Стек Делин-Мамфорд

редактировать

В алгебраической геометрии стек Делиня – Мамфорда представляет собой стек F, такой что

(i) диагональный морфизм $F → F × F {\ displaystyle F \ to F \ times F}$ ${\ displaystyle F \ to F \ times F}$ является представимым, квазикомпактным и разделенным.
(ii) Существует схема U и этальная сюръективная карта $U → F {\ displaystyle U \ to F}$ ${\ displaystyle U \ to F}$ (называемая an).

Pierre Делинь и Дэвид Мамфорд представили это понятие в 1969 году, когда они доказали, что пространства модулей стабильных кривых фиксированного a рифметический род - это надлежащие гладкие стеки Делиня – Мамфорда.

Если "эталь" ослаблена до "гладкая ", то такой стек называется алгебраическим стеком (также называемым стеком Артина после Майкл Артин ). алгебраическое пространство - это Делин – Мамфорд.

Ключевым фактом о стеке Делиня – Мамфорда F является то, что любой X в $F (B) {\ displaystyle F (B)}$ ${\ displaystyle F (B)}$ , где B квазикомпактный, имеет только конечное число автоморфизмов. Стек Делиня – Мамфорда допускает представление с помощью группоида ; см. схему группоидов.

Содержание

1 Примеры
- 1.1 Аффинные стеки
- 1.2 Взвешенная проективная линия
- 1.3 Наборная кривая
- 1.4 Не пример
2 Ссылки

Примеры

Аффинные стеки

Стеки Делиня – Мамфорда обычно строятся путем взятия множителя стека некоторого разнообразия, в котором стабилизаторы являются конечными группами. Например, рассмотрим действие циклической группы $C n = ⟨a ∣ an = 1⟩ {\ displaystyle C_ {n} = \ langle a \ mid a ^ {n} = 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle C_ {n} = \ langle a \ mid a ^ {n} = 1 \ rangle }$ на $C 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ $\ mathbb {C} ^ 2$ , задаваемом

a ⋅: (x, y) ↦ (ζ nx, ζ ny) {\ displaystyle a \ cdot \ двоеточие (x, y) \ mapsto (\ zeta _ {n} x, \ zeta _ {n} y)}

{\ displaystyle a \ cdot \ двоеточие (x, y) \ mapsto (\ zeta _ {n} x, \ zeta _ {n} y) }

Тогда коэффициент стека $[C 2 / C n] {\ displaystyle [\ mathbb {C} ^ {2} / C_ {n}]}$ ${\ displaystyle [\ mathbb {C} ^ {2} / C_ {n}]}$ - аффинный гладкий стек Делиня – Мамфорда с нетривиальным стабилизатором в начале координат. Если мы хотим думать об этом как о категории, расслоенной на группоиды над $(Sch / C) fppf {\ displaystyle ({\ text {Sch}} / \ mathbb {C}) _ {fppf}}$ ${ \ displaystyle ({\ text {Sch}} / \ mathbb {C}) _ {fppf}}$ , а затем по схеме $S → C {\ displaystyle S \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle S \ to \ mathbb {C}}$ дополнительная категория определяется как

Spec (C [s] / (sn - 1)) × Spec (C [x, y]) (S) ⇉ Spec (C [x, y]) (S). {\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [s] / (s ^ {n} -1)) \ times {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y]) (S) \ rightrightarrows {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y]) (S).}

{\ displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [s] / (s ^ {n} -1)) \ times {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y]) (S) \ rightrightarrows {\ text {Spec} } (\ mathbb {C} [x, y]) (S).}

Обратите внимание, что мы могли бы быть немного более общими, если бы рассмотрим групповое действие на $A 2 ∈ Sch / Spec (Z [ζ n]) {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2} \ in {\ text {Sch}} / {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [ \ zeta _ {n}])}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {2} \ in {\ text {Sch}} / {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [\ zeta _ {n }])}$ .

Взвешенная проективная линия

Неаффинные примеры возникают при взятии фактора стека для взвешенного проективного пространства / многообразий. Например, пространство $P (2, 3) {\ displaystyle \ mathbb {P} (2,3)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (2,3)}$ состоит из частного стека $[C 2 - {0} / C ∗] {\ displaystyle [\ mathbb {C} ^ {2} - \ {0 \} / \ mathbb {C} ^ {*}]}$ ${\ displaystyle [\ mathbb {C} ^ {2} - \ {0 \} / \ mathbb {C} ^ {*}]}$ где $C ∗ {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$ $\ mathbb {C} ^ *$ -действие задается как

λ ⋅ (x, y) = (λ 2 x, λ 3 y). {\ displaystyle \ lambda \ cdot (x, y) = (\ lambda ^ {2} x, \ lambda ^ {3} y).}

{\ displaystyle \ lambda \ cdot (x, y) = (\ lambda ^ {2} x, \ lambda ^ {3} y).}

Обратите внимание, что, поскольку это частное не из конечной группы, мы должны искать для очков со стабилизаторами и соответствующими им группами стабилизаторов. Тогда $(x, y) = (λ 2 x, λ 3 y) {\ displaystyle (x, y) = (\ lambda ^ {2} x, \ lambda ^ {3} y)}$ ${\ displaystyle (x, y) = (\ lambda ^ {2} x, \ lambda ^ {3} y)}$ тогда и только тогда, когда $x = 0 {\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ или $y = 0 {\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ и $λ знак равно ζ 2 {\ displaystyle \ lambda = \ zeta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ zeta _ {2}}$ или $λ = ζ 3 {\ displaystyle \ lambda = \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ zeta _ {3}}$ , соответственно, показывая, что единственные стабилизаторы конечны, следовательно, стек Делиня – Мамфорда.

Составная кривая

Не пример

Один простой не пример стека Делиня – Мамфорда: $[pt / C ∗] {\ displaystyle [pt / \ mathbb {C} ^ {*}]}$ ${\ displaystyle [pt / \ mathbb {C} ^ {* }]}$ , поскольку у него бесконечный стабилизатор. Стеки этой формы являются примерами стопок Артина.

Ссылки

Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода», Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36(1): 75– 109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi :10.1007/BF02684599, MR 0262240