Anyon

редактировать

Тип частицы, которая встречается только в двумерных системах

В физике, анион - это тип квазичастицы, который встречается только в двумерных системах, со свойствами, гораздо менее ограниченными, чем фермионы и бозоны. В общем, операция обмена двумя идентичными частицами может вызвать глобальный фазовый сдвиг, но не может повлиять на наблюдаемые. Аньоны обычно делятся на абелевы и неабелевы. Абелевы энионы были обнаружены и играют важную роль в дробном квантовом эффекте Холла. Неабелевы анионы окончательно не обнаружены, хотя это активная область исследований.

Содержание

1 Введение
2 Абелевы энионы
- 2.1 Топологическая эквивалентность
- 2.2 Эксперимент
3 Неабелевы энионы
4 Слияние энионов
5 Топологический базис
6 многомерное обобщение анионов
7 См. Также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература

Введение

Статистическая механика больших систем многих тел подчиняется законам описывается статистикой Максвелла-Больцмана. Квантовая статистика более сложна из-за разного поведения двух разных типов частиц, называемых фермионами и бозонами. Цитата из недавнего простого описания из Университета Аалто :

В трехмерном мире, в котором мы живем, есть только два типа частиц: «фермионы», которые отталкиваются друг от друга, и «бозоны», которые любят держаться вместе. Общеизвестный фермион - электрон, переносящий электричество; а широко известный бозон - это фотон, несущий свет. Однако в двумерном мире существует другой тип частиц, анион, который не ведет себя как фермион или бозон. Точная квантовая природа энионов заключается в их волновой природе, закодированной в их квантовой статистике.

Microsoft инвестировала в исследования, касающиеся анионов, как потенциальной основы для топологических квантовых вычислений. Любые люди, окружающие друг друга (плетение), будут кодировать информацию более надежным способом, чем другие потенциальные технологии квантовых вычислений. Однако большая часть инвестиций в квантовые вычисления основана на методах, которые не используют никакие элементы.

Абелевы анионы

В квантовой механике и некоторых классических стохастических системах неразличимые частицы обладают свойством обменивать состояния частицы i с частицей j (символически $ψ i ↔ ψ j для i ≠ j {\ displaystyle \ psi _ {i} \ leftrightarrow \ psi _ {j} {\ text {for} } i \ neq j}$ ${\ displaystyle \ psi _ {i} \ leftrightarrow \ psi _ {j} {\ text {for}} i \ neq j}$ ) не приводит к заметно отличающемуся многотельному состоянию.

В квантово-механической системе, например, система с двумя неразличимыми частицами, при этом частица 1 находится в состоянии $ψ 1 {\ displaystyle \ psi _ {1}}$ $\ psi _ {1}$ и частица 2 в состоянии $ψ 2 {\ displaystyle \ psi _ {2}}$ $\ psi _ {2}$ , имеет состояние $| ψ 1 ψ 2⟩ {\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle}$ в нотации Дирака. Теперь предположим, что мы обмениваемся состояниями двух частиц, тогда состояние системы будет $| ψ 2 ψ 1⟩ {\ Displaystyle \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle}$ . Эти два состояния не должны иметь измеримую разницу, поэтому они должны быть одним и тем же вектором с точностью до фазового коэффициента :

| ψ 1 ψ 2⟩ = e i θ | ψ 2 ψ 1⟩. {\ Displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle = e ^ {i \ theta} \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle. }

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ { 2} \ right \ rangle = e ^ {i \ theta} \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle.}

В пространстве трех или более измерений, элементарные частицы являются либо фермионами, либо бозонами, в соответствии с их статистическим поведением. Фермионы подчиняются статистике Ферми – Дирака, а бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Для бозонов фазовый коэффициент равен $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ , а для фермионов - $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ . В частности, поэтому фермионы подчиняются принципу исключения Паули : если два фермиона находятся в одном и том же состоянии, то

| ψ ψ⟩ = - | ψ ψ⟩. {\ displaystyle \ left | \ psi \ psi \ right \ rangle = - \ left | \ psi \ psi \ right \ rangle.}

{\ displaystyle \ left | \ psi \ psi \ right \ rangle = - \ left | \ psi \ psi \ right \ rangle.}

Вектор состояния должен быть нулевым, что означает, что он не нормализуемый, а значит нефизический.

В двумерных системах, однако, можно наблюдать квазичастицы, которые подчиняются статистике в непрерывном диапазоне между статистикой Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна, как впервые показал Джон Магне Лейнаас и Ян Мирхейм из Университета Осло в 1977 году. В случае двух частиц это может быть выражено как

| ψ 1 ψ 2⟩ = e i θ | ψ 2 ψ 1⟩, {\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle = e ^ {i \ theta} \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1 } \ right \ rangle,}

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle = e ^ {i \ theta} \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle,}

где $ei θ {\ displaystyle e ^ {i \ theta}}$ $e ^ {i \ theta}$ может принимать другие значения, кроме $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ или $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ . Важно отметить, что в этом сокращенном выражении имеется небольшое злоупотребление обозначением, поскольку в действительности эта волновая функция может быть и обычно является многозначной. Это выражение фактически означает, что когда частица 1 и частица 2 меняются местами в процессе, когда каждая из них совершает половину оборота против часовой стрелки, двухчастичная система возвращается к своей исходной квантовой волновой функции, за исключением умножения на комплексную единичную норму. фазовый коэффициент e. И наоборот, полувобор по часовой стрелке приводит к умножению волновой функции на e. Такая теория, очевидно, имеет смысл только в двух измерениях, где по часовой стрелке и против часовой стрелки четко определены направления.

В случае θ = π мы восстанавливаем статистику Ферми – Дирака (e = −1), а в случае θ = 0 (или θ = 2π) - статистику Бозе – Эйнштейна (e = 1). Между ними есть кое-что другое. Франк Вильчек в 1982 году исследовал поведение таких квазичастиц и ввел термин «энион» для их описания, поскольку они могут иметь любую фазу, когда частицы меняются местами. В отличие от бозонов и фермионов, анионы обладают тем особенным свойством, что, когда они дважды меняются местами одним и тем же способом (например, если Anyon 1 и Anyon 2 вращались против часовой стрелки на пол-оборота друг относительно друга, чтобы поменяться местами, а затем они вращались против часовой стрелки на пол-оборота) друг относительно друга снова, чтобы вернуться на свои исходные места), волновая функция не обязательно одинакова, а, скорее, обычно умножается на некоторую сложную фазу (на e в этом примере).

Мы также можем использовать θ = 2π s с частицей спин квантовым числом s, где s является целым числом для бозонов, полуцелым числом для фермионы, так что

ei θ = e 2 я π s = (- 1) 2 s, {\ displaystyle e ^ {i \ theta} = e ^ {2i \ pi s} = (- 1) ^ {2s },}

{\ displaystyle e ^ {я \ theta} = e ^ {2i \ pi s} = (- 1) ^ {2s},}

или

| ψ 1 ψ 2⟩ = (- 1) 2 с | ψ 2 ψ 1⟩. {\ Displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle = (- 1) ^ {2s} \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ psi _ {2} \ right \ rangle = (- 1) ^ {2s} \ left | \ psi _ {2} \ psi _ {1} \ right \ rangle.}

На краю дробный квантовый эффект Холла анионы ограничены движением в одном пространственном измерении. Математические модели одномерных энионов составляют основу приведенных выше коммутационных соотношений.

В трехмерном позиционном пространстве операторы статистики фермионов и бозонов (−1 и +1 соответственно) являются всего лишь одномерными представлениями группы перестановок (SNиз N неразличимых частиц), действующих на пространстве волновых функций. Точно так же в двумерном позиционном пространстве операторы абелевой анионной статистики (e) - это просто одномерные представления группы кос (BNиз N неразличимых частиц), действующей в пространстве волновых функций. Неабелевы энионные статистики - многомерные представления группы кос. Не следует путать статистику Anyonic с парастатистикой, которая описывает статистику частиц, чьи волновые функции являются многомерными представлениями группы перестановок.

Топологическая эквивалентность

Тот факт, что гомотопические классы путей (т. Е. Понятие эквивалентности на косах ) являются важными намеками на более тонкое понимание. Он возникает из интеграла по путям Фейнмана, в котором все пути от начальной до конечной точки в пространстве-времени вносят свой вклад с соответствующим фазовым коэффициентом. Напомним, что интеграл по путям Фейнмана может быть мотивирован расширением пропагатора с использованием метода, называемого квантованием времени, в котором время дискретизируется.

В негомотопических путях нельзя попасть из любой точки в одном временном срезе в любую другую точку в следующем временном срезе. Это означает, что мы можем рассматривать гомотопический класс эквивалентности путей с разными весовыми коэффициентами.

Таким образом, можно видеть, что топологическое понятие эквивалентности исходит из исследования интеграла по путям Фейнмана.

Для более прозрачного способа увидеть, что гомотопическое понятие эквивалентности является «правильным» для использования, см. эффект Ааронова – Бома.

Эксперимент

Группа физиков-теоретиков, работающих в Университете Осло, во главе с Джоном Лейнаасом и Яном Мирхеймом, подсчитала в 1977 году, что традиционное разделение на фермионы и бозоны неприменимо к теоретическим частицам, существующим в двух измерениях. Ожидается, что такие частицы будут проявлять широкий диапазон ранее неожиданных свойств. В 1982 году Фрэнк Вильчек опубликовал две статьи, исследуя дробную статистику квазичастиц в двух измерениях, дав им название «энионы».

Лафлин квазичастичный интерферометр сканирующая электронная микрофотография полупроводниковый прибор. Четыре светло-серые области - это Au /Ti ворота не обедненных электронов ; синие кривые - это краевые каналы от эквипотенциалов этих необеденных электронов. Темно-серые кривые - вытравленные канавки, лишенные электронов, синие точки - туннельные переходы, желтые точки - омические контакты. Электроны в устройстве ограничены 2-мерной плоскостью.

Даниэль Цуй и Хорст Стёрмер в 1982 году открыли дробный квантовый эффект Холла. Математика, разработанная Вильчеком, оказалась полезной для Бертран Гальперин в Гарвардском университете в объяснении его аспектов. Франк Вильчек, Дэн Аровас и Роберт Шриффер подтвердили это утверждение в 1985 году, выполнив явный расчет, который предсказал, что частицы, существующие в этих системах, на самом деле являются анионами.

В 2005 году группа физиков из Университета Стоуни-Брук сконструировала квазичастичный интерферометр, обнаруживающий паттерны, вызванные интерференцией энионов, которые были интерпретированы как реальная, а не просто математическая конструкция. Однако эти эксперименты остаются спорными и не полностью принимаются сообществом.

В 2020 году Х. Бартоломей и соавторы из École normale supérieure (Париж) в результате эксперимента в двумерной гетероструктуре GaAs / AlGaAs определили промежуточную статистику анионов $θ = π 3 {\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {3}}}$ с помощью электрических корреляционных измерений токов через третий контакт при столкновениях анионов в электронном газе от двух точечных контактов.

С развитием полупроводниковой технологии, означающей, что возможно осаждение тонких двумерных слоев - например, в листах графена - долгосрочный потенциал использования свойства анионов в электронике изучаются.

В 2020 году группа ученых из Университета Пердью объявила о новых экспериментальных доказательствах существования энионов. Интерферометр команды направляет электроны через специфическую травленую наноструктуру, похожую на лабиринт, сделанную из арсенида галлия и арсенида алюминия-галлия. «В случае наших анионов фаза, генерируемая плетением, была 2π / 3», - сказал он. «Это отличается от того, что было замечено в природе раньше».

Неабелевы анионы

Нерешенная проблема в физике :. Устойчив ли топологический порядок при ненулевой температуре ?(больше нерешенных проблем в физике)

В 1988 году Юрг Фрёлих показал, что согласно теореме спин-статистики обмен частицами является моноидальным (не -абелевская статистика). В частности, этого можно достичь, когда система демонстрирует некоторое вырождение, так что несколько различных состояний системы имеют одинаковую конфигурацию частиц. Тогда обмен частицами может способствовать не только фазовому переходу, но может отправить систему в другое состояние с той же конфигурацией частиц. В этом случае обмен частицами соответствует линейному преобразованию на этом подпространстве вырожденных состояний. Когда нет вырождения, это подпространство одномерно, и поэтому все такие линейные преобразования коммутируют (потому что они просто умножения на фазовый множитель). Когда есть вырождение и это подпространство имеет более высокую размерность, тогда эти линейные преобразования не должны коммутировать (как и умножение матриц).

Грегори Мур, Николас Рид и Сяо-Ган Вэнь указали, что неабелева статистика может быть реализована в дробном квантовом эффекте Холла (FQHE). В то время как поначалу неабелевы энионы обычно считались математической диковинкой, физики начали стремиться к их открытию, когда Алексей Китаев показал, что неабелевы энионы могут быть использованы для построения топологического квантового компьютера. По состоянию на 2012 год ни один эксперимент не продемонстрировал окончательно существование неабелевых энионов, хотя многообещающие намеки появляются при исследовании состояния ν = 5/2 FQHE. Экспериментальные доказательства существования неабелевых энионов, хотя еще не окончательные и оспариваемые, были представлены в октябре 2013 года.

Слияние энионов

Во многом так же, как два фермиона (например, оба спин 1/2) можно рассматривать вместе как составной бозон (с полным спином в суперпозиции 0 и 1), два или более эниона вместе составляют составной энион (возможно, бозон или фермион). Составной энион называется результатом слияния его компонентов.

Если $N {\ displaystyle N}$ $N$ идентичных абелевых энионов, каждый с индивидуальной статистикой $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ (то есть система выбирает фазу $ei α {\ displaystyle e ^ {i \ alpha}}$ ${\ Displaystyle е ^ {я \ альфа}}$ , когда два отдельных эниона подвергаются адиабатическому обмену против часовой стрелки) все сливаются вместе, они вместе имеют статистику $N 2 α {\ Displaystyle N ^ {2} \ alpha}$ ${\ displaystyle N ^ {2} \ alpha}$ . Это можно увидеть, заметив, что при вращении против часовой стрелки двух составных энионов друг относительно друга возникает $N 2 {\ displaystyle N ^ {2}}$ $N ^ {2}$ пар отдельных энионов (один в первом составном anyon, один во втором составном anyon), каждый из которых вносит фазу $ei α {\ displaystyle e ^ {i \ alpha}}$ ${\ Displaystyle е ^ {я \ альфа}}$ . Аналогичный анализ применим к слиянию неидентичных абелевых энионов. Статистика составного эниона однозначно определяется статистикой его компонентов.

Неабелевы эйоны имеют более сложные отношения слияния. Как правило, в системе с неабелевыми энионами есть составная частица, статистическая метка которой не определяется однозначно статистическими метками ее компонентов, а существует как квантовая суперпозиция (это полностью аналогично тому, как два фермиона известны иметь спин 1/2 вместе в квантовой суперпозиции полного спина 1 и 0). Если общая статистика слияния всех нескольких энионов известна, остается неоднозначность слияния некоторых подмножеств этих энионов, и каждая возможность представляет собой уникальное квантовое состояние. Эти множественные состояния обеспечивают гильбертово пространство, на котором могут выполняться квантовые вычисления.

Топологическая основа

вращение против часовой стрелки

вращение по часовой стрелке Обмен двух частиц в 2 + 1 пространство-время вращением. Вращения неэквивалентны, так как одно не может быть деформировано в другое (без выхода мировых линий из плоскости, что невозможно в 2-м пространстве).

В более чем двух измерениях теорема спин-статистика утверждает, что любое многочастичное состояние неразличимых частиц должно подчиняться статистике Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака. Для любого d>2 группы Ли SO (d, 1) (который обобщает группу Лоренца ) и Пуанкаре (d, 1) имеют Z2как свою первую гомотопическую группу. Поскольку циклическая группа Z2состоит из двух элементов, остаются только две возможности. (Детали более сложны, но это ключевой момент.)

Ситуация меняется в двух измерениях. Здесь первая гомотопическая группа SO (2,1), а также Пуанкаре (2,1) - это Z (бесконечная циклическая). Это означает, что Spin (2,1) не является универсальной крышкой : это не односвязный. Более подробно, существуют проективные представления специальной ортогональной группы SO (2,1), которые не возникают из линейных представлений группы SO (2,1)., или его двойного покрытия, спиновой группы Spin (2,1). Энионы - это равномерно дополнительные представления спиновой поляризации заряженной частицы.

Это понятие применимо и к нерелятивистским системам. Важная часть здесь состоит в том, что группа пространственного вращения SO (2) имеет бесконечную первую гомотопическую группу.

Этот факт также связан с группами кос, хорошо известными в теории узлов. Это отношение можно понять, если учесть тот факт, что в двух измерениях группа перестановок двух частиц больше не является симметричной группой S2(с двумя элементами), а скорее группой кос B 2 (с бесконечным количеством элементов). Существенным моментом является то, что одна коса может наматываться на другую, и эту операцию можно выполнять бесконечно часто, как по часовой, так и против часовой стрелки.

Совершенно иной подход к проблеме устойчивости-декогеренции в квантовых вычислениях заключается в создании топологического квантового компьютера с анионами, квазичастицами, используемыми в качестве потоков и полагающимися на теория кос для формирования стабильных логических вентилей.

многомерное обобщение анионов

Фракционные возбуждения как точечные частицы могут быть бозонами, фермионами или анионами в пространственно-временном измерении 2 + 1. Известно, что точечные частицы могут быть либо бозонами, либо фермионами в 3 + 1 и более высоких измерениях пространства-времени. Однако петлеобразные (или струнные) или мембранные возбуждения - протяженные объекты могут иметь дробную статистику. Текущие исследования показывают, что петлеобразные и струнные возбуждения существуют для топологических порядков в 3 + 1-мерном пространстве-времени, а их многопетлевые / переплетенные цепочки статистические данные являются ключевыми сигнатурами для идентификации 3 + 1-мерной топологической заказы. Статистика многопетлевых / плетеных нитей 3 + 1-мерных топологических порядков может быть захвачена инвариантами связей конкретных топологических квантовых теорий поля в 4-х пространственно-временных измерениях. Объясняя в разговорной манере, протяженные объекты (петля, струна или мембрана и т. Д.) Могут быть потенциально анионными в 3 + 1 и более высоких измерениях пространства-времени в дальнодействующих запутанных системах.

См. Также

Найдите anyon в Wiktionary, бесплатном словаре.

Anyonic Algebra - Подмножество алгебры
Flux tube - Трубчатая область пространства с постоянным магнитным потоком по всей длине
Теория Гинзбурга – Ландау - Теория сверхпроводимости
Q-представление Хусими - Инструмент моделирования вычислительной физики
Эффект Джозефсона - Квантовое физическое явление
Макроскопическое квантовые явления - Процессы, демонстрирующие квантовое поведение в макроскопическом масштабе, а не в атомном масштабе, где преобладают квантовые эффекты; Квантовая когерентность в макроскопическом масштабе приводит к макроскопическим квантовым явлениям
Магнитный домен - Область магнитного материала, в которой намагниченность имеет однородное направление
Квант магнитного потока - Квантованная единица магнитного потока
Эффект Мейснера - Излучение магнитного поля из сверхпроводника при его переходе в сверхпроводящее состояние
Плектон - Теоретическая частица
Квантовый вихрь - Квантованная циркуляция потока некоторой физической величины
Случайная матрица - Матрично-значная случайная величина
Топологический дефект - Тип структуры в квантовой механике
Топологические квантовые вычисления - Гипотетический отказоустойчивый квантовый компьютер на основе топологической конденсированной материи

Ссылки

Дополнительная литература

Наяк, Четан; Саймон, Стивен Х.; Стерн, Ади; Фридман, Майкл; Дас Сарма, Санкар (2008). «Неабелевы анионы и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики. 80 (3): 1083. arXiv : 0707.1889. Bibcode : 2008RvMP... 80.1083N. doi : 10.1103 / RevModPhys.80.1083.
Вэнь, Сяо-Ган (15 апреля 2002 г.). «Квантовые порядки и симметричные спиновые жидкости» (PDF). Физический обзор B. 65 (16): 165113. arXiv : cond-mat / 0107071. Bibcode : 2002PhRvB..65p5113W. doi : 10.1103 / PhysRevB.65.165113. Архивировано из оригинального (PDF) 9 июня 2011 г. Дата обращения 9 августа 2009 г.
Stern, Ady (2008). «Аньоны и квантовый эффект Холла - педагогический обзор» (PDF). Анналы физики. 323 : 204. arXiv : 0711.4697. Bibcode : 2008AnPhy.323..204S. doi : 10.1016 / j.aop.2007.10.008.
Наджар, Дана (2020). «Свидетельство" вехи "для Anyons, Третьего Королевства Частиц". Журнал Quanta.