В математике стек или 2-связка, грубо говоря, связка, который принимает значения в категориях, а не в наборах. Стеки используются для формализации некоторых основных построений теории спуска и для построения точных стеков модулей, когда точных пространств модулей не существует.
Теория спуска связана с обобщениями ситуаций, в которых изоморфные совместимые геометрические объекты (такие как векторные пучки в топологических пространствах ) могут быть " склеены "в пределах топологического базиса. В более общей настройке ограничения заменяются откатами ; волокнистые категории затем составляют хорошую основу для обсуждения возможности такого склеивания. Интуитивное значение стека состоит в том, что это расслоенная категория, в которой «работают все возможные склейки». Спецификация склейок требует определения покрытий, в отношении которых можно рассматривать склейки. Оказывается, что общий язык для описания этих покрытий - это язык топологии Гротендика. Таким образом, стек формально задается как расслоенная категория над другой базовой категорией, где основа имеет топологию Гротендика и где расслоенная категория удовлетворяет нескольким аксиомам, которые гарантируют существование и единственность определенных склейок относительно топологии Гротендика.
Стеки являются базовой структурой алгебраических стеков ( также называемые стеками Артина) и стеками Делиня – Мамфорда, которые обобщают схемы и алгебраические пространства и которые особенно полезны при изучении пространств модулей. Есть включения: схемы ⊆ алгебраические пространства ⊆ стеки Делиня – Мамфорда ⊆ алгебраические стеки (стеки Артина) ⊆ стеки.
Edidin (2003) и Fantechi (2001) дают краткие вступительные отчеты о стеках, Gómez (2001), Olsson (2007) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFOlsson2007 (help ) и Vistoli (2005) дают более подробные представления, а Laumon Moret-Bailly (2000) описывает более продвинутую теорию.
Письмо Гротендика Серру, 5 ноября 1959 г.
Концепция стеков берет свое начало в определении эффективных данных спуска в Гротендике. (1959). В письме Серру в 1959 г. Гротендик заметил, что фундаментальным препятствием для построения хороших пространств модулей является существование автоморфизмов. Основная мотивация для стеков заключается в том, что если пространство модулей для некоторой проблемы не существует из-за существования автоморфизмов, все еще может быть возможно построить стек модулей.
Мамфорд (1965) изучал группу Пикара стека модулей эллиптических кривых до того, как были определены стеки. Стеки были впервые определены Жиро (1966, 1971), а термин «стек» был введен Deligne Mumford (1969) для первоначального французского термина "чемпион" означает "поле". В этой статье они также представили стеки Делиня – Мамфорда, которые они назвали алгебраическими стеками, хотя термин «алгебраический стек» теперь обычно относится к более общим стекам Артина, введенным Артин (1974).
При определении частных схем по групповым действиям часто бывает невозможно, чтобы частное было схемой и все же удовлетворяло желаемым свойствам для частного. Например, если несколько точек имеют нетривиальные стабилизаторы, то категориальный фактор не будет существовать среди схем.
Таким же образом пространства модулей кривых, векторных пучков или других геометрических объектов часто лучше всего определять как стеки, а не схемы. При построении пространств модулей часто сначала строят большее пространство, параметризуя рассматриваемые объекты, а затем вычисляя фактор по групповому действию, чтобы учесть объекты с автоморфизмами, которые были пересчитаны.
Категория с функтором категории называется расслоенной категорией над , если для любого морфизма в и любой объект из с изображением (под функтором), есть откат из на . Это означает морфизм с изображением такой, что любой морфизм с изображение можно разложить на множители как уникальным морфизмом в таким, что Функтор отображает в . Элемент называется откатом из вдоль и уникален с точностью до канонического изоморфизма.
Категория c называется prestack над категорией C с топологией Гротендика, если она расслоена над C и для любого объекта U из C и объектов x, y из c с образом U, функтор над категорией C / U в множества, переводящие F: V → U в Hom (F * x, F * y), является пучком. Эта терминология не согласуется с терминологией для пучков: предварительные штабели являются аналогами разделенных предварительных пучков, а не предварительных пучков. Некоторым авторам это требуется как свойство стеков, а не предварительных сумм.
Категория c называется стеком над категорией C с топологией Гротендика, если это предварительный стек над C и все данные спуска эффективны. Элемент данных спуска примерно состоит из покрытия объекта V из C семейством V i, элементы x i в волокне над V i, и морфизмы f ji между ограничениями x i и x j на V ij=Vi×VVj, удовлетворяющие условию совместимости f ki = f kjfji. Дата спуска называется эффективным, если элементы x i по существу являются откатами элемента x с изображением V.
Стек называется стеком . в группоидах или (2,1) -пучок, если он также расслоен в группоидах, что означает, что его волокна (прообразы объектов C) являются группоидами. Некоторые авторы используют слово «стек» для обозначения более ограничительного понятия стека в группоидах.
Алгебраический стек или Артин стек - это стек в группоидах X над сайтом fppf, так что диагональная карта X представима, и существует гладкая сюръекция из (стека, связанного с) схемы в X. Морфизм Y X стеков является представимым, если, для каждого морфизма S X из (связанного стека) схемы в X, продукт волокна Y × X S изоморфен (стеку, связанному с) алгебраическому пространству. волоконный продукт стеков определяется с помощью обычного универсального свойства и изменения требования коммутации диаграмм на требование их коммутации. См. Также морфизм алгебраических стеков для получения дополнительной информации.
Мотивация представимости диагонали следующая: диагональный морфизм представимо тогда и только тогда, когда для любой пары морфизмов алгебраических пространств , их продукт волокна является представимым.
A Стек Делиня – Мамфорда представляет собой алгебраический стек X такой, что существует этальная сюръекция схемы в X. Грубо говоря, стеки Делиня – Мамфорда можно рассматривать как алгебраические стеки, объекты которых не имеют бесконечно малых автоморфизмы.
С момента создания алгебраических стеков ожидалось, что они являются локально частными стеками формы где - линейно редуктивная алгебраическая группа. Недавно было доказано, что это так: для квазиразделенного алгебраического стека локально конечного типа над алгебраически замкнутым полем , стабилизаторы которого аффинны, и a гладкая и замкнутая точка с линейно редуктивной группой стабилизаторов , существует эталонное покрытие из частного GIT , где , такая, что диаграмма
декартово, и существует этальный морфизм
индуцируя изоморфизм группы стабилизаторов в и .
Если - схема и - гладкая аффинная групповая схема, действующая на , тогда существует факторно-алгебраический стек , взяв схему в группоид -торсоров по -схеме с -эквивариантное отображение в . Явно, учитывая пробел с действием , формирует стек который (интуитивно говоря) отправляет пробел группоиду отката диаграммы
где представляет собой -эквивариантный морфизм пространств и является основным -bundle. Морфизмы в этой категории - это просто морфизмы диаграмм, где стрелки в правой части равны, а стрелки в левой части - это морфизмы главного - связки.
Особый случай этого, когда X является точкой, дает классифицирующий стек BG гладкой аффинной групповой схемы G: Он назван так, поскольку категория , слой над Y, в точности соответствует категории of Principal -bundles over . Обратите внимание, что сам по себе может рассматриваться как стек, стек модулей главного G -бандлы на Y.
Важным подпримером из этой конструкции является , который является стеком модулей главного - связки. Поскольку данные основного -bundle эквивалентны данным ранга векторный пакет, он изоморфен стеку модулей ранга векторных пакетов .
Стек модулей линейных пучков равен , поскольку каждый линейный пучок канонически изоморфен основной -bundle. Для линейного набора относительная спецификация
дает набор геометрических линий. После удаления нулевого раздела появляется связанный -bundle. И наоборот, из представления , связанный линейный пучок может быть восстановлен.
A gerbe - это стек в группоидах, у которого всегда есть непустая категория. например, тривиальный герб , который назначает каждой схеме группоид основного -бандлы по схеме, для некоторой группы .
Если A - квазикогерентный пучок алгебр в алгебраическом стеке X по схеме S, то существует стек Spec (A), обобщающий построение спектра Spec (A) коммутативного кольца A. Объект Spec (A) задается S-схемой T, объект x кольца X (T), и морфизм пучков алгебр из x * (A) в координатное кольцо O (T) алгебры T.
Если A - квазикогерентный пучок градуированных алгебр в алгебраическом стеке X над схемой S, то существует стек Proj (A), обобщающий конструкцию проективной схемы Proj (A) градуированного кольца A.
Другой широко изучаемый класс пространств модулей - это параметризация пространства стабильных отображений между кривыми фиксированного рода в фиксированное пространство изображение которого представляет фиксированный класс когомологий. Эти пространства модулей обозначаются
и могут имеют дикое поведение, такое как сводимые стеки, компоненты которых не равны по размерам. Например, стек модулей
имеет гладкие кривые, параметризованные открытым подмножеством . На границе пространства модулей, где кривые могут вырождаться в приводимые кривые, имеется подстакан, параметризующий приводимые кривые с компонентом рода и видом компонент, пересекающийся в одной точке, и карта отправляет кривую рода в точку. Поскольку все кривые такого рода параметризованы параметром , и есть дополнительный размерный выбор места пересечения этих кривых на кривой рода , компонент границы имеет размер .
Построение весовых проективных пространств включает в себя факторное разнообразие некоторых на -действие. В частности, действие отправляет кортеж
и частное этого действия дает взвешенное проективное пространство . Так как это может быть взято как частное стека, взвешенный проективный стек равен
Взяв множество исчезающих весовых многочленов в линейном расслоении дает стековое взвешенное проективное многообразие.
Сложные кривые, или орбикривые, можно построить, взяв стек-фактор морфизма кривых по группе монодромии покрытия по общим точкам. Например, возьмем проективный морфизм
который в общем является etale. Стековое частное домена по дает стековый с точками стека, которые имеют группу стабилизаторов при корнях пятой степени из единицы в -график. Это потому, что это точки, в которых крышка разветвляется.
Пример неаффинного стека дается полулинией с двумя исходными точками стека. Это можно построить как копредел двух включений .
На В алгебраическом стеке можно построить категорию квазикогерентных пучков, аналогичную категории квазикогерентных пучков над схемой.
Квазикогерентный пучок - это примерно такой пучок, который локально выглядит как пучок модуля над кольцом. Первая проблема состоит в том, чтобы решить, что подразумевается под «локально»: это включает в себя выбор топологии Гротендика, и для этого существует множество возможных вариантов, каждый из которых имеет некоторые проблемы, но ни один из них не кажется полностью удовлетворительным. Топология Гротендика должна быть достаточно сильной, чтобы стек был локально аффинным в этой топологии: схемы являются локально аффинными в топологии Зариски, поэтому это хороший выбор для схем, обнаруженных Серром, алгебраические пространства и стеки Делиня-Мамфорда локально аффинны в топологии etale топологии, поэтому обычно для них используется этальная топология, в то время как алгебраические стеки локально аффинны в гладкой топологии, поэтому в этом случае можно использовать гладкую топологию. Для общих алгебраических стеков этальная топология не имеет достаточно открытых множеств: например, если G - гладкая связная группа, то единственными этальными покрытиями классифицирующего стека BG являются объединения копий BG, которых недостаточно, чтобы дать правильную теорию. квазикогерентных пучков.
Вместо использования гладкой топологии для алгебраических стеков часто используют ее модификацию, называемую топологией Lis-Et (сокращение от Lisse-Etale: lisse - французский термин для обозначения гладкости), который имеет те же открытые множества, что и гладкая топология, но открытые покрытия задаются эталем, а не гладкими отображениями. Обычно это приводит к эквивалентной категории квазикогерентных пучков, но ее проще использовать: например, ее легче сравнивать с этальной топологией на алгебраических пространствах. Топология Lis-Et имеет тонкую техническую проблему: морфизм между стеками, как правило, не дает морфизма между соответствующими топоями. (Проблема заключается в том, что, хотя можно построить пару сопряженных функторов f *, f *, необходимых для геометрического морфизма тополей, функтор f * в целом не остается точным. Эта проблема известна за то, что вызвали некоторые ошибки в опубликованных статьях и книгах.) Это означает, что построение отката квазикогерентного пучка при морфизме стеков требует некоторых дополнительных усилий.
Также возможно использовать более тонкую топологию. Наиболее разумные «достаточно большие» топологии Гротендика, кажется, приводят к эквивалентным категориям квазикогерентных пучков, но чем крупнее топология, тем труднее с ней работать, поэтому обычно предпочитают использовать меньшие топологии, если у них достаточно открытых множеств. Например, большая топология fppf приводит по существу к той же категории квазикогерентных пучков, что и топология Лис-Эта, но имеет тонкую проблему: естественное вложение квазикогерентных пучков в O X модулей в эта топология не точна (она не сохраняет ядра вообще).
Дифференцируемые стеки и топологические стеки определяются аналогично алгебраическим стекам, за исключением того, что основная категория аффинных схем заменяется категорией гладких многообразий или топологических пространств.
В более общем плане можно определить понятие n-пучка или n – 1 стека, который примерно представляет собой своего рода пучок, принимающий значения в n – 1 категориях. Есть несколько неэквивалентных способов сделать это. 1-связки - это связки, а 2-связки - это стопки. Они называются.
Очень похожее и аналогичное расширение - это развитие теории стека на недискретных объектах (то есть пространство на самом деле является спектром в алгебраической топологии). Результирующие стековые объекты называются производными стеками (или спектральными стеками). Якоб Лурье в своей книге «Спектральная алгебраическая геометрия» изучает обобщение, которое он называет а. По определению, это окольцованный ∞-топос, который локально является этальным спектром этального спектра E∞-кольца (это понятие включает понятие производная схема, по крайней мере, с нулевой характеристикой.)
Существуют некоторые незначительные теоретические множественные проблемы с обычным основанием теории стеков, потому что стеки часто определены как определенные функторы к категории множеств и поэтому не являются множествами. Есть несколько способов решения этой проблемы: