Скалярная кривизна

редактировать

Константа в общей теории относительности

В римановой геометрии скалярная кривизна (или скаляр Риччи ) является простейшим инвариантом кривизны риманова многообразия. Каждой точке на римановом многообразии он присваивает единственное действительное число, определяемое внутренней геометрией многообразия около этой точки. В частности, скалярная кривизна представляет собой величину, на которую объем небольшого геодезического шара в римановом многообразии отклоняется от объема стандартного шара в евклидовом пространстве. В двух измерениях скалярная кривизна вдвое больше гауссовой кривизны и полностью характеризует кривизну поверхности. Однако в более чем двух измерениях кривизна римановых многообразий включает более одной функционально независимой величины.

В общей теории относительности скалярная кривизна - это плотность лагранжиана для действия Эйнштейна – Гильберта. Уравнения Эйлера – Лагранжа для этого лагранжиана при вариациях метрики составляют вакуум уравнения поля Эйнштейна, а стационарные метрики известны как метрики Эйнштейна. Скалярная кривизна n-многообразия определяется как след тензора Риччи, и ее можно определить как n (n - 1), умноженное на среднее значение секционной кривизны при точка.

На первый взгляд, скалярная кривизна в размерности не менее 3 кажется слабым инвариантом, мало влияющим на глобальную геометрию многообразия, но на самом деле некоторые глубокие теоремы показывают силу скалярной кривизны. Одним из таких результатов является теорема о положительной массе из Шена, Яу и Виттена. Связанные результаты дают почти полное представление о том, какие многообразия имеют риманову метрику с положительной скалярной кривизной.

Содержание

1 Определение
2 Прямая геометрическая интерпретация
3 Особые случаи
- 3.1 Поверхности
- 3.2 Пространственные формы
- 3.3 Продукты
4 Традиционные обозначения
5 Задача Ямабе
6 Положительная скалярная кривизна
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки

Определение

Скалярная кривизна S (обычно также R, или Sc ) определяется как след тензора кривизны Риччи относительно метрики :

S = tr g ⁡ Ric. {\ displaystyle S = \ operatorname {tr} _ {g} \ operatorname {Ric}.}

{\ displaystyle S = \ operatorname {tr} _ {g} \ operatorname {Ric}.}

Трасса зависит от метрики, поскольку тензор Риччи является (0,2) -валентным тензором; сначала нужно поднять индекс, чтобы получить (1,1) -валентный тензор, чтобы взять след. В терминах локальных координат можно написать

S = gij R ij = R jj {\ displaystyle S = g ^ {ij} R_ {ij} = R_ {j} ^ {j}}

S = g ^ {ij} R_ {ij} = R ^ j_j

, где R ij - компоненты тензора Риччи в координатном базисе:

Ric = R ijdxi ⊗ dxj. {\ displaystyle \ operatorname {Ric} = R_ {ij} \, dx ^ {i} \ otimes dx ^ {j}.}

\ ope ratorname {Ric} = R_ {ij} \, dx ^ i \ otimes dx ^ j.

Учитывая систему координат и метрический тензор, скалярная кривизна может быть выражена следующим образом:

S знак равно gab (Γ cab, c - Γ cac, b + Γ dab Γ ccd - Γ dac Γ cbd) = 2 gab (Γ ca [b, c] + Γ da [b Γ cc] d) {\ displaystyle S = g ^ {ab} \ left ({\ Gamma ^ {c}} _ {ab, c} - {\ Gamma ^ {c}} _ {ac, b} + {\ Gamma ^ {d}} _ { ab} {\ Gamma ^ {c}} _ {cd} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ac} {\ Gamma ^ {c}} _ {bd} \ right) = 2g ^ {ab} \ left ({\ Gamma ^ {c}} _ {a [b, c]} + {\ Gamma ^ {d}} _ {a [b} {\ Gamma ^ {c}} _ {c] d} \ right) }

{\ displaystyle S = g ^ {ab} \ left ({\ Gamma ^ { c}} _ {ab, c} - {\ Gamma ^ {c}} _ {ac, b} + {\ Gamma ^ {d}} _ {ab} {\ Gamma ^ {c}} _ {cd} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ac} {\ Gamma ^ {c}} _ {bd} \ right) = 2g ^ {ab} \ left ({\ Gamma ^ {c}} _ {a [b, c]} + {\ Gamma ^ {d}} _ {a [b} {\ Gamma ^ {c}} _ {c] d} \ right)}

где $Γ abc {\ displaystyle {\ Gamma ^ {a}} _ {bc}}$ ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {a}} _ {bc}}$ - символы Кристоффеля метрики, а $Γ ljk, i {\ displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk, i}}$ ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk, i}}$ - это частная производная от $Γ ljk {\ displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk}}$ ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk}}$ в i-м координатном направлении.

В отличие от тензора кривизны Римана или тензора Риччи, оба из которых могут быть определены для любой аффинной связи, скалярная кривизна требует какой-либо метрики. Метрика может быть псевдоримановой вместо римановой. Действительно, такое обобщение жизненно важно для теории относительности. В более общем плане тензор Риччи может быть определен в более широком классе метрических геометрий (посредством прямой геометрической интерпретации, ниже), который включает геометрию Финслера.

Прямая геометрическая интерпретация

Когда скалярная кривизна в точке положительна, объем маленького шара вокруг точки имеет меньший объем, чем шар того же радиуса в евклидовом пространстве. С другой стороны, когда скалярная кривизна в точке отрицательна, объем маленького шара больше, чем он был бы в евклидовом пространстве.

Это можно сделать более количественным, чтобы охарактеризовать точное значение скалярной кривизны S в точке p риманова n-многообразия $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ . А именно, отношение n-мерного объема шара радиуса ε в многообразии к объему соответствующего шара в евклидовом пространстве при малых ε определяется выражением

Vol ⁡ (B ε (p) ⊂ M) Vol ⁡ (B ε (0) ⊂ R n) = 1 - S 6 (n + 2) ε 2 + O (ε 4). {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Vol} (B _ {\ varepsilon} (p) \ subset M)} {\ operatorname {Vol} \ left (B _ {\ varepsilon} (0) \ subset {\ mathbb {R }} ^ {n} \ right)}} = 1 - {\ frac {S} {6 (n + 2)}} \ varepsilon ^ {2} + O \ left (\ varepsilon ^ {4} \ right). }

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Vol} (B _ {\ varepsilon} (p) \ subset M)} {\ operatorname {Vol} \ left (B _ {\ varepsilon} (0) \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n} \ right)}} = 1 - {\ frac {S} {6 (n + 2)}} \ varepsilon ^ {2} + O \ left (\ varepsilon ^ {4} \ right).}

Таким образом, вторая производная этого отношения, вычисленная на радиусе ε = 0, равна в точности минус скалярная кривизна, деленная на 3 (n + 2).

Границы этих шаров представляют собой (n - 1) -мерные сферы радиуса $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ; их гиперповерхностные меры («площади») удовлетворяют следующему уравнению:

Площадь ⁡ (∂ B ε (p) ⊂ M) Площадь ⁡ (∂ B ε (0) ⊂ R n) = 1 - S 6 n ε 2 + O (ε 4). {\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Area} (\ partial B _ {\ varepsilon} (p) \ subset M)} {\ operatorname {Area} (\ partial B _ {\ varepsilon} (0) \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n})}} = 1 - {\ frac {S} {6n}} \ varepsilon ^ {2} + O \ left (\ varepsilon ^ {4} \ right).}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Area} (\ partial B _ {\ varepsilon} (p) \ подмножество M)} {\ operatorname {Area} (\ partial B _ {\ varepsilon} (0) \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n})}} = 1 - {\ frac {S} {6n}} \ varepsilon ^ {2} + O \ left (\ varepsilon ^ {4} \ right).}

Специальное case

Поверхности

В двух измерениях скалярная кривизна ровно в два раза превышает гауссову кривизну. Для вложенной поверхности в евклидово пространство R это означает, что

S = 2 ρ 1 ρ 2 {\ displaystyle S = {\ frac {2} {\ rho _ {1} \ rho _ { 2}}} \,}

{\ displaystyle S = {\ гидроразрыв {2} {\ rho _ {1} \ rho _ {2}}} \,}

где $ρ 1, ρ 2 {\ displaystyle \ rho _ {1}, \, \ rho _ {2}}$ $\ rho_1, \, \ rho_2$ - главный радиусы поверхности. Например, скалярная кривизна 2-сферы радиуса r равна 2 / r.

Двумерный тензор кривизны Римана имеет только одну независимую компоненту, и ее можно выразить через скалярную кривизну и форму метрической площади. А именно, в любой системе координат

2 R 1212 = S det (g i j) = S [g 11 g 22 - (g 12) 2]. {\ displaystyle 2R_ {1212} \, = S \ det (g_ {ij}) = S \ left [g_ {11} g_ {22} - (g_ {12}) ^ {2} \ right].}

{\ displaystyle 2R_ {1212} \, = S \ det (g_ {ij}) = S \ left [g_ {11} g_ {22} - (g_ {12}) ^ {2} \ right ].}

Пространственные формы

A Пространственные формы по определению являются римановым многообразием с постоянной секционной кривизной. Пространственные формы локально изометричны одному из следующих типов:

Евклидово пространство: тензор Римана n-мерного евклидова пространства одинаково равен нулю, поэтому скалярная кривизна тоже.
n-сферы: секционная кривизна n-сферы радиуса r равна K = 1 / r. Следовательно, скалярная кривизна равна S = n (n - 1) / r.
Гиперболическое пространство : Согласно модели гиперболоида, n-мерное гиперболическое пространство можно отождествить с подмножеством ( n + 1) -мерное пространство Минковского
$x 0 2 - x 1 2 - ⋯ - xn 2 = r 2, x 0>0. {\ displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - \ cdots -x_ {n} ^ {2} = r ^ {2}, \ quad x_ {0}>0.}$ $x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.$ 252>Параметр r является геометрическим инвариантом гиперболического пространства, а секционная кривизна K = −1 / r. Таким образом, скалярная кривизна равна S = −n (n - 1) / r.
Продукты
Скалярная кривизна произведения M × N римановых многообразий равна сумме скалярных кривизны M и N. Например, для любого гладкого замкнутого многообразия M, M × S имеет метрику положительной скалярной кривизны, просто считая 2-сферу малой по сравнению с M (так, чтобы ее кривизна была большой). Этот пример может предполагать, что скалярная кривизна имеет мало отношения к глобальная геометрия многообразия. Фактически, она имеет некоторое глобальное значение, как обсуждается ниже.
Традиционная нотация
Среди тех, кто использует индексную нотацию для тензоров, она Буква R обычно используется для обозначения трех разных вещей:
1. тензор кривизны Римана: $R ijkl {\ displaystyle R_ {ijk} ^ {l}}$ $R_ {ijk} ^ l$ или $R abcd {\ displaystyle R_ {abcd}}$ $R_ {abcd}$
2. тензор Риччи: $R ij {\ displaystyle R_ {ij}}$ $R_{ij}$
3. скалярная кривизна: $R {\ displaystyle R}$ $R$
Эти три затем отличаются друг от друга числом индексов: тензор Римана имеет четыре индекса, тензор Риччи имеет два индекса, а скаляр Риччи имеет нулевые индексы. Те, кто не использует индексные обозначения, обычно резервируют R для полного тензора кривизны Римана. В качестве альтернативы в безкоординатной записи можно использовать Рима для тензора Римана, Ric для тензора Риччи и R для скаляра кривизны.
Проблема Ямабе
Проблема Ямабе была решена Трудингером, Обином и Шоном. А именно, любую риманову метрику на замкнутом многообразии можно умножить на некоторую гладкую положительную функцию, чтобы получить метрику с постоянной скалярной кривизной. Другими словами, каждая метрика на замкнутом многообразии конформна метрике с постоянной скалярной кривизной.
Положительная скалярная кривизна
Для замкнутого риманова 2-многообразия M скалярная кривизна имеет четкую связь с топологией M, выраженной Гауссом –Теорема Бонне : полная скалярная кривизна M равна 4π, умноженному на эйлерову характеристику M. Например, единственными замкнутыми поверхностями с метрикой положительной скалярной кривизны являются поверхности с положительной эйлеровой характеристикой: сфера S и RP. Кроме того, эти две поверхности не имеют метрик со скалярной кривизной ≤ 0.

Знак скалярной кривизны имеет более слабое отношение к топологии в более высоких измерениях. Для гладкого замкнутого многообразия M размерности не менее 3 Каздан и Уорнер решили заданную задачу скалярной кривизны, описав, какие гладкие функции на M возникают как скалярная кривизна некоторой римановой метрики на M. А именно, M должна быть ровно одного из следующих трех типов:
1. Каждая функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M.
2. Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она либо тождественно равна нулю, либо где-то отрицательна.
3. Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она где-то отрицательна.
Таким образом, каждое многообразие измерение не менее 3 имеет метрику с отрицательной скалярной кривизной, фактически с постоянной отрицательной скалярной кривизной. Результат Каздана – Уорнера фокусирует внимание на вопросе о том, какие многообразия имеют метрику с положительной скалярной кривизной, что эквивалентно свойству (1). Пограничный случай (2) может быть описан как класс многообразий с строго скалярно-плоской метрикой, что означает метрику с нулевой скалярной кривизной, такую, что M не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.

Много известно о том, какие гладкие замкнутые многообразия имеют метрики с положительной скалярной кривизной. В частности, согласно Громову и Лоусону, каждое односвязное многообразие размерности не менее 5, которое не является спином, имеет метрику с положительным скалярная кривизна. Напротив, Лихнерович показал, что спиновое многообразие с положительной скалярной кривизной должно иметь Â род, равное нулю. Хитчин показал, что более усовершенствованная версия рода Â, α-инвариант, также исчезает для спиновых многообразий с положительной скалярной кривизной. Это нетривиально только в некоторых измерениях, потому что α-инвариант n-многообразия принимает значения в группе KOn, перечисленных здесь:
n (mod 8) 0 1 2 3 4 5 6 7
KOn Z Z/ 2 Z/ 2 0 Z 0 0 0
И наоборот, Штольц показал, что каждое односвязное спиновое многообразие размерности не менее 5 с α-инвариантным нулем имеет метрику с положительной скалярной кривизной.

Аргумент Лихнеровича с использованием оператора Дирака был расширен дать множество ограничений на неодносвязные многообразия с положительной скалярной кривизной с помощью K-теории C * -алгебр. Например, Громов и Лоусон показали, что замкнутое многообразие, допускающее метрику с секционной кривизной ≤ 0, такую как тор, не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. В более общем смысле, инъективная часть гипотезы Баума – Конна для группы G, которая известна во многих случаях, означает, что замкнутое асферическое многообразие с фундаментальной группой G не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.

Существуют специальные результаты в размерностях 3 и 4. После работы Шена, Яу, Громова и Лоусона Перельман доказал, что теорема геометризации привела к полному ответу в размерности 3: замкнутое ориентируемое 3-многообразие имеет метрику с положительной скалярной кривизной тогда и только тогда, когда это связная сумма сферических 3-многообразий и копий S × S. В размерности 4 положительная скалярная кривизна имеет более сильные последствия, чем в более высоких измерениях (даже для односвязных многообразий), с использованием Зайберга – Виттена инварианты. Например, если X - компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 2, которое не является рациональным или линейчатым, то X (как гладкое 4-многообразие) имеет нет римановой метрики с положительной скалярной кривизной.

Наконец, Акито Футаки показал, что строго скалярно-плоские метрики (как определено выше) чрезвычайно особенные. Для односвязного риманова многообразия M размерности не менее 5, которое является сильно скалярно-плоским, M должно быть произведением римановых многообразий с группой голономии SU (n) (многообразия Калаби – Яу ), Sp (n) (гиперкэлеровы многообразия ) или Spin (7). В частности, эти метрики являются плоскими по Риччи, а не просто скалярными. Наоборот, есть примеры многообразий с этими группами голономии, такие как поверхность K3, которые являются спиновыми и имеют ненулевой α-инвариант, следовательно, являются сильно скалярно-плоскими.
См. Также
Примечания
Ссылки
- Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна, Springer, ISBN 3-540-15279-2, MR 0867684
- Йост, Юрген (2011) [1995], Риманова геометрия и геометрический анализ, Springer, ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653
- Лоусон, Х. Блейн ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08542-5, MR 1031992
- ЛеБрун, Клод (1999), «Измерение Кодаира и проблема Ямабе», Коммуникации в анализе и геометрии, 7 : 133–156, arXiv : dg -ga / 9702012, doi : 10.4310 / CAG.1999.v7.n1.a5, MR 1674105
- Маркес, Фернандо Кода (2012), «Деформирующий трехмерные многообразия с положительной скалярной кривизной ", Annals of Mathematics, 176 : 815–863, arXiv : 0907.2444, doi : 10.4007 / annals.2012.176.2.3, MR 2950765
- Петерсен, Питер (2016) [1998], Риманова геометрия, Springer, ISBN 978-3-319-26652-7, MR 3469435
- Ricci, G. (1903–1904), «Direzioni e invarianti Principali in una varietà qualunque», Atti R. Inst. Венето, 63 (2): 1233–1239, JFM 35.0145.01
- Штольц, Стивен (2002), «Многообразия положительной скалярной кривизны», Топология многомерных многообразий (PDF), Триест: ICTP, стр. 661–709, MR 1937026

n (mod 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
KOn	Z	Z/ 2	Z/ 2	0	Z	0	0	0

Скалярная кривизна

Поверхности

Пространственные формы

Продукты