Псевдодифференциальный оператор

В математическом анализе псевдодифференциальный оператор является расширением понятие дифференциального оператора. Псевдодифференциальные операторы широко используются в теории уравнений в частных производных и квантовой теории поля.

• 1 История
• 2 Мотивация
  • 2.1 Линейные дифференциальные операторы с постоянной коэффициенты
  • 2.2 Представление решений уравнений в частных производных
• 3 Определение псевдодифференциальных операторов
• 4 Свойства
• 5 Ядро псевдодифференциального оператора
• 6 См. также
• 7 Сноски
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Изучение псевдодифференциальных операторов началось в середине 1960-х годов с работ Кона, Ниренберг, Хёрмандер, Унтербергер и Бокобза.

Они сыграли важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи – Зингера об индексе через K- теория. Атия и Сингер поблагодарили Хёрмандера за помощь в понимании теории псевдодифференциальных операторов.

Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,

$P\; (D):\; =\; \sum \; \alpha \; a\; \alpha \; D\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (D):\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; a\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

, который действует на гладкие функции $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$с компактной поддержкой в ​​R . Этот оператор может быть записан как композиция преобразования Фурье, простого умножения на полиномиальную функцию (называемую символом )

$P\; (\xi )\; =\; \sum \; \alpha \; a\; \alpha \; \xi \; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; xi)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; a\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash ,\; \backslash \; xi\; ^\; \{\backslash \; alpha\},\}$

и обратное преобразование Фурье в форме:

$P\; (D)\; U\; (Икс)\; знак\; равно\; 1\; (2\; \pi )\; N\; \int \; R\; N\; \int \; R\; nei\; (x\; -\; Y)\; \xi \; P\; (\xi )\; u\; (y)\; dyd\; \xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; P\; (D)\; u\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{i\; (xy)\; \backslash \; xi\}\; P\; (\backslash \; xi)\; u\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\}$

(1)

Здесь $\alpha \; =\; (\alpha \; 1,\dots ,\; \alpha \; n)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\})\}$- это мультииндекс, $a\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$- комплексные числа, а

$D\; \alpha \; =\; (-\; i\; \partial \; 1)\; \alpha \; 1\; \cdots \; (-\; i\; \partial \; n)\; \alpha \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; (-i\; \backslash \; partial\; \_\; \{1\})\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; (-i\; \backslash \; partial\; \_\; \{n\})\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\}$

- повторная частная производная, где ∂ j означает дифференцирование по j-й переменной ле Мы вводим константы $-\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; -i\}$, чтобы облегчить вычисление преобразований Фурье.

Вывод формулы (1)

Преобразование Фурье гладкой функции u, с компактным носителем в R, равно

$u\; ^\; (\xi ):\; =\; \int \; e\; -\; iy\; \xi \; u\; (y)\; dy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; (\backslash \; xi):\; =\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{-\; iy\; \backslash \; xi\}\; u\; (y)\; \backslash ,\; dy\}$

и обращение Фурье формула дает

$u\; (x)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; n\; \int \; eix\; \xi \; u\; ^\; (\xi )\; d\; \xi \; =\; 1\; (2\; \pi )\; n\; \iint \; ei\; (x\; -\; y)\; \xi \; u\; (y)\; dyd\; \xi \; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{ix\; \backslash \; xi\}\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; (\backslash \; xi)\; d\; \backslash \; xi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; iint\; e\; ^\; \{i\; (xy)\; \backslash \; xi\}\; u\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\}$

Применяя P ( D) к этому представлению u и используя

$P\; (D\; x)\; ei\; (x\; -\; y)\; \xi \; =\; ei\; (x\; -\; y)\; \xi \; P\; (\xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (D\_\; \{x\})\; \backslash ,\; e\; ^\; \{i\; (xy)\; \backslash \; xi\}\; =\; e\; ^\; \{i\; (xy)\; \backslash \; xi\}\; \backslash ,\; P\; (\backslash \; xi)\}$

получается формула (1).

Представление решений частичного дифференциальные уравнения

Чтобы решить дифференциальное уравнение в частных производных

$P\; (D)\; u\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (D)\; \backslash ,\; u\; =\; f\}$

, мы (формально) применяем преобразование Фурье к обоим сторон и получаем алгебраическое уравнение

$P\; (\xi )\; u\; ^\; (\xi )\; =\; f\; ^\; (\xi ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; (\backslash \; xi)\; =\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; xi).\}$

Если символ P (ξ) никогда не равен нулю, когда ξ ∈ R, то можно разделить на P (ξ):

$u\; ^\; (\xi )\; =\; 1\; P\; (\xi )\; f\; ^\; (\xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; (\backslash \; xi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\; (\backslash \; xi)\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; xi)\}$

По формуле обращения Фурье решение:

$u\; (x)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; n\; \int \; eix\; \xi \; 1\; P\; (\xi )\; f\; ^\; (\xi )\; d\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{ix\; \backslash \; xi\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\; (\backslash \; xi)\}\}\; \{\; \backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Здесь предполагается, что:

1. P (D) - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами,
2. его символ P (ξ) никогда не равно нулю,
3. и u, и ƒ имеют хорошо определенное преобразование Фурье.

Последнее предположение может быть ослаблено с помощью теории распределений. Первые два предположения можно ослабить следующим образом.

В последней формуле запишите преобразование Фурье, чтобы получить

$u\; (x)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; n\; \iint \; ei\; (x\; -\; y)\; \xi \; 1\; P\; (\xi )\; f\; (y)\; dyd\; \xi .\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; iint\; e\; ^\; \{я\; (ху)\; \backslash \; xi\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{P\; (\backslash \; xi)\; \}\}\; f\; (y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi.\}$

Это похоже на формулу (1), за исключением того, что 1 / P (ξ) не является полиномиальной функцией, а является функцией более общий вид.

Здесь мы рассматриваем псевдодифференциальные операторы как обобщение дифференциальных операторов. Расширим формулу (1) следующим образом. Псевдодифференциальный оператор P (x, D) на R - это оператор, значение которого на функции u (x) является функцией x:

$P\; (x,\; D)\; U\; (Икс)\; знак\; равно\; 1\; (2\; \pi )\; N\; \int \; R\; neix\; \cdot \; \xi \; P\; (x,\; \xi )\; u\; ^\; (\xi )\; d\; \xi \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; quad\; P\; (x,\; D)\; u\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; xi\}\; P\; (x,\; \backslash \; xi)\; \{\backslash \; hat\; \{u\; \}\}\; (\backslash \; xi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; xi\}$

(2)

где $u\; ^\; (\xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; (\backslash \; xi)\}$является преобразованием Фурье функции u, а символ P (x, ξ) в подынтегральном выражении принадлежит определенному классу символов. Например, если P (x, ξ) - бесконечно дифференцируемая функция на R× Rсо свойством

$|\; \partial \; \xi \; \alpha \; \partial \; x\; \beta \; P\; (x,\; \xi )\; |\; \le \; C\; \alpha ,\; \beta \; (1\; +\; |\; \xi \; |)\; m\; -\; |\; \alpha \; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; xi\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; P\; (x,\; \backslash \; xi)\; |\; \backslash \; leq\; C\; \_\; \{\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; \backslash ,\; (1+\; |\; \backslash \; xi\; |)\; ^\; \{m-\; |\; \backslash \; alpha\; |\}\}$

для всех x, ξ ∈ R, всех мультииндексов α, β, некоторых констант C α, β и некоторое действительное число m, тогда P принадлежит классу символов $S\; 1,\; 0\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{S\_\; \{1,0\}\; ^\; \{m\}\}\}$из Hörmander. Соответствующий оператор P (x, D) называется псевдодифференциальным оператором порядка m и принадлежит классу $\Psi \; 1,\; 0\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; Psi\; \_\; \{1,0\}\; ^\; \{m\}\}.\}$

Линейные дифференциальные операторы порядка m с гладкими ограниченными коэффициентами являются псевдодифференциальными операторами порядка m. Композиция PQ двух псевдодифференциальных операторов P, Q снова является псевдодифференциальным оператором, а символ PQ может быть вычислен с использованием символов P и Q. Сопряженный и транспонированный псевдодифференциальный оператор является псевдодифференциальным оператором. дифференциальный оператор.

Если дифференциальный оператор порядка m (равномерно) эллиптический (порядка m) и обратим, то его обратный оператор является псевдодифференциальным оператором порядка −m, и его символ может рассчитываться. Это означает, что можно более или менее явно решать линейные эллиптические дифференциальные уравнения, используя теорию псевдодифференциальных операторов.

Дифференциальные операторы являются локальными в том смысле, что нужно только значение функции в окрестности точки, чтобы определить эффект оператора. Псевдодифференциальные операторы являются псевдолокальными, что неформально означает, что при применении к распределению они не создают сингулярности в точках, где распределение уже было гладким.

Так же, как дифференциальный оператор может быть выражен через D = −id / dx в форме

$p\; (x,\; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x,\; D)\; \backslash ,\}$

для полинома p в D (который называется символом) псевдодифференциальный оператор имеет символ в более общем классе функций. Часто задачу анализа псевдодифференциальных операторов можно свести к последовательности алгебраических задач, связанных с их символами, и в этом суть микролокального анализа.

Псевдо -дифференциальные операторы могут быть представлены ядрами. Особенность ядра на диагонали зависит от степени соответствующего оператора. Фактически, если символ удовлетворяет указанным выше дифференциальным неравенствам с m ≤ 0, можно показать, что ядро ​​является сингулярным интегральным ядром.

• Дифференциальная алгебра для определения псевдо- дифференциальные операторы в контексте дифференциальных алгебр и дифференциальных колец.
• преобразование Фурье
• интегральный оператор Фурье
• осциллирующий интегральный оператор

• Stein, Elias ( 1993), Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы, Princeton University Press CS1 maint: ref = harv (ссылка ).
• Атья, Майкл Ф. ; Зингер, Исадор М. (1968), «Указатель эллиптических операторов I», Annals of Mathematics, 87 (3): 484–530, doi : 10.2307 / 1970715, JSTOR 1970715 CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• Майкл Э. Тейлор, Псевдодифференциальные операторы, Princeton Univ. Press, 1981. ISBN 0-691-08282 -0
• М. А. Шубин, Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X
• Франсуа Тревес, Введение в псевдодифференциал и Фурье Интегральные операторы, (Университетская серия по математике), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
• F. Г. Фридлендер и М. Джоши, Введение в теорию распределений, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-64971-4
• Хёрмандер, Ларс ( 1987). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. III. Псевдодифференциальные операторы. Springer. ISBN 3-540-49937-7.

• Лекции по псевдодифференциальным операторам от Марка С. Джоши на arxiv.org.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]