Гамильтонова теория поля

редактировать

Формализм в классической теории поля, основанный на гамильтоновой механике

В теоретической физике, гамильтонова теория поля является теоретико-полевым аналогом классической гамильтоновой механики. Это формализм в классической теории поля наряду с лагранжевой теорией поля. Он также имеет приложения в квантовой теории поля.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Одно скалярное поле
- 1.2 Многие скалярные поля
- 1.3 Тензорные и спинорные поля
2 Уравнения движения
3 Фазовое пространство
4 Скобка Пуассона
5 Явная независимость от времени
- 5.1 Кинетическая и потенциальная плотности энергии
- 5.2 Уравнение неразрывности
6 Релятивистская теория поля
7 См. Также
8 Примечания
9 Цитаты
10 Ссылки

Определение

Гамильтониан для системы дискретных частиц является функцией их обобщенных координат и сопряженные импульсы и, возможно, время. Для континуумов и полей гамильтонова механика непригодна, но ее можно расширить, рассмотрев большое количество точечных масс и взяв непрерывный предел, то есть бесконечное число частиц, образующих континуум или поле. Поскольку каждая точечная масса имеет одну или несколько степеней свободы, формулировка поля имеет бесконечно много степеней свободы.

Одно скалярное поле

Плотность гамильтониана является непрерывным аналогом для полей; это функция полей, сопряженных полей «импульса» и, возможно, самих координат пространства и времени. Для одного скалярного поля φ(x, t) плотность гамильтониана определяется из плотности лагранжиана by

H (ϕ, π, x, t) = ϕ ˙ π - L (ϕ, ∇ ϕ, ∂ ϕ / ∂ t, x, t). {\ displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi, \ pi, \ mathbf {x}, t) = {\ dot {\ phi}} \ pi - {\ mathcal {L}} (\ phi, \ nabla \ phi, \ partial \ phi / \ partial t, \ mathbf {x}, t) \,.}

\ mathcal {H} (\ phi, \ pi, \ mathbf {x}, t) = \ dot {\ phi} \ pi - \ mathcal {L} (\ phi, \ nabla \ phi, \ partial \ phi / \ partial t, \ mathbf {x}, t) \,.

с ∇, оператор «del» или «nabla», x- это позиция вектор некоторой точки в пространстве, а t - время. Плотность лагранжиана является функцией полей в системе, их производных по пространству и времени и, возможно, самих пространственных и временных координат. Это полевой аналог функции Лагранжа для системы дискретных частиц, описываемой обобщенными координатами.

Как и в гамильтоновой механике, где каждая обобщенная координата имеет соответствующий обобщенный импульс, поле φ (x, t) имеет поле сопряженного импульса π(x, t), определенное как частная производная плотности лагранжиана по производной поля по времени,

π = ∂ L ∂ ϕ ˙, ϕ ˙ ≡ ∂ ϕ ∂ t, {\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} \,, \ quad {\ dot {\ phi}} \ Equiv {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \,,}

\ pi = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {\ phi}} \,, \ quad \ dot {\ phi} \ Equiv \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t} \,,

, в котором точка обозначает частную производную по времени ∂ / ∂t, а не общую производную по времени d / dt.

Многие скалярные поля

Для многих полей φ i(x, t) и их сопряженных π i(x, t) плотность гамильтониана является функцией их всех:

H ( ϕ 1, ϕ 2,…, π 1, π 2,…, x, t) = ∑ i ϕ i ˙ π i - L (ϕ 1, ϕ 2,… ∇ ϕ 1, ∇ ϕ 2,…, ∂ ϕ 1 / ∂ t, ∂ ϕ 2 / ∂ t,…, x, t). {\ Displaystyle {\ mathcal {H}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t) = \ sum _ {i} {\ dot {\ phi _ {i}}} \ pi _ {i} - {\ mathcal {L}} (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ partial \ phi _ {1} / \ partial t, \ partial \ phi _ {2} / \ partial t, \ ldots, \ mathbf {x}, t) \,.}

\ mathcal {H} (\ phi_1, \ phi_2, \ ldots, \ pi_1, \ pi_2, \ ldots, \ mathbf {x}, t) = \ sum_i \ dot {\ phi_i} \ pi_i - \ mathcal {L} (\ phi_1, \ phi_2, \ ldots \ nabla \ phi_1, \ nabla \ phi_2, \ ldots, \ partial \ phi_1 / \ partial t, \ partial \ phi_2 / \ partial t, \ ldots, \ mathbf {x}, t) \,.

где каждое сопряженное поле определено относительно своего поля,

π i (x, t) = ∂ L ∂ ϕ ˙ i. {\ displaystyle \ pi _ {i} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {\ phi}} _ {i}}} \,.}

\ pi_i (\ mathbf {x}, t) = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ par tial \ dot {\ phi} _i} \,.

В общем, для любого количества полей интеграл объема плотности гамильтониана дает гамильтониан в трех пространственных измерениях:

H = ∫ H d 3 x. {\ displaystyle H = \ int {\ mathcal {H}} \ d ^ {3} x \,.}

{\ displaystyle H = \ int {\ mathcal {H}} \ d ^ {3} x \,.}

Плотность гамильтониана - это гамильтониан на единицу пространственного объема. Соответствующий размер равен [энергия] [длина] в единицах СИ Джоули на кубический метр, Дж · м.

Тензорные и спинорные поля

Вышеупомянутые уравнения и определения могут быть расширены до векторных полей и в более общем плане тензорных полей и спинорных полей. В физике тензорные поля описывают бозоны, а спинорные поля описывают фермионы.

Уравнения движения

Уравнения движения для полей аналогичны Гамильтоновы уравнения для дискретных частиц. Для любого количества полей:

уравнения гамильтонова поля

$ϕ ˙ i = + δ H δ π i, π ˙ i = - δ H δ ϕ i, {\ displaystyle {\ dot {\ phi}} _ { i} = + {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \,, \ quad {\ dot {\ pi}} _ {i} = - {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ phi _ {i}}} \,,}$ $\ dot {\ phi} _i = + \ frac {\ delta \ mathcal {H}} {\ delta \ pi_i} \,, \ quad \ dot {\ pi} _i = - \ frac {\ delta \ mathcal {H}} {\ delta \ phi_i} \,$

, где снова точки являются частными производными по времени, вариационная производная по в поля

δ δ ϕ i = ∂ ∂ ϕ i - ∇ ⋅ ∂ ∂ (∇ ϕ i) - ∂ ∂ t ∂ ∂ (∂ ϕ i / ∂ t), {\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi _ {i}}} - \ nabla \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial (\ nabla \ phi _ {i})}} - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial \ phi _ {i} / \ partial t)}} \,, }

\ frac {\ delta} {\ delta \ phi_i} = \ frac {\ partial} {\ partial \ phi_i} - \ nabla \ cdot \ frac {\ partial} {\ partial (\ nabla \ phi_i)} - \ frac {\ partial} {\ partial t} \ frac {\ partial} {\ partial (\ partial \ phi_i / \ partial t)} \,,

с · скалярным произведением, необходимо использовать вместо простых частных производных. В нотации тензорного индекса (включая соглашение о суммировании ) это

δ δ ϕ i = ∂ ∂ ϕ i - ∂ μ ∂ ∂ (∂ μ ϕ i) {\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ phi _ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi _ {i}}} - \ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {i})}}}

\ frac {\ delta} {\ delta \ phi_i} = \ frac {\ partial} {\ partial \ phi_i} - \ partial_ \ mu \ frac {\ partial} {\ partial (\ partial_ \ mu \ phi_i)}

где ∂ μ - это четыре градиента.

Фазовое пространство

Поля φ i и сопряжения π i образуют бесконечномерное фазовое пространство, поскольку поля имеют бесконечное количество степеней свободы.

Скобка Пуассона

Для двух функций, которые зависят от полей φ i и π i, их пространственных производных, а также пространственных и временных координат,

A = ∫ d 3 x A (ϕ 1, ϕ 2,…, π 1, π 2,…, ∇ ϕ 1, ∇ ϕ 2,…, ∇ π 1, ∇ π 2,…, x, т), {\ displaystyle A = \ int d ^ {3} x {\ mathcal {A}} \ left (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ pi _ {1}, \ nabla \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t \ right) \,,}

{\ displaystyle A = \ int d ^ {3} x {\ mathcal {A}} \ left (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ набла \ пи _ {1}, \ набла \ пи _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t \ right) \,,}

B = ∫ d 3 x B (ϕ 1, ϕ 2,…, π 1, π 2,…, ϕ 1, ∇ ϕ 2,…, ∇ π 1, ∇ π 2,…, x, t), {\ displaystyle B = \ int d ^ {3} x {\ mathcal {B}} \ left (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ pi _ {1}, \ nabla \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t \ right) \,,}

{\ displaystyle B = \ int d ^ {3} x {\ mathcal {B}} \ left (\ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ phi _ {1}, \ nabla \ phi _ {2}, \ ldots, \ nabla \ pi _ {1}, \ nabla \ pi _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x}, t \ справа) \,,}

и поля равны нулю на границе объема, интегралы берутся по, теоретико-полевая скобка Пуассона определяется как (не путать с коммутатором из Quant гм механика).

[A, B] ϕ, π = ∫ d 3 x ∑ i (δ A δ ϕ i δ B δ π i - δ B δ ϕ i δ A δ π i), {\ displaystyle [ A, B] _ {\ phi, \ pi} = \ int d ^ {3} x \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ delta {\ mathcal {A}}} {\ delta \ phi _ {i}}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {B}}} {\ delta \ pi _ {i}}} - {\ frac {\ delta {\ mathcal {B}}} {\ delta \ phi _ {i}}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {A}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \ right) \,,}

{\ displaystyle [A, B ] _ {\ phi, \ pi} = \ int d ^ {3} x \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ delta {\ mathcal {A}}} {\ delta \ phi _ {i} }} {\ frac {\ delta {\ mathcal {B}}} {\ delta \ pi _ {i}}} - {\ frac {\ delta {\ mathcal {B}}} {\ delta \ phi _ {i }}} {\ frac {\ delta {\ mathcal {A}}} {\ delta \ pi _ {i}}} \ right) \,,}

где $δ F / δ f {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {F}} / \ delta f}$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {F}} / \ delta f}$ - вариационная производная

δ F δ f = ∂ F ∂ f - ∑ i ∇ i ∂ F ∂ (∇ если). {\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {F}}} {\ delta f}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {F}}} {\ partial f}} - \ sum _ {я } \ nabla _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {F}}} {\ partial (\ nabla _ {i} f)}} \,.}

{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {F}}} {\ delta f}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {F}}} {\ partial f }} - \ sum _ {i} \ nabla _ {i} {\ frac {\ partial {\ mathcal {F}}} {\ partial (\ nabla _ {i} f)}} \,.}

При тех же условиях исчезновения полей на поверхности, следующий результат справедлив для эволюции A во времени (аналогично для B):

d A dt = [A, H] + ∂ A ∂ t {\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = [A, H] + {\ frac {\ partial A} {\ partial t}}}

\ frac {dA} {dt} = [A, H] + \ frac {\ partial A} {\ partial t}

, который можно найти из полной производной по времени от A, интегрирования по частям и с использованием вышеуказанного Скобка Пуассона.

Явная независимость от времени

Следующие результаты верны, если плотности лагранжиана и гамильтониана явно не зависят от времени (они все еще могут иметь неявную зависимость от времени через поля и их производные),

Плотности кинетической и потенциальной энергии

Плотность гамильтониана - это общая плотность энергии, сумма плотности кинетической энергии ( $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {T}}$ ) и плотности потенциальной энергии ( $V {\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$ ${\ mathcal {V}}$ ),

H = T + V. {\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {T}} + {\ mathcal {V}} \,.}

\ mathcal {H} = \ mathcal { T} + \ mathcal {V} \,.

Уравнение непрерывности

Взяв частную производную по времени от определения плотность гамильтониана, приведенная выше, и использование цепного правила для неявного дифференцирования и определения поля сопряженного импульса дает уравнение неразрывности :

∂ H ∂ t + ∇ ⋅ S = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} = 0}

\ frac {\ partial \ mathcal {H}} {\ partial t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {S} = 0

, в котором гамильтонова плотность может быть интерпретируется как плотность энергии, и

S = ∂ L ∂ (∇ ϕ) ∂ ϕ ∂ t {\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial ( \ nabla \ phi)}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}

\ mathbf {S} = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ nabla \ phi)} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}

поток энергии, или поток энергии в единицу времени на единицу площади поверхности.

Релятивистская теория поля

Ковариантная гамильтонова теория поля - это релятивистская формулировка гамильтоновой теории поля.

Гамильтонова теория поля обычно означает симплектический гамильтонов формализм в применении к классической теории поля, который принимает форму мгновенного гамильтонова формализма на бесконечномерном фазовое пространство, и где канонические координаты - функции поля в некоторый момент времени. Этот гамильтонов формализм применяется к квантованию полей, например, в квантовой калибровочной теории. В ковариантной гамильтоновой теории поля канонические импульсы piсоответствуют производным полей по всем мировым координатам x. Ковариантные уравнения Гамильтона эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа в случае гиперрегулярных лагранжианов. Ковариантная гамильтонова теория поля развивается в вариантах Гамильтона – Де Дондера, полисимплектическом, мультисимплектическом и k-симплектическом вариантах. Фазовое пространство ковариантной гамильтоновой теории поля - это конечномерное полисимплектическое или мультисимплектическое многообразие.

Гамильтонова неавтономная механика сформулирована как ковариантная гамильтонова теория поля на пучках волокон по оси времени, то есть на действительной прямой ℝ.

См. Также

Примечания

Цитаты

Ссылки

Бадин, Г.; Кришиани, Ф. (2018). Вариационная формулировка гидродинамики и геофизической гидродинамики - механика, симметрии и законы сохранения -. Springer. п. 218. DOI : 10.1007 / 978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
Гольдштейн, Герберт (1980). «Глава 12: Непрерывные системы и поля». Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. С. 562–565. ISBN 0201029189.
Грейнер У. ; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, A. L.; Валецка, Дж. Д. (1980). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Дувр. С. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.