Войти
A Поверхность Зейферта ограниченный набором колец Борромео ; эти поверхности могут использоваться как инструменты в геометрической топологии В математике, геометрическая топология - это изучение многообразий и карт между их, в частности встраивания одного многообразия в другое.
Можно сказать, что геометрическая топология как область, отличная от алгебраической топологии, возникла в 1935 году, когда классификация линзовых пространств на Кручение Рейдемейстера, которое требовало различения пространств, гомотопически эквивалентных, но не гомеоморфных. Это было началом простой теории гомотопии. Использование термина геометрическая топология для их описания, по-видимому, возникло сравнительно недавно.
Многообразие радикально различается по поведению в высокой и низкой размерности.
Высокоразмерная топология относится к многообразиям размерности 5 и выше или, в относительных терминах, вложениям в коразмерности 3 и выше. Низкоразмерная топология касается вопросов в размерностях до 4 или встраиваниях в коразмерности до 2.
Измерение 4 является особенным, в некоторых отношениях (топологически) размерность 4 является многомерным, в то время как в других отношениях (дифференцируемым) размерность 4 низкоразмерна; это перекрытие приводит к явлениям, исключительным для измерения 4, таким как экзотические дифференцируемые структуры на R. Таким образом, топологическая классификация 4-многообразий в принципе проста, и ключевые вопросы заключаются в следующем: допускает ли топологическое многообразие дифференцируемую структуру, и если да, то сколько? Примечательно, что гладкий случай размерности 4 является последним открытым случаем обобщенной гипотезы Пуанкаре ; см. Глюковские повороты.
Различие в том, что теория хирургии работает в размерности 5 и выше (на самом деле, она работает топологически в размерности 4, хотя это очень сложно доказать), и поэтому поведение многообразий размерности 5 и выше алгебраически контролируется теорией хирургии. В размерности 4 и ниже (топологически в размерности 3 и ниже) теория хирургии не работает, и возникают другие явления. В самом деле, один из подходов к обсуждению низкоразмерных многообразий состоит в том, чтобы спросить, «что предсказывает теория хирургии, чтобы быть правдой, если бы это сработало?» - а затем понимать низкоразмерные явления как отклонения от этого.
Для трюка Уитни требуется 2 + 1 измерения, следовательно, теория хирургии требует пяти измерений. Точная причина различия в размерности 5 заключается в том, что теорема вложения Уитни, ключевой технический прием, лежащий в основе теории хирургии, требует измерения 2 + 1. Грубо говоря, трюк Уитни позволяет «развязать» завязанные сферы, точнее, убрать самопересечения погружений; он делает это через гомотопию диска - диск имеет 2 измерения, а гомотопия добавляет еще 1 - и, таким образом, в коразмерности больше 2 это может быть сделано без пересечения самого себя; следовательно, вложения в коразмерности больше 2 можно понять с помощью хирургии. В теории хирургии ключевой шаг находится в среднем измерении, и, таким образом, когда среднее измерение имеет коразмерность больше 2 (примерно 2½ достаточно, следовательно, всего 5 достаточно), трюк Уитни работает. Ключевым следствием этого является теорема Смейла о h-кобордизме, которая работает в размерности 5 и выше и составляет основу теории хирургии.
Модификация трюка Уитни может работать в четырех измерениях и называется Кассон обрабатывает - из-за того, что измерений недостаточно, диск Уитни вносит новые изломы, которые могут быть устранены другим Диск Уитни, ведущий к последовательности («башне») дисков. Граница этой башни дает топологическую, но не дифференцируемую карту, поэтому операция работает топологически, но не дифференцируемо в размерности 4.
В во всех измерениях фундаментальная группа многообразия является очень важным инвариантом и определяет большую часть структуры; в размерностях 1, 2 и 3 возможные фундаментальные группы ограничены, в то время как в размерности 4 и выше каждая конечно определенная группа является фундаментальной группой многообразия (заметьте, что достаточно показать это для 4- и 5-мерные многообразия, а затем брать продукты со сферами, чтобы получить более высокие).
Многообразие является ориентируемым, если оно имеет последовательный выбор ориентации, а связное ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В этом случае могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости, в зависимости от желаемого применения и уровня общности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологии, тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, позволяющая формулировать в терминах дифференциальных форм. Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является понятие ориентируемости семейства пространств, параметризованных каким-то другим пространством (расслоением ), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, которая меняется. непрерывно по отношению к изменениям значений параметров.
3-шар с тремя прикрепленными 1-ручками. A Ручное разложение m- многообразия M является объединением
, где получается каждый 
Локальная плоскостность - это свойство подмногообразия в топологическом многообразии больший размер. В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий.
Предположим, что размерное многообразие N вложено в n-мерное многообразие M (где d 
Обобщенные Schoenflies Теорема утверждает, что если (n - 1) -мерная сфера S вложена в n-мерную сферу S локально плоским способом (то есть вложение продолжается до утолщенной сферы), то пара (S, S) гомеоморфна паре (S, S), где S - экватор n-сферы. Браун и Мазур получили премию Веблена за независимые доказательства этой теоремы.
Низкоразмерная топология включает:
каждое имеет свою теорию, в которой есть некоторые связи.
Низкоразмерная топология является строго геометрической, что отражено в теореме униформизации в двух измерениях - каждая поверхность допускает метрику постоянной кривизны; геометрически он имеет одну из трех возможных геометрий: положительная кривизна / сферическая, нулевая кривизна / плоская, отрицательная кривизна / гиперболическая - и гипотеза геометризации (теперь теорема) в 3-х измерениях - каждое 3-многообразие можно разрезать на части, каждая из которых имеет одну из 8 возможных геометрий.
Двумерная топология может быть изучена как комплексная геометрия с одной переменной (римановы поверхности - это комплексные кривые) - по теореме униформизации каждый конформный класс метрик эквивалентен единственному комплексному, и 4-мерная топология может быть изучена с точки зрения сложной геометрии с двумя переменными (комплексные поверхности), хотя не каждое 4-многообразие допускает сложную структуру.
Теория узлов - это изучение математических узлов. Узел математика, вдохновленный узлами, которые появляются в повседневной жизни на шнурках и веревках, отличается тем, что концы соединены вместе, поэтому его нельзя развязать. На математическом языке узел - это вложение круга круга в 3-мерное евклидово пространство, R(поскольку мы используем топологию, круг не связан к классическому геометрическому понятию, но ко всем его гомеоморфизмам ). Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации R на самом себе (известная как изотопия окружающей среды ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не включают разрезание нити или пропускание нити через себя.
Чтобы глубже понять, математики обобщили концепцию узла несколькими способами. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах и можно использовать объекты, отличные от окружностей; см. узел (математика). Узлы более высокой размерности - это n-мерные сферы в m-мерном евклидовом пространстве.
В топологии высокой размерности характеристические классы являются базовым инвариантом, а теория хирургии является ключевой теорией.
A характеристический класс - это способ связывания с каждым главным пучком на топологическом пространстве X классом когомологий X. Класс когомологий измеряет степень "скрученности" связки - в частности, содержит ли он секций или нет. Другими словами, классы характеристик - это глобальные инварианты, которые измеряют отклонение локальной структуры продукта от глобальной структуры продукта. Они являются одной из объединяющих геометрических концепций в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.
Теория хирургии - это набор методов, используемых для производить один манифольд из другого «управляемым» способом, введенным Милнором (1961). Хирургия заключается в вырезании частей коллектора и замене их частью другого коллектора, совмещая их вдоль разреза или границы. Это тесно связано, но не идентично, декомпозиции корпуса ручки. Это основной инструмент в изучении и классификации многообразий размерности больше 3.
С технической точки зрения идея состоит в том, чтобы начать с хорошо изученного многообразия M и провести на нем операцию, чтобы создать многообразие M ′ обладающие некоторым желаемым свойством, таким образом, что эффекты на гомологии, гомотопические группы или другие интересные инварианты многообразия известны.
Классификация экзотических сфер Кервером и Милнором (1963) привела к появлению теории хирургии как основной инструмент в топологии большой размерности.
