Когерентные связки

В математике, особенно в алгебраической геометрии и теории комплексные многообразия, когомологии когерентных пучков - это метод создания функций с заданными свойствами. Многие геометрические вопросы могут быть сформулированы как вопросы о существовании участков линейных пучков или более общих когерентных пучков ; такие разделы можно рассматривать как обобщенные функции. Когомология предоставляет вычислимые инструменты для создания разделов или объяснения того, почему они не существуют. Он также предоставляет инварианты, позволяющие отличать одно алгебраическое многообразие от другого.

Большая часть алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии сформулирована в терминах когерентных пучков и их когомологий.

• 1 Когерентные пучки
• 2 Пучковые когомологии
• 3 Теоремы об исчезновении в аффинном случае
• 4 Когомологии Чеха и когомологии проективного пространства
• 5 Пучковые когомологии плоских кривых
• 6 Теорема Куннета
  • 6.1 Вычисление пучковых когомологий кривых
• 7 Конечномерность
• 8 Двойственность Серра
• 9 Теоремы GAGA
• 10 Теоремы об исчезновении
• 11 Теория Ходжа
• 12 Риман– Теоремы Роха
• 13 Рост
• 14 Приложения
• 15 Примечания
• 16 Ссылки
• 17 Внешние ссылки

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторные наборы. Существует понятие когерентного аналитического пучка на комплексном аналитическом пространстве и аналогичное понятие когерентного алгебраического пучка на схеме . В обоих случаях данное пространство $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$идет с связкой колец $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\; X\}\}$, пучок голоморфных функций или регулярных функций, и когерентные пучки определены как полная подкатегория категории $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$-модулей (то есть связки $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; \}$-модули).

Векторные пучки, такие как касательные пучки, играют фундаментальную роль в геометрии. В более общем смысле, для закрытого подмножества $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с включением $i:\; Y\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; Y\; \backslash \; to\; X\}$, векторный набор $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$на $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$определяет связная связка на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, связка прямого изображения $i\; \ast \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \_\; \{*\}\; E\}$, который равен нулю за пределами $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$. Таким образом, многие вопросы о подмножествах $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$могут быть выражены в терминах когерентных пучков на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

В отличие от векторных пучков, когерентные связки (в аналитическом или алгебраическом случае) образуют абелеву категорию, и поэтому они закрываются при таких операциях, как взятие ядер, изображений и коядра. На схеме квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков, включая локально свободные пучки бесконечного ранга.

Для пучка $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$абелевых групп на топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, когомологии пучка группы $H\; i\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$для целых чисел $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$определяются как правые производные функторы функтора глобальных секций, $F\; \mapsto \; F\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X)\}$. В результате $H\; i\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$равно нулю для и $ЧАС\; 0\; (Икс,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$можно идентифицировать с помощью $F\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X)\}$. Для любой короткой точной последовательности пучков $0\; \to \; A\; \to \; B\; \to \; C\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; \backslash \; to\; 0\}$существует длинная точная последовательность групп когомологий:

$0\; \to \; H\; 0\; (X,\; A)\; \to \; H\; 0\; (X,\; B)\; \to \; H\; 0\; (X,\; C)\; \to \; H\; 1\; (X,\; A)\; \to \; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; к\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\; \backslash \; к\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\})\; \backslash \; to\; \backslash \; cdots.\}$

Если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \}$- это связка $OX\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}$-модулей на схеме $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, тогда группы когомологий $H\; i\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$(определены с использованием базовое топологическое пространство $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$) - это модули над кольцом $O\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (X)\}$обычных функций. Например, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это схема над полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, то группы когомологий $H\; i\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$- это $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-векторные пространства. Теория становится мощной, когда $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$представляет собой когерентный или квазикогерентный пучок, благодаря следующей последовательности результатов.

Комплексный анализ был революционизирован теоремами A и B Картана в 1953 г. Эти результаты говорят, что если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$- когерентный аналитический пучок в пространстве Штейна $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, затем $F\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$- это , охватываемое своими глобальными секциями, и $H\; i\; (X,\; F)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; 0\}$для всех $i>0\; \{\backslash \; displaystyle\; i>0\}$. (сложное пространство $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является Штейном тогда и только тогда, когда оно изоморфно замкнутому аналитическому подпространству $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{n\}\}$для некоторого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.) Эти результаты обобщают большую часть более старых работ о построении сложных аналитических функции с заданными особенностями или другими свойствами.

В 1955 году Серр ввел когерентные пучки в алгебраическую геометрию (сначала над алгебраически замкнутым полем, но это ограничение было снято Гротендиком ). Аналоги теорем Картана имеют очень много общего: если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$является квазикогерентным пучком на аффинной схеме $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, тогда $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$охватывает свои глобальные разделы, а $H\; i\; (\; Икс,\; F)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; 0\}$для $i>0\; \{\backslash \; displaystyle\; i>0\}$. Это связано к тому факту, что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$эквивалентна категории $O\; (X)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (X)\}$-модули, при эквивалентности связка $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$к $O\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (X)\}$-module $H\; 0\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\{\backslash мат\; hcal\; \{F\}\})\}$. Фактически, среди всех квазикомпактных схем аффинные схемы характеризуются исчезновением высших когомологий для квазикогерентных пучков.

Как следствие исчезновения когомологий для аффинных схем: для разделенной схемы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, аффинное открытое покрытие $\{U\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и квазикогерентный пучок $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, группы когомологий $H\; \ast \; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$изоморфны группам когомологий Чеха относительно открытого покрытия $\{U\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$. Другими словами, зная разделы $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на всех конечных пересечениях аффинных открытых подсхем $U\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \}$определяет когомологию $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с коэффициентами в $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$.

Использование когомологий Чеха, можно вычислить когомологии проективного пространства с коэффициентами в любом линейном расслоении. А именно, для поля $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, положительное целое число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и любое целое число $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$, когомологии проективного пространства $P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{n\}\}$over $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$с коэффициентами в линейном пучке $O\; (j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (j)\}$ задается по формуле:

В частности, это вычисление показывает, что когомологии проективного пространства над $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$с коэффициентами в любом линейном пучке имеют конечную размерность как $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-векторное пространство.

Исчезновение этих групп когомологий над размерностью $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является очень частным случаем теоремы об исчезновении Гротендика : для любого пучка абелевых группы $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на нётеровом топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$измерения , $H\; i\; (X,\; F)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; =\; 0\}$для всех $i>n\; \{\backslash \; displaystyle\; i>n\}$. Это особенно полезно для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$a нётеровой схемы (например, разнообразие над полем) и $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \}\}$квазикогерентный пучок.

Дана гладкая проективная плоская кривая $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$степени $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$когомол связки ogy $H\; \ast \; (C,\; OC)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{*\}\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\}$можно легко вычислить, используя длинную точную последовательность в когомологиях. Сначала обратите внимание, что для вложения $i:\; C\; \to \; P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i:\; C\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\}\}$существует изоморфизм групп когомологий

$H\; *\; (П\; 2,\; я\; *\; ОС)\; \cong \; ЧАС\; *\; (С,\; ОС)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; я\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\; \})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{*\}\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\}$

, поскольку $i\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \_\; \{*\}\}$является точным. Это означает, что короткая точная последовательность когерентных пучков

$0\; \to \; O\; (-\; d)\; \to \; O\; \to \; i\; \ast \; OC\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; d)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \backslash \; to\; i\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\}\; \backslash \; to\; 0\}$

на $P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\}\}$, называемая идеальной последовательностью,, может использоваться для вычисления когомологий через длинную точную последовательность в когомологиях. Последовательность читается как

$0\; \to \; H\; 0\; (P\; 2,\; O\; (-\; d))\; \to \; H\; 0\; (P\; 2,\; O)\; \to \; H\; 0\; (P\; 2,\; OC)\; \to \; H\; 1\; (P\; 2,\; O\; (-\; d))\; \to \; H\; 1\; (P\; 2,\; O)\; \to \; H\; 1\; (P\; 2,\; OC)\; \to \; H\; 2\; (P\; 2,\; O\; (-\; d))\; \to \; H\; 2\; (P\; 2,\; O)\; \to \; H\; 2\; (P\; 2,\; OC)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 0\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; d))\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \backslash \; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; d))\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \backslash \; \backslash \; to\; H\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{\; P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; d))\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{\; 2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, который можно упростить, используя предыдущие вычисления в проективном пространстве. Для простоты предположим, что базовое кольцо - это $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$(или любое алгебраически замкнутое поле). Тогда есть изоморфизмы

$H\; 0\; (C,\; OC)\; \cong \; H\; 0\; (P\; 2,\; O)\; H\; 1\; (C,\; OC)\; \cong \; H\; 2\; (P\; 2,\; O\; (-\; d))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; H\; ^\; \{0\}\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{1\}\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{2\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; d))\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, который показывает, что $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\}$кривой является конечномерным векторным пространством ранга

$(d\; -\; 1\; d\; -\; 3)\; знак\; равно\; (d\; -\; 1)\; (d\; -\; 2)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{d-1\; \backslash \; select\; d-3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(d-1)\; (d-2)\}\; \{\; 2\}\}\}$.

Существует аналог формулы Куннета в когерентных когомологиях пучков для произведений многообразий. Даны квазикомпактные схемы $X,\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y\}$с аффинными диагоналями над полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$(например, разделенные схем), и пусть $F\; \in \; Coh\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Coh\}\}\; (X)\}$и $G\; \in \; Coh\; (Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; text\; \{Coh\}\}\; (Y)\}$, тогда существует изоморфизм

$H\; k\; (X\; \times \; Spec\; (k)\; Y,\; \pi \; 1\; \ast \; F\; \otimes \; OX\; \times \; Spec\; (k)\; Y\; \pi \; 2\; \ast \; G)\; \cong \; ⨁\; я\; +\; j\; =\; k\; H\; я\; (X,\; F)\; \otimes \; К\; H\; j\; (Y,\; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{k\}\; (X\; \backslash \; times\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (k)\}\; Y,\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\; \backslash \; times\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (k)\}\; Y\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; k\}\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\; \backslash \; otimes\; \_\; \{k\}\; H\; ^\; \{j\}\; (Y,\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\})\}$

где $\pi \; 1,\; \pi \; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\}$- это канонические проекции $X\; \times \; Spec\; (k)\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; \_\; \{\{\backslash \; text\; \{Spec\; \}\}\; (k)\}\; Y\}$до $X,\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; X,\; Y\}$.

Вычисление когомологии пучка кривых

In $X\; =\; P\; 1\; \times \; P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\}$, общий раздел $OX\; (a,\; б)\; знак\; равно\; \pi \; 1\; \ast \; OP\; 1\; (a)\; \otimes \; OX\; \pi \; 2\; \ast \; OP\; 1\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\; *\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\}\; (a)\; \backslash \; otimes\; \_\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\}\; (b)\}$определяет кривую $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, давая идеальная последовательность

$0\; \to \; OX\; (-\; a,\; -\; b)\; \to \; OX\; \to \; OC\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (-\; a,\; -b)\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\}\; \backslash \; to\; 0\}$

Тогда длинная точная последовательность читается как

$0\; \to \; H\; 0\; (X,\; O\; (-\; a,\; -\; b))\; \to \; H\; 0\; (X,\; O)\; \to \; H\; 0\; (X,\; OC)\; \to \; H\; 1\; (X,\; O\; (-\; a,\; -\; b))\; \to \; H\; 1\; (X,\; O)\; \to \; H\; 1\; (X,\; OC)\; \to \; H\; 2\; (X,\; O\; (-\; a,\; -\; b))\; \to \; H\; 2\; (X,\; O)\; \to \; H\; 2\; (X,\; OC)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 0\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; a,\; -b))\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \backslash \; \backslash \; к\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; a,\; -b))\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; O\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{1\; \}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \backslash \; \backslash \; to\; H\; ^\; \{2\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; a,\; -b))\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{2\; \}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{2\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

дает

$H\; 0\; (C,\; OC)\; \cong \; ЧАС\; 0\; (X,\; O)\; H\; 1\; (C,\; OC)\; \cong \; H\; 2\; (X,\; O\; (-\; a,\; -\; b))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; H\; ^\; \{0\}\; (\; C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{1\}\; (C,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{C\})\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{2\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; a,\; -b))\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку $H\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\}$- это род кривой, мы можем использовать формулу Куннета для вычисления ее чисел Бетти. Это

$H\; 2\; (X,\; OX\; (-\; a,\; -\; b))\; \cong \; H\; 1\; (P\; 1,\; O\; (-\; a))\; \otimes \; K\; H\; 1\; (P\; 1,\; O\; (-\; b))\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (-\; a,\; -b))\; \backslash \; cong\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\; \}\; (-\; a))\; \backslash \; otimes\; \_\; \{k\}\; H\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (-\; b))\}$

который имеет ранг

$(a\; -\; 1\; a\; -\; 2)\; (b\; -\; 1\; b\; -\; 2)\; =\; (a\; -\; 1)\; (b\; -\; 1)\; =\; ab\; -\; a\; -\; b\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{a-1\}\; \{a-\; 2\}\}\; \{\backslash \; binom\; \{b-1\}\; \{b-2\}\}\; =\; (a-1)\; (b-1)\; =\; ab-a-b\; +\; 1\}$

для $-\; a,\; -\; b\; \le \; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -a,\; -b\; \backslash \; leq\; -2\}$. В частности, если $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$определяется точкой схода в обобщенном разделе $O\; (2,\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (\; 2,\; k)\}$, это род

$2\; k\; -\; 2\; -\; k\; +\; 1\; =\; k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2k-2-k\; +\; 1\; =\; k-1\}$

, следовательно кривую любого рода можно найти внутри $P\; 1\; \times \; P\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{1\}\}$.

Для правильной схемы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$над полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и любого связного связка $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, группы когомологий $H\; i\; (X,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\})\}$имеют конечную размерность как $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-векторные пространства. В особом случае, когда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является проективным над $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, это доказывается сокращением к случаю линейных расслоений на проективном пространстве, рассмотренном выше. В общем случае правильной схемы над полем Гротендик доказал конечность когомологий путем сведения к проективному случаю, используя лемму Чоу.

. Конечномерность когомологий сохраняется и в аналогичной ситуации когерентных аналитических пучков. на любом компактном сложном пространстве, используя совсем другой аргумент. Картан и Серр доказали конечномерность в этой аналитической ситуации, используя теорему Шварца о компактных операторах в пространствах Фреше. Относительные версии этого результата для собственного морфизма были доказаны Гротендиком (для локально нётеровых схем) и Грауэртом (для комплексных аналитических пространств). А именно, для правильного морфизма $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; Y\}$(в алгебраическом или аналитическом контексте) и связной связки $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, более высокое прямое изображение связок $R\; if\; \ast \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{i\}\; f\; \_\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$согласованы. Когда $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$является точкой, эта теорема дает конечномерность когомологий.

Конечномерность когомологий приводит ко многим числовым инвариантам проективных многообразий. Например, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является гладкой проективной кривой над алгебраически замкнутым полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, род из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$определяется как размер $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-векторное пространство $H\; 1\; (X,\; OX)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$. Когда $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$является полем комплексных чисел, это согласуется с родом пространства $X\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\}$комплексных точек в его классической (евклидовой) топологии. (В этом случае $X\; (C)\; =\; X\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\; =\; X\; ^\; \{an\}\}$является замкнутой ориентированной поверхностью .) Среди многих возможных многомерных обобщений геометрический род гладкого проективного многообразия $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$размерности $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- размер $H\; n\; (X,\; OX)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$, а арифметический род (согласно одному соглашению) - это альтернированная сумма

$\chi \; (X,\; OX)\; =\; \sum \; j\; (-\; 1)\; j\; dim\; k\; \; (H\; j\; (X,\; OX)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \backslash \; dim\; \_\; \{k\}\; (H\; ^\; \{j\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})).\}$

Двойственность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре для когерентных когомологий пучков. В этой аналогии канонический пучок $K\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\}\}$играет роль ориентационного пучка. А именно, для гладкой правильной схемы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$измерения $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$над полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \}$, существует естественная карта трассировки $H\; n\; (X,\; KX)\; \to \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; K\_\; \{X\})\; \backslash \; to\; k\}$, который является изоморфизмом, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является геометрически связанным, что означает, что изменение базы из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с алгебраическим замыканием $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$связано. Двойственность Серра для векторного пучка $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$говорит, что произведение

$H\; i\; (X,\; E)\; \times \; ЧАС\; N\; -\; я\; (Икс,\; КХ\; \otimes \; E\; \ast )\; \to \; ЧАС\; N\; (Х,\; КХ)\; \to \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\; ^\; \{я\}\; (X,\; E)\; \backslash \; раз\; Н\; ^\; \{ni\}\; (X,\; K\_\; \{X\; \}\; \backslash \; otimes\; E\; ^\; \{*\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{n\}\; (X,\; K\_\; \{X\})\; \backslash \; to\; k\}$

- это идеальная пара для любого целого числа $i\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; i\}$. В частности, $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-векторные пространства $H\; i\; (X,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{i\}\; (X,\; E)\}$и $H\; n\; -\; i\; (X,\; KX\; \otimes \; E\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{ni\}\; (X,\; K\_\; \{X\}\; \backslash \; otimes\; E\; ^\; \{*\})\}$имеют такая же (конечная) размерность. (Серр также доказал двойственность Серра для голоморфных векторных расслоений на любом компактном комплексном многообразии.) Теория двойственности Гротендика включает обобщения на любой когерентный пучок и любой собственный морфизм схем, хотя утверждения становятся менее элементарными.

Например, для гладкой проективной кривой $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$над алгебраически замкнутым полем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, Двойственность Серра означает, что размерность пространства $H\; 0\; (X,\; \Omega \; 1)\; =\; H\; 0\; (X,\; KX)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{0\}\; (X,\; \backslash \; Omega\; ^\; \{1\})\; =\; H\; ^\; \{\; 0\}\; (X,\; K\_\; \{X\})\}$1-форм на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$равно роду $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$(размер $H\; 1\; (X,\; OX)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\})\}$).

Теоремы GAGA связывают алгебраические многообразия над комплексными числами с соответствующими аналитическими пространствами. Для схемы X конечного типа над C существует функтор от когерентных алгебраических пучков на X к когерентным аналитическим пучкам на ассоциированном аналитическом пространстве X. Ключевая теорема GAGA (Гротендик), обобщающее теорему Серра на проективный случай) состоит в том, что если X собственно над C, то этот функтор является эквивалентностью категорий. Более того, для каждого когерентного алгебраического пучка E на правильной схеме X над C естественное отображение

$H\; i\; (X,\; E)\; \to \; H\; i\; (X\; an,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\; i\}\; (X,\; E)\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{i\}\; (X\; ^\; \{\backslash \; text\; \{an\}\},\; E)\}$

(конечномерных) комплексных векторных пространств является изоморфизмом для всех i. (Первая группа здесь определяется с использованием топологии Зарисского, а вторая - с использованием классической (евклидовой) топологии.) Например, эквивалентность алгебраических и аналитических когерентных пучков на проективном пространстве влечет теорему Чоу о том, что каждый замкнутый аналитическое подпространство в CP является алгебраическим.

Теорема Серра об исчезновении говорит, что для любого обильного линейного пучка $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$на правильной схеме $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$над нётеровым кольцом и любой связной связкой $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$существует целое число $m\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{0\}\}$такое, что для всех $m\; \ge \; m\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; m\_\; \{0\}\}$, связка $F\; \otimes \; L\; \otimes \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; otimes\; L\; ^\; \{\backslash \; otimes\; m\}\}$охватывает свои глобальные секции и не имеет когомологий в положительных степенях.

Хотя теорема об исчезновении Серра полезна, неявность числа $m\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{0\}\}$может быть проблемой. Теорема об исчезновении Кодаиры является важным явным результатом. А именно, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является гладким проективным многообразием над полем нулевой характеристики, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$является обильным линейным пучком на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $KX\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\}\}$a канонический пакет, затем

$H\; j\; (X,\; KX\; \otimes \; L)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{j\}\; (X,\; K\_\; \{X\}\; \backslash \; otimes\; L)\; =\; 0\}$

для всех $j>0\; \{\backslash \; displaystyle\; j>0\}$. Обратите внимание, что теорема Серра гарантирует то же самое исчезает при больших степенях $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$. Исчезновение Кодаиры в нуль и его обобщения являются фундаментальными для классификации алгебраических многообразий и программы минимальных моделей. Исчезновение Кодаиры не выполняется поля положительной характеристики.

Теорема Ходжа связывает когерентные когомологии пучков с сингулярными когомологиями (или d e Когомологии Рама ). А именно, если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- гладкое комплексное проективное многообразие, то существует каноническое разложение комплексных векторных пространств прямой суммой:

$H\; a\; (X,\; C)\; \cong \; ⨁\; б\; знак\; равно\; 0\; a\; ЧАС\; a\; -\; б\; (Икс,\; \Omega \; б),\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{a\}\; (X,\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; \backslash \; cong\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{b\; =\; 0\}\; ^\; \{a\}\; H\; ^\; \{\; ab\}\; (X,\; \backslash \; Omega\; ^\; \{b\}),\}$

для каждого $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. Группа слева означает особые когомологии $X\; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\}$в его классической (евклидовой) топологии, а группы справа - группы когомологий когерентных пучков, которые (согласно GAGA) могут быть взяты либо в топологии Зарисского, либо в классической топологии. Тот же вывод справедлив для любой гладкой правильной схемы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$на $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\}$или для любого компактного Кэлерово многообразие.

Например, из теоремы Ходжа следует, что определение рода гладкой проективной кривой $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$как размерности $H\; 1\; (\; X,\; O)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\})\}$, что имеет смысл для любого поля $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, согласуется с топологическим определением (как половина первого числа Бетти ), когда $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- комплексные числа. Теория Ходжа вдохновила большое количество работ по топологическим свойствам сложных алгебраических многообразий.

Для правильной схемы X над полем k эйлеровой характеристикой когерентного пучка E на X является целое число

$\chi \; (\; X,\; E)\; =\; \sum \; j\; (-\; 1)\; j\; dim\; k\; \; (H\; j\; (X,\; E)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (X,\; E)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \backslash \; dim\; \_\; \{k\}\; (H\; ^\; \{j\}\; (X,\; E)).\}$

Эйлер характеристика когерентного пучка E может быть вычислена из классов Черна E, согласно теореме Римана – Роха и ее обобщениям, теореме Хирцебруха – Римана – Роха и теорема Гротендика – Римана – Роха. Например, если L - линейное расслоение на гладкой собственной геометрически связной кривой X над полем k, то

$\chi \; (X,\; L)\; =\; deg\; (L)\; -\; род\; (X)\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (X,\; L)\; =\; \{\backslash \; text\; \{deg\}\}\; (L)\; -\; \{\backslash \; text\; \{genus\}\}\; (X)\; +1,\}$

где deg (L) обозначает степень L.

В сочетании с теоремой об исчезновении теоремы Римана – Роха часто можно использовать для определения размерности векторного пространства сечений линейного расслоения. Зная, что линейный пучок на X имеет достаточно секций, в свою очередь, можно использовать для определения карты из X в проективное пространство, возможно, для замкнутого погружения. Этот подход важен для классификации алгебраических многообразий.

Теорема Римана – Роха также верна для голоморфных векторных расслоений на компактном комплексном многообразии по теореме Атьи – Зингера об индексе.

Размерности групп когомологий на схеме размерности n может быть больше, чем полином степени n.

Пусть X - проективная схема размерности n, а D - делитель на X. Если $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$- любой когерентный пучок на X тогда

$привет\; (X,\; F\; (m\; D))\; =\; O\; (mn)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (mD))\; =\; O\; (m\; ^\; \{n\})\; \}$для каждого i.

Для высших когомологий nef divisor D на X;

$привет\; (X,\; OX\; (m\; D))\; =\; O\; (mn\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{i\}\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{X\}\; (mD))\; =\; O\; (m\; ^\; \{n-1\})\}$

Учитывая схему X над полем k, теория деформации изучает деформации X в бесконечно малые окрестности. В простейшем случае это касается деформации кольца $R:\; =\; k\; [ϵ]\; /\; ϵ\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R:\; =\; k\; [\backslash \; epsilon]\; /\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\}$of двойные числа, проверяет, существует ли схема X R над R, такая, что специальное волокно

$XR\; \times \; Spec\; \; R\; Spec\; \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{R\; \}\; \backslash \; times\; \_\; \{\backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; R\}\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; k\}$

изоморфен заданному X. Когерентные когомологии пучка, точнее когомологии касательного пучка $TX\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{X\}\}$управляет деформациями X, при условии, что X является гладким:

• классы изоморфизма деформаций, как указано выше, параметризуются первой когерентной когомологией $H\; 1\; (X,\; TX)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{1\}\; (X,\; T\_\; \{X\})\}$,
• в $H\; 2\; (X,\; TX)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{2\}\; (\; X,\; T\_\; \{X\})\}$который исчезает тогда и только тогда, когда существует деформация X в R.

• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Райнхольд (1984), Coherent Analytic Sheaves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 265, Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-642-69582-7, ISBN 3-540-13178-7, MR 0755331
• Гротендик, Александр ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960–61 - Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ), Paris: Sociémathé Math. de France, arXiv : math.AG/0206203, ISBN 978-2-85629-141-2, MR 2017446
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi : 10.1007 / bf02684274. MR 0217085.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents», Annals of Mathematics, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project