестна или не важна. Он также используется для определения единиц килограмм-силы и фунт-силы.

Широта

Различия силы тяжести Земли вокруг Антарктического континента.

Поверхность Земли вращается, так что это не инерциальная система отсчета. На широтах ближе к экватору внешняя центробежная сила, создаваемая вращением Земли, больше, чем в полярных широтах. Это в небольшой степени противодействует гравитации Земли - максимум до 0,3% на экваторе - и снижает кажущееся ускорение падающих объектов вниз.

Вторая основная причина разницы в силе тяжести на разных широтах заключается в том, что экваториальная выпуклость Земли (сама по себе также вызванная центробежной силой вращения) заставляет объекты на экваторе располагаться дальше от центр планеты, чем объекты на полюсах. Поскольку сила гравитационного притяжения между двумя телами (Землей и взвешиваемым объектом) изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, объект на экваторе испытывает более слабое гравитационное притяжение, чем объект на полюсах.

В сочетании экваториальная выпуклость и влияние центробежной силы на поверхности из-за вращения означают, что сила тяжести на уровне моря увеличивается примерно с 9,780 м / с на экваторе до примерно 9,832 м / с на полюсах, поэтому объект будет весить примерно на 0,5% больше на полюсах, чем на экваторе.

Высота

На графике показано изменение силы тяжести относительно высоты объекта над поверхностью

Сила тяжести уменьшается с высотой когда человек поднимается над поверхностью Земли, потому что большая высота означает большее расстояние от центра Земли. При прочих равных, увеличение высоты от уровня моря до 9000 метров (30 000 футов) вызывает снижение веса примерно на 0,29%. (Дополнительным фактором, влияющим на кажущийся вес, является уменьшение плотности воздуха на высоте, что снижает плавучесть объекта. Это увеличивает видимый вес человека на высоте 9000 метров примерно на 0,08%)

Это обычное явление заблуждение, что космонавты на орбите невесомые, потому что они пролетели достаточно высоко, чтобы избежать гравитации Земли. Фактически, на высоте 400 километров (250 миль), эквивалентной типичной орбите МКС, гравитация все еще почти на 90% сильнее, чем на поверхности Земли. Невесомость на самом деле возникает из-за того, что орбитальные объекты находятся в свободном падении.

. Эффект возвышения земли зависит от плотности земли (см. Раздел Коррекция плиты). Человек, летящий на высоте 9 100 м (30 000 футов) над уровнем моря над горами, будет чувствовать большую гравитацию, чем кто-либо, находящийся на той же высоте, но над морем. Однако человек, стоящий на поверхности Земли, чувствует меньшую гравитацию, когда высота над уровнем моря выше.

Следующая формула аппроксимирует изменение силы тяжести Земли с высотой:

$gh\; =\; g\; 0\; (R\; e\; R\; e\; +\; h)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{h\}\; =\; g\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; +\; h\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Где

• gh- ускорение свободного падения на высоте h над уровнем моря.
• Re- средний радиус Земли..
• g0- стандартное ускорение свободного падения.

Формула рассматривает Землю как идеальную сферу с радиально-симметричным распределением массы; более точная математическая обработка обсуждается ниже.

Глубина

Распределение радиальной плотности Земли в соответствии с Предварительной эталонной моделью Земли (PREM). Сила тяжести Земли в соответствии с Предварительной эталонной моделью Земли (PREM). Для сравнения включены две модели сферически-симметричной Земли. Темно-зеленая прямая линия соответствует постоянной плотности, равной средней плотности Земли. Светло-зеленая изогнутая линия соответствует плотности, которая линейно уменьшается от центра к поверхности. Плотность в центре такая же, как в PREM, но поверхностная плотность выбрана так, чтобы масса сферы была равна массе реальной Земли.

Приблизительное значение силы тяжести на расстоянии r от центра Землю можно получить, предположив, что плотность Земли сферически симметрична. Гравитация зависит только от массы внутри сферы радиуса r. Все вклады извне компенсируются вследствие закона обратных квадратов гравитации. Другое следствие - гравитация такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в центре. Таким образом, ускорение свободного падения на этом радиусе составляет

$g\; (r)\; =\; -\; G\; M\; (r)\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (r)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\; (r)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

где G - гравитационная постоянная, а M (r) - полная масса, заключенная в радиусе r. Если бы у Земли была постоянная плотность ρ, масса была бы M (r) = (4/3) πρr, а зависимость силы тяжести от глубины была бы

$g\; (r)\; =\; 4\; \pi \; 3\; G\; \rho \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; G\; \backslash \; rho\; r.\}$

g на глубине d определяется выражением g '= g (1-d / R), где g - ускорение свободного падения на поверхности Земли, d - глубина, R - радиус Земли. Если плотность уменьшается линейно с увеличением радиуса от плотности ρ 0 в центре до ρ 1 на поверхности, то ρ (r) = ρ 0 - (ρ 0 - ρ 1) r / r e, и зависимость будет

$g\; (r)\; =\; 4\; \pi \; 3\; G\; \rho \; 0\; r\; -\; \pi \; G\; (\rho \; 0\; -\; \rho \; 1)\; r\; 2\; re.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\}\; \{3\}\}\; G\; \backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; r-\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; left\; (\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\; -\; \backslash \; rho\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\}.\}$

Фактическая зависимость плотности и силы тяжести от глубины, полученная из времен прохождения сейсмических волн (см. уравнение Адамса – Вильямсона ), показано на графиках ниже.

Местная топография и геология

Локальные различия в топографии (например, наличие гор), геология (например, плотность горных пород в окрестности), а более глубокая тектоническая структура вызывает локальные и региональные различия в гравитационном поле Земли, известные как гравитационные аномалии. Некоторые из этих аномалий могут быть очень обширными, приводя к выпуклости на уровне моря и нарушению синхронизации часов маятника.

Изучение этих аномалий составляет основу гравитационной геофизики. Колебания измеряются высокочувствительными гравиметрами, влияние топографии и других известных факторов вычитается, и на основании полученных данных делаются выводы. Такие методы сейчас используются изыскателями для поиска залежей нефти и полезных ископаемых. Более плотные породы (часто содержащие минеральные руды ) вызывают более сильные, чем обычно, местные гравитационные поля на поверхности Земли. Менее плотные осадочные породы вызывают обратное.

Другие факторы

В воздухе или в воде объекты испытывают поддерживающую плавучесть силу, которая снижает кажущуюся силу тяжести (измеряемую по весу объекта). Величина эффекта зависит от плотности воздуха (и, следовательно, давления воздуха) или плотности воды соответственно; подробнее см. Кажущийся вес.

Гравитационные эффекты Луны и Солнца (также причина приливов ) имеют очень небольшое влияние на кажущуюся силу силы тяжести Земли в зависимости от их взаимного расположения; типичные колебания составляют 2 мкм / с (0,2 мГал ) в течение дня.

Ускорение силы тяжести - это векторная величина с направлением в дополнение к величине. На сферически-симметричной Земле гравитация будет указывать прямо на центр сферы. Поскольку фигура Земли немного более плоская, следовательно, имеются значительные отклонения в направлении силы тяжести: по существу разница между геодезической широтой и геоцентрической широтой. Меньшие отклонения, называемые вертикальным отклонением, вызваны локальными аномалиями массы, например горами.

Существуют инструменты для расчета силы тяжести в различных городах по всему миру. Влияние широты хорошо видно на примере гравитации в высокоширотных городах: Анкоридже (9,826 м / с), Хельсинки (9,825 м / с), что примерно на 0,5% больше, чем в городах у экватора: Куала-Лумпур (9,776 м / с). / с), Манила (9,780 м / с). Влияние высоты можно увидеть в Мехико (9,776 м / с; высота 2240 м (7350 футов)), и сравнив Денвер (9,798 м / с; 1616 м (5302 фута)) с Вашингтоном, округ Колумбия (9,801 м / с). с; 30 метров (98 футов)), оба из которых находятся около 39 ° северной широты. Измеренные значения могут быть получены из физико-математических таблиц TM. Ярвуд и Ф. Касл, Макмиллан, переработанное издание 1970 г.

Ускорение силы тяжести в различных городах

Местоположение	м / с	фут / с		Местоположение	м / с	фут / с		Местоположение	м / с	фут / с
Амстердам	9,817	32,21		Джакарта	9,777	32,08		Оттава	9,806	32,17
Анкоридж	9,826	32,24		Канди	9,775	32,07		Париж	9,809	32,18
Афины	9,800	32,15		Калькутта	9,785	32,10		Перт	9,794	32,13
Окленд	9,799	32,15		Куала-Лумпур	9,776	32,07		Рио-де-Жанейро	9,788	32,11
Бангкок	9,780	32,09		Кувейт	9,792	32,13		Рим	9,803	32,16
Бирмингем	9,817	32,21		Лиссабон	9,801	32,16		Сиэтл	9,811	32,19
Брюссель	9,815	32,20		Лондон	9,816	32,20		Сингапур	9,776	32,07
Буэнос-Айрес	9,797	32,14		Лос-Анджелес	9,796	32,14		Скопье	9,804	32,17
Кейптаун	9,796	32,14		Мадрид	9,800	32,15		Стокгольм	9,818	32,21
Чикаго	9,804	32,17		Манчестер	9,818	32,21		Сидней	9,797	32,14
Копенгаген	9,821	32,22		Манила	9,780	32,09		Тайбэй	9,790	32,12
Денвер	9,798	32,15		Мельбурн	9,800	32,15		Токио	9,798	32,15
Франкфурт	9,814	32,20		Мехико	9,776	32,07		Торонто	9,807	32,18
Гавана	9,786	32,11		Монреаль	9,809	32,18		Ванкувер	9,809	32,18
Хельсинки	9,825	32,23		Нью-Йорк	9,802	32,16		Вашингтон, округ Колумбия	9,801	32,16
Гонконг	9,785	32,10		Никосия	9,797	32,14		Веллингтон	9,803	32,16
Стамбул	9,808	32,18		Осло	9,825	32,23		Цюрих	9,807	32.18

Модель широты

Если местность находится на уровне моря, мы можем оценить $g\; \{\varphi \}\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; \backslash \}\}$, ускорение на широте $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$:

$g\; \{\varphi \}\; =\; 9.780327\; m\; \cdot \; s\; -\; 2\; (1\; +\; 0.0053024\; sin\; 2\; \; \varphi \; -\; 0.0000058\; sin\; 2\; \; 2\; \varphi ),\; =\; 9,780327\; м\; с\; -\; 2\; (1\; +\; 0,0052792\; sin\; 2\; \varphi \; +\; 0,0000232\; sin\; 4\; \; \varphi ),\; =\; 9,780327\; м\; \cdot \; с\; -\; 2\; (1,0053024\; -\; 0,0053256\; cos\; 2\; \; \varphi \; +\; 0,0000232\; cos\; 4\; \; \varphi ),\; =\; 9,780327\; м\; \cdot \; s\; -\; 2\; (1,0026454\; -\; 0,0026512\; cos\; \; 2\; \varphi \; +\; 0,0000058\; cos\; 2\; \; 2\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; \backslash \}\; =\; 9.780327\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (1\; +\; 0.0053024\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; -0.0000058\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; 2\; \backslash \; phi\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; =\; 9.780327\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (1\; +\; 0.0052792\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; +0.0000232\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; =\; 9.780327\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (1.0053024-0.0053256\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; +0.0000232\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; ^\; \{4\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; =\; 9.780327\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (1.0026454-0.0026512\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; phi\; +\; 0.0000058\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; 2\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$.

Это Международная формула гравитации 1967 года, формула геодезической системы координат 1967 года, уравнение Гельмерта или уравнение Клеро

Альтернативной формулой для g как функции широты является WGS (Мировая геодезическая система ) 84 Эллипсоидальная Формула силы тяжести :

$g\; \{\varphi \}\; =\; G\; e\; [\; 1\; +\; К\; грех\; 2\; \; \varphi \; 1\; -\; е\; 2\; грех\; 2\; \; \varphi ],\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; \backslash \}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{e\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; k\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где,

• $a,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; \backslash ,\; b\}$- экваториальная и полярная полуоси соответственно;
• $e\; 2\; =\; 1\; -\; (b\; /\; a)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{2\}\; =\; 1-\; (\; б\; /\; а)\; ^\; \{2\}\}$- эксцентриситет сфероида в квадрате;
• $G\; e,\; G\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{e\},\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{p\}\; \backslash ,\}$- определенная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• $k\; =\; b\; G\; p\; -\; a\; G\; ea\; G\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{\; p\}\; -a\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{e\}\}\; \{a\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{e\}\}\}\}$(константа формулы);

тогда, где $G\; p\; =\; 9,8321849378\; м\; \cdot \; s\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{p\}\; =\; 9.8321849378\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\}$,

$g\; \{\varphi \}\; =\; 9,7803253359\; м\; \cdot \; с\; -\; 2\; [1\; +\; 0,001931850400\; sin\; 2\; \; \varphi \; 1\; -\; 0,006694384442\; sin\; 2\; \; \varphi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; \backslash \}\; =\; 9.7803253359\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; 0.001931850400\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-0.006694384442\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\}\; \}\; \backslash \; right]\}$.

где полуоси Земли равны:

$a\; =\; 6378137.0\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 6378137.0\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{m\}\}\}$

$b\; =\; 6356752.3\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 6356752.3\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{m\}\}\}$

Разница между формулой WGS-84 и уравнением Гельмерта меньше 0. 68 мкм · с.

Поправка на свободный воздух

Первой поправкой, применяемой к модели, является поправка на свободный воздух (FAC), которая учитывает высоту над уровнем моря. Вблизи поверхности Земли (уровень моря) сила тяжести уменьшается с высотой, так что линейная экстраполяция дала бы невесомость на высоте, равной половине радиуса Земли - (9,8 м · с на 3200 км.)

Используя массу и радиус Земли :

$r\; E\; arth\; =\; 6.371\; \cdot \; 10\; 6\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Earth\}\}\; =\; 6.371\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{6\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; \}$

$m\; E\; arth\; =\; 5.9722\; \cdot \; 10\; 24\; кг\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{Earth\}\}\; =\; 5.9722\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{24\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{kg\}\}$

Поправочный коэффициент FAC (Δg) может быть получено из определения ускорения свободного падения в терминах G, гравитационной постоянной (см. оценку g из закона всемирного тяготения ниже):

$g\; 0\; =\; GM\; e\; /\; R\; e\; 2\; =\; 9,81998\; мс\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{0\}\; =\; G\; \backslash ,\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; /\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 9.81998\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; m\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$G\; =\; 6,67408\; 10\; -\; 11\; м\; 3\; кг\; с\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; 6.67408\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{-\; 11\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{m\}\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{kg\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{2\}\}\}.\; \}$

На высоте h над номинальной поверхностью Земли g h определяется по формуле:

$gh\; =\; GM\; e\; /\; (R\; e\; +\; h)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{h\}\; =\; G\; \backslash ,\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; /\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; +\; h\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Таким образом, FAC для высоты h выше номинального радиуса Земли может быть выражается:

$\Delta \; gh\; =\; [GM\; e\; /\; (R\; e\; +\; h)\; 2]\; -\; [GM\; e\; /\; R\; e\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; g\_\; \{h\}\; =\; \backslash \; left\; [G\; \backslash ,\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; e\}\}\; /\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; +\; h\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; -\; \backslash \; left\; [G\; \backslash ,\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; /\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\; \}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$

Это выражение можно легко использовать для программирования или включения в электронную таблицу. Сбор терминов, упрощение и пренебрежение малыми членами (h <

$\Delta \; gh\; \approx \; -\; GM\; e\; R\; e\; 2\; \cdot \; 2\; h\; R\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; g\_\; \{h\; \}\; \backslash \; приблизительно\; -\; \backslash ,\; \{\backslash \; dfrac\; \{G\; \backslash ,\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; dfrac\; \{2\; \backslash ,\; h\}\; \{R\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\}\}$

Используя числовые значения выше и для высоты h в метрах:

$\Delta \; gh\; \approx \; -\; 3,086\; \cdot \; 10\; -\; 6\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; g\_\; \{h\}\; \backslash \; ок.\; -3.086\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{-\; 6\}\; \backslash ,\; h\}$

Группируя факторы широты и высоты FAC, выражение, наиболее часто встречающееся в литературе, выглядит следующим образом:

$g\; \{\varphi ,\; h\}\; =\; g\; \{\varphi \}\; -\; 3.086\; \cdot \; 10–6\; час\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi,\; h\; \backslash \}\; =\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi\; \backslash \}\; -\; 3.086\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{-\; 6\}\; h\}$

где $g\; \{\varphi ,\; h\}\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; \{\backslash \; phi,\; h\; \backslash \}\}$= ускорение в м · с на широте $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; phi\}$и высоте h в метрах.

Коррекция плиты

Примечание: в этом разделе используется galileo (символ: «Гал»), который представляет собой единицу cgs для ускорения 1 сантиметр / секунду.

Для плоского на местности над уровнем моря добавляется второй член для гравитации из-за дополнительной массы; для этой цели дополнительную массу можно аппроксимировать бесконечной горизонтальной плитой, и мы получаем 2πG, умноженное на массу на единицу площади, то есть 4,2 × 10 м · с · кг (0,042 мкГал · кг · м) (поправка Бугера). Для средней плотности породы 2,67 г · см это дает 1,1 × 10 с (0,11 мГал · м). В сочетании с поправкой на свободный воздух это означает уменьшение силы тяжести на поверхности прибл. 2 мкм · с (0,20 мГал) на каждый метр высоты местности. (Эти два эффекта компенсируются при плотности породы на поверхности, в 4/3 раза превышающей среднюю плотность всей Земли. Плотность всей Земли составляет 5,515 г · см, поэтому стоит стоять на плите из чего-то вроде железа с плотностью более 7,35 г · см приведет к увеличению веса.)

Для гравитации под поверхностью мы должны применить поправку на свободный воздух, а также двойную поправку Буге. В модели бесконечной плиты это происходит потому, что перемещение точки наблюдения ниже плиты меняет гравитацию на противоположную. В качестве альтернативы, мы можем рассмотреть сферически симметричную Землю и вычесть из массы Земли массу оболочки вне точки наблюдения, потому что это не вызывает гравитации внутри. Это дает тот же результат.

Из закона всемирного тяготения сила, действующая на тело под действием силы тяжести Земли, определяется как

$F\; Знак\; равно\; г\; м\; 1\; м\; 2\; р\; 2\; знак\; равно\; (г\; м\; 1\; р\; 2)\; м\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; G\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (G\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; m\_\; \{2\}\}$

где r - расстояние между центром Земли и телом (см. Ниже), и здесь мы принимаем m 1 как массу Земли, а m 2 как массу тела.

Кроме того, второй закон Ньютона, F = ma, где m - масса, а a - ускорение, говорит нам, что

$F\; =\; m\; 2\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; m\_\; \{\; 2\}\; \backslash ,\; g\; \backslash ,\}$

Сравнивая две формулы, видно, что:

$g\; =\; G\; m\; 1\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; G\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Итак, чтобы найти ускорение свободного падения на уровне моря, подставьте значения гравитационной постоянной, G, массы Земли (в килограммах), m 1, и радиус Земли (в метрах), r, чтобы получить значение g:

$g\; =\; G\; m\; 1\; r\; 2\; =\; 6,67408\; \cdot \; 10\; -\; 11\; м\; 3\; \cdot \; кг\; -\; 1\; \cdot \; с\; -\; 2\; 5,9722\; \cdot \; 10\; 24\; кг\; (6,371\; \cdot \; 10\; 6\; м)\; 2\; =\; 9,81998\; м\; \cdot \; с\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; G\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 6.67408\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{-\; 11\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{kg\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{s\}\; ^\; \{-\; 2\; \}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{5.9722\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{24\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{kg\}\}\; \{(6.371\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{6\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\})\; ^\; \{2\}\}\; \}\; =\; 9.81998\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{m\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; t\_dv\; \{s\}\}\; ^\; \{-\; 2\}\}$

Эта формула работает только из-за того математического факта, что сила тяжести однородное сферическое тело, измеренное на его поверхности или над ней, такое же, как если бы вся его масса была сосредоточена в точке в его центре. Это то, что позволяет нам использовать радиус Земли для r.

Полученное значение приблизительно соответствует измеренному значению g. Различие может быть связано с несколькими факторами, упомянутыми выше в разделе «Варианты»:

• Земля не однородна
• Земля не является идеальной сферой, и для ее радиуса <191 необходимо использовать среднее значение.>
• Это вычисленное значение g включает только истинную гравитацию. Это не включает уменьшение сдерживающей силы, которое мы воспринимаем как уменьшение силы тяжести из-за вращения Земли, и некоторую часть силы тяжести, противодействующей центробежной силе.

Существуют значительные неопределенности в значениях r и m 1, как используется в этом вычислении, и значение G также довольно сложно измерить точно.

Если G, g и r известны, то обратный расчет даст оценку массы Земли. Этот метод использовался Генри Кавендишем.

• Рисунок Земли
• Геопотенциал
• Гравиметрия
• Гравитация (Гравитация )
• Гравитационная аномалия, Аномалия Буге
• Исследование гравитационного поля и устойчивой циркуляции океана
• Восстановление силы тяжести и климатический эксперимент
• Гравитация Луны
• Гравитационное ускорение
• Закон всемирного тяготения Ньютона
• Вертикальное отклонение

Портал наук о Земле

• Калькулятор силы тяжести на высоте
• GRACE - Gravity Recovery and Climate Experiment
• Данные высокого разрешения GGMplus (2013)
• Geoid 2011 model Потсдамский гравитационный картофель