Теорема спина – статистики

В квантовой механике спин -Статистическая теорема связывает собственный спин частицы (угловой момент не из-за орбитального движения) со статистикой частицы, которой она подчиняется. В единицах приведенной постоянной Планка ħ все частицы, которые движутся в 3 измерениях, имеют либо целочисленное вращение, либо полу- целое число спин.

Содержание

• 1 Предпосылки
  • 1.1 Квантовые состояния и неразличимые частицы
  • 1.2 Обменная симметрия или перестановочная симметрия
  • 1.3 Связь спин-статистика
  • 1.4 Утверждение теоремы
• 2 Общее обсуждение
  • 2.1 Предполагающий ложный аргумент
  • 2.2 Почему неверный аргумент не работает
• 3 Доказательство
• 4 Последствия
  • 4.1 Фермионные поля
  • 4.2 Бозонные поля
  • 4.3 Призрачные поля
• 5 Отношение к теории представлений группы Лоренца
• 6 Ограничения: анионы в двух измерениях
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Предпосылки

Квантовые состояния и неразличимые частицы

В квантовой системе физическое состояние описывается вектором состояния. Пара различных векторов состояния физически эквивалентны, если их абсолютное значение равно, без учета других взаимодействий. Такая пара неразличимых частиц имеет только одно состояние. Это означает, что если положения частиц меняются местами (т.е. они претерпевают перестановку), это не идентифицирует новое физическое состояние, а скорее соответствует исходному физическому состоянию. Фактически, невозможно сказать, какая частица находится в каком положении.

Хотя физическое состояние не изменяется при смене положений частиц, вектор состояния может менять знак в результате обмена. Поскольку при этом не изменяется абсолютное значение вектора состояния, это не влияет на физическое состояние.

Существенным ингредиентом в доказательстве связи спин / статистика является теория относительности, согласно которой физические законы не меняются при преобразованиях Лоренца. Операторы поля по определению преобразуются при преобразованиях Лоренца в соответствии со спином создаваемой ими частицы.

Кроме того, предположение (известное как микропричинность), что пространственно-подобные разделенные поля коммутируют или антикоммутируют, может быть сделано только для релятивистских теорий с направлением времени. В противном случае понятие космической сущности бессмысленно. Однако доказательство включает рассмотрение евклидовой версии пространства-времени, в которой направление времени рассматривается как пространственное, как будет теперь объяснено.

Преобразования Лоренца включают трехмерные повороты, а также повышения. Повышение скорости передается в систему отсчета с другой скоростью, что математически похоже на вращение во времени. Посредством аналитического продолжения корреляционных функций квантовой теории поля временная координата может стать мнимой, а затем ускорения станут вращениями. Новое «пространство-время» имеет только пространственные направления и называется евклидовым.

Обменная симметрия или перестановочная симметрия

Бозоны - это частицы, волновая функция которых симметрична при таком обмене или перестановке, поэтому, если мы поменяем местами частицы, волновая функция не изменится. Фермионы - это частицы, волновая функция которых антисимметрична, поэтому при таком обмене волновая функция получает знак минус, что означает, что амплитуда двух идентичных фермионов, занимающих одно и то же состояние, должна быть равна нулю. Это принцип исключения Паули : два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Для бозонов это правило не выполняется.

В квантовой теории поля состояние или волновая функция описывается операторами поля, действующими в некотором базовом состоянии, называемом вакуумом. Чтобы операторы могли спроецировать симметричную или антисимметричную составляющую создающей волновой функции, они должны иметь соответствующий закон коммутации. Оператор

$\iint \; \psi \; (x,\; y)\; \varphi \; (x)\; \varphi \; (y)\; dxdy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iint\; \backslash \; psi\; (x,\; y)\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (y)\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\}$

(с $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$оператором и $\psi \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; y)\}$числовая функция) создает двухчастичное состояние с волновой функцией $\psi \; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; y)\}$, и в зависимости от коммутационных свойств полей либо имеют значение только антисимметричные части или симметричные части.

Предположим, что $x\; \ne \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; neq\; y\}$и два оператора выполняются одновременно; в более общем смысле они могут иметь пространственное разделение, как поясняется ниже.

Если поля коммутируют, это означает, что выполняется следующее:

$\varphi \; (x)\; \varphi \; (y)\; =\; \varphi \; (y)\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (y)\; =\; \backslash \; phi\; (y)\; \backslash \; phi\; (x)\}$,

тогда только симметричная часть $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$участвует, так что $\psi \; (x,\; y)\; =\; \psi \; (y,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; psi\; (y,\; x)\}$, и поле создаст бозонные частицы.

С другой стороны, если поля антикоммутируют, это означает, что $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$имеет свойство

$\varphi \; (Икс)\; \varphi \; (Y)\; =\; -\; \varphi \; (Y)\; \varphi \; (X),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (y)\; =\; -\; \backslash \; phi\; (y)\; \backslash \; phi\; (x),\}$

только тогда антисимметричная часть $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$вносит свой вклад, так что $\psi \; (x,\; y)\; =\; -\; \psi \; (y,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; y)\; =\; -\; \backslash \; psi\; (y,\; x)\}$, и частицы будут фермионными.

На самом деле, ни то, ни другое не имеет ничего общего со спином, который определяет свойства вращения частиц, а не обменными свойствами.

Отношение спин-статистика

Отношение спин-статистика было впервые сформулировано в 1939 году Маркусом Фирцем и было перевоено более систематическим образом Вольфганг Паули. Фирц и Паули аргументировали свой результат перечислением всех теорий свободного поля с учетом требования наличия квадратичных форм для локально коммутируемых наблюдаемых, включая положительно определенную плотность энергии. Более концептуальный аргумент был предоставлен Джулианом Швингером в 1950 году. Ричард Фейнман продемонстрировал это, потребовав унитарности для рассеяния при изменении внешнего потенциала, что в переводе на язык поля - это условие на квадратичный оператор, который связан с потенциалом.

Утверждение теоремы

Теорема утверждает, что:

• волновая функция системы идентичных частиц с целочисленным спином имеет одинаковое значение, когда позиции любых двух частиц меняются местами. Частицы с волновыми функциями, симметричными относительно обмена, называются бозонами.
• Волновая функция системы идентичных частиц с полуцелым спином меняет знак, когда две частицы меняются местами. Частицы с волновыми функциями , антисимметричными относительно обмена, называются фермионами.

Другими словами, теорема спин-статистики утверждает, что частицы с целым спином являются бозонами, а частицы с полуцелым спином - фермионами.

Общее обсуждение

Предполагаемый ложный аргумент

Рассмотрим произведение двухполевого оператора

$R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; \varphi \; (-\; x),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (-x),\}$

где R - матрица, которая поворачивает спиновую поляризацию поля на 180 градусов при повороте на 180 градусов вокруг некоторой конкретной оси. Компоненты $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$не показаны в этих обозначениях. $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$имеет много компонентов, и матрица R смешивает их друг с другом.

В нерелятивистской теории этот продукт можно интерпретировать как уничтожение двух частиц в положениях $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $-\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\; \}$с поляризациями, повернутыми на $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$относительно друг друга. Теперь поверните эту конфигурацию на $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$вокруг начала координат. При этом повороте две точки $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $-\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\}$меняются местами, и две поляризации поля дополнительно повернут на $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$. Таким образом, мы получаем

$R\; (2\; \pi )\; \varphi \; (-\; x)\; R\; (\pi )\; \varphi \; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (2\; \backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x),\}$

который для целочисленного спина равен

$\varphi \; (-\; x)\; R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\}$

, а для полуцелого спина равно

$-\; \varphi \; (-\; x)\; R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\}$

(доказано на Вращение (физика) § Вращения ). Оба оператора $\pm \; \varphi \; (-\; x)\; R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\}$по-прежнему уничтожаются две частицы в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $-\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\}$. Таким образом, мы утверждаем, что показали, что относительно состояний частицы:

$R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; \varphi \; (-\; x)\; =\; \{\varphi \; (-\; x)\; R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; для\; целых\; спинов,\; -\; \varphi \; (-\; x)\; R\; (\pi )\; \varphi \; (x)\; для\; полуцелых\; спинов.\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (-x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{для\; целых\; спинов\; \}\},\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; (\backslash \; pi)\; \backslash \; phi\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{для\; полуцелых\; спинов\}\}.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Таким образом, меняя порядок Вставка двух соответственно поляризованных операторов в вакуум может быть сделана вращением за счет знака в полуцелом случае.

Этот аргумент сам по себе не доказывает ничего подобного соотношению спин – статистика. Чтобы понять, почему, рассмотрим нерелятивистское поле со спином 0, описываемое свободным уравнением Шредингера. Такое поле может быть антикоммутирующим или коммутирующим. Чтобы увидеть, где это не удается, представьте, что нерелятивистское поле со спином 0 не имеет поляризации, поэтому произведение выше просто:

$\varphi \; (-\; x)\; \varphi \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (-x)\; \backslash \; phi\; (x).\}$

В нерелятивистской теории этот продукт аннигилирует две частицы в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $-\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\}$и имеет нулевое ожидаемое значение в любом состоянии. Чтобы иметь ненулевой матричный элемент, это операторное произведение должно находиться между состояниями с двумя частицами справа больше, чем слева:

$⟨0\; |\; \varphi \; (-\; x)\; \varphi \; (x)\; |\; \psi ⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; phi\; (-x)\; \backslash \; phi\; (x)\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle.\}$

Выполняя вращение, все, что мы узнаем, - это вращение состояния с двумя частицами $|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$дает тот же знак, что и изменение порядка операторов. Это не дает дополнительной информации, поэтому этот аргумент ничего не доказывает.

Почему ложный аргумент не работает

Чтобы доказать теорему спиновой статистики, необходимо использовать относительность, что очевидно из согласованности нерелятивистского бесспинового фермиона и нерелятивистских спиновых бозонов. В литературе есть утверждения о доказательствах теоремы спиновой статистики, которые не требуют теории относительности, но они не являются доказательством теоремы, как показывают контрпримеры, а скорее являются аргументами в пользу того, почему спин-статистика «естественна», а неверна. -статистика «неестественная». В теории относительности связь обязательна.

В теории относительности нет локальных полей, которые были бы чистыми операторами созидания или операторами уничтожения. Каждое локальное поле одновременно создает частицы и аннигилирует соответствующую античастицу. Это означает, что в теории относительности произведение свободного реального поля со спином 0 имеет ненулевое значение математического ожидания вакуума, поскольку помимо создания частиц, которые не аннигилируют, и уничтожающих частиц, которые не создаются впоследствии, он также включает в себя часть, которая создает и аннигилирует "виртуальные" частицы, существование которых учитывается при расчетах взаимодействия, но никогда не в виде индексов матрицы рассеяния или асимптотических состояний.

$G\; (x)\; =\; ⟨0\; |\; \varphi \; (-\; x)\; \varphi \; (x)\; |\; 0⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\; =\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; phi\; (-x)\; \backslash \; phi\; (x)\; |\; 0\; \backslash \; rangle.\}$

И теперь можно использовать эвристический аргумент, чтобы увидеть, что $G\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x)\}$равно $G\; (-\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (-x)\}$, что говорит нам, что поля не могут быть антивирусными. -коммутатор.

Доказательство

Поворот на π в евклидовой плоскости xt может использоваться для поворота значений математического ожидания вакуума полевого произведения из предыдущего раздела. Поворот времени превращает рассуждения предыдущего раздела в теорему спин-статистики.

Доказательство требует следующих предположений:

1. Теория имеет лоренц-инвариантный лагранжиан.
2. Вакуум лоренц-инвариантен.
3. Частица является локализованным возбуждением. Микроскопически она не прикреплена к струне или доменной стенке.
4. Частица распространяется, что означает, что она имеет конечную, а не бесконечную массу.
5. Частица является настоящим возбуждением, то есть что состояния, содержащие эту частицу, имеют положительно определенную норму.

Эти предположения по большей части необходимы, как показывают следующие примеры:

1. бесспиновое антикоммутирующее поле показывает, что бесспиновые фермионы нерелятивистски согласованы. Точно так же теория коммутирующего спинорного поля показывает, что вращающиеся бозоны тоже.
2. Это предположение может быть ослаблено.
3. В 2 + 1 измерениях источники теории Черна – Саймонса может иметь экзотические вращения, несмотря на тот факт, что трехмерная группа вращения имеет только целочисленные и полуцелые представления спина.
4. Ультралокальное поле может иметь любую статистику независимо от его спина. Это связано с лоренц-инвариантностью, поскольку бесконечно массивная частица всегда нерелятивистская, а спин не связан с динамикой. Хотя цветные кварки прикреплены к струне КХД и имеют бесконечную массу, соотношение спин-статистика для кварков может быть доказано в пределе малых расстояний.
5. Калибровочные духи являются бесспиновыми фермионами, но они включают состояния с отрицательной нормой.

Предположения 1 и 2 подразумевают, что теория описывается интегралом по путям, а предположение 3 подразумевает, что существует локальное поле, которое создает частицу.

Плоскость вращения включает время, а вращение в плоскости, включающей время, в евклидовой теории определяет преобразование CPT в теории Минковского. Если теория описывается интегралом по путям, преобразование CPT переводит состояния в их сопряженные, так что корреляционная функция

$⟨0\; |\; R\; \varphi \; (x)\; \varphi \; (-\; x)\; |\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; R\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (-x)\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$

должно быть положительно определенным в x = 0 по предположению 5, состояния частиц имеют положительную норму. Предположение о конечной массе означает, что эта корреляционная функция отлична от нуля для пространственноподобного x. Лоренц-инвариантность теперь позволяет вращать поля внутри корреляционной функции так же, как и в предыдущем разделе:

$⟨0\; |\; R\; R\; \varphi \; (x)\; R\; \varphi \; (-\; x)\; |\; 0⟩\; =\; \pm \; ⟨0\; |\; \varphi \; (-\; x)\; R\; \varphi \; (x)\; |\; 0⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; RR\; \backslash \; phi\; (x)\; R\; \backslash \; phi\; (-x)\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; phi\; (-x)\; R\; \backslash \; phi\; (x)\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$

Где знак зависит от вращения, как и раньше. CPT-инвариантность, или евклидова вращательная инвариантность, корреляционной функции гарантирует, что она равна G (x). Итак

$⟨0\; |\; (R\; \varphi \; (x)\; \varphi \; (y)\; -\; \varphi \; (y)\; R\; \varphi \; (x))\; |\; 0⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; (R\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (y)\; -\; \backslash \; phi\; (y)\; R\; \backslash \; phi\; (x))\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$

для целочисленного вращения поля и

$⟨0\; |\; R\; \varphi \; (x)\; \varphi \; (y)\; +\; \varphi \; (y)\; R\; \varphi \; (x)\; |\; 0⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; R\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; phi\; (y)\; +\; \backslash \; phi\; (y)\; R\; \backslash \; phi\; (x)\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$

для полуцелого спина поля.

Поскольку операторы разделены пробелом, другой порядок может создавать только состояния, различающиеся фазой. Аргумент фиксирует фазу равной -1 или 1 в зависимости от спина. Поскольку пространственно-подобные разделенные поляризации можно вращать независимо посредством локальных возмущений, фаза не должна зависеть от поляризации в правильно выбранных координатах поля.

Этот аргумент принадлежит Джулиану Швингеру.

Невозможно дать элементарного объяснения теоремы о спиновой статистике, несмотря на то, что эту теорему так просто сформулировать. В лекциях Фейнмана по физике Ричард Фейнман сказал, что это, вероятно, означает, что у нас нет полного понимания задействованного фундаментального принципа. см. Дополнительная литература ниже.

Чтобы проверить теорему, Дрейк провел очень точные вычисления для состояний атома He, которые нарушают Принцип исключения Паули ; они называются пароническими состояниями . Позже паронное состояние 1s2s S 0, вычисленное Дрейком, искали с помощью спектрометра атомного пучка. Поиск не увенчался успехом с верхним пределом 5х10.

Последствия

Фермионные поля

Теорема спин-статистики подразумевает, что частицы с полуцелым спином подчиняются принципу исключения Паули, в то время как целочисленные -спиновые частицы нет. Только один фермион может занимать данное квантовое состояние в любой момент времени, в то время как количество бозонов, которые могут занимать квантовое состояние, не ограничено. Основными строительными блоками материи, такими как протоны, нейтроны и электроны, являются фермионы. Такие частицы, как фотон, которые передают силы между частицами материи, являются бозонами.

Распределение Ферми – Дирака, описывающее фермионы, приводит к интересным свойствам. Поскольку только один фермион может занимать данное квантовое состояние, самый низкий одночастичный уровень энергии для фермионов со спином 1/2 содержит не более двух частиц, причем спины частиц выровнены в противоположных направлениях. Таким образом, даже при абсолютном нуле система из более чем двух фермионов в этом случае все еще имеет значительное количество энергии. В результате такая фермионная система оказывает внешнее давление. Даже при ненулевых температурах такое давление может существовать. Это давление вырождения отвечает за удержание некоторых массивных звезд от коллапса под действием силы тяжести. См. белый карлик, нейтронная звезда и черная дыра.

Бозонные поля

Есть несколько интересных явлений, возникающих из двух типов статистики.. Распределение Бозе – Эйнштейна, которое описывает бозоны, приводит к конденсации Бозе – Эйнштейна. Ниже определенной температуры большинство частиц в бозонной системе будет занимать основное состояние (состояние с наименьшей энергией). Могут возникнуть необычные свойства, такие как сверхтекучесть.

Призрачные поля

Призрачные поля не подчиняются соотношению спин – статистика. См. преобразование Клейна о том, как исправить лазейку в теореме.

Отношение к теории представлений группы Лоренца

Группа Лоренца не имеет нетривиальных унитарных представлений конечной размерности. Таким образом, кажется невозможным построить гильбертово пространство, в котором все состояния имеют конечный ненулевой спин и положительную лоренц-инвариантную норму. Эта проблема решается по-разному в зависимости от спин-статистики частицы.

Для состояния с целочисленным спином состояния с отрицательной нормой (известные как «нефизическая поляризация») устанавливаются на ноль, что делает необходимым использование калибровочной симметрии.

Для состояния полуцелого спина аргумент можно обойти, имея фермионную статистику.

Ограничения: энионы в двух измерениях

В 1982 году физик Франк Вильчек опубликовал исследовательскую работу о возможностях частиц с дробным спином, которые он назвал энионами из-за их способности принимать «любой» спин. Он написал, что теоретически предсказано, что они возникнут в низкоразмерных системах, где движение ограничено менее чем тремя пространственными измерениями. Вильчек описал их спиновую статистику как «непрерывную интерполяцию между обычными случаями бозонов и фермионов». Доказательства существования энионов были представлены экспериментально с 1985 по 2013 год, хотя не считается окончательно установленным, что все предложенные виды энионов существуют. Anyons связаны с симметрией кос и топологическими состояниями материи.

См. Также

• Parastatistics
• Anyonic statistics
• Braid statistics

Ссылки

Далее читает

• Дак, Ян; Сударшан, Э.С.Г. (1998). «К пониманию теоремы спиновой статистики». Американский журнал физики. 66(4): 284–303. Bibcode : 1998AmJPh..66..284D. doi : 10.1119 / 1.18860.
• Streater, Ray F.; Вайтман, Артур С. (2000). PCT, Spin Statistics, and All That (5-е изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-07062-8.
• Джабс, Артур (2010). «Связь спина и статистики в квантовой механике». Основы физики. 40 (7): 776–792. arXiv : 0810.2399. Bibcode : 2010FoPh... 40..776J. doi : 10.1007 / s10701-009-9351-4.

Внешние ссылки

• Хорошее почти доказательство на домашней странице Джона Баэза
• Анимация трюка с поясом Дирака с двойным поясом, показывающий, что пояса ведут себя как частицы со спином 1/2
• Анимация варианта трюка с поясом Дирака, показывающая, что частицы со спином 1/2 являются фермионами