Войти
В математике, теории препятствий - это имя, данное двум различным математическим теориям, обе из которых дают когомологические инварианты.
В оригинальной работе Штифеля и Уитни, характеристические классы были определены как препятствия для существования определенных полей линейно независимых векторов. Теория препятствий оказывается приложением теории когомологий к проблеме построения сечения пучка .
Старое значение теории препятствий в теории гомотопии относится к индуктивной по отношению к размерности процедуре расширения непрерывного отображения, определенного на симплициальный комплекс, или комплекс CW. Традиционно это называется теорией препятствий Эйленберга в честь Самуэля Эйленберга. Он включает группы когомологий с коэффициентами в гомотопических группах для определения препятствий для расширений. Например, при отображении симплициального комплекса X в другой, Y, изначально заданный на 0-скелете X (вершины X), расширение на 1-скелет будет возможно всякий раз, когда изображение 0-скелета будет принадлежать одному и тому же компоненту линейно-связного Y. Переход от 1-скелета к 2-скелету означает определение отображения на каждом сплошном треугольнике из X, учитывая, что отображение уже определяется на его граничных краях. Аналогичным образом, расширение отображения на 3-скелет включает расширение отображения на каждый твердый 3-симплекс X, учитывая, что отображение уже определено на его границе.
В какой-то момент, скажем, при расширении отображения с (n-1) -скелета X на n-скелет X, эта процедура может оказаться невозможной. В этом случае можно назначить каждому n-симплексу гомотопический класс π n-1 (Y) отображения, уже определенного на его границе (по крайней мере, один из которых будет отличным от нуля). Эти присвоения определяют n-коцепь с коэффициентами в π n-1 (Y). Удивительно, но эта коцепь оказывается коциклом и, таким образом, определяет класс когомологий в n-й группе когомологий X с коэффициентами в π n-1 (Y). Когда этот класс когомологий равен 0, оказывается, что отображение может быть изменено в пределах своего гомотопического класса на (n-1) -скелете X, так что отображение может быть расширено до n-скелета X. Если не равен нулю, это называется препятствием к расширению отображения на n-скелет, учитывая его гомотопический класс на (n-1) -скелете.
Предположим, что B - односвязный симплициальный комплекс и что p: E → B является расслоением со слоем F. Кроме того, предположим, что у нас есть частично определенное сечение σn: B n → E на n-скелете of B.
Для любого (n + 1) -симплекса Δ в B, σ n может быть ограничено его границей (которая является топологической n-сферой ). Поскольку p отправляет каждый из них обратно каждому Δ, у нас есть отображение n-сферы в p (Δ). Поскольку расслоения удовлетворяют свойству гомотопического подъема, а Δ стягиваемо ; p (Δ) гомотопически эквивалентен к F. Таким образом, этот частично определенный раздел присваивает элемент πn(F) каждому (n + 1) -симплексу. Это в точности данные π n (F) -значной симплициальной коцепи степени n + 1 на B, то есть элемента C (B; π n (F)). Эта коцепь называется коцепью препятствий, потому что нулевое значение означает, что все эти элементы π n (F) тривиальны, что означает, что наш частично определенный раздел может быть расширен до (n + 1) -скелет, используя гомотопию между (частично определенным участком на границе каждого Δ) и постоянным отображением.
Тот факт, что эта коцепь произошла из частично определенного раздела (в отличие от произвольного набора отображений со всех границ всех (n + 1) -симплексов), может быть использован для доказательства того, что эта коцепь является коцикл. Если начать с другого частично определенного участка σ n, который согласуется с исходным на (n - 1) -скелете, то можно также доказать, что полученный коцикл будет отличаться от первого кограницей. Следовательно, у нас есть хорошо определенный элемент группы когомологий H (B; π n (F)) такой, что если существует частично определенное сечение на (n + 1) -скелете, которое согласуется с заданным выбор на (n - 1) -скелете, то этот класс когомологий должен быть тривиальным.
Обратное также верно, если допускаются такие вещи, как гомотопические сечения, т. Е. Отображение σ: B → E такое, что p ∘ σ гомотопно (в противоположность равному) тождественному отображению на B. Таким образом, обеспечивает полный инвариант существования секций с точностью до гомотопии на (n + 1) -скелете.
В геометрической топологии теория препятствий связана с тем, когда топологическое многообразие имеет кусочно-линейную структуру, и когда кусочно-линейное многообразие имеет дифференциальная структура.
В размерности не выше 2 (Радо) и 3 (Морс) понятия топологических многообразий и кусочно-линейных многообразий совпадают. В измерении 4 они не совпадают.
В размерностях не более 6 понятия кусочно-линейных многообразий и дифференцируемых многообразий совпадают.
Два основных вопроса теории хирургии заключаются в том, является ли топологическое пространство с n-мерной двойственностью Пуанкаре гомотопией. эквивалент n-мерному многообразию, а также вопрос о том, является ли гомотопическая эквивалентность n-мерных многообразий гомотопностью диффеоморфизму. В обоих случаях есть два препятствия для n>9, первичное топологической K-теории препятствие для существования векторного расслоения : если оно исчезает, существует нормальное отображение, что позволяет определить вторичную обструкцию операции в алгебраической L-теории для выполнения операции по карте нормалей для получения гомотопической эквивалентности.
