Войти
В математике, оператор замыкания в наборе S - это функция 
 | (cl является расширенным), |
 | (cl монотонный), |
 | (cl является идемпотентным). |
Операторы замыкания определяются их замкнутыми наборами, т. Е. Наборами формы cl (X), поскольку замыкание cl (X) набора X является наименьшее замкнутое множество, содержащее X. Такие семейства «замкнутых множеств» иногда называют закрывающими системами или «семействами Мура » в честь E. Х. Мур, изучавший операторы замыкания в своем «Введении» 1910 г. в форму общего анализа, тогда как концепция замыкания подмножества возникла в работах Фриджеса Рисса в связи с топологическими пространствами. Хотя в то время это не было формализовано, идея закрытия возникла в конце 19 века с заметным вкладом Эрнста Шредера, Ричарда Дедекинда и Джорджа Кантора.
Операторы закрытия: также называется «операторами оболочки », что предотвращает путаницу с «операторами замыкания», изученными в топологии. Набор вместе с оператором замыкания на нем иногда называется закрывающим пространством .
Операторы замыкания имеют множество применений:
В топологии операторы замыкания - это топологические операторы замыкания, которые должны удовлетворять
для всех 
В алгебре и логике многие операторы замыкания являются операторами конечного замыкания, т. Е. Удовлетворяют
В универсальной логике операторы замыкания также известны как операторы следствия .
В теории частично упорядоченных множеств, которые важны в В теоретической информатике операторы замыкания имеют более общее определение, в котором 
топологическое замыкание подмножества X из топологическое пространство состоит из всех точек y пространства, таких, что каждая окрестность точки y содержит точку из X. Функция, которая сопоставляет каждому подмножеству X его замыкание, является оператором топологического замыкания. Наоборот, каждый топологический оператор замыкания на множестве порождает топологическое пространство, замкнутые множества которого являются в точности замкнутыми множествами относительно оператора замыкания.
Операторы конечного замыкания играют относительно важную роль в универсальной алгебре, и в этом контексте они традиционно называются операторами алгебраического замыкания. Каждое подмножество алгебры порождает подалгебру : наименьшую подалгебру, содержащую набор. Это дает начало оператору окончательного закрытия.
Возможно, наиболее известным примером этого является функция, которая связывает каждое подмножество данного векторного пространства его линейный диапазон. Точно так же функция, которая связывает с каждым подмножеством данной группы сгенерированную им подгруппу, и аналогично для полей и всех других типов алгебраических структуры.
Линейная оболочка в векторном пространстве и аналогичное алгебраическое замыкание в поле удовлетворяют свойству обмена: если x находится в замыкании объединения A и {y}, но не в замыкании A, то y находится в замыкании объединения A и {x}. Оператор конечного замыкания с этим свойством называется матроидом . Размерность векторного пространства или степень трансцендентности поля (над его простым полем ) - это в точности ранг соответствующего матроида.
Функция, которая отображает каждое подмножество заданного поля на его алгебраическое замыкание, также является оператором конечного замыкания и в целом отличается от оператора, упомянутого ранее.. Операторы финитарного замыкания, обобщающие эти два оператора, изучаются в теории моделей как dcl (для определимого замыкания) и acl (для алгебраического замыкания).
выпуклая оболочка в n-мерном евклидовом пространстве - еще один пример оператора конечного замыкания. Он удовлетворяет свойству анти-обмена: если x находится в замыкании объединения {y} и A, но не в объединении {y} и замыкании A, то y не входит в замыкание объединения { x} и A. Конечные операторы замыкания с этим свойством приводят к антиматроидам.
. В качестве еще одного примера оператора замыкания, используемого в алгебре, если некоторая алгебра имеет универсум A и X является набором пар A, то оператор, присваивающий X наименьшее сравнение, содержащее X, является оператором конечного замыкания на A x A.
Предположим, у вас есть некоторый логический формализм, который содержит определенные правила, позволяющие выводить новые формулы из заданных. Рассмотрим множество F всех возможных формул, и пусть P будет набором степеней F, упорядоченным по ⊆. Для множества формул X пусть cl (X) будет множеством всех формул, которые могут быть выведены из X. Тогда cl является оператором замыкания на P. Точнее, мы можем получить cl следующим образом. Назовем "непрерывным" оператор J такой, что для каждого направленного класса T
Это условие непрерывности основано на фиксированном точечная теорема для J. Рассмотрим одношаговый оператор J монотонной логики. Это оператор, связывающий любое множество X формул с множеством J (X) формул, которые являются либо логическими аксиомами, либо получены с помощью правила вывода из формул в X или в X. Тогда такой оператор является непрерывным, и мы можем определить cl (X) как наименьшую фиксированную точку для J, большего или равного X. В соответствии с такой точкой зрения Тарский, Браун, Сушко и другие авторы предложили общий подход к логике, основанный на теории операторов замыкания. Кроме того, такая идея предлагается в логике программирования (см. Lloyd 1987) и в нечеткой логике (см. Gerla 2000).
Примерно в 1930 году Альфред Тарски разработал абстрактную теорию логических выводов, которая моделирует некоторые свойства логических исчислений. Математически то, что он описал, является просто оператором конечного замыкания на множестве (множестве предложений). В универсальной логике и абстрактной алгебраической логике операторы финитарного замыкания все еще изучаются под оператором следствия имени, который был придуман Тарским. Множество S представляет собой набор предложений, подмножество T в S - теорию, а cl (T) - это множество всех предложений, которые следуют из теории. В настоящее время этот термин может относиться к операторам закрытия, которые не обязательно должны быть конечными; Тогда операторы финитарного замыкания иногда называют операторами конечного следствия .
Замкнутые множества относительно оператора замыкания на S образуют подмножество C множества степеней П (S). Любое пересечение множеств в C снова находится в C. Другими словами, C является полной встречно-подполурешеткой в P (S). Наоборот, если C ⊆ P (S) замкнуто относительно произвольных пересечений, то функция, которая ставит в соответствие каждому подмножеству X из S наименьшее множество Y ∈ C такое, что X ⊆ Y является оператором замыкания.
Существует простой и быстрый алгоритм для генерации всех замкнутых множеств данного оператора замыкания.
Оператор замыкания на множестве является топологическим тогда и только тогда, когда множество замкнутых множеств замкнуто относительно конечные объединения, т. е. C является полностью полной подрешеткой в P (S). Даже для нетопологических операторов замыкания C можно рассматривать как имеющую структуру решетки. (Соединение двух множеств X, Y ⊆ P (S) является cl (X 
Если задан оператор конечного замыкания на множестве, замыкания конечных множеств - это в точности компактные элементы множества C замкнутых множеств. Отсюда следует, что C является алгебраическим ч.у.м.. Поскольку C также является решеткой, в этом контексте ее часто называют алгебраической решеткой. Наоборот, если C - алгебраическое ч.у., то оператор замыкания финитен.
Каждый оператор замыкания на конечном множестве S однозначно определяется своими образами его псевдозамкнутых множеств. Они определены рекурсивно: набор является псевдозамкнутым, если он не закрыт и содержит замыкание каждого из своих псевдозамкнутых собственных подмножеств. Формально: P ⊆ S псевдозамкнуто тогда и только тогда, когда
A частично упорядоченное множество (poset) - это набор вместе с частичным порядком ≤, то есть бинарным отношением, которое является рефлексивным (a ≤ a), транзитивным (a ≤ b ≤ c влечет a ≤ c) и антисимметричный (a ≤ b ≤ a влечет a = b). Каждый набор мощности P(S) вместе с включением ⊆ является частично упорядоченным набором.
Функция cl: P → P из частичного порядка P в себя называется оператором замыкания, если она удовлетворяет следующим аксиомам для всех элементов x, y в P.
| x ≤ cl (x) | (cl является расширенным) |
| x ≤ y подразумевает cl (x) ≤ cl (y) | (cl = увеличение ) |
| cl (cl (x)) = cl (x) | (cl is идемпотент ) |
Доступны более сжатые альтернативы: приведенное выше определение эквивалентно единственной аксиоме
для всех x, y в P.
Используя точечный порядок для функций между позициями, можно в качестве альтернативы записать свойство экстенсивности как id P ≤ cl, где id - это тождественная функция. Самокартина k, которая увеличивается и идемпотентна, но удовлетворяет двойственному свойства экстенсивности, то есть k ≤ id P называется оператором ядра, внутренним оператором или двойным замыканием . Например, если A является подмножеством набора B, тогда собственное отображение на множестве степеней B, заданном как μ A (X) = A ∪ X - оператор замыкания, а λ A (X) = A ∩ X - оператор ядра. Функция потолка от вещественных чисел к действительным числам, которая присваивает каждому действительному x наименьшее целое число не меньше x, является еще одним примером закрытия оператор.
A Фиксированная точка функции cl, то есть элемент c из P, который удовлетворяет cl (c) = c, называется закрытым элементом . Оператор замыкания на частично упорядоченном множестве определяется его замкнутыми элементами. Если c - замкнутый элемент, то x ≤ c и cl (x) ≤ c - эквивалентные условия.
Каждое соединение Галуа (или остаточное отображение ) порождает закрывающий оператор (как объясняется в этой статье). Фактически, каждый оператор замыкания возникает таким образом из подходящей связности Галуа. Связность Галуа не определяется однозначно с помощью оператора замыкания. Одна связность Галуа, которая порождает оператор замыкания cl, может быть описана следующим образом: если A - множество замкнутых элементов относительно cl, то cl: P → A - нижний сопряженный элемент связи Галуа между P и A, причем верхний сопряженный элемент - это вложение A в P. Кроме того, каждый нижний сопряженный элемент вложения некоторого подмножества в P является оператором замыкания. «Операторы замыкания - это нижние сопряжения вложений». Однако обратите внимание, что не каждое вложение имеет нижний сопряженный элемент.
Любой частично упорядоченный набор P можно рассматривать как категорию с одним морфизмом от x до y тогда и только тогда, когда x ≤ y. Тогда операторы замыкания на частично упорядоченном множестве P представляют собой не что иное, как монады в категории P. Эквивалентно, оператор замыкания может рассматриваться как эндофунктор в категории частично упорядоченных множеств, которая имеет дополнительный идемпотент и обширные свойства.
Если P является полной решеткой, то подмножество A в P является набором замкнутых элементов для некоторого оператора замыкания на P тогда и только тогда, когда A является семейством Мура на P, т. Е. Наибольший элемент P находится в A, и infimum (meet) любого непустого подмножества A снова находится в A. Любое такое множество A само является полной решеткой с порядок, унаследованный от P (но операция supremum (соединение) может отличаться от таковой для P). Когда P является powerset булевой алгеброй множества X, то семейство Мура на P называется закрывающей системой на X.
Операторы замыкания на P образуют полную решетку; порядок операторов закрытия определяется как cl 1 ≤ cl 2, если cl1(x) ≤ cl 2 (x) для всех x в P.
