Запутанность ориентации

Отдельная точка в пространстве может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 градусов спираль переворачивается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается к своей исходной конфигурации после поворота на полные 720 градусов.

В математике и физике понятие ориентационной запутанности иногда используется для развития интуиции. относящиеся к геометрии спиноров или, альтернативно, как конкретная реализация неспособности специальных ортогональных групп быть односвязными.

• 1 Элементарное описание
• 2 Формальные детали
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Пространственных векторов самих по себе недостаточно для полного описания свойств вращения в пространстве.

Набор из 96 волокон прикреплен к окружающей среде на одном конце и к вращающейся сфере - на другом. Сфера может непрерывно вращаться без спутывания волокон. Чашка для кофе с лентами, прикрепленными к ручке и противоположной стороне.

Рассмотрим следующий пример. Чашка для кофе подвешивается в комнате парой эластичных резинок, прикрепленных к стенам комнаты. Чашка поворачивается ручкой на полный поворот на 360 °, так что ручка полностью перемещается вокруг центральной вертикальной оси чашки и возвращается в исходное положение.

Обратите внимание, что после этого поворота чашка вернулась в исходную ориентацию, но ее ориентация по отношению к стенкам изменилась. Другими словами, если мы опустим кофейную чашку на пол комнаты, две полосы будут наматываться друг на друга в один полный поворот двойной спирали . Это пример запутанности ориентации : новая ориентация чашки кофе, встроенной в комнату, на самом деле не совпадает со старой ориентацией, о чем свидетельствует скручивание резиновых лент. Другими словами, ориентация кофейной чашки запуталась с ориентацией окружающих стенок.

Вектор чашки кофе. После полного вращения вектор не изменяется.

Очевидно, что геометрии пространственных векторов недостаточно, чтобы выразить запутанность ориентации (скручивание резиновых лент). Рассмотрите возможность рисования вектора через чашку. Полный поворот будет перемещать вектор так, чтобы новая ориентация вектора была такой же, как и старая. Один только вектор не знает, что чашка кофе запуталась в стенах комнаты.

На самом деле, кофейная чашка неразрывно запуталась. Невозможно раскрутить ленты, не повернув чашку. Однако подумайте, что происходит вместо этого, когда чашка поворачивается не на один оборот на 360 °, а на два поворота на 360 ° с общим поворотом на 720 °. Затем, если чашку опускают на пол, две резинки наматываются друг на друга в два полных витка двойной спирали. Если теперь поднять чашу через центр одного витка этой спирали и переместить на другую ее сторону, скручивание исчезнет. Полосы больше не наматываются друг на друга, хотя никакого дополнительного вращения не требуется. (Этот эксперимент легче провести с лентой или ремнем. См. Ниже.)

Раскручивание ленты без вращения.

Таким образом, тогда как ориентация чашки изменилась относительно стенок после поворота всего на 360 °, она перестала закручиваться после поворота на 720 °. Однако, рассматривая только вектор, прикрепленный к чашке, невозможно различить эти два случая. Только когда мы прикрепляем к чашке спинор, мы можем различать скрученный и раскрученный корпус.

Спинор.

В этой ситуации спинор - это своего рода поляризованный вектор. На соседней диаграмме спинор может быть представлен как вектор, голова которого представляет собой флаг, лежащий на одной стороне ленты Мёбиуса и направленный внутрь. Изначально предположим, что флаг находится наверху полосы, как показано. Когда кофейная чашка вращается, она перемещает спинор и его флаг вдоль полосы. Если чашку повернуть на 360 °, спинор возвращается в исходное положение, но теперь флажок находится под полосой и направлен наружу. Требуется еще один поворот на 360 °, чтобы вернуть флаг в исходную ориентацию.

В трех измерениях проблема, проиллюстрированная выше, соответствует тому факту, что группа Ли SO (3) не односвязна. Математически эту проблему можно решить, представив специальную унитарную группу , SU (2), которая также является спиновой группой в трех евклидовых размеров, как двойная крышка SO (3). Если X = (x 1, x 2, x 3) является вектором в R, то мы идентифицируем X с 2 Матрица × 2 со сложными элементами

$X\; =\; (x\; 1\; x\; 2\; -\; ix\; 3\; x\; 2\; +\; ix\; 3\; -\; x\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; -ix\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; +\; ix\_\; \{3\}\; -\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

Обратите внимание, что −det (X) дает квадрат евклидовой длины X рассматривается как вектор, и что X является бесследной или, лучше сказать, нулевой эрмитовой матрицей.

Унитарная группа действует на X через

$X\; \mapsto \; MXM\; †\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; X\; \backslash \; mapsto\; MXM\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$

где M ∈ SU (2). Обратите внимание, что, поскольку M унитарен,

$det\; (MXM\; †)\; =\; det\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; \backslash \; left\; (MXM\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; det\; (X)\}$и

$MXM\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; MXM\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$эрмитово с нулевым следом.

Следовательно, SU (2) действует посредством вращения на векторы X. И наоборот, поскольку любое изменение базиса, которое переводит эрмитовы матрицы с нулевым следом в эрмитовы матрицы с нулевым следом, должно быть унитарным, из этого следует, что каждое вращение также поднимается до SU (2). Однако каждое вращение получается из пары элементов M и −M группы SU (2). Следовательно, SU (2) является двойным покрытием SO (3). Кроме того, легко увидеть, что SU (2) сам по себе просто связан, если реализовать его как группу единичных кватернионов, пространство , гомеоморфное 3-сфере.

Единичный кватернион имеет косинус половины угла поворота в качестве его скалярной части и синус половины угла поворота, умноженного на единичный вектор вдоль некоторой оси вращения (здесь предполагается фиксированной), в качестве его части псевдовектора (или аксиального вектора). Если исходная ориентация твердого тела (с незапутанными связями с его неподвижным окружением) отождествляется с единичным кватернионом, имеющим нулевую псевдовекторную часть и +1 для скалярной части, то после одного полного поворота (2π рад) псевдовекторная часть возвращается к ноль, а скалярная часть стала −1 (запутана). После двух полных оборотов (4π рад) часть псевдовектора снова возвращается к нулю, а скалярная часть возвращается к +1 (незапутанная), завершая цикл.

• Трюк с тарелкой
• Танглоиды

1. ^Фейнман и др., Том 3.
2. ^Misner, Charles W.; Кип С. Торн; Джон А. Уиллер (1973). Гравитация. В. Х. Фриман. Стр. 1148 –1149. ISBN 0-7167-0334-3.

• Feynman, Leighton, Sands. Лекции Фейнмана по физике. 3 тома 1964, 1966. Карточка каталога Библиотеки Конгресса № 63-20717

  • ISBN 0-201-02115-3 (трехтомный набор 1970 года в мягкой обложке)
  • ISBN 0-201-50064-7 (памятный трехтомник 1989 г. в твердом переплете)
  • ISBN 0-8053-9045-6 (окончательное издание 2006 г. (2-е печать); твердый переплет)

• Анимация трюка с поясом Дирака с двумя ремнями, прикрепленными к (квадратному) объекту, показывающая запутанность ориентации после одного поворота и отсутствие запутывания после двух поворотов. Анимация, таким образом, также показывает, что объекты с поясом ведут себя как частицы со спином 1/2.
• Воздух на струнах Дирака, демонстрируя ориентационное запутывание с несколькими ремнями, прикрепленными к сферической частице, Луи Кауфман и его коллеги