Установка датчика

редактировать

процедура преодоления избыточных степеней свободы в физических теориях поля

В физике из теорий калибровки, фиксация датчика (также называемая выбор датчика ) обозначает математическую процедуру для преодоления избыточных степеней свободы в поле переменные. По определению калибровочная теория представляет каждую физически отличную конфигурацию системы как класс эквивалентности подробных конфигураций локального поля. Любые две детализированные конфигурации в одном классе эквивалентности связаны посредством калибровочного преобразования, что эквивалентно сдвигу вдоль нефизических осей в конфигурационном пространстве. Большинство количественных физических предсказаний калибровочной теории может быть получено только при наличии последовательного рецепта подавления или игнорирования этих нефизических степеней свободы.

Хотя нефизические оси в пространстве подробных конфигураций являются фундаментальным свойством физической модели, не существует специального набора направлений, «перпендикулярных» им. Следовательно, существует огромная свобода действий при взятии «поперечного сечения», представляющего каждую физическую конфигурацию конкретной подробной конфигурацией (или даже их взвешенным распределением). Разумная установка калибра может значительно упростить вычисления, но становится все труднее по мере того, как физическая модель становится более реалистичной; его применение к квантовой теории поля чревато осложнениями, связанными с перенормировкой, особенно когда вычисления продолжаются до более высоких порядков. Исторически сложилось так, что поиск логически непротиворечивых и вычислительно поддающихся обработке процедур фиксации калибра, а также попытки продемонстрировать их эквивалентность перед лицом огромного множества технических трудностей были основным двигателем математической физики с конца девятнадцатого века до наших дней.

Содержание

1 Калибровочная свобода
- 1.1 Иллюстрация
2 Кулоновский датчик
3 Калибр Лоренца
4 R ξ датчики
5 Максимальная абелева калибровка
6 Менее распространенные датчики
- 6.1 Датчик Вейля
- 6.2 Многополярный датчик
- 6.3 Датчик Фока – Швингера
- 6.4 Датчик Дирака
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Свобода калибровки

Архетипическая калибровочная теория - это формулировка Хевисайда - Гиббса континуальной электродинамики в терминах электромагнитный четырехпотенциал, который представлен здесь в пространственно-временной асимметричной нотации Хевисайда. электрическое поле Eи магнитное поле Bиз уравнений Максвелла содержат только «физические» степени свободы в том смысле, что каждая математическая степень свободы в конфигурации электромагнитного поля оказывает отдельно измеряемое влияние на движение тестовых зарядов поблизости. Эти переменные "напряженности поля" могут быть выражены через электрический скалярный потенциал $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ и векторный магнитный потенциал Aчерез соотношения:

E = - ∇ φ - ∂ A ∂ t, B = ∇ × A. {\ displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} \,, \ quad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}.}

{\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} \,, \ quad {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}.

Если преобразование

A → A + ∇ ψ {\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi}

\ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi

(1)

, то B остается без изменений, поскольку

B = ∇ × (A + ∇ ψ) = ∇ × A {\ displaystyle {\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ psi) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}}

{\ mathbf {B}} = \ nabla \ times ({\ mathbf {A}} + \ nabla \ psi) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}}

Однако это преобразование изменяет E согласно

E = - ∇ φ - ∂ A ∂ T - ∇ ∂ ψ ∂ T = - ∇ (φ + ∂ ψ ∂ t) - ∂ A ∂ t {\ displaystyle {\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} - \ nabla {\ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}} = - \ nabla \ left (\ varphi + {\ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}}}

{\ mathbf {E}} = - \ nabla \ varphi - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}} - \ nabla {\ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}} = - \ nabla \ left (\ varphi + {\ frac {\ partial {\ psi }} {\ partial t}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathbf {A}}} {\ partial t}}

Если другое изменение

φ → φ - ∂ ψ ∂ t {\ displaystyle \ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}}}

\ varphi \ rightarrow \ varphi - {\ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}}

(2)

затем E также остается прежним. Следовательно, поля E и B не изменяются, если взять любую функцию ψ (r, t) и одновременно преобразовать A и φ посредством преобразований (1) и (2).

Конкретный выбор скалярного и векторного потенциалов - это калибровочный (точнее, калибровочный потенциал ), а скалярная функция ψ, используемая для изменения калибровки, называется функция датчика . Существование произвольного числа калибровочных функций ψ (r, t) соответствует U(1) калибровочной свободе этой теории. Крепление калибра может быть выполнено разными способами, некоторые из которых мы покажем ниже.

Хотя о классическом электромагнетизме сейчас часто говорят как о калибровочной теории, изначально он не рассматривался в этих терминах. На движение классического точечного заряда влияет только напряженность электрического и магнитного полей в этой точке, а потенциалы можно рассматривать как простое математическое устройство для упрощения некоторых доказательств и расчетов. Только после появления квантовой теории поля нельзя было сказать, что сами потенциалы являются частью физической конфигурации системы. Самым ранним следствием, которое было точно предсказано и экспериментально подтверждено, был эффект Ааронова-Бома, не имеющий классического аналога. Тем не менее калибровочная свобода в этих теориях все еще остается верной. Например, эффект Ааронова – Бома зависит от линейного интеграла A вокруг замкнутого контура, и этот интеграл не изменяется на

A → A + ∇ ψ. {\ displaystyle \ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi \,.}

\ mathbf {A} \ rightarrow \ mathbf {A} + \ nabla \ psi \,

Фиксация датчика в неабелевых калибровочных теориях, таких как Янга – Миллса теория и общая теория относительности - тема более сложная; подробнее см. неоднозначность Грибова, привидение Фаддеева – Попова и связка кадров.

Иллюстрация

Калибровочная фиксация скрученного цилиндра. (Примечание: линия проходит на поверхности цилиндра, а не внутри него.)

Глядя на цилиндрический стержень, можно ли определить, перекручен ли он? Если стержень имеет идеально цилиндрическую форму, то круговая симметрия поперечного сечения не позволяет определить, скручен ли он. Однако, если бы по длине стержня была проведена прямая линия, то можно было бы легко сказать, есть ли скручивание, глядя на состояние линии. Провести линию - это крепление датчика . Проведение линии нарушает симметрию датчика, т.е. круговую симметрию U (1) поперечного сечения в каждой точке стержня. Линия эквивалентна функции измерения ; он не должен быть прямым. Практически любая линия является допустимой фиксацией калибра, т. Е. Существует большая свобода калибра . Чтобы определить, перекручен ли стержень, необходимо сначала узнать калибр. Физические величины, такие как энергия кручения, не зависят от калибровки, т. Е. Являются калибровочно-инвариантными .

кулоновской калибровкой

кулоновской калибровкой (также известной как поперечная калибровка ) используется в квантовой химии и физике конденсированного состояния и определяется условием калибровки (точнее, условием фиксации калибровки)

∇ ⋅ А (г, t) = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} (\ mathbf {r}, t) = 0 \,.}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} ( \ mathbf {r}, t) = 0 \,.

Это особенно полезно для «полуклассических» вычислений в квантовой механике, в которых векторный потенциал квантуется, а кулоновское взаимодействие - нет.

Кулоновский калибр обладает рядом свойств:

Потенциалы могут быть выражены в терминах мгновенных значений полей и плотностей (в Международной системе единиц )
$φ (r, t) Знак равно 1 4 π ε 0 ∫ ρ (r ', t) р d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0 }}} \ int {\ frac {\ mathbf {\ rho} (\ mathbf {r} ', t)} {R}} \ operatorname {d} ^ {3} \! \ mathbf {r}'}$ $\varphi (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t)}{R}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {r} '$
$A (r, t) знак равно ∇ × ∫ B (r ′, t) 4 π R d 3 r ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ nabla \ times \ int { \ frac {\ mathbf {B} (\ mathbf {r} ', t)} {4 \ pi R}} \ operatorname {d} ^ {3} \! \ mathbf {r}'}$ $\mathbf {A} (\mathbf {r},t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {r} '$
где ρ ( r, t) - плотность электрического заряда, $R = r - r ′ {\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '}$ $\mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} '$ и $R = | R | {\ displaystyle R = \ left | \ mathbf {R} \ right |}$ $R=\left|\mathbf {R} \right|$ (где r - любой вектор положения в пространстве и r ′ - точка в распределении заряда или тока), $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ работают s на r и d r - это элемент объема в r.

. На первый взгляд, мгновенная природа этих потенциалов нарушает причинно-следственную связь., поскольку движения электрического заряда или магнитного поля появляются повсюду мгновенно, как изменения потенциалов. Это оправдано тем, что сами скалярные и векторные потенциалы не влияют на движения зарядов, а влияют только на комбинации их производных, которые формируют напряженность электромагнитного поля. Хотя можно явно вычислить напряженности поля в кулоновской калибровке и продемонстрировать, что изменения в них распространяются со скоростью света, гораздо проще заметить, что напряженности поля не изменяются при калибровочных преобразованиях, и продемонстрировать причинную связь в явно лоренц-ковариантной лоренцевой модели. манометр описан ниже.

Другое выражение для векторного потенциала в терминах запаздывающей по времени плотности электрического тока J(r, t) было получено следующим образом:
$A (r, t) = 1 4 π ε 0 ∇ × ∫ [∫ 0 R / c τ J (r ′, t - τ) × RR 3 d τ] d 3 r ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ гидроразрыв {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \, \ nabla \ times \ int \ left [\ int _ {0} ^ {R / c} \ tau \, {\ frac {{\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t- \ tau)} \ times {\ mathbf {R}}} {R ^ {3}}} \, \ operatorname {d} \! \ Tau \ right] \ operatorname {d} ^ {3} \! \ mathbf {r} '}$ $\mathbf {A} (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\nabla \times \int \left[\int _{0}^{R/c}\tau \,{\frac {{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t-\tau)}\times {\mathbf {R} }}{R^{3}}}\,\operatorname {d} \!\tau \right]\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {r} '$ .
Дальнейшие калибровочные преобразования, которые сохраняют кулоновское калибровочное условие, могут быть выполнены с помощью калибровочных функций, удовлетворяющих ∇ ψ = 0, но как единственное решение этого уравнения, которое обращается в нуль на бесконечности (где все поля должны равняться нулю), это ψ (r, t) = 0, калибровочного произвола не остается. Из-за этого кулоновская калибровка называется полной калибровкой, в отличие от калибровок, в которых сохраняется некоторый калибровочный произвол, например, калибровки Лоренца ниже.
Кулоновская калибровка является минимальной калибровкой в том смысле, что интеграл of A по всему пространству минимально для этой калибровки: все остальные калибровки дают больший интеграл. Минимальное значение, определяемое кулоновской калибровкой, составляет
$∫ A 2 (r, t) d 3 r = ∫ ∫ B (r, t) ⋅ B (r ′, t) 4 π R d 3 rd 3 r ′ { \ displaystyle \ int \ mathbf {A} ^ {2} (\ mathbf {r}, t) \ operatorname {d} \! ^ {3} \ mathbf {r} = \ int \ int {\ frac {\ mathbf { B} (\ mathbf {r}, t) \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r} ', t)} {4 \ pi R}} \ operatorname {d} \! ^ {3} \ mathbf { r} \ operatorname {d} \! ^ {3} \ mathbf {r} '}$ $\int \mathbf {A} ^{2}(\mathbf {r},t)\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} =\int \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r},t)\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} \operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '$ .
В областях, далеких от электрического заряда, скалярный потенциал обращается в ноль. Это известно как датчик излучения . Электромагнитное излучение было сначала квантовано в этой калибровке.
Кулоновская калибровка допускает естественную гамильтонову формулировку уравнений эволюции электромагнитного поля, взаимодействующего с сохраняющимся током, что является преимуществом для квантования теории. Однако кулоновская калибровка не является лоренц-ковариантной. Если выполняется преобразование Лоренца в новую инерциальную систему отсчета, необходимо выполнить дальнейшее калибровочное преобразование, чтобы сохранить условие кулоновской калибровки. Из-за этого кулоновская калибровка не используется в ковариантной теории возмущений, которая стала стандартом для обработки релятивистских квантовых теорий поля, таких как квантовая электродинамика (QED). В этих теориях обычно используются лоренцевы ковариантные калибровки, такие как калибровка Лоренца. Амплитуды физических процессов в КЭД в нековариантной кулоновской калибровке совпадают с таковыми в ковариантной калибровке Лоренца.
Для однородного и постоянного магнитного поля B векторный потенциал в кулоновской калибровке
$A (r, t) = - 1 2 r × B {\ displaystyle {\ mathbf {A}} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {A}} (\ mathbf {r}, t) = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {r} \ раз \ mathbf {B}}$
, что может быть подтверждено вычислением div и curl A . Расхождение A на бесконечности является следствием нефизического предположения, что магнитное поле однородно во всем пространстве. Хотя этот векторный потенциал в целом нереалистичен, он может обеспечить хорошее приближение к потенциалу в конечном объеме пространства, в котором магнитное поле однородно.
Как следствие приведенных выше соображений, электромагнитные потенциалы могут быть выраженные в их наиболее общих формах через электромагнитные поля как
$φ (r, t) = ∫ ∇ ′ ⋅ E (r ′, t) 4 π R d 3 r ′ - ∂ ψ (r, t) ∂ t {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = \ int {\ frac {\ nabla '\ cdot {\ mathbf {E}} (\ mathbf {r}', t)} {4 \ pi R }} \ operatorname {d} \! ^ {3} \ mathbf {r} '- {\ frac {\ partial {\ psi (\ mathbf {r}, t)}} {\ partial t}}}$ $\varphi (\mathbf {r},t)=\int {\frac {\nabla '\cdot {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '-{\frac {\partial {\psi (\mathbf {r},t)}}{\partial t}}$
$A (р, t) знак равно ∇ × ∫ В (r ', t) 4 π R d 3 r' + ∇ ψ (r, t) {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ nabla \ times \ int {\ frac {\ mathbf {B} (\ mathbf {r} ', t)} {4 \ pi R}} \ operatorname {d} \! ^ {3} \ mathbf {r}' + \ nabla \ psi (\ mathbf {r}, t)}$ $\mathbf {A} (\mathbf {r},t)=\nabla \times \int {\frac {\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{4\pi R}}\operatorname {d} \!^{3}\mathbf {r} '+\nabla \psi (\mathbf {r},t)$
где ψ (r, t) - произвольное скалярное поле, называемое калибровочной функцией. Поля, являющиеся производными калибровочной функции, известны как чистые калибровочные поля, а произвольность, связанная с калибровочной функцией, известна как калибровочная свобода. В правильно выполненных вычислениях чистые калибровочные члены не влияют ни на какие физические наблюдаемые. Величина или выражение, которые не зависят от калибровочной функции, называются калибровочно-инвариантными: все физические наблюдаемые должны быть калибровочно-инвариантными. Калибровочное преобразование от кулоновской калибровки к другой калибровке осуществляется путем принятия калибровочной функции как суммы определенной функции, которая дает желаемое калибровочное преобразование и произвольную функцию. Если произвольная функция затем установлена в ноль, калибровка называется фиксированной. Вычисления могут выполняться в фиксированной калибровке, но должны выполняться таким образом, чтобы она была калибровочно-инвариантной.

Калибровка Лоренца

Калибровка Лоренца приведена в SI единиц, по:

∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ φ ∂ T = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0

и в гауссовых единицах на:

∇ ⋅ A + 1 c ∂ φ ∂ t = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = 0.}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {A}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ varphi } {\ partial t}} = 0.

Это может быть переписывается как:

∂ μ A μ = 0. {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0.}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0.}

где $A μ = [1 c φ, A] {\ displaystyle A ^ {\ mu} = \ left [\, {\ tfrac {1} {c}} \ varphi, \, \ mathbf {A} \, \ right]}$ $A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi,\,\mathbf {A} \,\right]$ - это электромагнитный четырехпотенциальный, ∂ μ 4-градиент [с использованием метрической сигнатуры (+, -, -, -)].

Он уникален среди датчиков ограничений в сохранении манифеста лоренц-инвариантности. Обратите внимание, однако, что этот датчик был первоначально назван в честь датского физика Людвига Лоренца, а не в честь Хендрика Лоренца ; это часто неправильно написано "датчик Лоренца". (Ни один из них не был первым, кто использовал его в расчетах; он был введен в 1888 г. Джорджем Ф. Фитцджеральдом.)

Калибровка Лоренца приводит к следующим неоднородным волновым уравнениям для потенциалов:

1 с 2 ∂ 2 φ ∂ T 2 - ∇ 2 φ знак равно ρ ε 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} { \ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ varphi} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} { \ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ varphi} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}

1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 - ∇ 2 A = μ 0 J {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}} } - \ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} {\ mathbf {A}} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}

Из этих уравнений видно, что в отсутствие тока и заряда решения потенциалы, которые распространяются со скоростью света.

Калибровка Лоренца в некотором смысле неполна: остается подпространство калибровочных преобразований, которое также может сохранять ограничение. Эти оставшиеся степени свободы соответствуют калибровочным функциям, которые удовлетворяют волновому уравнению

∂ 2 ψ ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 ψ {\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ psi \ over \ partial t ^ {2}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi}

{\ partial ^ {2} \ psi \ over \ частичный t ^ {2}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi

Эти оставшиеся калибровочные степени свободы распространяются со скоростью света. Чтобы получить полностью фиксированную калибровку, необходимо добавить граничные условия вдоль светового конуса экспериментальной области.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца упрощаются до

∂ μ ∂ μ A ν = μ 0 j ν {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu } = \ mu _ {0} j ^ {\ nu}}

\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = \ mu _ { 0} j ^ {\ nu}

где $j ν = [c ρ, j] {\ displaystyle j ^ {\ nu} = \ left [\, c \, \ rho, \, \ mathbf {j} \, \ right]}$ ${\ displaystyle j ^ {\ nu} = \ left [\, c \, \ rho, \, \ mathbf {j} \, \ right]}$ - это четырехтоковый.

Два решения этих уравнений для одной и той же текущей конфигурации отличаются решением вакуумной волны уравнение

∂ μ ∂ μ A ν = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = 0}

\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = 0

В этой форме ясно, что компоненты потенциала по отдельности удовлетворяют уравнению Клейна – Гордона, и, следовательно, калибровочное условие Лоренца допускает поперечно, продольно и "временноподобные" поляризованные волны в четырехпотенциале. Поперечные поляризации соответствуют классическому излучению, т.е. е., поперечно поляризованные волны по напряженности поля. Чтобы подавить «нефизические» продольные и временные поляризационные состояния, которые не наблюдаются в экспериментах на классических масштабах расстояний, необходимо также использовать вспомогательные ограничения, известные как тождества Уорда. Классически эти тождества эквивалентны уравнению неразрывности

∂ μ j μ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0}

\ partial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0

Многие различия между классическими и квантовая электродинамика может быть объяснена той ролью, которую продольная и временная поляризации играют во взаимодействиях между заряженными частицами на микроскопических расстояниях.

Rξдатчики

Rξдатчики являются обобщением датчика Лоренца, применимым к теориям, выраженным в терминах принципа действия с плотностью лагранжиана $L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ mathcal {L}}$ . Вместо того, чтобы фиксировать калибровку, ограничивая калибровочное поле априори с помощью вспомогательного уравнения, к «физическому» (калибровочно-инвариантному) лагранжиану

δ L = - (∂ μ A μ) 2 2 ξ {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = - {\ frac {\ left (\ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ right) ^ {2}} {2 \ xi}}}

\delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}

Выбор параметра ξ определяет выбор калибровки. Калибровка Ландау классически эквивалентна калибровке Лоренца: она получается в пределе ξ → 0, но откладывает переход к этому пределу до тех пор, пока теория не будет квантована. Это улучшает строгость некоторых доказательств существования и эквивалентности. Большинство вычислений в рамках квантовой теории поля проще всего выполнять в калибровке Фейнмана – Хофта, в которой ξ = 1; некоторые из них более управляемы в других датчиках R ξ, таких как датчик Йенни ξ = 3.

Эквивалентная формулировка R ξ Калибр использует вспомогательное поле, скалярное поле B без независимой динамики:

δ L = B ∂ μ A μ + ξ 2 B 2 {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = B \, \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} + {\ frac {\ xi} {2}} B ^ {2}}

\ delta {\ mathcal {L}} = B \, \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} + {\ frac {\ xi} {2}} B ^ {2}

Вспомогательное поле, иногда называемое a, может быть удалено с помощью " завершение квадрата »до получения прежней формы. С математической точки зрения вспомогательное поле представляет собой разновидность бозона Голдстоуна, и его использование имеет преимущества при идентификации теории, и особенно при обобщении за пределы КЭД.

Исторически, использование датчиков R ξ было значительным техническим достижением в расширении вычислений квантовой электродинамики за пределы однопетлевого порядка. В дополнение к сохранению очевидной лоренц-инвариантности, предписание R ξ нарушает симметрию относительно локальных калибровочных преобразований, сохраняя при этом соотношение любых двух физически различных калибровочных конфигураций. Это позволяет изменять переменные, в которых бесконечно малые возмущения вдоль «физических» направлений в конфигурационном пространстве полностью не связаны с возмущениями вдоль «нефизических» направлений, позволяя последним поглощаться физически бессмысленной нормализацией функционального интеграла . Когда ξ конечно, каждая физическая конфигурация (орбита группы калибровочных преобразований) представлена не одним решением уравнения связи, а гауссовым распределением с центром на экстремуме члена нарушения калибровки. С точки зрения правил Фейнмана теории фиксированной калибровки, это проявляется как вклад во внутренние линии от виртуальных фотонов нефизической поляризации.

Фотонный пропагатор, который представляет собой мультипликативный коэффициент, соответствующий внутреннему фотону в разложении диаграммы Фейнмана расчета QED, содержит коэффициент g μν, соответствующий метрике Минковского. Разложение этого множителя в виде суммы по поляризациям фотонов включает члены, содержащие все четыре возможные поляризации. Поперечно поляризованное излучение может быть математически выражено как сумма по базису линейно или циркулярно поляризованного. Точно так же можно комбинировать продольную и временную калибровочные поляризации для получения «прямой» и «обратной» поляризации; это форма координат светового конуса, в которой метрика недиагональна. Разложение фактора g μν с точки зрения круговой поляризации (спин ± 1) и координат светового конуса называется a. Спиновые суммы могут быть очень полезны как для упрощения выражений, так и для получения физического понимания экспериментальных эффектов, связанных с различными членами в теоретических расчетах.

Ричард Фейнман использовал аргументы примерно в этом направлении в основном для обоснования процедур расчета, которые давали согласованные, конечные, высокоточные результаты для важных наблюдаемых параметров, таких как аномальный магнитный момент электрона. Хотя его аргументам иногда не хватало математической строгости даже по стандартам физиков и приукрашивали такие детали, как вывод тождеств Уорда – Такахаши квантовой теории, его расчеты работали, и Фримен Дайсон вскоре продемонстрировал, что его метод практически эквивалентен методам Джулиана Швингера и Син-Итиро Томонага, с которыми Фейнман разделил лауреат Нобелевской премии по физике 1965 года.

Прямая и обратная поляризация излучение можно не учитывать в квантовой теории поля (см. тождество Уорда – Такахаши ). По этой причине, а также поскольку их появление в спиновых суммах можно рассматривать как простой математический прием в КЭД (во многом как электромагнитный четырехпотенциал в классической электродинамике), о них часто говорят как о «нефизических». Но в отличие от описанных выше процедур фиксации калибровки на основе ограничений, калибровка R ξ хорошо обобщается на неабелевы калибровочные группы, такие как SU (3) of КХД. Связи между осями физических и нефизических возмущений не исчезают полностью при соответствующей замене переменных; чтобы получить правильные результаты, необходимо учесть нетривиальный якобиан вложения осей калибровочной свободы в пространство подробных конфигураций. Это приводит к явному появлению в диаграммах Фейнмана калибровочных бозонов с прямой и обратной поляризацией, а также призраков Фаддеева – Попова, которые еще более «нефизичны» в том смысле, что они нарушают теорему спиновой статистики. Связь между этими объектами и причины, по которым они не появляются как частицы в квантовомеханическом смысле, становятся более очевидными в BRST-формализме квантования.

Максимальная абелева калибровка

В любой не- абелевой калибровочной теории любая максимальная абелева калибровка является неполной калибровкой, которая фиксирует калибровочную свободу вне файл. Примеры:

Для SU (2) калибровочной теории в D-измерениях максимальная абелева подгруппа является подгруппой U (1). Если выбрана та, которая порождается матрицей Паули σ3, то максимальная абелева калибровка - это та, которая максимизирует функцию

∫ d D x [(A μ 1) 2 + (A μ 2) 2], {\ displaystyle \ int d ^ {D} x \ left [\ left (A _ {\ mu} ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {2} \ right) ^ {2} \ right] \,,}

{\ displaystyle \ int d ^ {D} x \ left [\ left (A _ {\ mu} ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {2} \ right) ^ {2} \ right] \,,}

где

A μ = A μ a σ a. {\ displaystyle {\ mathbf {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} ^ {a} \ sigma _ {a} \,.}

{\ mathbf {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} ^ {a} \ sigma _ {a } \,.

Для SU (3) калибр В теории в D-размерности максимальная абелева подгруппа является подгруппой U (1) × U (1). Если выбрана та, которая порождается матрицами Гелл-Манна λ3и λ 8, то максимальная абелева калибровка - это та, которая максимизирует функцию

∫ d D x [ (A μ 1) 2 + (A μ 2) 2 + (A μ 4) 2 + (A μ 5) 2 + (A μ 6) 2 + (A μ 7) 2], {\ displaystyle \ int d ^ {D} x \ left [\ left (A _ {\ mu} ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left ( A _ {\ mu} ^ {4} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {5} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {6} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {7} \ right) ^ {2} \ right] \,,}

{\ displaystyle \ int d ^ {D} x \ left [\ left (A _ {\ mu} ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left ( A _ {\ mu} ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {4} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {5} \ справа) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {6} \ right) ^ {2} + \ left (A _ {\ mu} ^ {7} \ right) ^ {2} \ right] \,,}

где

A μ = A μ a λ a {\ displaystyle {\ mathbf {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} ^ {a} \ lambda _ {a}}

{\ mathbf {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} ^ {a} \ lambda _ {a}

Это регулярно применяется в высших алгебрах (групп в алгебрах), например Алгебра Клиффорда и как она есть регулярно.

Менее используемые датчики

В литературе появились различные другие датчики, которые могут быть полезны в определенных ситуациях.

Датчик Вейля

Калибровка Вейля (также известная как гамильтониан или временная шкала ) - неполная калибровка, полученная выбором

φ = 0 {\ displaystyle \ varphi = 0}

\ varphi = 0

Он назван в честь Германа Вейля. Он устраняет отрицательную норму призрак, лишен явной лоренц-инвариантности и требует продольных фотонов и ограничения на состояния.

Многополярный датчик

Состояние датчика многополюсного датчика (также известного как линейный датчик, точечный датчик или датчик Пуанкаре (названный в честь Анри Пуанкаре )):

r ⋅ A = 0 {\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {A} = 0}

\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {A} = 0

Это еще одна шкала, в которой потенциалы могут быть выражены в простой способ в терминах мгновенных полей

A (r, t) = - r × ∫ 0 1 B (ur, t) udu {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = - \ mathbf {r} \ times \ int \ limits _ {0} ^ {1} \ mathbf {B} (u \ mathbf {r}, t) udu}

\ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = - \ mathbf {r} \ times \ int \ limits _ {0} ^ {1 } \ mathbf {B} (u \ mathbf {r}, t) udu

φ (r, t) = - r ⋅ ∫ 0 1 E (ur, t) du. {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = - \ mathbf {r} \ cdot \ int \ limits _ {0} ^ {1} \ mathbf {E} (u \ mathbf {r}, t) du.}

\varphi (\mathbf {r},t)=-\mathbf {r} \cdot \int \limits _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r},t)du.

датчик Фока – Швингера

Условие калибровки датчика Фока – Швингера (названного в честь Владимира Фока и Джулиана Швингера ; иногда также называемый релятивистской калибровкой Пуанкаре ):

x μ A μ = 0 {\ displaystyle x ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}

x ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0

где x - позиционный четырехвектор.

калибровка Дирака

Условие нелинейной калибровки Дирака (названное в честь Поля Дирака ):

A μ A μ = k 2 {\ displaystyle A _ {\ mu} A ^ {\ mu} = k ^ {2}}

{\ displaystyle A _ {\ mu} A ^ {\ mu} = k ^ {2}}

Ссылки

Дополнительная литература

Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений (2007). Классическая теория полей. Амстердам: Эльзевьер Баттерворт Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2768-9.
Джексон, Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.