Потенциал Льенара - Вихерта

редактировать

электромагнитный эффект точечных зарядов

Потенциалы Льенара - Вихерта описывают классический электромагнитный эффект движущегося точечного электрического заряда в терминах возможного и скалярного возможного в калибровке Лоренца. Построенные непосредственно из уравнения Максвелла, они описывают полное релятивистски правильное, изменяющееся во времени электромагнитное поле для точечного заряда в произвольном движении., но не исправлены на квантово-механические эффекты. Электромагнитное излучение в виде волн может быть получено из этих потенциалов. Эти выражения были разработаны были разработаны Альфредом-Мари Льенаром в 1898 году независимо Эмилем Вихертом в 1900 году.

Содержание

1 Уравнения
- 1.1 Определение Льенара– Потенциалы Вихерта
- 1.2 Вычисление поля
2 Вывод
- 2.1 Датчик Лоренца, электрические и магнитные поля
3 Последствия
4 Универсальный предел скорости
- 4.1 Наличие и уникальность запаздывающего времени
  - 4.1.1 Существование
  - 4.1.2 Уникальность
5 См.
6 Ссылки

Уравнения

Также Определение потенциалов Льенара - Вихерта

Потенциалы Льенара - Вихерта $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ (скалярное потенциальное поле) и $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\mathbf {A}$ (новое потенциальное поле) для точки источника заряда $q {\ displaystyle q}$ $q$ в позиции $rs {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}}$ ${\mathbf {r}}_{s}$ движется со скоростью $vs {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {s}}$ ${\mathbf {v}}_{s}$ :

φ (r, t) Знак равно 1 4 π ϵ 0 (q (1 - ns ⋅ β s) | r - rs |) тр {\ di splaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ эпсилон _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

\varphi (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}

A (r, t) = μ 0 c 4 π (q β s (1 - ns ⋅ β s) | г - р с |) тр знак равно β s (тр) с φ (r, t) {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0} c} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {q {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s})) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t_ {r})} {c}} \ varphi (\ mathbf {r}, t)}

\mathbf {A} (\mathbf {r},t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t_{r})}{c}}\varphi (\mathbf {r},t)

где:

$β s (t) = vs (t) c {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ { s} (t) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {s} (t)} {c}}}$ ${\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {{\mathbf {v}}_{s}(t)}{c}}$ - скорость источника, выраженная в долях скорости света. ;

$| г - р с | {\ displaystyle {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}}$ ${|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}$ - расстояние от источника;

$n s = r - r s | г - р с | {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s} = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}}}$ $\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}$ - единичный вектор, указывающий в направлении от источника, и

символ $(⋯) tr {\ displaystyle (\ cdots) _ {t_ {r}}}$ $(\cdots)_{t_{r}}$ означает, что величины в скобках должны оцениваться в запаздывающее время $tr = t - 1 c | г - г '| {\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}$ $t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|$ .

(см. также запаздывающий потенциал.)

Вычисление поля

Мы можем вычислить электрическое и магнитное поля непосредственно из потенциалов, используя определения:

E = - ∇ φ - ∂ A ∂ t {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ dfrac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

{\mathbf {E}}=-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}}

B = ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

Расчет нетривиален и требует нескольких шагов. Электрическое и магнитное поля имеют вид (в нековариантной форме):

E (r, t) = 1 4 π ε 0 (q (ns - β s) γ 2 (1 - ns ⋅ β s) 3 | r - rs | 2 + qns × ((ns - β s) × β s ˙) c (1 - ns ⋅ β s) 3 | r - rs |) tr {\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, т) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s })} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2}}} + {\ frac {q \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ big (} (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ times {\ dot {{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}} {\ big)}} {c (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

\mathbf {E} (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big)}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}

B (r, t) = μ 0 4 π (qc (β s × ns) γ 2 (1 - ns ⋅ β s) 3 | r - rs | 2 + qns × (ns × (( ns - β s) × β s ˙)) (1 - ns ⋅ β s) 3 | r - rs |) tr = ns (tr) c × E (r, t) {\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left ({\ fra c {qc ({\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ times \ mathbf {n} _ {s})} {\ gamma ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2}}} + {\ frac {q \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ Big (} \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ big (} (\ mathbf {n}) _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ times {\ dot {{\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}} {\ big)} {\ Big)}} { (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {\ mathbf {n} _ {s} (t_ {r})} { c}} \ times \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}

\mathbf {B} (\mathbf {r},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times \mathbf {n} _{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\Big (}\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big)}{\Big)}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mathbf {n} _{s}(t_{r})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r},t)

где $β s (t) = vs (t) c {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t) = {\ frac {\ mathbf {v} _ {s} (t)} {c}}}$ ${\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {{\mathbf {v}}_{s}(t)}{c}}$ , $нс (t) = r - rs (t) | г - г с (т) | {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s} (t) = {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t)} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t) |}}}$ $\mathbf {n} _{s}(t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}$ и $γ (t) = 1 1 - | β s (t) | 2 {\ displaystyle \ gamma (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- | {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (t) | ^ {2}}}}}$ $\gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)|^{2}}}}$ (фактор Лоренца ).

Обратите внимание, что $ns - β s {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}$ $\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}$ часть первый член обновляет направление поля к мгновенному положению заряда, если он продолжает двигаться с постоянной скоростью $c β s {\ displaystyle c {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}}$ $c{\boldsymbol {\beta }}_{s}$ . Этот термин связан со «статической» электромагнитного поля заряда.

Второй член, связанный с электромагнитным излучением движущимся зарядом, требует ускорения заряда $β ˙ s {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} }$ ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}$ , и если это ноль, значение этого члена равно нулю, и заряд не излучает (испускает электромагнитное излучение). Этот термин также требует, чтобы компонент ускорения заряда находился в направлении поперечной линии, соединяющей заряд $q {\ displaystyle q}$ $q$ и наблюдателя поля $E (r, т) {\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}$ ${\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t)$ . Направление поля, связанного с этим излучающим, направляет в сторону полностью запаздывающего по времени положения заряда (то есть там, где был заряд, когда он ускорялся).

Вывод

$φ (r, t) {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t)}$ $\varphi (\mathbf {r},t)$ скаляр и $A ( r, t) {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t)}$ $\mathbf {A} (\mathbf {r},t)$ обеспечивают потенциалы удовлетворяют уравнению неоднородной электромагнитной волны, где источники выражаются с помощью плотности заряда и тока $ρ (р, t) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t)}$ $\rho ({\mathbf {r}},t)$ и $J (r, t) {\ displaystyle \ mathbf {J} ( \ mathbf {r}, t)}$ ${\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)$

∇ 2 φ + ∂ ∂ T (∇ ⋅ A) = - ρ ε 0, {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ over \ частичный t} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0}} \,,}

\nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot {\mathbf {A}}\right)=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,

и закон Ампера-Максвелла:

2 A - 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 - ∇ (1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A) = - μ 0 Дж. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \,.}

\nabla ^{2}{\mathbf {A}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}{\mathbf {A}} \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {A}}\right)=-\mu _{0}{\mathbf {J}}\,.

Имеют потенциалы не уникальны, но имеют калибровочную свободу, эти уравнения можно упростить с помощью фиксации калибровки. Обычным выбором является условие калибровки Лоренца :

1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A = 0 {\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

{1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {A}}=0

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по функциям:

∇ 2 φ - 1 c 2 ∂ 2 φ ∂ t 2 Знак равно - ρ ε 0, {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ varphi \ over \ partial t ^ {2}} = - {\ rho \ над \ varepsilon _ {0}} \,,}

\nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,

∇ 2 A - 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = - μ 0 J. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - { 1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \,.}

\nabla ^{2}{\mathbf {A}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}{\mathbf {A}} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}{\mathbf {J}}\,.

Обычно запаздывающие решения для скалярных и векторных потенциалов (единиц СИ) равны

φ (r, t) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ (r ′, tr ′) | г - г '| d 3 р '+ φ 0 (р, t) {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ', t_ {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}' + \ varphi _ {0} (\ mathbf {r}, t)}

\varphi (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\varphi _{0}(\mathbf {r},t)

A (r, t) = μ 0 4 π ∫ J (r ′, tr ′) | г - г '| d 3 r ′ + A 0 (r, t) {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int { \ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t_ {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}' + \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}, t)}

\mathbf {A} (\mathbf {r},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r},t)

где $tr ′ = t - 1 c | г - г '| {\ displaystyle t_ {r} '= t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}$ $t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|$ - время задержки, а $φ 0 (р, t) {\ displaystyle \ varphi _ {0} (\ mathbf {r}, t)}$ $\varphi _{0}(\mathbf {r},t)$ и $A 0 (r, t) {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}, t)}$ $\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r},t)$ удовлетворяют однородному волновому уравнению без источников и граничных условий. В случае отсутствия границ, окружающих источников, $φ 0 (r, t) = 0 {\ displaystyle \ varphi _ {0} (\ mathbf {r}, t) = 0}$ $\varphi _{0}(\mathbf {r},t)=0$ и $A 0 (r, t) = 0 {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {0} (\ mathbf {r}, t) = 0}$ $\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r},t)=0$ .

Для движущегося точечного заряда, траектория которого задана в зависимости от времени на $rs (t ') {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s} (t')}$ ${\mathbf {r}}_{s}(t')$ плотность заряда и тока следующие:

ρ (r ′, t ′) знак равно q δ 3 (r ′ - rs (t ′)) {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ', t') = q \ delta ^ {3} (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ {s} (t '))}

\rho(\mathbf{r}', t') = q \delta^3(\mathbf{r'} - \mathbf{r}_s(t'))

J (r', t ') = qvs (t') δ 3 (r '- rs (t')) {\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {r} ', t') = q \ mathbf {v} _ {s} (t ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t '))}

{\mathbf {J}}({\mathbf {r}}',t')=q{\mathbf {v}}_{s}(t')\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t'))

где $δ 3 {\ displaystyle \ delta ^ {3}}$ $\delta ^{3}$ - трехмерная дельта-функция Дирака и $vs (t ') {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {s} (t ')}$ ${\mathbf {v}}_{s}(t')$ - скорость точечного заряда.

Подстановка в выражения для возможности дает

φ (r, t) = 1 4 π ϵ 0 ∫ q δ 3 (r ′ - r s (t r ′)) | г - г '| d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int {\ frac {q \ delta ^ {3} (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r}'))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}'}

\varphi ({\mathbf {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {q\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t_{r}'))}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}d^{3}{\mathbf {r}}'

A (r, t) = μ 0 4 π ∫ qvs (tr ′) δ 3 ( r ′ - rs (tr ′)) | г - г '| d 3 r ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {q \ mathbf {v } _ {s} (t_ {r} ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t_ {r} '))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} d ^ {3} \ mathbf {r}'}

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {q{\mathbf {v}}_{s}(t_{r}')\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t_{r}'))}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}d^{3}{\mathbf {r}}'

Эти интегралы трудно вычислить в их нынешнем виде, поэтому мы перепишем их, заменив $tr ′ {\ displaystyle t_ {r} '}$ $t_{r}'$ с $t ′ {\ displaystyle t'}$ $t'$ и интегрированием по дельта-распределению $δ (t ′ - tr ′) {\ displaystyle \ delta (t'-t_ {r} ')}$ $\delta (t'-t_{r}')$ :

φ (r, t) = 1 4 π ϵ 0 ∬ q δ 3 (r ′ - rs (t ′)) | г - г '| δ (t ′ - tr ′) dt ′ d 3 r ′ {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iint { \ frac {q \ delta ^ {3} (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ {s} (t'))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ delta (t'-t_ {r}') \, dt '\, d ^ {3} \ mathbf {r}'}

\varphi ({\mathbf {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {q\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t'))}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}{\mathbf {r}}'

A ( r, t) = μ 0 4 π ∬ qvs (t ′) δ 3 (r ′ - rs (t ′)) | г - г '| δ (t ′ - tr ′) dt ′ d 3 r ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ iint {\ frac {q \ mathbf {v} _ {s} (t ') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t '))} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} \ delta (t'-t_ {r}') \, dt '\, d ^ {3} \ mathbf {r}'}

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {q{\mathbf {v}}_{s}(t')\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t'))}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}{\mathbf {r}}'

Мы обмениваемся порядок интегрирования:

φ (r, t) = 1 4 π ϵ 0 ∬ δ (t ′ - tr ′) | г - г '| q δ 3 (r ′ - rs (t ′)) d 3 r ′ dt ′ {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0} }} \ iint {\ frac {\ delta (t'-t_ {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} q \ delta ^ {3} (\ mathbf {r'} - \ mathbf {r} _ {s} (t ')) \, d ^ {3 } \ mathbf {r} 'dt'}

\varphi ({\mathbf {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}q\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t'))\,d^{3}{\mathbf {r}}'dt'

A (r, t) = μ 0 4 π ∬ δ (t ′ - tr ′) | г - г '| qvs (t ′) δ 3 (r ′ - rs (t ′)) d 3 r ′ dt ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0 }} {4 \ pi}} \ iint {\ frac {\ delta (t'-t_ {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} q \ mathbf {v} _ {s} (t') \ delta ^ {3} (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ { s} (t ')) \, d ^ {3} \ mathbf {r}' dt '}

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}'|}}q{\mathbf {v}}_{s}(t')\delta ^{3}({\mathbf {r'}}-{\mathbf {r}}_{s}(t'))\,d^{3}{\mathbf {r}}'dt'

Дельта-функция выбирает $r' = rs (t ') {\ displaystyle \ mathbf {r}' = \ mathbf {r} _ {s} (t ')}$ ${\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}_{s}(t')$ что позволяет нам легко выполнять внутреннюю интеграцию. Обратите внимание, что $tr ′ {\ displaystyle t_ {r} '}$ $t_{r}'$ является функцией $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r}'}$ $\mathbf {r} '$ , поэтому интеграция также исправляет $тр = тр (rs (t ′), t ′) {\ displaystyle t_ {r} = t_ {r} (\ mathbf {r} _ {s} (t '), t')}$ $t_{r}=t_{r}({\mathbf {r}}_{s}(t'),t')$ .

φ (r, t) = 1 4 π ϵ 0 ∫ q δ (t ′ - tr ′) | r - r s (t ′) | dt ′ {\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int q {\ frac {\ delta (t'-t_ { r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t ') |}} dt'}

\varphi ({\mathbf {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int q{\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{s}(t')|}}dt'

A (r, t) = μ 0 4 π ∫ qvs (t ′) Δ (t ′ - tr ′) | r - r s (t ′) | dt ′ {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int q \ mathbf {v} _ {s} ( t ') {\ frac {\ delta (t'-t_ {r}')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t ') |}} \, dt'}

{\mathbf {A}}({\mathbf {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int q{\mathbf {v}}_{s}(t'){\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{s}(t')|}}\,dt'

Время задержки $tr ′ {\ displaystyle t_ {r} '}$ $t_{r}'$ является функцией точки поля $(r, t) {\ displaystyle (\ mathbf {r}, t)}$ $({\mathbf {r}},t)$ и траектория источника $rs (t ′) {\ displaystyle \ mathbf { r} _ {s} (t ')}$ ${\mathbf {r}}_{s}(t')$ и, следовательно, зависит от $т ′ {\ displaystyle t'}$ $t'$ . Следовательно, для этого вычисления интеграла нам потребуется тождество

δ (f (t ′) = ∑ i δ (t ′ - t i) | f ′ (t i) | {\ Displaystyle \ дельта (е (т ')) = \ сумма _ {я} {\ гидроразрыва {\ дельта (т'-т_ {я})} {| е '(т_ {я}) |}}}

\delta (f(t'))=\sum _{i}{\frac {\delta (t'-t_{i})}{|f'(t_{i})|}}

, где каждый $ti {\ displaystyle t_ {i}}$ $t_{i}$ является нулем $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Время существует только одно запаздывающее время $tr {\ displaystyle t_ {r}}$ $t_{r}$ для любых заданных пространственно-временных временных координат $(r, t) {\ displaystyle (\ mathbf {r}, t)}$ $({\mathbf {r}},t)$ и траектория источника $rs (t ′) {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s} (t ')}$ ${\mathbf {r}}_{s}(t')$ , это сокращается до:

δ (t ′ - tr ′) = δ (t ′ - tr) ∂ ∂ t ′ (t ′ - tr ′) | t ′ = t r = δ (t ′ - t r) ∂ ∂ t ′ (t ′ - (t - 1 c | r - r s (t ′) |)) | t ′ = t r = δ (t ′ - t r) 1 + 1 c (r - r s (t ′)) / | r - r s (t ′) | ⋅ (- v s (t ′)) | t ′ = t r = δ (t ′ - t r) 1 - β s ⋅ (r - r s) / | г - р с | {\ displaystyle {\ begin {align} \ delta (t'-t_ {r} ') = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {{\ frac {\ partial} {\ partial t '}} (t'-t_ {r}') | _ {t '= t_ {r}}}} = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {{\ frac {\ partial} {\ partial t'}} (t '- ( t - {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t ') |)) | _ {t '= t_ {r}}}} \\ = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {1 + {\ frac {1} {c}} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} _ {s} (t ')) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} (t ') | \ cdot (- \ mathbf {v} _ {s} (t ')) | _ {t '= t_ {r}}}} \\ = {\ frac {\ delta (t'-t_ {r})} {1 - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ cdot ( \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ end {выравнивается}}}

{\begin{aligned}\delta (t'-t_{r}')={\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-t_{r}')|_{t'=t_{r}}}}={\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-(t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|))|_{t'=t_{r}}}}\\={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1+{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t'))/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))|_{t'=t_{r}}}}\\={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\end{aligned}}

где $β s = vs / c {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} = \ mathbf {v} _ {s} / c}$ ${\boldsymbol {\beta }}_{s}={\mathbf {v}}_{s}/c$ и $rs {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}}$ ${\mathbf {r}}_{s}$ оцениваются в запаздывающее время, и мы использовали идентификатор $| х | 'Знак равно x ^ ⋅ v {\ displaystyle | \ mathbf {x} | '= {\ hat {\ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {v}}$ $|{\mathbf {x}}|'={\hat {{\mathbf {x}}}}\cdot {\mathbf {v}}$ . Наконец, дельта-функция выбирает $t ′ = tr {\ displaystyle t '= t_ {r}}$ $t'=t_{r}$ и

φ (r, t) = 1 4 π ϵ 0 (q | r - rs | (1 - β s ⋅ (r - rs) / | r - rs |)) тр = 1 4 π ϵ 0 (q (1 - ns ⋅ β s) | r - rs |) тр {\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r } _ {s} | (1 - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |)}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {q} { (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

\varphi (\mathbf {r},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}

A (r, t) = μ 0 4 π (qv | r - rs | (1 - β s ⋅ (r - rs) / | r - rs |)) tr знак равно μ 0 с 4 π (Q β s (1 - ns ⋅ β s) | r - rs |) тр {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ { 0}} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {q \ mathbf {v}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (1 - {\ boldsymbol {\ бета) }} _ {s} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s}) / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |)}} \ right) _ {t_ {r}} = {\ frac {\ mu _ {0} c} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {q {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}} {(1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} |}} \ right) _ {t_ {r}}}

\mathbf {A} (\mathbf {r},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {v} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}

, которые являются частями Льенара - Вихерта.

датчик Лоренца, электрические и магнитные поля

Для вычислений производных от $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\varphi$ и $A {\ displaystyle \ mathbf { A}}$ $\mathbf {A}$ удобно сначала вычислить производные запаздывающего времени. Взяв производные от обеих частей определяющего уравнения (помня, что $rs = rs (tr) {\ displaystyle \ mathbf {r_ {s}} = \ mathbf {r_ {s}} (t_ {r})}$ ${\mathbf {r_{s}}}={\mathbf {r_{s}}}(t_{r})$ ):

tr + 1 c | г - р с | = т {\ displaystyle t_ {r} + {\ frac {1} {c}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | = t}

t_{r}+{\frac {1}{c}}|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{s}}}|=t

Дифференцирование по t,

dtrdt + 1 cdtrdtd | г - р с | dtr = 1 {\ displaystyle {\ frac {dt_ {r}} {dt}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {dt_ {r}} {dt}} {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} = 1}

{\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{s}}}|}{dt_{r}}}=1

dtrdt (1 - ns ⋅ β s) = 1 {\ displaystyle {\ frac {dt_ {r) })} {dt}} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) = 1}

{\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=1

dtrdt = 1 (1 - ns ⋅ β s) {\ displaystyle {\ frac {dt_ {r}} {dt}} = {\ frac {1} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta})} _ {s} \ right)}}}

{\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}

Аналогично, взяв градиент относительно $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\mathbf {r}$ , получаем

∇ tr + 1 c ∇ | г - р с | Знак равно 0 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} + {\ frac {1} {c}} {\ boldsymbol {\ nabla}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | = 0}

{{\boldsymbol \nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{{\boldsymbol \nabla }}|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{s}}}|=0

∇ тр + 1 с (∇ trd | r - rs | dtr + ns) = 0 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} + {\ frac {1} {c} } \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} + \ mathbf {n } _ {s} \ right) = 0}

{\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}\right)=0

∇ tr (1 - ns ⋅ β s) = - ns / c {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} \ left (1 - \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) = - \ mathbf {n} _ {s} / c}

{\boldsymbol {\nabla }}t_{r}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=-\mathbf {n} _{s}/c

∇ tr = - ns / с ( 1 - нс ⋅ β s) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} = - {\ frac {\ mathbf {n} _ {s} / c} {\ left (1- \ mathbf {n } _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ bet a}} _ {s} \ right)}}}

{\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {n} _{s}/c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}

Отсюда следует, что

d | г - р с | д т = д т р д т д | г - р с | dtr знак равно - нс ⋅ β сбн (1 - нс ⋅ β s) {\ displaystyle {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt}} = {\ frac {dt_ {r}} {dt}} {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} = {\ frac {- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ { s} c} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right)}}}

{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}

∇ | г - р с | = ∇ т р д | г - р с | dtr + ns = ns (1 - ns ⋅ β s) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | = {\ boldsymbol {\ nabla}} t_ {r} {\ frac {d | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} |} {dt_ {r}}} + \ mathbf {n} _ {s} = {\ frac {\ mathbf {n} _ {s}} {\ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right)}}}

{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {n} _{s}}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}

Их можно использовать в вычисляемые производные возможности и получить следующие выражения:

d φ dt = - q 4 π ϵ 0 1 | г - р с | 2 (1 - ns ⋅ β s) 2 ddt [(| r - rs | (1 - ns ⋅ β s)] = - q 4 π ϵ 0 1 | r - rs | 2 (1 - ns ⋅ β s) 2 ddt [| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s] = - qc 4 π ϵ 0 1 | r - rs | 2 (1 - ns ⋅ β s) 3 [- ns ⋅ β s + β s 2 - (г - рс) ⋅ β ˙ s / c] {\ displaystyle {\ begin {выровнено} {\ frac {d \ varphi} {dt}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ полужирный символ {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} \ left [(| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ right] \\ = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0 }}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol { \ beta}} _ {s} \ right) ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} \ left [| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right] \\ = - {\ frac {qc} {4 \ pi \ epsilon _ {0 }}} {\ г идроразрыв {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ бета}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ left [- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} + {\ beta _ {s}} ^ {2} - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}

∇ ⋅ A = - q 4 π ϵ 0 c 1 | г - р с | 2 (1 - с ⋅ β s) 2 (∇ [(| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s)] ⋅ β s - [(| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s)))] ∇ ⋅ β s) = - q 4 π ϵ 0 c 1 | г - р с | 2 (1 - ns ⋅ β s) 3 ⋅ [(ns ⋅ β s) - β s 2 (1 - ns ⋅ β s) - β s 2 ns ⋅ β s + ((r - rs) ⋅ β ˙ s / c) (ns ⋅ β s) + (| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s) (ns ⋅ β ˙ s / c)] = q 4 π ϵ 0 c 1 | г - р с | 2 (1 - нс ⋅ β s) 3 [β s 2 - нс ⋅ β s - (г - рс) ⋅ β ˙ s / c] {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {2}}} {\ big (} {\ boldsymbol { \ nabla}} \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) \ right] \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) \ right] {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} \\ = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ cdot \\ \ left [( \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - {\ beta} _ {s} ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - {\ beta} _ {s} ^ {2} \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} + \ left ((\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right) (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) + {\ big (} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) \ right] \\ = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ left [\ beta _ {s} ^ {2} - \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big)}\\=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\\left[(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big)}(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\beta _{s}^{2}-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}

Они показывают, что калибровка Лоренца удовлетворяет требованиям, а именно, что $d φ dt + c 2 ∇ ⋅ A = 0 {\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {dt}} + c ^ {2} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A} = 0}$ ${\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{{\boldsymbol \nabla }}\cdot {\mathbf {A}}=0$ .

Аналогично вычисляется:

∇ φ = - q 4 π ϵ 0 1 | г - р с | 2 (1 - ns ⋅ β s) 3 [ns (1 - β s 2 + (r - rs) ⋅ β ˙ s / c) - β s (1 - ns ⋅ β s)] {\ displaystyle {\ boldsymbol { \ nabla}} \ varphi = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ left [\ mathbf {n} _ {s} \ left (1 - {\ beta _ {s}} ^ {2} + (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}} } _ {s} / c \ right) - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) \ right]}

{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]

d A dt = q 4 π ϵ 0 1 | г - р с | 2 (1 - n s ⋅ β s) 3 [β s (n s ⋅ β s - β s 2 + (r - r s) ⋅ β ˙ s / c) + | г - р с | β ˙ s (1 - нс ⋅ β s) / c] {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {A}} {dt}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}} } {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ left [{\ boldsymbol {\ beta }} _ {s} \ left (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} - {\ beta _ {s}} ^ {2} + (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) / c \ right]}

{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]

Отметить, что для любых векторов $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\mathbf {u}$ , $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\mathbf {v}$ , $w {\ displaystyle \ mathbf {w}}$ $\mathbf {w}$ :

U × (v × вес) знак равно (U ⋅ вес) v - (U ⋅ v) вес {\ displaystyle \ mathbf {u} \ times (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}) = (\ mathbf { u} \ cdot \ mathbf {w}) \ mathbf {v} - (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {w}}

{\mathbf {u}}\times ({\mathbf {v}}\times {\mathbf {w}})=({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {w}}){\mathbf {v}}-({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {w}}

Выражение для электрического поля, указанного выше, принимает вид

E (r, t) = q 4 π ϵ 0 1 | г - р с | 2 (1 - n s ⋅ β s) 3 ⋅ [(n s - β s) (1 - β s 2) + | г - р с | (n s ⋅ β ˙ s / c) (n s - β s) - | г - р с | (ns ⋅ (ns - β s)) β ˙ s / c] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3}}} \ cdot \\ \ left [\ left (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) (1 - {\ beta _ {s}} ^ {2}) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | {\ big (} \ mathbf {n} _ {s} \ cdot (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) {\ big)} {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r},t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big)}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}

что легко увидеть как равное $- ∇ φ - d A dt {\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ набла}} \ varphi - {\ frac {d \ mathbf {A}} {dt}}}$ $-{{\boldsymbol \nabla }}\varphi -{\frac {d{\mathbf {A}}}{dt}}$

Аналогично $∇ × A {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A} }$ ${{\boldsymbol \nabla }}\times {\mathbf {A}}$ дает указанное выше магнитного поля:

B = ∇ × A = - q 4 π ϵ 0 c 1 | г - р с | 2 (1 - с ⋅ β s) 2 (∇ [(| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s)] × β s - [(| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s)))] ∇ × β s) = - q 4 π ϵ 0 c 1 | г - р с | 2 (1 - нс ⋅ β s) 3 ⋅ [(нс × β s) - (β s × β s) (1 - нс ⋅ β s) - β s 2 нс × β s + ((r - rs) ⋅ β ˙ s / c) (ns × β s) + (| r - rs | - (r - rs) ⋅ β s) (ns × β ˙ s / c)] = - q 4 π ϵ 0 c 1 | г - р с | 2 (1 - n s ⋅ β s) 3 ⋅ [(n s × β s) (1 - β s 2) + | г - р с | (n s ⋅ β ˙ s / c) (n s × β s) + | г - р с | (ns ⋅ (ns - β s)) ns × β ˙ s / c] = nsc × E {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathbf {B}} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ раз \ mathbf {A} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {2}}} {\ big (} {\ boldsymbol { \ набла}} \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta)}} _ {s} \ right) \ right] \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} - \ left [\ left (| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) \ right] {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} \\ = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c}} {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | ^ {2} \ left (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) ^ {3}}} \ cdot \\ \ left [( \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - ({\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ { s}) (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) - {\ be ta} _ {s} ^ {2} \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} + \ left ((\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}} } _ {s} / c \ right) (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) + {\ big (} | \ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}} | - (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {s}}) \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} {\ big)} (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) \ right] \\ = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c} } {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | ^ {2} (1- \ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) ^ {3}}} \ cdot \\ \ left [\ left (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s} \ right) (1 - {\ beta _ {s}} ^ {2}) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | (\ mathbf {n} _ {s} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c) (\ mathbf {n} _ {s} \ times {\ boldsymbol {\ beta} } _ {s}) + | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {s} | {\ big (} \ mathbf {n} _ {s} \ cdot (\ mathbf {n} _ {s} - {\ boldsymbol {\ beta}} _ {s}) {\ big)} \ mathbf {n} _ {s} \ times {\ dot {\ boldsymbol {\ beta}}} _ {s} / c \ right] = {\ frac {\ mathbf {n} _ {s}} {c}} \ times \ mathbf {E} \ end {выровнено}}

{\begin{aligned}{\mathbf {B} }={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big)}\\=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\\left[(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})-({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}})\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big)}(\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\\left[\left(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big)}\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]={\frac {\mathbf {n} _{s}}{c}}\times \mathbf {E} \end{aligned}}

Исходные термины $rs {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {s}}$ ${\mathbf {r}}_{s}$ , $ns {\ displaystyle \ mathbf {n} _ {s}}$ $\mathbf {n} _{s}$ и $β s {\ displaystyle \ mathbf {\ beta} _ {s}}$ $\mathbf {\beta } _{s}$ должны оцениваться в запаздывающее время.

Последствия

Изучение классической электродинамики сыграло важную роль в Альберте Эйнштейне в развитии теории относительности. Анализ движения и распространения электромагнитных волн привел к специальной теории относительности к пространству и времени. Формулировка Льенара - Вихерта является стартовой площадкой для более глубокого анализа релятивистских движущихся частиц.

Описание Льенара - Вихерта является точным для большой, независимо движущейся части (есть лечение «классическим», и ускорение заряда происходит из-за силы, не зависящей от электромагнитного поля). Формулировка Льенара - Вихерта всегда дает два набора решений: расширенные поляются зарядами, а запаздывающие поля испускаются. Шварцшильд и Фоккер рассмотрели расширенное поле системы движущихся зарядов и запаздывающее поле системы зарядов, одинаковую геометрию и противоположные заряды. Линейность уравнений Максвелла в вакууме позволяет добавить обе системы, так что заряды исчезнут: этот трюк позволяет уравнениям Максвелла стать линейными по материи. Умножение электрических параметров обеих задач на произвольные действительные константы дает когерентное взаимодействие света с веществом, которое обобщает теорию Эйнштейна, которая сейчас считается основополагающей теорией лазеров: нет необходимости изучать большой набор идентичных молекул, чтобы получить когерентное усиление в режим, полученный произвольным умножением опережающего и запаздывающего полей. Для вычисления энергии необходимо использовать абсолютные поля, которые включают поле нулевой точки; в противном случае появляется ошибка, например, при подсчете фотонов.

Важно принимать во внимание поле нулевой точки, обнаруженное Планком. Он заменяет коэффициент Эйнштейна «А» и объясняет, что классический электрон устойчив на классических орбитах Ридберга. Более того, введение флуктуаций поля нулевой точки приводит к поправке Уиллиса Э. Лэмба уровней атома H.

Квантовая электродинамика помогла объединить радиационное поведение с квантовыми ограничениями. Он вводит квантование нормальных мод электромагнитного поля в предполагаемых совершенных оптических резонаторах.

Универсальный предел скорости

Сила, действующая на частицу в заданном месте r и время t, сложным образом зависит от положения исходных частиц в более ранний момент времени t r из-за конечной скорости c, с которой распространяется электромагнитная информация. Частица на Земле «видит» ускорение заряженной частицы на Луне, как это ускорение произошло 1,5 секунды назад, и ускорение заряженной частицы на Солнце, как это произошло 500 секунд назад. Это более раннее время, когда происходит событие, так что частица в местоположении r «видит» это событие в более позднее время t, называется запаздывающим временем, t r. Время задержки зависит от положения; например, время задержки на Луне на 1,5 секунды раньше текущего времени, а время задержки на Солнце на 500 секунд раньше текущего времени на Земле. Время задержки t r=tr(r, t) неявно определяется как

tr = t - R (tr) c {\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {R (t_ {r})} {c }}}

t_{r}=t-{\frac {R(t_{r})}{c}}

где $R (tr) {\ displaystyle R (t_ {r})}$ $R(t_{r})$ - расстояние частицы от источника в запаздывающий момент времени. Только эффекты электромагнитных волн полностью зависят от запаздывающего времени.

Новую особенность потенциала Льенара – Вихерта можно увидеть в разделении его членов на два типа полевых членов (см. Ниже), только один из которых полностью зависит от запаздывающего времени. Первым из них является статическое электрическое (или магнитное) поле, которое зависит только от расстояния до движущегося заряда и совсем не зависит от запаздывающего времени, если скорость источника постоянна. Другой термин - динамический, поскольку он требует, чтобы движущийся заряд ускорялся с компонентом, перпендикулярным линии, соединяющей заряд и наблюдателя, и не появлялся, если не источник меняет скорость. Этот второй член связан с электромагнитным излучением.

Первый член представлен ближнего поля от заряда, его направление в пространстве обновляется с помощью члена, который корректирует любое движение заряда со скоростью в его удаленном статическом поле, так что удаленное статическое поле появляется на расстоянии от заряда с noаберрацией света или коррекцией светового времени. Этот член, который корректирует задержку по времени в направлении статического поля, требуется в соответствии с лоренц-инвариантностью. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, должен казаться удаленному наблюдателю точно так же, как статический заряд движущемуся наблюдателю, в последнем направлении направлении должно происходить мгновенно, без задержки по времени. Таким образом, статические поля (первый член) указывают на истинное мгновенное (не запаздывающее) положение заряженного объекта, если его скорость не изменилась за время задержки. Это верно на любом расстоянии, разделяющем объекты.

Второй член, однако, который содержит информацию об ускорении и другом уникальном состоянии заряда, которое не может быть удалено путем изменения системы координат Лоренца (инерциальной системы отсчета наблюдателя), полностью зависит от направления на запаздывающее положение источника. Таким образом, электромагнитное излучение (описываемое вторым термином) всегда кажется исходящим из направления положения излучающего заряда в запаздывающий момент . Только этот второй член передает информацию о поведении заряда, происходит (излучается зарядом) со скоростью света. На «дальних» расстояниях (длиннее нескольких волн излучения) зависимость этого члена от 1 / R делает эффекты электромагнитного поля (значение члена поля) более мощными, чем эффекты «статического» поля, которые описываются 1 / R (статического) члена и, следовательно, быстрее затухают с удалением от заряда.

Существование и уникальность запаздывающего времени

Существование

Как правило, существование запаздывающего времени не гарантируется. Например, если в данной системе отсчета электрон только что был создан,