Тензор Эйнштейна

редактировать

Тензор, используемый в общей теории относительности

В дифференциальной геометрии, тензор Эйнштейна (названный в честь Альберта Эйнштейна ; также известный как обращенный по следу тензор Риччи ) используется для выражения кривизны псевдориманова многообразия. В общей теории относительности он встречается в уравнениях поля Эйнштейна для гравитации, которые описывают кривизну пространства-времени таким образом, который согласуется с сохранением энергия и импульс.

Содержание

1 Определение
2 Явная форма
3 Трассировка
4 Использование в общей теории относительности
5 Уникальность
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Определение

Тензор Эйнштейна $G {\ displaystyle \ mathbf {G}}$ $\ mathbf {G}$ - это тензор порядка 2, определенный над псевдо- Римановы многообразия. В нем он определяется как

G = R - 1 2 g R, {\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {R} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {g} R,}

\ mathbf {G} = \ mathbf {R} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {g} R,

где $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ - это тензор Риччи, $g {\ displaystyle \ mathbf {g}}$ $\ mathbf {g}$ - это метрический тензор, а $R {\ displaystyle R}$ $R$ - скалярная кривизна. В компонентной форме предыдущее уравнение читается как

G μ ν = R μ ν - 1 2 g μ ν R. {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R.}

G_ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} R.

Тензор Эйнштейна симметричен

G μ ν = G ν μ {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = G _ {\ nu \ mu}}

G _ {\ mu \ nu} = G _ {\ nu \ mu}

и, как и на оболочке тензор энергии-напряжения, бездивергентный

μ G μ ν = 0. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} G ^ {\ mu \ nu} = 0 \,.}

\ nabla _ {\ mu} G ^ {\ mu \ nu} = 0 \,.

Явная форма

Тензор Риччи зависит только от метрического тензора, поэтому тензор Эйнштейна может быть определенным непосредственно с помощью только метрического тензора. Однако это выражение сложно и редко цитируется в учебниках. Сложность этого выражения можно показать с помощью формулы для тензора Риччи в терминах символов Кристоффеля :

G α β = R α β - 1 2 g α β R = R α β - 1 2 g α β g γ ζ R γ ζ = (δ α γ δ β ζ - 1 2 g α β g γ ζ) R γ ζ = (δ α γ δ β ζ - 1 2 g α β g γ ζ) (Γ ϵ γ ζ, - Γ ϵ γ ϵ, ζ + Γ ϵ σ Γ σ γ ζ - Γ ζ σ Γ σ ϵ γ), G α β = (g α γ g β ζ - 1 2 g α β g γ ζ) (Γ ϵ γ ζ, ϵ - Γ ϵ γ ϵ, ζ + Γ ϵ ϵ σ Γ σ γ ζ - Γ ϵ ζ σ Γ σ ϵ γ), {\ displaystyle {\ begin {align} G _ {\ alpha \ beta} = R _ {\ alpha \ beta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} R \\ = R _ {\ alpha \ beta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta} R _ {\ gamma \ zeta} \\ = (\ delta _ {\ alpha} ^ {\ gamma} \ delta _ {\ beta} ^ {\ zeta } - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta}) R _ {\ gamma \ zeta} \\ = (\ delta _ {\ alpha} ^ {\ гамма} \ delta _ {\ beta} ^ {\ zeta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta}) (\ Gamma ^ {\ epsilon} { } _ {\ gamma \ zeta, \ epsilon} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ epsilon, \ zeta} + \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ epsilon \ sigma} \ Ga mma ^ {\ sigma} {} _ {\ gamma \ zeta} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ zeta \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ epsilon \ gamma}), \\ G ^ {\ alpha \ beta} = (g ^ {\ alpha \ gamma} g ^ {\ beta \ zeta} - {\ frac {1} {2}} g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta}) (\ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ zeta, \ epsilon} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ epsilon, \ zeta} + \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ epsilon \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ gamma \ zeta} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ zeta \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ epsilon \ gamma}), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} G _ {\ alpha \ beta} = R _ {\ alpha \ beta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} R \\ = R _ {\ alpha \ beta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta} R _ {\ gamma \ zeta} \\ = (\ delta _ {\ alpha} ^ {\ gamma} \ delta _ {\ beta} ^ {\ zeta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta}) R _ {\ gamma \ zeta} \\ = ( \ delta _ {\ alpha} ^ {\ gamma} \ delta _ {\ beta} ^ {\ zeta} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta}) (\ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ zeta, \ epsilon} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ epsilon, \ zeta} + \ Gamma ^ {\ epsilon} { } _ {\ epsilon \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ gamma \ zeta} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ zeta \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ epsilon \ gamma}), \\ G ^ {\ alpha \ beta} = (g ^ {\ alpha \ gamma} g ^ {\ beta \ zeta} - {\ frac {1} {2}} g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ gamma \ zeta}) (\ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ zeta, \ epsilon} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ gamma \ epsilon, \ zeta} + \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ epsilon \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ gamma \ zeta} - \ Gamma ^ {\ epsilon} {} _ {\ zeta \ sigma} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ epsilon \ gamma}), \ end {align}}}

где $δ β α {\ displaystyle \ delta _ {\ beta} ^ {\ alpha}}$ $\ delta _ {\ beta} ^ {\ альфа}$ - тензор Кронекера и символ Кристоффеля $Γ α β γ {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}$ определяется как

Γ α β γ = 1 2 g α ϵ (g β ϵ, γ + g γ ϵ, β - g β γ, ϵ). {\ displaystyle \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = {\ frac {1} {2}} g ^ {\ alpha \ epsilon} (g _ {\ beta \ epsilon, \ gamma} + g _ {\ gamma \ epsilon, \ beta} -g _ {\ beta \ gamma, \ epsilon}).}

{\ displaystyle \ Gamma ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = { \ frac {1} {2}} g ^ {\ alpha \ epsilon} (g _ {\ beta \ epsilon, \ gamma} + g _ {\ gamma \ epsilon, \ beta} -g _ {\ beta \ gamma, \ epsilon}).}

До отмены эта формула дает $2 × (6 + 6 + 9 + 9) = 60 {\ displaystyle 2 \ times (6 + 6 + 9 + 9) = 60}$ $2 \ times (6 + 6 + 9 + 9) = 60$ отдельных терминов. Отмена несколько снижает это число.

В частном случае локальной инерциальной системы отсчета рядом с точкой первые производные метрического тензора обращаются в нуль, и компонентная форма тензора Эйнштейна значительно упрощается:

G α β = g γ μ [g γ [β, μ] α + g α [μ, β] γ - 1 2 g α β g σ (g ϵ [μ, σ] γ + g γ [σ, μ]) ϵ)] знак равно г γ μ (δ α ϵ δ β σ - 1 2 г ϵ σ g α β) (г ϵ [μ, σ] γ + g γ [σ, μ] ϵ), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} G _ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ gamma \ mu} {\ bigl [} g _ {\ gamma [\ beta, \ mu] \ alpha} + g _ {\ alpha [\ mu, \ beta ] \ gamma} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ epsilon \ sigma} (g _ {\ epsilon [\ mu, \ sigma] \ gamma} + g _ {\ gamma [\ sigma, \ mu] \ epsilon}) {\ bigr]} \\ = g ^ {\ gamma \ mu} (\ delta _ {\ alpha} ^ {\ epsilon} \ delta _ {\ beta} ^ { \ sigma} - {\ frac {1} {2}} g ^ {\ epsilon \ sigma} g _ {\ alpha \ beta}) (g _ {\ epsilon [\ mu, \ sigma] \ gamma} + g _ {\ gamma [\ sigma, \ mu] \ epsilon}), \ end {align}}}

{\ begin {align} G _ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ gamma \ mu} {\ bigl [} g _ {\ gamma [\ beta, \ mu] \ alpha} + g _ {\ alpha [\ mu, \ beta] \ gamma} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ alpha \ beta} g ^ {\ epsilon \ sigma} (g _ {\ epsilon [\ mu, \ sigma] \ gamma} + g _ {\ gamma [\ sigma, \ mu] \ epsilon}) {\ bigr]} \\ = g ^ {\ gamma \ mu} (\ delta _ {\ alpha} ^ {\ epsilon} \ delta _ {\ beta} ^ {\ sigma} - {\ frac {1} { 2}} g ^ {\ epsilon \ sigma} g _ {\ alpha \ beta}) (g _ {\ epsilon [\ mu, \ sigma] \ gamma} + g _ {\ gamma [\ sigma, \ mu] \ epsilon}), \ end {align}}

где квадратные скобки обычно обозначают антисимметризацию по индексам в скобках, т. е.

g α [β, γ] ϵ = 1 2 (g α β, γ ϵ - g α γ, β ϵ). {\ displaystyle g _ {\ alpha [\ beta, \ gamma] \ epsilon} \, = {\ frac {1} {2}} (g _ {\ alpha \ beta, \ gamma \ epsilon} -g _ {\ alpha \ gamma, \ beta \ epsilon}).}

g _ {\ alpha [\ beta, \ gamma] \ epsilon} \, = {\ frac {1} {2}} (g _ {\ alpha \ beta, \ gamma \ epsilon} -g _ {\ alpha \ gamma, \ beta \ epsilon}).

След

след тензора Эйнштейна можно вычислить, сжав уравнение в определении с метрическим тензором $g μ ν {\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ $g ^ {\ mu \ nu}$ . В $n {\ displaystyle n}$ $n$ размеры (произвольной подписи):

g μ ν G μ ν = g μ ν R μ ν - 1 2 g μ ν g μ ν RG = R - 1 2 (N R) G = 2 - N 2 R {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} g ^ {\ mu \ nu} G _ {\ mu \ nu} = g ^ {\ mu \ nu} R_ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ mu \ nu} R \\ G = R- {1 \ over 2} (nR) \\ G = {{ 2-n} \ over 2} R \ end {align}}}

{\ begin {align} g ^ { \ mu \ nu} G _ {\ mu \ nu} = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ mu \ nu } R \\ G = R- {1 \ более 2} (nR) \\ G = {{2-n} \ over 2} R \ end {align}}

Следовательно, в частном случае n = 4 измерения $G = - R {\ displaystyle G \ = -R}$ ${\ displaystyle G \ = -R}$ . Таким образом, след тензора Эйнштейна является отрицательным значением следа тензора Риччи . Таким образом, другое название тензора Эйнштейна - тензор Риччи с обращенным следом. Этот $n = 4 {\ displaystyle n = 4}$ $n=4$ случай особенно актуален в общей теории относительности.

Использование в общей теории относительности

Тензор Эйнштейна позволяет уравнения поля Эйнштейна должны быть записаны в краткой форме:

G μ ν + Λ g μ ν = κ T μ ν, {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ { \ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}

{\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ { \ mu \ nu} = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}

где $Λ {\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ - космологическая постоянная и $κ {\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ - это гравитационная постоянная Эйнштейна.

Из явной формы тензора Эйнштейна тензор Эйнштейна является нелинейным функция метрического тензора, но линейна по вторым частным производным метрики. Как симметричный тензор второго порядка, тензор Эйнштейна имеет 10 независимых компонент в 4-мерном пространстве. Отсюда следует, что уравнения поля Эйнштейна представляют собой набор из 10 квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для метрического тензора.

сокращенные тождества Бьянки также легко можно выразить с помощью тензора Эйнштейна:

∇ μ G μ ν = 0. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} G ^ {\ mu \ nu} = 0.}

\ nabla _ {\ mu} G ^ {\ mu \ nu} = 0.

(сжатые) тождества Бианки автоматически обеспечивают ковариантное сохранение тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени:

∇ μ T μ ν = 0. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0.}

\ nabla _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0.

Физическое значение тензора Эйнштейна подчеркивается этим тождеством. В терминах тензора уплотненного напряжения, сжатого на векторе Киллинга $ξ μ {\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$ $\ xi ^ {\ mu}$ , выполняется обычный закон сохранения:

∂ μ (- г T μ ν ξ ν) знак равно 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} ({\ sqrt {-g}} T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ xi ^ {\ nu}) = 0}

\ partial _ {\ mu} ({\ sqrt {-g}} T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ xi ^ {\ nu}) = 0

Уникальность

Дэвид Лавлок показал, что в четырехмерном дифференцируемом многообразии тензор Эйнштейна является единственным тензорным и функция без расходимости от $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ и не более чем их первой и второй частных производных.

Однако уравнение поля Эйнштейна - не единственное уравнение, которое удовлетворяет трем условиям:

похожее, но обобщает гравитационное уравнение Ньютона – Пуассона
применяется ко всем системам координат, и
Гарантировать локальное ковариантное сохранение энергии-импульса для любого метрического тензора.

Было предложено много альтернативных теорий, таких как теория Эйнштейна – Картана, th at также удовлетворяют указанным выше условиям.

См. Также

Физический портал

Примечания

Ссылки

Оганян, Ханс С.; Ремо Руффини (1994). Гравитация и пространство-время (второе изд.). В. W. Norton Company. ISBN 978-0-393-96501-8.
Мартин, Джон Легат (1995). Общая теория относительности: первый курс для физиков. Международная серия Prentice Hall по физике и прикладной физике (пересмотренная редакция). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-291196-2.