Электрический дипольный момент

редактировать
Электрическое поле из-за точечного диполя (вверху слева), физический диполь электрических зарядов (вверху справа), тонкий поляризованный лист (внизу слева) или пластинчатый конденсатор (внизу справа). Все генерируют одинаковый профиль поля, когда расположение бесконечно мало.

электрический дипольный момент является мерой разделения положительных и отрицательных электрических зарядов в системе, то есть, мера общей полярности системы. единицы СИ для электрического дипольного момента: кулон - метр (См · м); однако обычно используемой единицей в атомной физике и химии является дебай (D).

Теоретически электрический диполь определяется членом первого порядка в мультипольном расширении ; он состоит из двух равных и противоположных зарядов, бесконечно близких друг к другу, хотя реальные диполи имеют разделенный заряд. Однако при проведении измерений на расстоянии, намного превышающем разделение зарядов, диполь дает хорошее приближение к реальному электрическому полю. Диполь представлен вектором от отрицательного заряда к положительному.

Содержание

  • 1 Элементарное определение
  • 2 Энергия и крутящий момент
  • 3 Выражение (общий случай)
  • 4 Потенциал и поле электрического диполя
  • 5 Плотность дипольного момента и плотность поляризации
    • 5.1 Среда с зарядом и дипольной плотностью
      • 5.1.1 Поверхностный заряд
      • 5.1.2 Диэлектрическая сфера в однородном внешнем электрическом поле
    • 5.2 Среда общего назначения
  • 6 Электрические дипольные моменты элементарных частиц
  • 7 Дипольные моменты молекул
  • 8 См. также
  • 9 Ссылки и встроенные примечания
  • 10 Дополнительная литература
  • 11 Внешние ссылки

Элементарное определение

Величины, определяющие электрический дипольный момент двух точечных зарядов. Анимация, показывающая электрическое поле электрического диполя. Диполь состоит из двух точечных электрических зарядов противоположной полярности, расположенных близко друг к другу. Показано преобразование точечного диполя в электрический диполь конечных размеров. A Молекула воды полярна из-за неравномерного распределения ее электронов в «изогнутой» структуре. Присутствует разделение зарядов с отрицательным зарядом посередине (красный оттенок) и положительным зарядом на концах (синий оттенок).

Часто в физике размеры массивного объекта можно игнорировать и рассматривать как точечный объект, то есть точечная частица . Точечные частицы с электрическим зарядом называются точечными зарядами. Два точечных заряда, один с зарядом + q, а другой с зарядом -q, разделенные расстоянием d, составляют электрический диполь (простой случай электрического мультиполя ). В этом случае электрический дипольный момент имеет величину

p = q d {\ displaystyle p = qd}{\ displaystyle p = qd}

и направлен от отрицательного заряда к положительному. Некоторые авторы могут разделить d пополам и использовать s = d / 2, поскольку эта величина представляет собой расстояние между любым зарядом и центром диполя, что приводит к коэффициенту два в определении.

Более сильное математическое определение - использовать векторную алгебру, поскольку величина с величиной и направлением, такая как дипольный момент двух точечных зарядов, может быть выражена в векторной форме

p = qd {\ displaystyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d}}{\ displaystyle \ mathbf {p} = q \ mathbf { d}}

, где d - это вектор смещения, указывающий от отрицательного заряда к положительному. Вектор p электрического дипольного момента также указывает от отрицательного заряда к положительному.

Идеализация этой двухзарядной системы - точечный электрический диполь, состоящий из двух (бесконечных) зарядов, разделенных лишь на бесконечно малые расстояния, но с конечным. p.

Эта величина используется в определении поляризационной плотности..

Энергия и крутящий момент

Электрический диполь p и его крутящий момент τ в однородном поле E .

Объект с электрическим дипольным моментом подвергается воздействию крутящего момента τ при помещении во внешнее электрическое поле. Крутящий момент стремится выровнять диполь с полем. Диполь, расположенный параллельно электрическому полю, имеет меньшую потенциальную энергию, чем диполь, находящийся с ним под некоторым углом. Для пространственно однородного электрического поля E энергия U и крутящий момент τ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}{\ boldsymbol {\ tau}} даются как

U = - п ⋅ E, τ знак равно п × E, {\ Displaystyle U = - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {E}, \ qquad \ {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {p} \ times \ mathbf {E},}{\ displaystyle U = - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {E}, \ qquad \ {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {p} \ times \ mathbf {E},}

где p - дипольный момент, а символ «×» относится к векторному произведению . Вектор поля и вектор диполя определяют плоскость, а крутящий момент направлен перпендикулярно этой плоскости с направлением, заданным правилом правой руки.

Диполь, ориентированный параллельно или антипараллельно направлению, в котором неоднородное электрическое поле увеличивается (градиент поля) испытывает крутящий момент, а также силу в направлении своего дипольного момента. Можно показать, что эта сила всегда будет параллельна дипольному моменту независимо от со- или антипараллельной ориентации диполя.

Выражение (общий случай)

В более общем смысле, для непрерывного распределения заряда, ограниченного объемом V, соответствующее выражение для дипольного момента имеет вид:

p (r) = ∫ В ρ (р 0) (р 0 - р) d 3 р 0, {\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ int \ limits _ {V} \ rho (\ mathbf {r} _ {0}) \, \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} \ right) \ d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0},}{\ displaystyle \ m athbf {p} (\ mathbf {r}) = \ int \ limits _ {V} \ rho (\ mathbf {r} _ {0}) \, \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} \ right) \ d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0},}

где r определяет местонахождение точки наблюдения, а d r0обозначает элементарный объем в V. Для массива точечных зарядов плотность заряда становится суммой дельта-функций Дирака :

ρ (r) = ∑ я знак равно 1 N ци δ (р - ри), {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ delta \ left (\ mathbf {г} - \ mathbf {г} _ {я} \ справа),}{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ delta \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} \ right),}

где каждый riпредставляет собой вектор из некоторой опорной точки к заряда д я. Подстановка в приведенную выше формулу интегрирования дает:

p (r) = ∑ i = 1 N qi ∫ V δ (r 0 - ri) (r 0 - r) d 3 r 0 = ∑ i = 1 N qi (ri - г). {\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ int \ limits _ {V} \ delta \ left (\ mathbf { r} _ {0} - \ mathbf {r} _ {i} \ right) \, \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} \ right) \ d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} \ right).}{\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ int \ limits _ {V} \ delta \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} _ {i} \ right) \, \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} \ right) \ d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} \ right). }

Это выражение эквивалентно предыдущему выражению в случае нейтральности заряда и N = 2. Для двух противоположных зарядов, обозначающих расположение положительного заряда пары как r+и расположение отрицательного заряда как r−:

p (r) = q 1 (r 1 - r) + q 2 (r 2 - r) = q (r + - r) - q (r - - r) = q (r + - r -) = qd., {\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = q_ {1} (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r}) + q_ {2} (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r}) = q (\ mathbf {r} _ {+} - \ mathbf {r}) -q (\ mathbf {r} _ {-} - \ mathbf {r}) = q (\ mathbf {r} _ {+} - \ mathbf {r} _ {-}) = q \ mathbf {d},}{\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = q_ {1} (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r}) + q_ {2} (\ mathbf {r} _ {2} - \ mathbf {r}) = q (\ mathbf {r} _ {+} - \ mathbf {r}) -q (\ mathbf {r} _ {-} - \ mathbf {r}) = q (\ mathbf {r} _ {+} - \ mathbf {r} _ {-}) = q \ mathbf {d},}

показывает, что вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному, поскольку вектор положения указателя t направлен наружу от начала координат к этой точке.

Дипольный момент особенно полезен в контексте общей нейтральной системы зарядов, например пары противоположных зарядов или нейтрального проводника в однородном электрическом поле. Для такой системы зарядов, представленной как массив пар противоположных зарядов, соотношение для электрического дипольного момента будет следующим:

p (r) = ∑ i = 1 N ∫ V qi [δ (r 0 - (ri + di)) - δ (r 0 - ri)] (r 0 - r) d 3 r 0 = ∑ i = 1 N qi [ri + di - r - (ri - r)] = ∑ i = 1 N qidi = ∑ я знак равно 1 N пи, {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {я = 1} ^ {N} \, \ int \ limits _ {V } q_ {i} \ left [\ delta \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ left (\ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {d} _ {i} \ right) \ right) \ right) - \ delta \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right] \, \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf { r} \ right) \ d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \\ = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ left [\ mathbf { r} _ {i} + \ mathbf {d} _ {i} - \ mathbf {r} - \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} \ right) \ right] \\ = \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} \ mathbf {d} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {i} \, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, \ int \ limits _ {V} q_ {i} \ left [\ delta \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ left (\ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {d} _ {i} \ right) \ right) - \ delta \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} _ {i} \ right) \ right] \, \ left (\ mathbf {r} _ {0} - \ mathbf {r} \ right) \ d ^ { 3} \ mathbf {r} _ {0} \\ = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ left [\ mathbf {r} _ {i} + \ mathbf {d} _ {i} - \ mathbf {r} - \ left (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} \ right) \ right] \\ = \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} \ mathbf {d} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {p} _ {i} \, \ end {align}}}

где r - точка наблюдения, а di= r'i− ri, ri- позиция отрицательного заряда в диполе i, а r'iпозиция posi активный заряд. Это векторная сумма отдельных дипольных моментов пар нейтральных зарядов. (Из-за общей нейтральности заряда дипольный момент не зависит от положения наблюдателя r .) Таким образом, значение p не зависит от выбора контрольной точки при условии, что общий заряд системы равна нулю.

При обсуждении дипольного момента не-нейтральной системы, таких как дипольный момент протон, зависимость от выбора точки отсчета возникает. В таких случаях обычный выбрать точку отсчета, чтобы быть центром масс системы, а не некоторое произвольное происхождение. Этот выбор является не только условием: понятие дипольного момента по сути происходит из механического понятия крутящего момента, и, как и в механике, с вычислительной и теоретической точки зрения полезно выбрать центр масс в качестве точки наблюдения. Для заряженной молекулы ориентиром должен быть центр заряда, а не центр масс. Для нейтральных систем точка отсчета не важна. Дипольный момент - это внутреннее свойство системы.

Потенциал и поле электрического диполя

Карта потенциалов физического электрического диполя. Отрицательные потенциалы отмечены синим цветом; положительные потенциалы (красный цвет).

Идеальный диполь состоит из двух противоположных зарядов с бесконечно малым разделением. Мы вычисляем потенциал и поле такого идеального диполя, начиная с двух противоположных зарядов на расстоянии d>0 и принимая предел как d → 0.

Два близко расположенных противоположных заряда ± q имеют потенциал вида :

ϕ (r) = q 4 π ε 0 | г - г + | - q 4 π ε 0 | г - г - |, {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) \ = \ {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {+} \ right |}} - {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {-} \ right |}} \,}{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) \ = \ {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {+} \ right |}} - {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {-} \ справа |}} \,}

где разделение зарядов равно:

d = r + - r -, d = | d |. {\ displaystyle \ mathbf {d} = \ mathbf {r} _ {+} - \ mathbf {r} _ {-} \, \ \ \ d = | \ mathbf {d} | \,.}{\ displaystyle \ mathbf {d} = \ mathbf {r} _ {+} - \ mathbf {r} _ {-} \, \ \ \ d = | \ mathbf {d} | \,.}

Пусть R обозначает вектор положения относительно средней точки r, а R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {R}}}}{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {R}}}} соответствующий единичный вектор:

R = r - r + + r - 2, R ^ = RR, {\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {r} _ { +} + \ mathbf {r} _ {-}} {2}}, \ quad {\ hat {\ mathbf {R}}} = {\ frac {\ mathbf {R}} {R}} \,}{\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {r} _ {+} + \ mathbf {r} _ {-}} {2}}, \ quad {\ hat {\ mathbf {R}}} = {\ frac {\ mathbf {R}} {R}} \,}

разложение Тейлора в d R {\ displaystyle {\ tfrac {d} {R}}}{\ displaystyle {\ tfrac {d} {R}}} (см. мультипольное расширение и квадруполь ) выражает этот потенциал в виде ряда.

ϕ (R) = 1 4 π ε 0 qd ⋅ R ^ R 2 + O (d 2 R 2) ≈ 1 4 π ε 0 p ⋅ R ^ R 2, {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {R}) \ = \ {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {q \ mathbf {d} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}) }}} {R ^ {2}}} + O \ left ({\ frac {d ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \ \ приблизительно \ {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}}}} {R ^ {2}}} \,}{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {R}) \ = \ {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {q \ mathbf {d} \ cdot {\ hat {\ mathb) f {R}}}} {R ^ {2}}} + O \ left ({\ frac {d ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \ \ приблизительно \ {\ frac {1 } {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}}}} {R ^ {2}}} \,}

где выше ord На больших расстояниях R члены ряда исчезают по сравнению с d. Здесь электрический дипольный момент p равен, как указано выше:

p = q d. {\ displaystyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d} \.}{\ displaystyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d} \.}

Результат для дипольного потенциала также может быть выражен как:

ϕ (R) = - p ⋅ ∇ 1 4 π ε 0 R, {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {R}) = - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ nabla} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R}} \, }{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {R}) = - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {\ nabla} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R}} \,}

, который связывает дипольный потенциал с точечным зарядом. Ключевым моментом является то, что потенциал диполя спадает быстрее с расстоянием R, чем потенциал точечного заряда.

Электрическое поле диполя представляет собой отрицательный градиент потенциала, приводящий к:

E (R) = 3 (p ⋅ R ^) R ^ - p 4 π ε 0 R 3. {\ Displaystyle \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {R} \ right) = {\ frac {3 \ left (\ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}}} \ right) { \ hat {\ mathbf {R}}} - \ mathbf {p}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R ^ {3}}} \.}{\ displaystyle \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {R} \ right) = {\ frac {3 \ left (\ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}}} \ справа) {\ ha t {\ mathbf {R}}} - \ mathbf {p}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R ^ {3}}} \.}

Таким образом, хотя два близко расположенных противоположных заряда не являются совершенно идеальный электрический диполь (потому что их потенциал на коротких расстояниях отличается от потенциала диполя), на расстояниях, намного превышающих их расстояние, их дипольный момент p проявляется непосредственно в их потенциале и поле.

По мере того, как два заряда сближаются (d становится меньше), дипольный член в мультипольном расширении на основе отношения d / R становится единственным значимым членом на все более близких расстояниях R, и в пределе из бесконечно малого разделения все, что имеет значение, - это дипольный член в этом расширении. Однако, поскольку d делается бесконечно малым, дипольный заряд должен увеличиваться, чтобы поддерживать постоянным p . Этот ограничивающий процесс приводит к «точечному диполю».

Плотность дипольного момента и плотность поляризации

Дипольный момент массива зарядов,

p = ∑ i = 1 N qidi, {\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ q_ {i} \ mathbf {d_ {i}} \,}{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ q_ {i} \ mathbf {d_ {i}} \,}

определяет степень полярности массива, но для нейтрального массива это просто свойство вектора массив без информации об абсолютном расположении массива. Плотность дипольного момента массива p(r) содержит как местоположение массива, так и его дипольный момент. Когда приходит время вычислить электрическое поле в некоторой области, содержащей массив, уравнения Максвелла решаются, и информация о массиве зарядов содержится в плотности поляризации P(r) уравнений Максвелла. В зависимости от того, насколько детально требуется оценка электрического поля, более или менее информация о массиве зарядов должна быть выражена как P(r). Как поясняется ниже, иногда достаточно точно взять P(r) = p(r). Иногда требуется более подробное описание (например, добавление плотности дипольного момента к дополнительной квадрупольной плотности), а иногда и более сложные версии P(r).

Теперь исследуется, каким образом плотность поляризации P(r), входящая в уравнения Максвелла, связана с дипольным моментом p всего нейтрального массива зарядов, а также плотности дипольного момента p(r) (которая описывает не только дипольный момент, но и расположение массива). Далее рассматриваются только статические ситуации, поэтому P (r) не имеет зависимости от времени, и нет тока смещения. Сначала немного обсудим плотность поляризации P(r). За этим обсуждением следует несколько конкретных примеров.

Формулировка уравнений Максвелла, основанная на разделении зарядов и токов на «свободные» и «связанные» заряды и токи, приводит к введению D - и P -поля:

D = ε 0 E + P, {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P} \,}{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} + \ mathbf {P} \,}

, где P называется плотностью поляризации. В этой формулировке дивергенция этого уравнения дает:

∇ ⋅ D = ρ f = ε 0 ∇ ⋅ E + ∇ ⋅ P, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f} = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} + \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \,}{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f} = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} + \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \,}

и, поскольку член расхождения в E - это общий заряд, и ρ f - «бесплатный заряд», остается соотношение:

∇ ⋅ P = - ρ b, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {P} = - \ rho _ {b} \,}{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {P} = - \ rho _ {b} \,}

с ρ b в качестве связанного заряда, под которым понимается разница между полной и свободной плотностями заряда.

В стороне, в отсутствие магнитных эффектов уравнения Максвелла определяют, что

∇ × E = 0, {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = {\ boldsymbol {0}} \,}{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = {\ boldsymbol {0}} \,}

, что означает

∇ × (D - P) = 0, {\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {P} \ right) = {\ boldsymbol { 0}} \,}{\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {P} \ right) = {\ boldsymbol {0}} \,}

Применение разложения Гельмгольца :

D - P = - ∇ φ, {\ displaystyle \ mathbf {DP = - \ nabla} \ varphi \,}{\ displaystyle \ mathbf {DP = - \ nabla} \ varphi \,}

для некоторого скалярного потенциала φ, и:

∇ ⋅ (D - P) = ε 0 ∇ ⋅ E = ρ f + ρ b = - ∇ 2 φ. {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {D} - \ mathbf {P}) = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ rho _ {f} + \ rho _ {b} = - \ nabla ^ {2} \ varphi \.}{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {D} - \ mathbf {P}) = \ varepsilon _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ rho _ {f} + \ rho _ {b} = - \ nabla ^ {2} \ varphi \.}

Предположим, что заряды делятся на свободные и связанные, а потенциал делится на

φ = φ f + φ b. {\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {f} + \ varphi _ {b} \.}{\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {f} + \ varphi _ {b} \.}

Удовлетворение граничных условий на φ можно произвольно разделить между φ f и φ b, поскольку этим условиям должна удовлетворять только сумма φ. Отсюда следует, что P просто пропорционально электрическому полю из-за зарядов, выбранных как связанные, с граничными условиями, которые оказываются удобными. В частности, когда нет свободного заряда, одним из возможных вариантов является P = ε 0E.

Далее обсуждается, как несколько различных описаний дипольного момента среды соотносятся с поляризацией, входящей в уравнения Максвелла.

Среда с зарядовой и дипольной плотностями

Как описано далее, модель для плотности поляризационного момента p(r) приводит к поляризации

P (r) = p (r) {\ displaystyle \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) \,}{\ displaystyle \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) \,}

ограничен той же моделью. Для плавно изменяющегося распределения дипольного момента p(r) соответствующая плотность связанного заряда равна просто

∇ ⋅ p (r) = ρ b, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ rho _ {b},}{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ rho _ {b},}

как мы вскоре установим с помощью интеграции по частям. Однако, если p(r) демонстрирует резкий скачок дипольного момента на границе между двумя областями, ∇ · p(r) приводит к компоненту связанного заряда на поверхности. Этот поверхностный заряд можно обработать с помощью поверхностного интеграла или с помощью условий неоднородности на границе, как показано в различных примерах ниже.

В качестве первого примера связи дипольного момента с поляризацией рассмотрим среду, состоящую из непрерывной плотности заряда ρ (r ) и непрерывного распределения дипольного момента p(r). Потенциал в позиции r равен:

ϕ (r) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ (r 0) | г - г 0 | d 3 r 0 + 1 4 π ε 0 ∫ p (r 0) ⋅ (r - r 0) | г - г 0 | 3 d 3 р 0, {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \ + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot \ left ( \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} | ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0},}{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \ + {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf { r} _ {0} | ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0},}

где ρ (r ) - плотность неспаренного заряда, а p(r) - плотность дипольного момента. Использование идентификатора:

∇ r 0 1 | г - г 0 | = r - r 0 | г - г 0 | 3 {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} = { \гидроразрыв {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right | ^ {3}}}}{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right | ^ {3}}}}

интеграл поляризации можно преобразовать:

1 4 π ε 0 ∫ p (r 0) ⋅ (r - r 0) | г - г 0 | 3 d 3 r 0 знак равно 1 4 π ε 0 ∫ p (r 0) ⋅ ∇ r 0 1 | г - г 0 | d 3 r 0, = 1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ (p (r 0) 1 | r - r 0 |) d 3 r 0 - 1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ p (r 0) | г - г 0 | d 3 r 0, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ mathbf {p} \ left (\ mathbf { r} _ {0} \ right) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right | ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0}, \\ = {} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ набла _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r } _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0}, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsi lon _ {0}}} \ int {\ frac {\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0 })} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right | ^ {3}}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} = {\ frac { 1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0 }} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0}, \\ = {} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ left ( \ mathbf {r} _ {0} \ right) {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0}, \ end {align}}}

Первый член может преобразуется в интеграл по поверхности, ограничивающую объем интегрирования, и вносит вклад в поверхностную плотность заряда, обсуждаемую в атер. Подставляя этот результат обратно в потенциал и игнорируя поверхностный заряд:

ϕ (r) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ (r 0) - ∇ r 0 ⋅ p (r 0) | г - г 0 | d 3 р 0, {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho \ left (\ mathbf { r} _ {0} \ right) - \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \,}{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ int {\ frac {\ rho \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) - \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \,}

где интеграция по объему распространяется только до ограничивающая поверхность и не включает эту поверхность.

Потенциал общий заряд, который, как показано выше, состоит из:

ρ total (r 0) = ρ (r 0) - r 0 ⋅ p (r 0), {\ displaystyle \ rho _ {\ text {total}} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) = \ rho \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) - \ nabla _ {\ mathbf {r } _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \,}{\ displaystyle \ rho _ {\ text {total}} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) = \ rho \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) - \ набла _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \,}

показывает, что:

- r 0 ⋅ p (r 0) = ρ b. {\ displaystyle - \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) = \ rho _ {b} \.}{\ displaystyle - \ nab la _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) = \ rho _ {b} \.}

Короче говоря, плотность дипольного момента p(r) играет роль плотности поляризации P для среды. Обратите внимание, p(r) имеет ненулевую дивергенцию, большую плотность связанного заряда (как моделируется в этом приближении).

Можно отметить, что этот подход может быть расширен, чтобы включить все мультиполи: диполь, квадруполь и т. Д. Используя соотношение:

∇ ⋅ D = ρ f, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f} \,}{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f} \,}

определяется, что плотность поляризации равна:

P ( р) знак равно п погружение - ∇ ⋅ п четырехугольник +…, {\ displaystyle \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {p} _ {\ text {dip}} - \ nabla \ cdot \ mathbf { p} _ {\ text {quad}} + \ ldots \,}{\ displaystyle \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {p} _ {\ text {dip}} - \ nabla \ cdot \ mathbf {p} _ {\ text {quad}} + \ ldots \,}

где добавленные термины предназначены для обозначения вкладов от более высоких мультиполей. Очевидно, что более высокая мультиполей означает, что плотность поляризации P больше не определяется только плотностью p дипольного момента. Например, при рассмотрении рассеяния от массива зарядов разные мультиполи рассеивают электромагнитную волну по-разному и независимо, требуя представления зарядов, выходящего за рамки дипольного приближения.

Поверхностный заряд

Равное идентичное диполи эквивалентны поверхностному заряду.

Выше былоено обсуждение первого члена в выражении для стимулированного диполями. Интегрирование расходимости приводит к поверхностному заряду. Рисунок дает интуитивное представление о том, почему возникает поверхностный заряд. На рисунке показан однородный идентичный диполей между двумя поверхностями. Внутри головы и хвосты диполейны и сокращаются. Однако на ограничивающих поверхностях отмены не происходит. Вместо этого на одной поверхности диполя положительный поверхностный заряд, а на противоположной поверхности хвосты диполя отрицательный поверхностный заряд. Эти два противоположных поверхностных изображения представляют собой чистое электрическое поле в противоположном направлении диполей.

Этой идее дается математическая форма с потенциального выражения выше. Пренебрегая свободным зарядом, равенство:

ϕ (r) = 1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ (p (r 0) 1 | r - r 0 |) d 3 r 0 - 1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ p (r 0) | г - г 0 | г 3 г 0. {\ Displaystyle \ phi \ left (\ mathbf {r} \ right) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ nabla _ {\ mathbf {r } _ {0}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r} _ {0} \ right |}} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int { \ frac {\ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \.}{\ displaystyle \ phi \ left (\ mathbf {r} \ справа) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ left ( \ mathbf {r} _ {0} \ right) {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \.}

Используя теорему о расходимости, член расходимости преобразуется в поверхностный интеграл:

1 4 π ε 0 ∫ ∇ r 0 ⋅ (p (r 0) 1 | r - r 0 |) d 3 r 0 = 1 4 π ε 0 ∫ p (r 0) ⋅ d A 0 | г - г 0 |, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ left ( \ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \\ = {} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ mathbf { p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) \ cdot d \ mathbf {A} _ {0}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено } {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int \ nabla _ {\ mathbf {r} _ {0}} \ cdot \ left (\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r} _ {0} \ right) {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ right) d ^ {3} \ mathbf {r} _ {0} \\ = {} {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ mathbf {p} \ left (\ mathbf {r } _ {0} \ right) \ cdot d \ mathbf {A} _ {0}} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \, \ end { выровнено}}}

с d A0Элемент площади поверхности объема. В том случае, если p(r) является константой, сохраняется только поверхностный член:

ϕ (r) = 1 4 π ε 0 ∫ 1 | г - г 0 | п ⋅ d A 0, {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {A} _ {0} \,}{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac { 1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {A} _ {0} \,}

с d A0элементарным площадь поверхности, ограничивающей заряды. Другими словами, потенциал из-за константы p внутри эквивалентности потенциала поверхностного заряда

σ = p ⋅ d A {\ displaystyle \ sigma = \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {A}}{\ displaystyle \ sigma = \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {A}}

, который положителен для элементов поверхности с компонентом в направлении p и отрицателен для элементов поверхности, направленным противоположно. (Обычно за поверхностным элементом берется направление внешней нормали к поверхности в месте расположения элемента.)

Если ограничивающая поверхность является сферой, то точка наблюдения находится в этой сфере интегрирования по поверхности сферы равно нулю: положительный и отрицательный вклады поверхностного заряда в возможности сокращаются. Однако, если точка наблюдения смещена от центра, может возникнуть чистый потенциал (в зависимости от ситуации), поскольку положительные и отрицательные заряды находятся на разных расстояниях от наблюдения. Поле, обусловленное поверхностным зарядом, равно:

E (r) = - 1 4 π ε 0 ∇ r ∫ 1 | г - г 0 | п ⋅ d A 0, {\ displaystyle \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} \ right) = - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ nabla _ {\ mathbf {r}} \ int {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {A} _ {0} \,}{\ displaystyle \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} \ right) = - {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ nabla _ {\ mathbf {r}} \ int {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0} \ right |}} \ \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {A} _ {0} \,}

который в центре сферической ограничивающей поверхности не равен нулю (поля отрицательных и положительных зарядов на противоположных сторонах центра складываются, потому что оба поля указывают одинаково), а вместо этого:

E = - p 3 ε 0. {\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ frac {\ mathbf {p}} {3 \ varepsilon _ {0}}} \.}{\ displaystyle \ mathbf {E} = - {\ frac {\ mathbf {p}} {3 \ varepsilon _ {0}}} \.}

. Если предположим, что поляризация диполей была вызвана внешним полем поляризации против приложенного полюса и иногда называется полем деполяризации. В случае, когда поляризация находится вне сферической полости, поле в полости обусловлено окружающими диполями, то же направление, что и поляризация.

В частности, если электрическая восприимчивость вводится через приближение:

п (г) = ε 0 χ (r) E (r), {\ displaystyle \ mathbf {p} ( \ mathbf {r}) = \ varepsilon _ {0} \ chi (\ mathbf {r}) \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) \,}{\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon _ {0} \ chi (\ mathbf {r}) \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) \, }

где E, в В этом случае и в следующем, это означает внешнее поле, которое индуцирует поляризацию.

Тогда:

∇ ⋅ p (r) = ∇ ⋅ (χ (r) ε 0 E (r)) = - ρ b. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ nabla \ cdot \ left (\ chi (\ mathbf {r}) \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) \ right) = - \ rho _ {b} \.}{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ nabla \ cdot \ left (\ chi (\ mathbf {r}) \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) \ right) = - \ rho _ {b } \.}

Каждый раз, когда χ (r ) используется для моделирования разрыва ступеньки на границе между двумя областями, ступенька создает слой поверхностного заряд. Например, интегрирование по нормали к ограничивающей поверхности от точки внутри одной поверхности до другой точки снаружи:

ε 0 n ^ ⋅ [χ (r +) E (r +) - χ (r -) Е (г -)] знак равно 1 AN ∫ d Ω n ρ б знак равно 0, {\ Displaystyle \ varepsilon _ {0} {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot \ left [\ chi \ left (\ mathbf {r} _ { +} \ right) \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} _ {+} \ right) - \ chi \ left (\ mathbf {r} _ {-} \ right) \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} _ {-} \ right) \ right] = {\ frac {1} {A_ {n}}} \ int d \ Omega _ {n} \ \ rho _ {b} = 0 \, }{\ displaystyle \ varepsilon _ {0} {\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot \ left [\ chi \ left (\ mathbf {r} _ {+} \ right) \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} _ {+} \ right) - \ chi \ left (\ mathbf {r} _ {-} \ right) \ mathbf {E} \ left (\ mathbf {r} _ {-} \ right) \ right] = {\ frac {1} {A_ {n}}} \ int d \ Omega _ {n} \ \ rho _ {b} = 0 \,}

, где A n, Ω n указать площадь и объем элементарной области, охватывающую границу между областями, и n ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}{\ hat {\ mathbf {n}}} единица измерения, нормальная к поверхности. Правая часть исчезает при сжатии объема, поскольку ρ b конечно, что указывает на разрыв в E и, следовательно, на заряд поверхности. То есть, когда моделируемая среда включает ступеньку диэлектрической проницаемости, плотность поляризации, соответствующую плотность дипольного момента

p (r) = χ (r) E (r) {\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ chi (\ mathbf {r}) \ mathbf {E} (\ mathbf {r})}{\ displaystyle \ mathbf {p} (\ mathbf {r}) = \ chi (\ mathbf {r}) \ mathbf {E} (\ mathbf {r})}

обязательно включает вклад поверхностного заряда.

Физически более реалистичное моделирование p(r) плотность дипольного момента быстро, но плавно снижается до нуля на границе ограничивающей области, вместо того, чтобы делать внезапный шаг к нулевой плотности. Тогда поверхностный заряд не будет концентрироваться на бесконечно тонкой поверхности, а вместо этого была дивергенцией плавно изменяющейся плотности дипольного момента, будет распределяться по тонкому, но конечному переходному слою.

Диэлектрическая сфера в однородном внешнем электрическом поле

Силовые линии D-поля в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью, чем ее окружение, помещенной в ранее однородное поле. Линии поля поля E (не показано) везде совпадают с линиями поля D, но внутри сферы их плотность ниже, что соответствует тому, что внутри сферы E -поле слабее, чем снаружи. Многие из линий внешнего E -поля заканчиваются на поверхности сферы, где есть связанный заряд.

Приведенные выше общие замечания о поверхностном заряде становятся более конкретными на примере диэлектрика. сфера в однородном электрическом поле. Обнаружено, что сфера принимает поверхностный заряд, связанный с дипольным моментом ее внутренней части.

Предполагается, что однородное внешнее электрическое поле направлено в направлении z, и вводятся сферически-полярные координаты, поэтому потенциал, создаваемый этим полем, равен:

ϕ ∞ = - E ∞ z = - E ∞ r cos ⁡ θ. {\ displaystyle \ phi _ {\ infty} = - E _ {\ infty} z = -E _ {\ infty} r \ cos \ theta \.}{\ displaystyle \ phi _ {\ infty} = - E _ {\ infty } Z = -E _ {\ infty} р \ соз \ тета \.}

Предполагается, что сфераывается описывается диэлектрической проницаемостью κ, то есть

D = κ ϵ 0 E, {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ kappa \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \,}{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ каппа \ эпсилон _ {0} \ mathbf {E} \,}

и внутри сферы потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Если опустить некоторые детали, решение внутри сферы:

ϕ < = A r cos ⁡ θ, {\displaystyle \phi _{<}=Ar\cos \theta \,}{\ displaystyle \ phi _ {<} = Ar \ cos \ theta \,}

, а вне сферы:

ϕ>= (B r + C r 2) cos ⁡ θ. {\ displaystyle \ phi _ {>} = \ left (Br + {\ frac {C} {r ^ {2}}} \ right) \ cos \ theta \.}{\displaystyle \phi _{>} = \ left (Br + {\ frac {C} {r ^ {2}}} \ right) \ cos \ theta \.}

На больших расстояниях φ>→ φ ∞, поэтому B = -E ∞. Непрерывность потенциала и радиальная составляющая смещения D = κε 0Eопределяют две другие константы. Предположим, что радиус сферы равен R,

A = - 3 κ + 2 E ∞; C = κ - 1 κ + 2 E ∞ R 3, {\ Displaystyle A = - {\ frac {3} {\ kappa +2}} E _ {\ infty} \; \ C = {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} E _ {\ infty} R ^ {3} \,}{\ displaystyle A = - {\ frac {3} {\ kappa +2}} E_ {\ infty} \; \ C = {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} E _ {\ infty} R ^ {3} \,}

Как следствие, потенциал равен:

ϕ>= (- r + κ - 1 κ + 2 R 3 р 2) E ∞ соз ⁡ θ, {\ displaystyle \ phi _ {>} = \ left (-r + {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} {\ frac {R ^ {3 }} {r ^ {2}}} \ right) E _ {\ infty} \ cos \ theta \,}{\displaystyle \phi _{>} = \ left (-r + {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} {\ frac {R ^ {3}} {r ^ {2}}} \ right) E _ {\ infty} \ cos \ theta \,}

который является потенциал из-за приложенного поля и, кроме того, диполь в направлении приложенного поля (направление z) дипольного момента:

p = 4 π ε 0 (κ - 1 κ + 2 R 3) E ∞, {\ displaystyle \ mathbf {p} = 4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ left ({\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} R ^ {3} \ right) \ mathbf {E } _ {\ infty} \,}{\ displaystyle \ mathbf {p} = 4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ left ({\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} R ^ {3} \ right) \ mathbf {E} _ {\ infty } \,}

или на единицу объема:

p V = 3 ε 0 (κ - 1 κ + 2) E ∞. {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {p}} {V}} = 3 \ varepsilon _ {0} \ left ({\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} \ right) \ mathbf { E} _ {\ infty} \.}{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {p}} {V}} = 3 \ varepsilon _ {0} \ left ({\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} \ right) \ mathbf {E} _ {\ infty} \.}

Фактор (κ - 1) / (κ + 2) называется фактором Клаузиуса – Моссотти и показывает, что индуцированная поляризация меняет знак, если κ < 1. Of course, this cannot happen in this example, but in an example with two different dielectrics κ is replaced by the ratio of the inner to outer region dielectric constants, which can be greater or smaller than one. The potential inside the sphere is:

ϕ < = − 3 κ + 2 E ∞ r cos ⁡ θ, {\displaystyle \phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,}{\ displaystyle \ phi _ {<} = - {\ frac {3 } {\ kappa +2}} E _ {\ infty} r \ cos \ theta \,}

, ведущее к полю внутри сферы:

- ∇ ϕ < = 3 κ + 2 E ∞ = ( 1 − κ − 1 κ + 2) E ∞, {\displaystyle -\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,}{\ displaystyle - \ nabla \ phi _ {<} = {\ frac {3} {\ kappa +2}} \ mathbf {E} _ {\ infty} = \ left (1 - {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} \ right) \ mathbf {E} _ {\ infty} \,}

, показывающий деполяризующий эффект диполя. Обратите внимание, что поле внутри сферы однородно и параллельно приложенному полю. Дипольный момент однороден по всей внутренней части сферы. Плотность поверхностного заряда на сфере - это разница между радиальными компонентами поля:

σ = 3 ε 0 κ - 1 κ + 2 E ∞ cos ⁡ θ = 1 V p ⋅ R ^. {\ displaystyle \ sigma = 3 \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} E _ {\ infty} \ cos \ theta = {\ frac {1} {V}} \ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}}} \.}{\ displaystyle \ sigma = 3 \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ kappa -1} {\ kappa +2}} E _ {\ infty} \ cos \ theta = {\ frac {1} {V}} \ mathbf {p} \ cdot {\ hat {\ mathbf {R}}} \.}

Этот пример линейного диэлектрика показывает, что рассмотрение диэлектрической проницаемости эквивалентно модели однородного дипольного момента и приводит к нулевому заряду везде, кроме поверхностный заряд на границе сферы.

Обычная среда

Если наблюдение ограничено областями, достаточно удаленными от системы зарядов, может быть выполнено мультипольное расширение точной плотности поляризации. При усечении этого разложения (например, с сохранением только дипольных членов или только дипольных и квадрупольных членов и т. Д.) Результаты предыдущего раздела восстанавливаются. В частности, усекая расширение по дипольному члену, результат неотличим от плотности поляризации, создаваемой однородным дипольным моментом, ограниченным областью заряда. С точностью до этого дипольного приближения, как показано в предыдущем разделе, плотность дипольного момента p(r) (которая включает не только p, но и местоположение p ) служит как P(r).

В местах внутри массива зарядов для подключения массива парных зарядов в приближении, включающем только плотность дипольного момента p(r), требуются дополнительные соображения. Самое простое приближение - заменить массив зарядов моделью идеальных (бесконечно удаленных) диполей. В частности, как и в приведенном выше примере, где используется постоянная плотность дипольного момента, ограниченная конечной областью, возникают поверхностный заряд и поле деполяризации. Более общая версия этой модели (которая позволяет изменять поляризацию в зависимости от положения) - это обычный подход с использованием электрической восприимчивости или электрической диэлектрической проницаемости.

. Более сложная модель массива точечных зарядов вводит эффективная среда усреднением микроскопических зарядов; например, усреднение может сделать так, чтобы только дипольные поляли роль. Связанный подход состоит в том, чтобы разделить заряды на те, которые находятся поблизости от точек наблюдения, и на те, которые находятся достаточно далеко, чтобы обеспечить мультипольное расширение. Затем близлежащие заряды создают локальные полевые эффекты. В обычных моделях этого типа удаленные заряды как однородная среда с диэлектрической проницаемостью, близлежащие заряды только в дипольном приближении. Приближение или окружающей среды зарядов только диполями и с ними плотностью дипольного момента иногда называют приближением точечного диполя, приближением дискретного диполя или просто дипольным приближением.

Электрические дипольные моменты элементарных частиц

Не путать с момента спином, который относится к магнитным дипольнымм частиц, большая часть экспериментальных работ по измерению электрического диполя продолжается. моменты (EDM) фундаментальных и составных частиц, а именно моменты электрона и нейтрона, соответственно. Средство EDM нарушают симметрию четкости (P) и обращения времени (T), их значения дают в основном независимую от модели меру CP-нарушения в характере (при условии, что симметрия CPT действительна). Следовательно, значения для этих EDM накладывают сильные ограничения на масштаб CP-нарушения, которые могут допускать расширения к стандартной модели из физики элементарных частиц. Текущие поколения экспериментов разработаны с учетом чувствительности к диапазону суперсимметрии EDM, что обеспечивает дополнительные эксперименты по сравнению с экспериментами, проводимыми на LHC.

. Действительно, теории не согласны без ограничений, и устоявшаяся теория допускает большее значение, чем эти пределы, что приводит к сильной CP-проблеме и побуждает искать новые частицы, такие как аксион.

Дипольные моменты молекулы

Дипольные моменты в молекулах соответствуют за поведение вещества в внешних электрических полях. Диполи имеют тенденцию быть ориентированным на внешнее поле, которое может быть постоянным или зависящим от времени. Этот эффект составляет основу современной экспериментальной техники, называемой диэлектрической спектроскопией..

Дипольные моменты могут быть обнаружены в обычных молекулах, таких как вода, а также в биомолекулах, как таких белки. В момент некоторого материала можно вычислить диэлектрическую проницаемость, которая связана с более интуитивным понятием проводимости. Если МП от {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ rm {Tot}} \,}{\ mathcal {M}} _ {\ rm {Tot}} \, является полным дипольным моментом образца, то диэлектрическая проницаемость определяется как

ϵ = 1 + К ⟨M Tot 2⟩ {\ displaystyle \ epsilon = 1 + k \ left \ langle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} ^ {2} \ right \ rangle}{\ displaystyle \ epsilon = 1 + k \ left \ langle {\ mathcal {M}} _ {\ текст {Tot}} ^ {2} \ right \ rangle}

где k - константа, а ⟨M Tot 2⟩ = ⟨M Tot (t = 0) M Tot (t = 0)⟩ {\ displaystyle \ left \ langle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} ^ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} (t = 0) {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} (t = 0) \ right \ rangle}{\ displaystyle \ left \ langle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} ^ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot} } (t = 0) {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} (t = 0) \ right \ rangle} - временная корреляционная функция полного дипольного момента. Обычно в общий дипольный момент вносят вклады поступательные и вращательные движения молекул в образце:

M Tot = M Trans + M Rot. {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} = {\ mathcal {M}} _ {\ text {Trans}} + {\ mathcal {M}} _ {\ text {Rot}}.}{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ text {Tot}} = {\ mathcal {M}} _ {\ text {Trans}} + {\ mathcal {M}} _ {\ text {Rot}}.}

Следовательно, диэлектрическая проницаемость (и проводимость) зависит от обоих членов. Этот подход можно обобщить для вычисления частотно-зависимой диэлектрической функции.

Можно рассчитать дипольные моменты с помощью теории электронной структуры, либо как реакцию на постоянные электрические поля, либо из матрицы плотности. Однако такие значения нельзя напрямую сопоставить с экспериментом из-за потенциального наличия ядерных квантовых эффектов, которые могут быть существенными даже для простых систем, таких как молекула аммиака. Теория связанных кластеров (особенно CCSD (T)) может дать очень точные дипольные моменты, хотя можно получить разумные оценки (в пределах примерно 5%) из теории функционала плотности, особенно если используются гибридные или двойные гибридные функционалы. Дипольный момент молекулы также можно рассчитать на основе молекулярной структуры с использованием концепции методов группового вклада.

См. Также

Ссылки и встроенные примечания

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-18 11:20:23
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте