Стек (математика)

редактировать
Обобщение связки; расслоенная категория, допускающая эффективное спускание

В математике стек или 2-связка, грубо говоря, связка, который принимает значения в категориях, а не в наборах. Стеки используются для формализации некоторых основных построений теории спуска и для построения точных стеков модулей, когда точных пространств модулей не существует.

Теория спуска связана с обобщениями ситуаций, в которых изоморфные совместимые геометрические объекты (такие как векторные пучки в топологических пространствах ) могут быть " склеены "в пределах топологического базиса. В более общей настройке ограничения заменяются откатами ; волокнистые категории затем составляют хорошую основу для обсуждения возможности такого склеивания. Интуитивное значение стека состоит в том, что это расслоенная категория, в которой «работают все возможные склейки». Спецификация склейок требует определения покрытий, в отношении которых можно рассматривать склейки. Оказывается, что общий язык для описания этих покрытий - это язык топологии Гротендика. Таким образом, стек формально задается как расслоенная категория над другой базовой категорией, где основа имеет топологию Гротендика и где расслоенная категория удовлетворяет нескольким аксиомам, которые гарантируют существование и единственность определенных склейок относительно топологии Гротендика.

Содержание

  • 1 Обзор
  • 2 Мотивация и история
  • 3 Определения
    • 3.1 Абстрактные стеки
    • 3.2 Алгебраические стеки
      • 3.2.1 Локальная структура алгебраических стеков
  • 4 Примеры
    • 4.1 Элементарные примеры
    • 4.2 Стеки объектов
    • 4.3 Конструкции со стеками
      • 4.3.1 Коэффициенты стека
      • 4.3.2 Классификация стеков
        • 4.3.2.1 Стек модулей линейных пучков
      • 4.3.3 Гербы
      • 4.3.4 Относительные характеристики и проект
    • 4.4 Наборы модулей
      • 4.4.1 Модули кривых
      • 4.4.2 Пространства модулей Концевича
      • 4.4.3 Другие наборы модулей
    • 4.5 Геометрические стеки
      • 4.5.1 Взвешенные проективные стеки
      • 4.5.2 Наборные кривые
      • 4.5.3 Неаффинный стек
  • 5 Квазикогерентные пучки на алгебраических стеках
  • 6 Другие типы стека
  • 7 Теоретико-множественные задачи
  • 8 См. Также
  • 9 Примечания
  • 10 Ссылки
    • 10.1 Педагогические
    • 10.2 Справочники по литературе
    • 10.3 Ссылки
  • 11 Дополнительная литература
  • 12 Внешние ссылки

Обзор

Стеки являются базовой структурой алгебраических стеков ( также называемые стеками Артина) и стеками Делиня – Мамфорда, которые обобщают схемы и алгебраические пространства и которые особенно полезны при изучении пространств модулей. Есть включения: схемы ⊆ алгебраические пространства ⊆ стеки Делиня – Мамфорда ⊆ алгебраические стеки (стеки Артина) ⊆ стеки.

Edidin (2003) и Fantechi (2001) дают краткие вступительные отчеты о стеках, Gómez (2001), Olsson (2007) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFOlsson2007 (help ) и Vistoli (2005) дают более подробные представления, а Laumon Moret-Bailly (2000) описывает более продвинутую теорию.

Мотивация и история

Заключение практической работы в соответствии с принципом прибытия в службу поддержки, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une varété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) для классификация вариантов (globales, ou infinitésimales) определенных структур (Varétés Complete non singulières, векторных волокон и т. Существование автоморфизмов структуры qui empêche la technic de descente de marcher.

Письмо Гротендика Серру, 5 ноября 1959 г.

Концепция стеков берет свое начало в определении эффективных данных спуска в Гротендике. (1959). В письме Серру в 1959 г. Гротендик заметил, что фундаментальным препятствием для построения хороших пространств модулей является существование автоморфизмов. Основная мотивация для стеков заключается в том, что если пространство модулей для некоторой проблемы не существует из-за существования автоморфизмов, все еще может быть возможно построить стек модулей.

Мамфорд (1965) изучал группу Пикара стека модулей эллиптических кривых до того, как были определены стеки. Стеки были впервые определены Жиро (1966, 1971), а термин «стек» был введен Deligne Mumford (1969) для первоначального французского термина "чемпион" означает "поле". В этой статье они также представили стеки Делиня – Мамфорда, которые они назвали алгебраическими стеками, хотя термин «алгебраический стек» теперь обычно относится к более общим стекам Артина, введенным Артин (1974).

При определении частных схем по групповым действиям часто бывает невозможно, чтобы частное было схемой и все же удовлетворяло желаемым свойствам для частного. Например, если несколько точек имеют нетривиальные стабилизаторы, то категориальный фактор не будет существовать среди схем.

Таким же образом пространства модулей кривых, векторных пучков или других геометрических объектов часто лучше всего определять как стеки, а не схемы. При построении пространств модулей часто сначала строят большее пространство, параметризуя рассматриваемые объекты, а затем вычисляя фактор по групповому действию, чтобы учесть объекты с автоморфизмами, которые были пересчитаны.

Определения

Абстрактные стеки

Категория c {\ displaystyle c}cс функтором категории C {\ displaystyle C}Cназывается расслоенной категорией над C {\ displaystyle C}C, если для любого морфизма F: X → Y {\ displaystyle F: X \ to Y}{\displaystyle F:X\to Y}в C {\ displaystyle C}Cи любой объект y {\ displaystyle y}yиз c {\ displaystyle c}cс изображением Y {\ displaystyle Y}Y(под функтором), есть откат f: x → y { \ displaystyle f: x \ to y}{\displaystyle f:x\to y}из y {\ displaystyle y}yна F {\ displaystyle F}F. Это означает морфизм с изображением F {\ displaystyle F}Fтакой, что любой морфизм g: z → y {\ displaystyle g: z \ to y}{\displaystyle g:z\to y}с изображение G = F ∘ H {\ displaystyle G = F \ circ H}{\displaystyle G=F\circ H}можно разложить на множители как g = f ∘ h {\ displaystyle g = f \ circ h}{\displaystyle g=f\circ h}уникальным морфизмом h: z → x {\ displaystyle h: z \ to x}{\displaystyle h:z\to x}в c {\ displaystyle c}cтаким, что Функтор отображает h {\ displaystyle h}hв H {\ displaystyle H}H. Элемент x = F * y {\ displaystyle x = F ^ {*} y}{\displaystyle x=F^{*}y}называется откатом из y {\ displaystyle y}yвдоль F {\ displaystyle F}Fи уникален с точностью до канонического изоморфизма.

Категория c называется prestack над категорией C с топологией Гротендика, если она расслоена над C и для любого объекта U из C и объектов x, y из c с образом U, функтор над категорией C / U в множества, переводящие F: V → U в Hom (F * x, F * y), является пучком. Эта терминология не согласуется с терминологией для пучков: предварительные штабели являются аналогами разделенных предварительных пучков, а не предварительных пучков. Некоторым авторам это требуется как свойство стеков, а не предварительных сумм.

Категория c называется стеком над категорией C с топологией Гротендика, если это предварительный стек над C и все данные спуска эффективны. Элемент данных спуска примерно состоит из покрытия объекта V из C семейством V i, элементы x i в волокне над V i, и морфизмы f ji между ограничениями x i и x j на V ij=Vi×VVj, удовлетворяющие условию совместимости f ki = f kjfji. Дата спуска называется эффективным, если элементы x i по существу являются откатами элемента x с изображением V.

Стек называется стеком . в группоидах или (2,1) -пучок, если он также расслоен в группоидах, что означает, что его волокна (прообразы объектов C) являются группоидами. Некоторые авторы используют слово «стек» для обозначения более ограничительного понятия стека в группоидах.

Алгебраические стеки

Алгебраический стек или Артин стек - это стек в группоидах X над сайтом fppf, так что диагональная карта X представима, и существует гладкая сюръекция из (стека, связанного с) схемы в X. Морфизм Y → {\ displaystyle \ rightarrow}\rightarrow X стеков является представимым, если, для каждого морфизма S → {\ displaystyle \ rightarrow}\rightarrow X из (связанного стека) схемы в X, продукт волокна Y × X S изоморфен (стеку, связанному с) алгебраическому пространству. волоконный продукт стеков определяется с помощью обычного универсального свойства и изменения требования коммутации диаграмм на требование их коммутации. См. Также морфизм алгебраических стеков для получения дополнительной информации.

Мотивация представимости диагонали следующая: диагональный морфизм Δ: X → X × X {\ displaystyle \ Delta: {\ mathfrak {X}} \ to {\ mathfrak { X}} \ times {\ mathfrak {X}}}{\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}представимо тогда и только тогда, когда для любой пары морфизмов алгебраических пространств X, Y → X {\ displaystyle X, Y \ to { \ mathfrak {X}}}{\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}, их продукт волокна X × XY {\ displaystyle X \ times _ {\ mathfrak {X}} Y}{\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}является представимым.

A Стек Делиня – Мамфорда представляет собой алгебраический стек X такой, что существует этальная сюръекция схемы в X. Грубо говоря, стеки Делиня – Мамфорда можно рассматривать как алгебраические стеки, объекты которых не имеют бесконечно малых автоморфизмы.

Локальная структура алгебраических стеков

С момента создания алгебраических стеков ожидалось, что они являются локально частными стеками формы [Spec (A) / G] {\ displaystyle [ {\ text {Spec}} (A) / G]}{\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}где G {\ displaystyle G}G- линейно редуктивная алгебраическая группа. Недавно было доказано, что это так: для квазиразделенного алгебраического стека X {\ displaystyle {\ mathfrak {X}}}{\mathfrak {X}}локально конечного типа над алгебраически замкнутым полем k {\ displaystyle k}k, стабилизаторы которого аффинны, и x ∈ X (k) {\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {X}} (k)}{\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}a гладкая и замкнутая точка с линейно редуктивной группой стабилизаторов G x {\ displaystyle G_ {x}}G_{x}, существует эталонное покрытие из частного GIT (U, u) → (N x / / G x, 0) {\ displaystyle (U, u) \ to (N_ {x} // G_ {x}, 0)}{\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}, где N x = (J x / J x 2) ∨ {\ displaystyle N_ {x} = (J_ {x} / J_ {x} ^ {2}) ^ {\ vee}}{\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}, такая, что диаграмма

([W / G x], w) → ([N x / G x], 0) ↓ ↓ (U, u) → (N x / / G x, 0) {\ displaystyle {\ begin {matrix} ([W / G_ {x}], w) \ to ([N_ {x} / G_ {x}], 0) \\\ downarrow \ downarrow \\ ( U, u) \ to (N_ {x} // G_ {x}, 0) \ end {matrix}}}{\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)\to ([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow \downarrow \\(U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}

декартово, и существует этальный морфизм

f: ([W / ГРАММ x], w) → (X, x) {\ displaystyle f: ([W / G_ {x}], w) \ to ({\ mathfrak {X}}, x)}{\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}

индуцируя изоморфизм группы стабилизаторов в w {\ displaystyle w}wи x {\ displaystyle x}x.

Примеры

Элементарные примеры

  • Каждая связка F: C op → S ets {\ displaystyle {\ mathcal {F}}: C ^ {op} \ to Sets}{\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets}из категории C {\ displaystyle C}Cс топологию Гротендика можно канонически превратить в стек. Для объекта X ∈ Ob (C) {\ displaystyle X \ in {\ text {Ob}} (C)}{\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}вместо набора F (X) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}{\mathcal {F}}(X)существует группоид, объекты которого являются элементами F (X) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}{\mathcal {F}}(X), а стрелки - морфизм тождества.
  • Более конкретно, пусть h {\ displaystyle h}hбудет контравариантным функтором

h: (S ch / S) op → S ets {\ displaystyle h: (Sch / S) ^ {op} \ to Sets}{\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to Sets}

Затем этот функтор определяет следующую категорию H {\ displaystyle H}H
  1. объект - это пара (X → S, x) {\ displaystyle (X \ to S, x)}{\displaystyle (X\to S,x)}, состоящая из схемы X {\ displaystyle X}Xв (S ch / S) op {\ displaystyle (Sch / S) ^ {op}}{\displaystyle (Sch/S)^{op}}и элемент x ∈ h (X) {\ displaystyle х \ в час (X)}{\displaystyle x\in h(X)}
  2. морфизм (X → S, x) → (Y → S, y) {\ displaystyle (X \ to S, x) \ to (Y \ to S, y)}{\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}состоит из морфизма ϕ: X → Y {\ displaystyle \ phi: X \ to Y}\phi:X \to Yв (S ch / S) {\ displaystyle (Sch / S)}{\displaystyle (Sch/S)}так, что h (ϕ) (y) = x {\ displaystyle h (\ phi) (y) = x}{\displaystyle h(\phi)(y)=x}.
Через функтор забывчивости p: H → (S ch / S) {\ displaystyle p: H \ to (Sch / S)}{\displaystyle p:H\to (Sch/S)}категория H {\ displaystyle H}H- это категория, расслоенная на (S ch / S) {\ displaystyle (Sch / S)}{\displaystyle (Sch/S)}. Например, если X {\ displaystyle X}X- это схема в (S ch / S) {\ displaystyle (Sch / S)}{\displaystyle (Sch/S)}, то она определяет контравариантный функтор h = Hom ⁡ (-, X) {\ displaystyle h = \ operatorname {Hom} (-, X)}{\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}, а соответствующая расслоенная категория - это стек, связанный к X . Стеки (или предварительные стеки) могут быть построены как вариант этой конструкции. Фактически, любая схема X {\ displaystyle X}Xс квазикомпактной диагональю является алгебраическим стеком, связанным со схемой X {\ displaystyle X}X.

Стеки объектов

  • A Групповой стек.
  • Стек модулей векторных расслоений : категория векторных расслоений V → S представляет собой стек над категорией топологических пространств. S. Морфизм из V → S в W → T состоит из непрерывных отображений из S в T и из V в W (линейных на слоях) таких, что очевидный квадрат коммутирует. Условие того, что это расслоенная категория, следует из того, что можно использовать обратные образы векторных расслоений над непрерывными отображениями топологических пространств, а условие эффективности спуска данных следует из того, что можно построить векторное расслоение над пространством, склеивая векторные расслоения на элементы открытой крышки.
  • Стек квазикогерентных пучков на схемах (относительно fpqc-топологии и более слабых топологий)
  • Стек аффинных схем по базовой схеме (опять же по отношению к топологии fpqc или более слабой)

Конструкции со стеками

Коэффициенты стека

Если X {\ displaystyle X}X- схема (S ch / S) {\ displaystyle (Sch / S)}{\displaystyle (Sch/S)}и G {\ displaystyle G}G- гладкая аффинная групповая схема, действующая на X {\ displaystyle X}X, тогда существует факторно-алгебраический стек [X / G] {\ displaystyle [X / G]}[X/G], взяв схему Y → S {\ displaystyle Y \ to S}Y\to Sв группоид G {\ displaystyle G}G-торсоров по S {\ displaystyle S}S-схеме Y { \ displaystyle Y}Yс G {\ displaystyle G}G-эквивариантное отображение в X {\ displaystyle X}X. Явно, учитывая пробел X {\ displaystyle X}Xс действием G {\ displaystyle G}G, формирует стек [X / G ] {\ displaystyle [X / G]}[X/G]который (интуитивно говоря) отправляет пробел Y {\ displaystyle Y}Yгруппоиду отката диаграммы

[X / G] (Y) = {Z → Φ X ↓ ↓ Y → ϕ [X / G]} {\ displaystyle [X / G] (Y) = {\ begin {Bmatrix} Z {\ xrightarrow {\ Phi}} X \\\ downarrow \ downarrow \\ Y {\ xrightarrow {\ phi}} [X / G] \ end {Bmatrix}}}{\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z{\xrightarrow {\Phi }}X\\\downarrow \downarrow \\Y{\xrightarrow {\phi }}[X/G]\end{Bmatrix}}}

где Φ {\ displaystyle \ Phi}\Phi представляет собой G {\ displaystyle G}G-эквивариантный морфизм пространств и Z → Y {\ displaystyle Z \ to Y}Z\to Yявляется основным G {\ displaystyle G}G-bundle. Морфизмы в этой категории - это просто морфизмы диаграмм, где стрелки в правой части равны, а стрелки в левой части - это морфизмы главного G {\ displaystyle G}G- связки.

Классифицирующий стек

Особый случай этого, когда X является точкой, дает классифицирующий стек BG гладкой аффинной групповой схемы G: BG: = [ pt / G]. {\ displaystyle {\ textbf {B}} G: = [pt / G].}{\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}Он назван так, поскольку категория BG (Y) {\ displaystyle \ mathbf {B} G ( Y)}{\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}, слой над Y, в точности соответствует категории Bun G ⁡ (Y) {\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (Y)}{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}of Principal G {\ displaystyle G}G-bundles over Y {\ displaystyle Y}Y. Обратите внимание, что Bun G ⁡ (Y) {\ displaystyle \ operatorname {Bun} _ {G} (Y)}{\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}сам по себе может рассматриваться как стек, стек модулей главного G -бандлы на Y.

Важным подпримером из этой конструкции является BGL n {\ displaystyle \ mathbf {B} GL_ {n}}{\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}, который является стеком модулей главного GL n {\ displaystyle GL_ {n}}GL_{n}- связки. Поскольку данные основного GL n {\ displaystyle GL_ {n}}GL_{n}-bundle эквивалентны данным ранга n {\ displaystyle n}nвекторный пакет, он изоморфен стеку модулей ранга n {\ displaystyle n}nвекторных пакетов V ectn {\ displaystyle Vect_ {n}}{\displaystyle Vect_{n}}.

Стек модулей линейных пучков

Стек модулей линейных пучков равен BG m {\ displaystyle B \ mathbb {G} _ {m}}B\mathbb{G}_m, поскольку каждый линейный пучок канонически изоморфен основной G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}\mathbb {G} _{m}-bundle. Для линейного набора L ∈ Pic (S) {\ displaystyle L \ in {\ text {Pic}} (S)}{\displaystyle L\in {\text{Pic}}(S)}относительная спецификация

Spec _ S (L) → S {\ displaystyle {\ underline {\ text {Spec}}} _ {S} (L) \ to S}{\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}(L)\to S}

дает набор геометрических линий. После удаления нулевого раздела появляется связанный G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}\mathbb {G} _{m}-bundle. И наоборот, из представления id: G m → Aut (A 1) {\ displaystyle id: \ mathbb {G} _ {m} \ на {\ text {Aut}} (\ mathbb {A} ^ {1 })}{\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}, связанный линейный пучок может быть восстановлен.

Gerbes

A gerbe - это стек в группоидах, у которого всегда есть непустая категория. например, тривиальный герб BG {\ displaystyle BG}BG, который назначает каждой схеме группоид основного G {\ displaystyle G}G-бандлы по схеме, для некоторой группы G {\ displaystyle G}G.

Relative spec and proj

Если A - квазикогерентный пучок алгебр в алгебраическом стеке X по схеме S, то существует стек Spec (A), обобщающий построение спектра Spec (A) коммутативного кольца A. Объект Spec (A) задается S-схемой T, объект x кольца X (T), и морфизм пучков алгебр из x * (A) в координатное кольцо O (T) алгебры T.

Если A - квазикогерентный пучок градуированных алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S, то существует стек Proj (A), обобщающий конструкцию проективной схемы Proj (A) градуированного кольца A.

Стеки модулей

Модули кривых

  • Mumford ( 1965) изучил стек модулей M 1,1 эллиптических кривых и показал, что его Пикара группа циклическая порядка 12. Для эллиптических кривых над комплексными числами соответствующий стек аналогичен частному верхней полуплоскости по действию модулярной группы .
  • пространство модулей алгебраических кривых M g {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}{\mathcal {M}}_{g}, определенное как универсальное семейство гладких кривых данный род g {\ displaystyle g}gне существует как алгебраическое многообразие, потому что, в частности, есть кривые, допускающие нетривиальные автоморфизмы. Однако существует стек модулей M g {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}{\mathcal {M}}_{g}, который является хорошей заменой несуществующего тонкого пространства модулей гладкого рода g {\ displaystyle g}gкривые. В более общем случае существует стек модулей M g, n {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}{\mathcal {M}}_{{g,n}}рода g {\ displaystyle g}gкривые с отмеченными точками n {\ displaystyle n}n. Как правило, это алгебраический стек и стек Делиня – Мамфорда для g ≥ 2 {\ displaystyle g \ geq 2}g\geq 2или g = 1, n ≥ 1 {\ displaystyle g = 1, n \ geq 1}{\displaystyle g=1,n\geq 1}или g = 0, n ≥ 3 {\ displaystyle g = 0, n \ geq 3}{\displaystyle g=0,n\geq 3}(другими словами, когда группы автоморфизмов кривых конечны). Этот стек модулей имеет завершение, состоящее из стека модулей устойчивых кривых (для заданных g {\ displaystyle g}gи n {\ displaystyle n}n), которые правильно по Spec Z . Например, M 0 {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {0}}\mathcal{M}_0- классифицирующий стек B PGL (2) {\ displaystyle B {\ text {PGL }} (2)}{\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}проективной полной линейной группы. (В определении M 1 {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1}}{\mathcal {M}}_{1}есть тонкость, так как для его построения нужно использовать алгебраические пространства, а не схемы.)

Пространства модулей Концевича

Другой широко изучаемый класс пространств модулей - это параметризация пространства стабильных отображений между кривыми фиксированного рода в фиксированное пространство X {\ displaystyle X}Xизображение которого представляет фиксированный класс когомологий. Эти пространства модулей обозначаются

M ¯ g, n (X, β) {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, \ beta)}{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta)}

и могут имеют дикое поведение, такое как сводимые стеки, компоненты которых не равны по размерам. Например, стек модулей

M ¯ 1, 0 (P 2, 3 [H]) {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {1,0} (\ mathbb {P} ^ {2}, 3 [H])}{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}

имеет гладкие кривые, параметризованные открытым подмножеством U ⊂ P 9 = P (Γ (P 2, O (3))) {\ displaystyle U \ subset \ mathbb {P} ^ {9} = \ mathbb {P} (\ Gamma (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (3)))}{\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}. На границе пространства модулей, где кривые могут вырождаться в приводимые кривые, имеется подстакан, параметризующий приводимые кривые с компонентом рода 0 {\ displaystyle 0}{\displaystyle 0}и видом 1 { \ displaystyle 1}1компонент, пересекающийся в одной точке, и карта отправляет кривую рода 1 {\ displaystyle 1}1в точку. Поскольку все кривые такого рода 1 {\ displaystyle 1}1параметризованы параметром U {\ displaystyle U}U, и есть дополнительный 1 {\ displaystyle 1}1размерный выбор места пересечения этих кривых на кривой рода 1 {\ displaystyle 1}1, компонент границы имеет размер 10 {\ displaystyle 10}10.

Другие стеки модулей

Геометрические стеки

Взвешенные проективные стеки

Построение весовых проективных пространств включает в себя факторное разнообразие некоторых A n + 1 - {0} {\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {n + 1} - \ {0 \}}{\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}на G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}\mathbb {G} _{m}-действие. В частности, действие отправляет кортеж

g ⋅ (x 0,…, xn) ↦ (ga 0 x 0,…, ganxn) { \ displaystyle g \ cdot (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto (g ^ {a_ {0}} x_ {0}, \ ldots, g ^ {a_ {n}} x_ {n})}{\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots,g^{a_{n}}x_{n})}

и частное этого действия дает взвешенное проективное пространство WP (a 0,…, an) {\ displaystyle \ mathbb {WP} (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}) }{\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots,a_{n})}. Так как это может быть взято как частное стека, взвешенный проективный стек равен

WP (a 0,…, an): = [A n - {0} / G m] { \ displaystyle {\ textbf {WP}} (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}): = [\ mathbb {A} ^ {n} - \ {0 \} / \ mathbb {G} _ {m }]}{\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}

Взяв множество исчезающих весовых многочленов в линейном расслоении f ∈ Γ (WP (a 0,…, an), O (a)) {\ displaystyle f \ in \ Gamma ({\ textbf {WP}} (a_ {0}, \ ldots, a_ {n}), {\ mathcal {O}} (a))}{\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}дает стековое взвешенное проективное многообразие.

Сложные кривые

Сложные кривые, или орбикривые, можно построить, взяв стек-фактор морфизма кривых по группе монодромии покрытия по общим точкам. Например, возьмем проективный морфизм

Proj (C [x, y, z] / (x 5 + y 5 + z 5)) → Proj (C [x, y]) {\ displaystyle {\ text {Proj }} (\ mathbb {C} [x, y, z] / (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5})) \ to {\ text {Proj}} (\ mathbb {C } [x, y])}{\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}

который в общем является etale. Стековое частное домена по μ 5 {\ displaystyle \ mu _ {5}}{\displaystyle \mu _{5}}дает стековый P 1 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}\mathbb {P} ^{1}с точками стека, которые имеют группу стабилизаторов Z / 5 {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5}{\displaystyle \mathbb {Z} /5}при корнях пятой степени из единицы в x / y { \ displaystyle x / y}x/y-график. Это потому, что это точки, в которых крышка разветвляется.

Неаффинный стек

Пример неаффинного стека дается полулинией с двумя исходными точками стека. Это можно построить как копредел двух включений [G m / (Z / 2)] → [A 1 / (Z / 2)] {\ displaystyle [\ mathbb {G} _ {m} / ( \ mathbb {Z} / 2)] \ to [\ mathbb {A} ^ {1} / (\ mathbb {Z} / 2)]}{\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}.

Квазикогерентные пучки на алгебраических стеках

На В алгебраическом стеке можно построить категорию квазикогерентных пучков, аналогичную категории квазикогерентных пучков над схемой.

Квазикогерентный пучок - это примерно такой пучок, который локально выглядит как пучок модуля над кольцом. Первая проблема состоит в том, чтобы решить, что подразумевается под «локально»: это включает в себя выбор топологии Гротендика, и для этого существует множество возможных вариантов, каждый из которых имеет некоторые проблемы, но ни один из них не кажется полностью удовлетворительным. Топология Гротендика должна быть достаточно сильной, чтобы стек был локально аффинным в этой топологии: схемы являются локально аффинными в топологии Зариски, поэтому это хороший выбор для схем, обнаруженных Серром, алгебраические пространства и стеки Делиня-Мамфорда локально аффинны в топологии etale топологии, поэтому обычно для них используется этальная топология, в то время как алгебраические стеки локально аффинны в гладкой топологии, поэтому в этом случае можно использовать гладкую топологию. Для общих алгебраических стеков этальная топология не имеет достаточно открытых множеств: например, если G - гладкая связная группа, то единственными этальными покрытиями классифицирующего стека BG являются объединения копий BG, которых недостаточно, чтобы дать правильную теорию. квазикогерентных пучков.

Вместо использования гладкой топологии для алгебраических стеков часто используют ее модификацию, называемую топологией Lis-Et (сокращение от Lisse-Etale: lisse - французский термин для обозначения гладкости), который имеет те же открытые множества, что и гладкая топология, но открытые покрытия задаются эталем, а не гладкими отображениями. Обычно это приводит к эквивалентной категории квазикогерентных пучков, но ее проще использовать: например, ее легче сравнивать с этальной топологией на алгебраических пространствах. Топология Lis-Et имеет тонкую техническую проблему: морфизм между стеками, как правило, не дает морфизма между соответствующими топоями. (Проблема заключается в том, что, хотя можно построить пару сопряженных функторов f *, f *, необходимых для геометрического морфизма тополей, функтор f * в целом не остается точным. Эта проблема известна за то, что вызвали некоторые ошибки в опубликованных статьях и книгах.) Это означает, что построение отката квазикогерентного пучка при морфизме стеков требует некоторых дополнительных усилий.

Также возможно использовать более тонкую топологию. Наиболее разумные «достаточно большие» топологии Гротендика, кажется, приводят к эквивалентным категориям квазикогерентных пучков, но чем крупнее топология, тем труднее с ней работать, поэтому обычно предпочитают использовать меньшие топологии, если у них достаточно открытых множеств. Например, большая топология fppf приводит по существу к той же категории квазикогерентных пучков, что и топология Лис-Эта, но имеет тонкую проблему: естественное вложение квазикогерентных пучков в O X модулей в эта топология не точна (она не сохраняет ядра вообще).

Другие типы стека

Дифференцируемые стеки и топологические стеки определяются аналогично алгебраическим стекам, за исключением того, что основная категория аффинных схем заменяется категорией гладких многообразий или топологических пространств.

В более общем плане можно определить понятие n-пучка или n – 1 стека, который примерно представляет собой своего рода пучок, принимающий значения в n – 1 категориях. Есть несколько неэквивалентных способов сделать это. 1-связки - это связки, а 2-связки - это стопки. Они называются.

Очень похожее и аналогичное расширение - это развитие теории стека на недискретных объектах (то есть пространство на самом деле является спектром в алгебраической топологии). Результирующие стековые объекты называются производными стеками (или спектральными стеками). Якоб Лурье в своей книге «Спектральная алгебраическая геометрия» изучает обобщение, которое он называет а. По определению, это окольцованный ∞-топос, который локально является этальным спектром этального спектра E∞-кольца (это понятие включает понятие производная схема, по крайней мере, с нулевой характеристикой.)

Теоретико-множественные проблемы

Существуют некоторые незначительные теоретические множественные проблемы с обычным основанием теории стеков, потому что стеки часто определены как определенные функторы к категории множеств и поэтому не являются множествами. Есть несколько способов решения этой проблемы:

  • Можно работать с вселенными Гротендика: тогда стек является функтором между классами некоторой фиксированной вселенной Гротендика, так что эти классы и стеки являются наборами в более крупной вселенной Гротендика. Недостатком этого подхода является то, что нужно предполагать существование достаточного количества вселенных Гротендика, что, по сути, является аксиомой большого кардинала.
  • Можно определить стеки как функторы множества наборов достаточно большой ранг, и внимательно отслеживайте ранги различных используемых наборов. Проблема в том, что это требует некоторого дополнительного довольно утомительного бухгалтерского учета.
  • Можно использовать принципы отражения теории множеств, утверждающие, что можно найти установленные модели любого конечного фрагмента аксиом ZFC, чтобы показать, что можно автоматически найти множества, которые являются достаточно близкими приближениями к универсуму всех множеств.
  • Можно просто игнорировать проблему. This is the approach taken by many authors.

See also

Notes

References

Pedagogical

  • Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraic stacks, archived from the original on 2008-05-05
  • Goméz, Tomás (1999), Algebraic stacks, arXiv :math/9911199, Bibcode :1999math.....11199G is an expository article describing the basics of stacks with examples.
  • Edidin, Dan (2003), "What is... a Stack?" (PDF), Notices of the AMS, 50(4): 458–459

Guides to the literature

References

Further reading

External links

Последняя правка сделана 2021-06-09 07:01:36
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте