Модель Изинга

редактировать

Математическая модель ферромагнетизма в статистической механике

Модель Изинга (; немецкий: ), названный в честь физика Эрнста Изинга, представляет собой математическую модель ферромагнетизм в статистической механике. Модель состоит из дискретных переменных, которые представляют магнитные дипольные моменты атомных «спинов», которые могут находиться в одном из двух состояний (+1 или -1). Спины расположены в виде графа, обычно в виде решетки (где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях), позволяя каждому спину взаимодействовать со своими соседями. Соседние спины, которые согласны, имеют более низкую энергию, чем несогласные; система стремится к наименьшей энергии, но высокая температура нарушает эту тенденцию, создавая возможность различных структурных фаз. Модель позволяет идентифицировать фазовые переходы, как упрощенную модель реальности. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой - одна из простейших статистических моделей, показывающих фазовый переход.

Модель Изинга была изобретена физиком Вильгельмом Ленцем ( 1920), который поставил эту задачу перед своим учеником Эрнстом Изингом. Одномерная модель Изинга была решена самим Изингом (1925) в его диссертации 1924 года; у него нет фазового перехода. Двухмерная модель Изинга с квадратной решеткой намного сложнее и аналитическое описание было дано гораздо позже Ларсом Онсагером (1944). Обычно это решается с помощью метода матрицы переноса, хотя существуют разные подходы, более связанные с квантовой теорией поля.

В размерностях больше четырех описывается фазовый переход модели Изинга по теории среднего поля.

Задача Изинга без внешнего поля может быть эквивалентно сформулирована как graph задача максимального разреза (Max-Cut), которая может быть решена с помощью комбинаторная оптимизация.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Обсуждение
- 1.2 Упрощения
- 1.3 Подключение к максимальному сечению графика
- 1.4 Вопросы
2 Основные свойства и история
3 Исторические значимость
- 3.1 Отсутствие фазовых переходов в конечном объеме
- 3.2 Капли Пайерлса
- 3.3 Двойственность Крамерса – Ванье
- 3.4 Нули Янга – Ли
4 Методы Монте-Карло для численного моделирования
- 4.1 Определения
- 4.2 Алгоритм Метрополиса
  - 4.2.1 Обзор
  - 4.2.2 Спецификация
- 4.3 Просмотр модели Изинга как цепи Маркова
5 Одно измерение
- 5.1 Isi точное решение ng
  - 5.1.1 Доказательство
  - 5.1.2 Комментарии
- 5.2 Одномерное решение с поперечным полем
6 Двумерное решение
- 6.1 Точное решение Онзагера
  - 6.1.1 Передаточная матрица
  - 6.1.2 T в терминах матриц Паули
  - 6.1.3 Операторы создания и уничтожения спин-флипов
  - 6.1.4 Формула Онзагера для спонтанной намагниченности
- 6.2 Минимальная модель
7 Трехмерная
- 7.1 Результат Истраила о NP-полноте для общей модели спинового стекла
- 7.2 Фазовый переход
8 Четыре измерения и выше
- 8.1 Локальное поле
- 8.2 Анализ размеров
- 8.3 Намагниченность
- 8.4 Колебания
- 8.5 Критическая двухточечная функция
- 8.6 G (r) вдали от критической точки
- 8.7 Интерпретация полимера Симанзика
- 8.8 4 - размерность ε - ренормгруппа
  - 8.8.1 Перенормировка Вильсона
  - 8.8.2 Фиксированная точка Вильсона – Фишера
- 8.9 Бесконечные измерения - среднее поле
- 8.10 Низкие размерности - блочные спины
  - 8.10.1 Перенормировка Мигдала – Каданова
9 Приложения
- 9.1 Магнетизм
- 9.2 Решеточный газ
- 9.3 Применение в неврологии
- 9.4 Спиновые очки
- 9.5 Морской лед
10 См. Также
11 Сноски
12 Ссылки
13 Внешние ссылки

Определение

Рассмотрим набор Λ узлов решетки, каждый из которых имеет набор смежных узлов (например, граф ), образующий d-мерную решетку. Для каждого узла k ∈ Λ существует дискретная переменная σ k такая, что σ k ∈ {+1, −1}, представляющая спин узла. Конфигурация спина, σ = (σ k)k ∈ Λ - это присвоение значения спина каждому узлу решетки.

Для любых двух соседних узлов i, j ∈ Λ существует взаимодействие J ij. Также узел j ∈ Λ имеет внешнее магнитное поле h j, взаимодействующее с ним. Энергия конфигурации σ задается функцией гамильтониана

H ( σ) знак равно - ∑ ⟨ij⟩ J ij σ я σ J - μ ∑ jhj σ J, {\ Displaystyle H (\ sigma) = - \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} - \ mu \ sum _ {j} h_ {j} \ sigma _ {j},}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} - \ mu \ sum _ {j} h_ {j} \ sigma _ {j},}

где первая сумма берется по парам соседних спинов (каждая пара считается один раз). Обозначение ⟨ij⟩ указывает, что узлы i и j являются ближайшими соседями. Магнитный момент задается как µ. Обратите внимание, что знак во втором члене гамильтониана выше должен быть положительным, поскольку магнитный момент электрона момент антипараллелен его спину, но отрицательный термин используется обычно. Вероятность конфигурации задается распределением Больцмана с обратная температура β ≥ 0:

P β (σ) = е - β H (σ) Z β, {\ displaystyle P _ {\ beta} (\ sigma) = {\ frac {e ^ { - \ beta H (\ sigma)}} {Z _ {\ beta}}},}

{\ displaystyle P _ {\ beta} (\ sigma) = {\ frac {e ^ {- \ beta H (\ sigma)}} {Z _ {\ beta}}},}

где β = (k B T), а константа нормализации

Z β = ∑ σ е - β H (σ) {\ displaystyle Z _ {\ beta} = \ sum _ {\ sigma} e ^ {- \ beta H (\ sigma)}}

{\ displaystyle Z _ {\ beta} = \ sum _ {\ sigma} e ^ {- \ beta H (\ sigma)}}

- это статистическая сумма. Для функции f вращений («наблюдаемая») обозначается как

⟨f⟩ β = ∑ σ f (σ) P β (σ) {\ displaystyle \ langle f \ rangle _ {\ beta} = \ sum _ {\ sigma} f (\ sigma) P _ {\ beta} (\ sigma)}

{\ displaystyle \ langle f \ rangle _ {\ beta} = \ sum _ {\ sigma} f (\ sigma) P _ {\ beta} (\ sigma)}

математическое ожидание (среднее) значение f.

Вероятности конфигурации P β (σ) представляют вероятность того, что (в равновесии) система находится в состоянии с конфигурацией σ.

Обсуждение

Знак минус на каждом члене функции Гамильтона H (σ) является обычным. Используя это соглашение о знаках, модели Изинга можно классифицировать по знаку взаимодействия: если для пары i j

J ij>0 {\ displaystyle J_ {ij}>0}

J_{ij}>0

, взаимодействие называется ферромагнитным,

J ij < 0 {\displaystyle J_{ij}<0}

J_ {ij} <0

, взаимодействие называется антиферромагнитным,

J ij = 0 {\ displaystyle J_ {ij} = 0}

J_ {ij} = 0

, спины невзаимодействующие.

Система называется ферромагнитной или антиферромагнитной, если все взаимодействия ферромагнитны или все антиферромагнитны. Первоначальные модели Изинга были ферромагнитными, и до сих пор часто предполагается, что «модель Изинга» означает ферромагнитную модель Изинга.

В В ферромагнитной модели Изинга спины стремятся быть выровненными: конфигурации, в которых соседние спины имеют один и тот же знак, имеют более высокую вероятность. В антиферромагнитной модели соседние спины имеют тенденцию иметь противоположные приметы.

Знаковое соглашение H (σ) также объясняет, как узел вращения j взаимодействует с внешним полем. А именно, узел вращения хочет выровняться с внешним полем. Если:

hj>0 {\ displaystyle h_ {j}>0}

h_{j}>0

, сайт вращения j хочет выровняться в положительном направлении,

hj < 0 {\displaystyle h_{j}<0}

{\ displaystyle h_ {j} <0}

, сайт вращения j хочет выровняться в отрицательном направлении,

hj = 0 {\ displaystyle h_ {j} = 0}

{ \ displaystyle h_ {j} = 0}

, внешнее влияние на сайт вращения отсутствует.

Упрощения

Модели Изинга часто рассматриваются без внешнего поля, взаимодействующего с решеткой, то есть h = 0 для всех j в решетке Λ. Используя это упрощение, гамильтониан принимает вид

H (σ) = - ∑ ⟨ij⟩ J ij σ i σ j. {\ displaystyle H (\ sigma) = - \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

{\ displaystyle H ( \ sigma) = - \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

Когда внешнее поле везде равен нулю, h = 0, модель Изинга симметрична относительно переключения значения спина во всех узлах решетки; ненулевое поле нарушает эту симметрию.

Еще одно распространенное упрощение катион - это предположить, что все ближайшие соседи ⟨ij⟩ имеют одинаковую силу взаимодействия. Тогда мы можем положить J ij = J для всех пар i, j в Λ. В этом случае гамильтониан дополнительно упрощается до

H (σ) = - J ∑ ⟨i j⟩ σ i σ j. {\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

Подключение к графу максимальное разрезание
Подмножество S множества вершин V (G) взвешенного неориентированного графа G определяет разрез графа G на S и его дополнительный подмножество G \ S. Размер разреза - это сумма весов ребер между S и G \ S. максимальный размер разреза равен по крайней мере размеру любого другого разреза, меняющемуся S.

Для модели Изинга без внешнего поля на графе G гамильтониан становится следующей суммой по ребра графа E (G)

$H (σ) = - ∑ ij ∈ E (G) J ij σ i σ j {\ displaystyle H (\ sigma) = - \ sum _ {ij \ in E (G)} J_ {ij} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}}$ ${\ displaystyle H (\ sigma) = - \ sum _ {ij \ in E (G)} J_ {ij} \ sigma _ {i } \ sigma _ {j}}$ .

Здесь каждая вершина i графа - это узел вращения, который принимает значение вращения $σ i = ± 1 {\ displaystyle \ sigma _ {i} = \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i} = \ pm 1}$ . Данная конфигурация вращения $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ разбивает набор вершин $V (G) {\ displaystyle V (G)}$ $V (G)$ на две части $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -зависимые подмножества, те, у которых есть вращение вверх $V + {\ displaystyle V ^ {+}}$ $V ^ {+}$ и те, у которых есть вращение вниз $V - {\ displaystyle V ^ {-}}$ $V ^ {-}$ . Мы обозначаем $δ (V +) {\ displaystyle \ delta (V ^ {+})}$ ${\ displaystyle \ delta (V ^ {+})}$ $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -зависимый набор ребер, которые соединяют два дополнительных подмножества вершин $V + {\ displaystyle V ^ {+}}$ $V ^ {+}$ и $V - {\ displaystyle V ^ {-}}$ $V ^ {-}$ . Размер $| δ (V +) | {\ displaystyle \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right |}$ отрезка $δ (V +) {\ displaystyle \ delta (V ^ {+})}$ ${\ displaystyle \ delta (V ^ {+})}$ - двудольный взвешенный неориентированный граф G может быть определен как

$| δ (V +) | Знак равно 1 2 ∑ ij ∈ δ (V +) W ij {\ displaystyle \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right | = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij \ in \ дельта (V ^ {+})} W_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right | = { \ frac {1} {2}} \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+})} W_ {ij}}$ ,

где $W ij {\ displaystyle W_ {ij}}$ $W_{ij}$ обозначает вес края $ij {\ displaystyle ij}$ $ij$ , а масштабирование 1/2 вводится для компенсации двойного счета одинаковых весов $W ij = W ji {\ displaystyle W_ {ij} = W_ {ji}}$ ${\ displaystyle W_ {ij} = W_ {ji}}$ .

Идентификаторы

$H (σ) = - ∑ ij ∈ E (V +) J ij - ∑ ij ∈ E (V -) J ij + ∑ ij ∈ δ (V +) J ij = - ∑ ij ∈ E (G) J ij + 2 ∑ ij ∈ δ (V +) J ij, {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} H (\ sigma) = - \ sum _ {ij \ in E (V ^ {+})} J_ { ij} - \ sum _ {ij \ in E (V ^ {-})} J_ {ij} + \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+})} J_ {ij} \\ = - \ sum _ {ij \ in E (G)} J_ {ij} +2 \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+})} J_ {ij}, \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} H (\ sigma) = - \ sum _ {ij \ в E (V ^ {+})} J_ {ij} - \ sum _ {ij \ in E (V ^ {-})} J_ {ij} + \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+ })} J_ {ij} \\ = - \ sum _ {ij \ in E (G)} J_ {ij} +2 \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+})} J_ {ij }, \ end {align}}}$

где общая сумма в первом члене не зависит от $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , подразумевает, что минимизация $H (σ) {\ displaystyle H (\ sigma)}$ $H (\ sigma)$ в $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ эквивалентно для минимизации $∑ я j ∈ δ (V +) J я j {\ displaystyle \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+})} J_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {ij \ in \ delta (V ^ {+})} J_ {ij}}$ . Определение веса ребра $W ij = - J ij {\ displaystyle W_ {ij} = - J_ {ij}}$ ${\ displaystyle W_ {ij} = - J_ {ij}}$ , таким образом, превращает задачу Изинга без внешнего поля в задачу Max-Cut, максимизирующую размер разреза $| δ (V +) | {\ displaystyle \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right |}$ , который связан с гамильтонианом Изинга следующим образом:

$H (σ) = ∑ ij ∈ E (G) W ij - 4 | δ (V +) |. {\ displaystyle H (\ sigma) = \ sum _ {ij \ in E (G)} W_ {ij} -4 \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right |.}$ ${\ displaystyle H (\ sigma) = \ sum _ {ij \ in E (G)} W_ {ij} -4 \ left | \ delta (V ^ {+}) \ right |.}$

Вопросы

Значительное количество статистических вопросов, которые следует задать об этой модели, находятся в пределах большого количества спинов:

В типичной конфигурации большинство спинов +1 или -1, или они разделены поровну?
Если спин в любой данной позиции i равен 1, какова вероятность того, что спин в позиции j также равен 1?
Если β изменяется, существует ли фазовый переход?
На решетке Λ, какова фрактальная размерность формы большого кластера +1 спинов?

Основные свойства и история

Визуализация трансляционно-инвариантной вероятностной меры одномерного Изинга модель

Наиболее изученным случаем модели Изинга является трансляционно-инвариантная ферромагнитная модель нулевого поля на d-мерной решетке, а именно Λ = Z, J ij = 1, h = 0.

В своей докторской диссертации 1924 года Изинг решил модель для случая d = 1, которую можно представить как линейная горизонтальная решетка, в которой каждый узел взаимодействует только со своими левым и правым соседом. В одном измерении решение не допускает фазового перехода . А именно, для любого положительного β корреляции ⟨σ iσj⟩ экспоненциально убывают по | i - j |:

⟨σ i σ j⟩ β ≤ C exp ⁡ (- c (β) | i - j |), {\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle _ {\ beta} \ leq C \ exp {\ big (} -c (\ beta) | ij | {\ big)}, }

{\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {я} \ си gma _ {j} \ rangle _ {\ beta} \ leq C \ exp {\ big (} -c (\ beta) | ij | {\ big)},}

и система неупорядочена. На основании этого результата он ошибочно пришел к выводу, что эта модель не проявляет фазового поведения ни в каком измерении.

Модель Изинга претерпевает фазовый переход между упорядоченной и неупорядоченной фазой в двух или более измерениях. А именно, система неупорядочена при малых β, тогда как при больших β система обнаруживает ферромагнитный порядок:

⟨σ i σ j⟩ β ≥ c (β)>0. {\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle _ {\ beta} \ geq c (\ beta)>0.}

$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta)>0.$

Впервые это доказал Рудольф Пайерлс>в 1936 году с использованием того, что сейчас называется аргументом Пайерлса .

Модель Изинга на двумерной квадратной решетке без магнитного поля была аналитически решена Ларсом Онсагером (1944). Онсагер показал, что корреляционные функции и свободная энергия модели Изинга определяются невзаимодействующим решеточным фермионом. Онзагер объявил формулу для спонтанной намагниченности для 2-мерной модели в 1949 г., но не дал вывода. Ян (1952) дал первое опубликованное доказательство этой формулы, используя формулу предела для Фредгольма. детерминанты, доказанные в 1951 году Сеге в прямом ответе на работу Онзагера.

Историческое значение

Один из аргументов Демокрита в поддержку атомизма заключался в том, что атомы естественным образом объясняют резкие межфазные границы, наблюдаемые в материалах, например, когда лед тает до вода или вода превращаются в пар. Его идея заключалась в том, что небольшие изменения в свойствах атомарного масштаба приведут к большим изменениям в совокупном поведении. Другие считали, что материя по своей природе непрерывна, а не атомарна, и что крупномасштабные свойства материи не сводятся к основным атомным свойствам.

В то время как законы химического связывания дали понять химикам девятнадцатого века, что атомы реальны, среди физиков споры продолжались и в начале двадцатого века. Атомисты, в частности Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман, применили формулировку Гамильтона законов Ньютона к большим системам и обнаружили, что статистическое поведение атомов правильно описывает комнату температура газов. Но классическая статистическая механика не учитывала всех свойств жидкостей и твердых тел, а также газов при низкой температуре.

Когда была сформулирована современная квантовая механика, атомизм больше не противоречил эксперименту, но это не привело к всеобщему признанию статистической механики, выходящей за рамки атомизма. Джозайя Уиллард Гиббс дал полный формализм, чтобы воспроизвести законы термодинамики из законов механики. Но многие ошибочные аргументы сохранились с XIX века, когда статистическая механика считалась сомнительной. Недостатки интуиции в основном связаны с тем фактом, что предел бесконечной статистической системы имеет множество законов нуля или единицы, которые отсутствуют в конечных системах: бесконечно малое изменение параметра может привести к большим различиям в общем, совокупное поведение, как и ожидал Демокрит.

Никаких фазовых переходов в конечном объеме

В начале двадцатого века некоторые считали, что статистическая сумма никогда не может описать фазовый переход, основываясь на следующих аргумент:

Статистическая сумма представляет собой сумму e по всем конфигурациям.
Экспоненциальная функция везде аналитическая как функция от β.
Сумма Аналитические функции - это аналитическая функция.

Этот аргумент работает для конечной суммы экспонент и правильно устанавливает отсутствие сингулярностей в свободной энергии системы конечного размера. Для систем, находящихся в термодинамическом пределе (то есть для бесконечных систем), бесконечная сумма может привести к сингулярностям. Сходимость к термодинамическому пределу происходит быстро, так что фазовое поведение проявляется уже на относительно небольшой решетке, даже несмотря на то, что сингулярности сглаживаются конечным размером системы.

Впервые это было установлено Рудольфом Пайерлсом в модели Изинга.

Капли Пайерлса

Вскоре после того, как Ленц и Изинг построили модель Изинга, Пайерлс смог явно показать, что фазовый переход происходит в двух измерениях.

Для этого он сравнил пределы высоких и низких температур. При бесконечной температуре (β = 0) все конфигурации имеют равную вероятность. Каждое вращение полностью независимо от другого, и если типичные конфигурации при бесконечной температуре изображены так, что плюс / минус представлены черным и белым, они будут выглядеть как телевизионный снег. При высокой, но не бесконечной температуре, есть небольшие корреляции между соседними положениями, снег имеет тенденцию к небольшому скоплению, но экран остается случайным, и нет чистого избытка черного или белого.

Количественным показателем избытка является намагниченность, которая представляет собой среднее значение спина:

M = 1 N ∑ i = 1 N σ i. {\ displaystyle M = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sigma _ {i}.}

{\ displaystyle M = {\ frac {1} {N}} \ sum _ { я = 1} ^ {N} \ sigma _ {я}.}

Поддельный аргумент, аналогичный аргументу в предыдущем разделе. устанавливает, что намагниченность в модели Изинга всегда равна нулю.

Каждая конфигурация спинов имеет равную энергию конфигурации со всеми перевернутыми спинами.
Таким образом, для каждой конфигурации с намагниченностью M существует конфигурация с намагниченностью -M с равной вероятностью.
поэтому система должна проводить в конфигурации с намагниченностью M такое же количество времени, как и с намагниченностью -M.
Таким образом, средняя намагниченность (за все время) равна нулю.

Как и раньше, это только доказывает, что средняя намагниченность равна нулю при любом конечном объеме. Для бесконечной системы флуктуации могут оказаться не в состоянии перевести систему из преимущественно положительного состояния в преимущественно отрицательное с ненулевой вероятностью.

Для очень высоких температур намагниченность равна нулю, как и при бесконечной температуре. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если спин A имеет только небольшую корреляцию ε со спином B, а B только слабо коррелирует со спином C, но в остальном C не зависит от A, степень корреляции A и C будет похожа на ε. Для двух спинов, разделенных расстоянием L, величина корреляции равна ε, но если существует более одного пути, по которому могут проходить корреляции, эта величина увеличивается за счет количества путей.

Количество путей длины L на квадратной решетке в измерениях d равно

N (L) = (2 d) L, {\ displaystyle N (L) = (2d) ^ {L},}

{\ displaystyle N (L) = (2d) ^ {L},}

, поскольку на каждом шаге есть 2 варианта выбора.

Граница общей корреляции задается вкладом в корреляцию путем суммирования по всем путям, соединяющим две точки, который ограничен сверху суммой по всем путям длиной L, деленной на

∑ L ( 2 d) L ε L, {\ displaystyle \ sum _ {L} (2d) ^ {L} \ varepsilon ^ {L},}

{\ displaystyle \ sum _ {L} (2d) ^ {L } \ varepsilon ^ {L},}

который стремится к нулю, когда ε мало.

При низких температурах (β ≫ 1) конфигурации близки к конфигурации с наименьшей энергией, той, где все спины положительные или все спины отрицательны. Пайерлс спросил, возможно ли статистически при низкой температуре, начиная со всех вращений минус, колебаться до состояния, при котором большинство вращений положительное. Чтобы это произошло, капли с плюсовым вращением должны быть способны застыть, чтобы образовалось положительное состояние.

Энергия капли плюсовых спинов на минусовом фоне пропорциональна периметру капли L, где плюсовые и минусовые спины соседствуют друг с другом. Для капли с периметром L площадь находится где-то между (L - 2) / 2 (прямая линия) и (L / 4) (квадратная рамка). Вероятностная стоимость введения капли имеет коэффициент e, но он вносит вклад в статистическую сумму, умноженную на общее количество капель с периметром L, которое меньше, чем общее количество путей длиной L:

N (L) < 4 2 L. {\displaystyle N(L)<4^{2L}.}

{\ displaystyle N (L) <4 ^ {2L}.}

Таким образом, общий спиновый вклад от капель, даже если пересчитать, позволяя каждому участку иметь отдельную каплю, ограничен сверху величиной

∑ LL 2 4 2 L e - 4 β L, {\ displaystyle \ sum _ { L} L ^ {2} 4 ^ {2L} e ^ {- 4 \ beta L},}

{\ displaystyle \ sum _ {L} L ^ {2} 4 ^ {2L} e ^ {- 4 \ beta L},}

которая стремится к нулю при больших β. При достаточно большом β это экспоненциально подавляет длинные петли, так что они не могут возникать, и намагниченность никогда не колеблется слишком далеко от -1.

Итак, Пайерлс установил, что намагниченность в модели Изинга в конечном итоге определяет секторы суперселекции, разделенные домены, не связанные конечными флуктуациями.

Двойственность Крамерса-Ванье

Крамерс и Ванье смогли показать, что высокотемпературное расширение и низкотемпературное расширение модели равны общему изменению масштаба свободной энергии. Это позволило точно определить точку фазового перехода в двумерной модели (в предположении, что существует единственная критическая точка).

Нули Янга – Ли

После решения Онзагера Ян и Ли исследовали, как статистическая сумма становится сингулярной по мере приближения температуры к критической температуре.

Методы Монте-Карло для численного моделирования

Закалка системы Изинга на двумерной квадратной решетке (500 × 500) с обратной температурой β = 10, начиная со случайной конфигурации

Определения

Модель Изинга часто бывает трудно оценить численно, если в системе много состояний. Рассмотрим модель Изинга с

L = | Λ |: общее количество узлов на решетке,

σj∈ {−1, +1}: отдельный узел спина на решетке, j = 1,..., L,

S ∈ {−1, +1}: состояние системы.

Так как каждый узел спина имеет ± 1 спин, возможны 2 различных состояния. Это мотивирует причину моделирования модели Изинга с использованием методов Монте-Карло.

Гамильтониан, который обычно используется для представления энергии модели при использовании методов Монте-Карло, равен

H (σ) = - J ⟨ij⟩ σ i σ j - h j σ j. {\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} -h \ sum _ {j} \ sigma _ {j}. }

{\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle } \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} -h \ sum _ {j} \ sigma _ {j}.}

Кроме того, гамильтониан дополнительно упрощается, предполагая нулевое внешнее поле h, так как многие вопросы, которые ставятся для решения с помощью модели, могут быть решены в отсутствие внешнего поля. Это приводит нас к следующему уравнению энергии для состояния σ:

H (σ) = - J ∑ ⟨i j⟩ σ i σ j. {\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {\ langle i ~ j \ rangle} \ sigma _ {i} \ sigma _ {j}.}

Учитывая этот гамильтониан, представляющие интерес величины, такие как можно рассчитать удельную теплоемкость или намагниченность магнита при заданной температуре.

Алгоритм Метрополиса

Обзор

Алгоритм Метрополиса – Гастингса - это наиболее часто используемый алгоритм Монте-Карло для расчета оценок модели Изинга. Сначала алгоритм выбирает вероятности выбора g (μ, ν), которые представляют вероятность того, что состояние ν выбрано алгоритмом из всех состояний, при условии, что одно находится в состоянии μ. Затем он использует вероятности приемки A (μ, ν), так что детальный баланс удовлетворяется. Если новое состояние ν принято, то мы переходим в это состояние и повторяем, выбирая новое состояние и решая принять его. Если ν не принимается, мы остаемся в μ. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнен некоторый критерий остановки, который для модели Изинга часто бывает, когда решетка становится ферромагнитной, что означает, что все узлы указывают в одном направлении.

При реализации алгоритма, необходимо убедиться, что g (μ, ν) выбирается так, чтобы удовлетворялась эргодичность. В тепловом равновесии энергия системы колеблется только в небольшом диапазоне. Это мотивировка концепции динамики одиночного переворота спина, которая гласит, что при каждом переходе мы изменяем только один из узлов спина на решетке. Более того, используя динамику однократного переворота спина, можно перейти из любого состояния в любое другое, переключая каждый узел, который различается между двумя состояниями, по одному.

Максимальная величина изменения между энергией текущего состояния H μ и любой возможной энергией нового состояния H ν (с использованием динамики с одним переворотом спина) составляет 2J между вращением, которое мы выбираем "перевернуть", чтобы перейти в новое состояние, и соседом этого спина. Таким образом, в одномерной модели Изинга, где у каждого узла есть два соседа (левый и правый), максимальная разница в энергии будет 4 Дж.

Пусть c представляет координационное число решетки ; число ближайших соседей любого узла решетки. Мы предполагаем, что все сайты имеют одинаковое количество соседей из-за периодических граничных условий. Важно отметить, что алгоритм Метрополиса – Гастингса не работает в критической точке из-за критического замедления. Другие методы, такие как многосеточные методы, алгоритм Нидермайера, алгоритм Свендсена – Ванга или алгоритм Вольфа, требуются для решения модели вблизи критической точки; требование для определения критических показателей системы.

Спецификация

Конкретно для модели Изинга и с использованием динамики однократного переворота вращения можно установить следующее.

Поскольку в решетке всего L узлов, используя одиночный переворот спина в качестве единственного способа перехода в другое состояние, мы можем видеть, что всего существует L новых состояний ν из нашего текущего состояния μ. Алгоритм предполагает, что вероятности выбора равны L состояниям: g (μ, ν) = 1 / L. Подробный баланс говорит нам, что должно выполняться следующее уравнение:

P (μ, ν) P (ν, μ) = g (μ, ν) A (μ, ν) g (ν, μ) A (ν, μ) = A (μ, ν) A (ν, μ) = P β (ν) P β (μ) = 1 Z e - β (H ν) 1 Z e - β (H μ) = e - β (H ν - H μ). {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {п (\ му, \ ню)} {п (\ ню, \ му)}} = {\ гидроразрыва {г (\ му, \ ню) А (\ му, \ ню)} { g (\ nu, \ mu) A (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {A (\ mu, \ nu)} {A (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {P_ { \ beta} (\ nu)} {P _ {\ beta} (\ mu)}} = {\ frac {{\ frac {1} {Z}} e ^ {- \ beta (H _ {\ nu})}} {{\ frac {1} {Z}} e ^ {- \ beta (H _ {\ mu})}}} = e ^ {- \ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}

{\ displaystyle {\ frac {P (\ mu, \ nu)} {P (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {g (\ mu, \ nu) A (\ mu, \ nu)} {g (\ nu, \ mu) A (\ nu, \ mu)}} = {\ frac {A (\ mu, \ nu)} {A ( \ nu, \ mu)}} = {\ frac {P _ {\ beta} (\ nu)} {P _ {\ beta} (\ mu)}} = {\ frac {{\ frac {1} {Z}} e ^ {- \ beta (H _ {\ nu})}} {{\ frac {1} {Z}} e ^ {- \ beta (H _ {\ mu})}}} = e ^ {- \ beta ( H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}

Таким образом, мы хотим выбрать вероятность принятия для нашего алгоритма, чтобы удовлетворить

A (μ, ν) A (ν, μ) = e - β (H ν - H μ). {\ displaystyle {\ frac {A (\ mu, \ nu)} {A (\ nu, \ mu)}} = e ^ {- \ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}

{\ displaystyle {\ frac {A (\ mu, \ nu)} {A (\ nu, \ mu)}} = e ^ {- \ beta ( H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}

Если H ν>Hμ, то A (ν, μ)>A (μ, ν). Метрополис устанавливает большее из A (μ, ν) или A (ν, μ) равным 1. Исходя из этого, алгоритм принятия следующий:

A (μ, ν) = {e - β (H ν - H μ), если H ν - H μ>0, 1 иначе. {\ displaystyle A (\ mu, \ nu) = {\ begin {case} e ^ {- \ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}, {\ text {if}} H _ {\ nu} -H _ {\ mu}>0, \\ 1 {\ text {else}}. \ end {cases}}}

A(\mu,\nu)={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0, \\ 1 {\ text {else}}. \ end {case}}

Основная форма алгоритма выглядит следующим образом:

Выберите узел вращения, используя вероятность выбора g (μ, ν), и вычислите вклад в энергию, включающую этот спин.
Переверните значение вращения и вычислите новый вклад.
Если новая энергия меньше, сохраните перевернутое значение.
Если новая энергия больше, сохраните только с вероятностью $e - β (H ν - H μ). {\ displaystyle e ^ {- \ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ beta (H _ {\ nu} -H _ {\ mu})}.}$
Повторить.

Изменение энергии H ν - H μ зависит только от значения спина и его ближайших соседей по графу. Поэтому, если граф не слишком связан, алгоритм работает быстро. Этот процесс даже Обычно производим пикировку из раздачи.

Просмотр модели Изинга как цепи Маркова

Можно рассматривать модель Изинга как цепь Маркова, как непосредственную вероятность P β (ν) перехода в будущее состояние ν зависит только от текущего состояния μ. Алгоритм Метрополиса на самом деле является версией симуляции цепи Маркова Монте-Карло, и, поскольку мы используем динамику одиночного переворота вращения в алгоритме Метрополиса, каждое состояние можно рассматривать как имеющее ссылки ровно на L других состояний где каждый переход соответствует переворачиванию одного узла спина на противоположное значение. Более того, поскольку изменение уравнения энергии H σ зависит только от силы взаимодействия J между ближайшими соседями, модель Изинга и ее варианты, такие как модель Снайд, можно рассматривать как форму модель избирателя для динамики мнений.

Одно измерение

Термодинамический предел существует, как только затухание взаимодействия составляет $J i j ∼ | i - j | - α {\ displaystyle J_ {ij} \ sim | i-j | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij | ^ {- \ alpha}}$ с α>1.

В случае ферромагнитного взаимодействия $J i j ∼ | i - j | - α {\ displaystyle J_ {ij} \ sim | i-j | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij | ^ {- \ alpha}}$ с 1 < α < 2, Dyson proved, by comparison with the hierarchical case, that there is phase transition at small enough temperature.
В случае ферромагнитного взаимодействия $J i j ∼ | i - j | - 2 {\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij | ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij | ^ {- 2}}$ , Фрёлих и Спенсер доказали, что существует фазовый переход при достаточно низкой температуре (в отличие от иерархического случая).
В случае взаимодействия $J ij ∼ | i - j | - α {\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij | ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle J_ {ij} \ sim | ij | ^ {- \ alpha}}$ с α>2 (включая случай взаимодействий конечной дальности), фазовый переход отсутствует ни при каких положительная температура (то есть конечное β), поскольку свободная энергия является аналитической по термодинамическим параметрам.
В случае взаимодействий ближайших соседей Э. Изинг предоставил точное решение модели. При любой положительной температуре (то есть при конечном β) свободная энергия аналитична по параметрам термодинамики, и усеченная двухточечная спиновая корреляция затухает экспоненциально быстро. При нулевой температуре (т.е. при бесконечном β) происходит фазовый переход второго рода: свободная энергия бесконечна, а усеченная двухточечная спиновая корреляция не затухает (остается постоянной). Следовательно, T = 0 - критическая температура в этом случае. Формулы масштабирования удовлетворены.

Точное решение Изинга

В случае ближайшего соседа (с периодическими или свободными граничными условиями) доступно точное решение. Гамильтониан одномерной модели Изинга на решетке из L узлов с периодическими граничными условиями равен

H (σ) = - J ∑ i = 1,…, L - 1 σ i σ i + 1 - h ∑ i σ я, {\ Displaystyle Н (\ сигма) = - J \ сумма _ {я = 1, \ ldots, L-1} \ sigma _ {я} \ sigma _ {я + 1} -h \ сумма _ {я } \ sigma _ {i},}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {i = 1, \ ldots, L-1} \ sigma _ {i} \ sigma _ {i + 1} -h \ sum _ {i} \ sigma _ {i},}

где J и h могут быть любым числом, так как в этом упрощенном случае J - константа, представляющая силу взаимодействия между ближайшими соседями, а h - постоянное внешнее магнитное поле, приложенное к узлам решетки.. Тогда свободная энергия равна

f (β, h) = - lim L → ∞ 1 β L ln ⁡ Z (β) = - 1 β ln ⁡ (e β J cosh ⁡ β h + е 2 β J (зп ⁡ β час) 2 + е - 2 β J), {\ displaystyle f (\ beta, h) = - \ lim _ {L \ to \ infty} {\ frac {1} {\ beta L}} \ ln Z (\ beta) = - {\ frac {1} {\ beta}} \ ln \ left (e ^ {\ beta J} \ ch \ beta h + {\ sqrt {e ^ {2 \ beta J} (\ sh \ beta h) ^ {2} + e ^ {- 2 \ beta J}}} \ right),}

{\ displaystyle f (\ beta, h) = - \ lim _ {L \ to \ infty} {\ frac {1} {\ beta L}} \ ln Z (\ beta) = - {\ frac {1} {\ beta}} \ ln \ left (e ^ {\ beta J} \ ch \ beta h + {\ sqrt {e ^ {2 \ beta J} (\ sinh \ beta h) ^ {2} + e ^ {- 2 \ beta J}}} \ right),}

, а спин-спиновая корреляция (т. Е. Ковариация) равна

⟨σ i σ j⟩ - ⟨σ i⟩ ⟨σ j⟩ = C (β) e - c (β) | i - j |, {\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle - \ langle \ sigma _ {i} \ rangle \ langle \ sigma _ {j} \ rangle = C (\ beta) e ^ { -c (\ beta) | ij |},}

{\ displaystyle \ langle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} \ rangle - \ langle \ sigma _ {i} \ rangle \ langle \ sigma _ {j} \ rangle = C (\ beta) e ^ {- c (\ beta) | ij |},}

где C (β) и c (β) - положительные функции для T>0. Однако при T → 0 длина обратной корреляции c (β) обращается в нуль.

Доказательство

Доказательство этого результата - простое вычисление.

Если h = 0, очень легко получить свободную энергию в случае свободного граничного условия, т.е. когда

H (σ) = - J (σ 1 σ 2 + ⋯ + σ L - 1 σ L). {\ displaystyle H (\ sigma) = - J (\ sigma _ {1} \ sigma _ {2} + \ cdots + \ sigma _ {L-1} \ sigma _ {L}).}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - J (\ sigma _ {1} \ sigma _ {2} + \ cdots + \ sigma _ {L-1} \ sigma _ {L}).}

Тогда модель факторизуется при замене переменных

σ j ′ = σ j σ j - 1, j ≥ 2. {\ displaystyle \ sigma '_ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {j-1}, \ quad j \ geq 2.}

\sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.

Это дает

Z (β) = ∑ σ 1,…, σ L e β J σ 1 σ 2 e β J σ 2 σ 3 ⋯ e β J σ L - 1 σ L = 2 ∏ j = 2 L σ j ′ e β J σ j ′ = 2 [e β J + e - β J] L - 1. {\ displaystyle Z (\ beta) = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {2} \ sigma _ {3}} \ cdots e ^ {\ beta J \ sigma _ {L-1} \ sigma _ {L}} = 2 \ prod _ {j = 2 } ^ {L} \ sum _ {\ sigma '_ {j}} e ^ {\ beta J \ sigma' _ {j}} = 2 \ left [e ^ {\ beta J} + e ^ {- \ beta J} \ right] ^ {L-1}.}

Z(\beta)=\sum _{\sigma _{1},\ldots,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.

Следовательно, свободная энергия равна

f (β, 0) = - 1 β ln ⁡ [e β J + e - β J]. {\ displaystyle f (\ beta, 0) = - {\ frac {1} {\ beta}} \ ln \ left [e ^ {\ beta J} + e ^ {- \ beta J} \ right].}

{\ displaystyle f (\ beta, 0) = - {\ frac {1} {\ beta}} \ ln \ left [e ^ {\ beta J} + e ^ { - \ beta J} \ right].}

С той же заменой переменных

⟨σ J σ J + N⟩ = [e β J - e - β J e β J + e - β J] N, {\ displaystyle \ langle \ sigma _ {j } \ sigma _ {j + N} \ rangle = \ left [{\ frac {e ^ {\ beta J} -e ^ {- \ beta J}} {e ^ {\ beta J} + e ^ {- \ beta J}}} \ right] ^ {N},}

{\ displaystyle \ langle \ sigma _ {j} \ sigma _ {j + N} \ rangle = \ left [{\ frac {e ^ {\ beta J} -e ^ {- \ beta J}} {e ^ {\ beta J} + e ^ {- \ beta J}}} \ right] ^ {N},}

следовательно, он экспоненциально затухает, как только T ≠ 0; но при T = 0, т.е. в пределе β → ∞ распада нет.

Если h ≠ 0, нам нужен метод матрицы передачи. Для периодических граничных условий случай следующий. Статистическая сумма

Z (β) = ∑ σ 1,…, σ L e β h σ 1 e β J σ 1 σ 2 e β h σ 2 e β J σ 2 σ 3 ⋯ e β h σ L e β J σ L σ 1 = ∑ σ 1,…, σ LV σ 1, σ 2 V σ 2, σ 3 ⋯ V σ L, σ 1. {\ Displaystyle Z (\ beta) = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} e ^ {\ beta h \ sigma _ {1}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}} e ^ {\ beta h \ sigma _ {2}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {2} \ sigma _ {3}} \ cdots e ^ {\ бета h \ sigma _ {L}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {L} \ sigma _ {1}} = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} V _ {\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}} V _ {\ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}} \ cdots V _ {\ sigma _ {L}, \ sigma _ {1}}.}

{\ Displaystyle Z (\ beta) = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} e ^ {\ beta h \ sigma _ {1}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}} e ^ {\ beta h \ sigma _ {2}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {2} \ sigma _ {3}} \ cdots e ^ {\ beta h \ sigma _ {L}} e ^ {\ beta J \ sigma _ {L} \ sigma _ {1}} = \ sum _ {\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {L}} V _ {\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}} V _ {\ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}} \ cdots V _ {\ sigma _ {L}, \ sigma _ {1}}.}

Коэффициенты $V σ, σ ′ {\ displaystyle V _ {\ sigma, \ sigma '}}$ $V_{\sigma,\sigma '}$ можно рассматривать как элементы матрицы. There are different possible choices: a convenient one (because the matrix is symmetric) is

V σ, σ ′ = e β h 2 σ e β J σ σ ′ e β h 2 σ ′ {\displaystyle V_{\sigma,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}

V_{\sigma,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}

V = [ e β ( h + J) e − β J e − β J e − β ( h − J) ]. {\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}

{\ displaystyle V = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ beta (h + J)} e ^ {- \ beta J} \\ e ^ {- \ beta J} e ^ {- \ beta (hJ)} \ end {bmatrix}}.}

В формализме матрицы

Z (β) = Tr ⁡ (VL) = λ 1 L + λ 2 L = λ 1 L [1 + (λ 2 λ 1) L], {\ displaystyle Z (\ beta) = \ operatorname {Tr} \ left (V ^ {L} \ right) = \ lambda _ {1} ^ {L} + \ lambda _ {2} ^ {L} = \ lambda _ {1} ^ {L } \ left [1+ \ left ({\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1}}} \ right) ^ {L} \ right],}

{\ displaystyle Z (\ beta) = \ operatorname {Tr} \ left (V ^ {L} \ right) = \ lambda _ {1} ^ {L} + \ lambda _ {2} ^ {L} = \ lambda _ {1} ^ {L} \ left [1+ \ left ( {\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1}}} \ right) ^ {L} \ right],}

где λ 1 - это наивысшее собственное значение V, а λ 2 - другое собственное значение:

λ 1 = e β J ch ⁡ β h + e 2 β J (sinh ⁡ β h) 2 + е - 2 β J, {\ displaystyle \ lambda _ {1} = e ^ {\ beta J} \ cosh \ beta h + {\ sqrt {e ^ {2 \ beta J} (\ sinh \ beta h) ^ {2 } + e ^ {- 2 \ beta J}}},}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = e ^ {\ beta J} \ cosh \ beta h + {\ sqrt {e ^ {2 \ beta J} (\ sinh \ beta h) ^ {2} + e ^ {- 2 \ beta J} }},}

и | λ 2| < λ1. Это дает формулу свободной энергии.

Энергия самого низшего состояния равна -JL, когда все спины одинаковы. Для любой другой конфигурации дополнительная энергия равна 2 Дж, умноженному на количество изменений знака, которые встречаются при сканировании конфигурации слева направо.

Если мы обозначим количество смен знака в конфигурации как k, разница в энергии от состояния с наименьшей энергией будет 2k. Поскольку энергия складывается с числом переворотов, вероятность p иметь переворот спина в каждой позиции не зависит. Отношение вероятности найти флип к вероятности не найти его - это фактор Больцмана:

p 1 - p = e - 2 β J. {\ displaystyle {\ frac {p} {1-p}} = e ^ {- 2 \ beta J}.}

{\ displaystyle {\ frac {p} {1-p}} = e ^ {-2 \ beta J}.}

Проблема сводится к независимым предвзятым подбрасыванию монеты. По сути, это завершает математическое описание.

Из описания в терминах независимых подбрасываний можно понять статистику модели для длинных линий. Линия разбивается на домены. Каждый домен имеет среднюю длину exp (2β). Длина домена распределена экспоненциально, поскольку на любом этапе существует постоянная вероятность столкновения с переворотом. Домены никогда не становятся бесконечными, поэтому длинная система никогда не намагничивается. Каждый шаг уменьшает корреляцию между вращением и его соседом на величину, пропорциональную p, поэтому корреляции падают экспоненциально.

S i S j⟩ ∝ e - p | i - j |. {\ displaystyle \ langle S_ {i} S_ {j} \ rangle \ propto e ^ {- p | ij |}.}

{\ displaystyle \ langle S_ {i} S_ {j} \ rangle \ propto e ^ {- p | ij |}.}

функция распределения - это объем конфигураций, каждая конфигурация взвешена на его вес Больцмана. Поскольку каждая конфигурация описывается сменой знака, статистическая сумма факторизуется:

Z = configs e k S k = ∏ k (1 + p) = (1 + p) L. {\ displaystyle Z = \ sum _ {\ text {configs}} e ^ {\ sum _ {k} S_ {k}} = \ prod _ {k} (1 + p) = (1 + p) ^ {L }.}

{\ displaystyle Z = \ sum _ {\ text {configs}} e ^ {\ sum _ {k} S_ {k}} = \ prod _ {k} (1 + p) = (1 + p) ^ {L}.}

Логарифм, деленный на L, представляет собой плотность свободной энергии:

β f = log ⁡ (1 + p) = log ⁡ (1 + e - 2 β J 1 + e - 2 β J), {\ Displaystyle \ бета е = \ журнал (1 + р) = \ журнал \ влево (1 + {\ гидроразрыва {е ^ {- 2 \ бета J}} {1 + е ^ {- 2 \ бета J}}} \ right),}

{\ Displaystyle \ бета е = \ журнал (1 + р) = \ журнал \ влево ( 1 + {\ frac {e ^ {- 2 \ beta J}} {1 + e ^ {- 2 \ beta J}}} \ right),}

что аналитически от β = ∞. Признаком фазового перехода является неаналитическая свободная энергия, поэтому одномерная модель не имеет фазового перехода.

Одномерное решение с поперечным полем

Чтобы выразить гамильтониан Изинга с использованием квантово-механического описания спинов, мы заменяем спиновые переменные соответствующими матрицами Паули. Однако, в зависимости от направления магнитного поля, мы можем создать гамильтониан поперечного или продольного поля. Гамильтониан поперечного поля задается как

H (σ) = - J ∑ i = 1,…, L σ i z σ i + 1 z - h ∑ i σ i x. {\ Displaystyle H (\ sigma) = - J \ сумма _ {я = 1, \ ldots, L} \ sigma _ {я} ^ {z} \ sigma _ {я + 1} ^ {z} -h \ sum _ {i} \ sigma _ {i} ^ {x}.}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - J \ sum _ {i = 1, \ ldots, L} \ sigma _ {i} ^ {z} \ sigma _ {i + 1} ^ {z} -h \ сумма _ {я} \ сигма _ {я} ^ {х}.}

Модель поперечного поля испытывает фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным режимами при J ~ h. Это можно показать с помощью сопоставления матриц Паули

σ nz = ∏ i = 1 n T ix, {\ displaystyle \ sigma _ {n} ^ {z} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} T_ {i} ^ {x},}

{\ displaystyle \ sigma _ { n} ^ {z} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} T_ {i} ^ {x},}

σ nx = T nz T n + 1 z. {\ displaystyle \ sigma _ {n} ^ {x} = T_ {n} ^ {z} T_ {n + 1} ^ {z}.}

{\ displaystyle \ sigma _ {n} ^ {x} = T_ {n} ^ {z} T_ {n + 1} ^ {z}.}

После переписывания гамильтониана в терминах этой смены базиса матрицы, получаем

H (σ) = - h ∑ i = 1,…, LT iz T i + 1 z - J ∑ i T ix. {\ Displaystyle Н (\ sigma) = - час \ сумма _ {я = 1, \ ldots, L} T_ {i} ^ {z} T_ {i + 1} ^ {z} -J \ sum _ {я} T_ {i} ^ {x}.}

{\ displaystyle H (\ sigma) = - h \ sum _ {i = 1, \ ldots, L} T_ {i} ^ {z} T_ {i + 1} ^ {z} -J \ сумма _ {i} T_ {i} ^ {x}.}

Поскольку роли h и J поменялись местами, гамильтониан претерпевает переход при J = h.

Два измерения

В ферромагнитном случае фазовый переход. При низкой температуре аргумент Пайерлса доказывает положительную намагниченность для случая ближайшего соседа, а затем, согласно неравенству Гриффитса, также при добавлении взаимодействий на более длинном расстоянии. Между тем, при высокой температуре расширение кластера дает аналитичность термодинамических функций.
В случае ближайшего соседа свободная энергия была точно вычислена Онзагером через эквивалентность модели со свободными фермионами на решетке. Спин-спиновые корреляционные функции были вычислены МакКоем и Ву.

Точное решение Онзагера

Онсагер (1944) получил следующее аналитическое выражение для свободной энергии модели Изинга на анизотропной квадратной решетке, когда магнитная поле $h = 0 {\ displaystyle h = 0}$ $час = 0$ в термодинамическом пределе как функция температуры и энергии горизонтального и вертикального взаимодействия $J 1 {\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ и $J 2 {\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ соответственно

- β f = ln ⁡ 2 + 1 8 π 2 ∫ 0 2 π d θ 1 ∫ 0 2 π d θ 2 ln ⁡ [ch ⁡ (2 β J 1) ch ⁡ (2 β J 2) - sinh ⁡ (2 β J 1) cos ⁡ (θ 1) - sinh ⁡ (2 β J 2) cos ⁡ (θ 2)]. {\ displaystyle - \ beta f = \ ln 2 + {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta _ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta _ {2} \ ln [\ cosh (2 \ beta J_ {1}) \ cosh (2 \ beta J_ {2}) - \ sinh (2 \ beta J_ { 1}) \ cos (\ theta _ {1}) - \ sinh (2 \ beta J_ {2}) \ cos (\ theta _ {2})].}

- \ beta f = \ ln 2 + {\ frac {1} {8 \ pi ^ { 2}}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta _ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta _ {2} \ ln [\ cosh (2 \ бета J_ {1}) \ cosh (2 \ beta J_ {2}) - \ sinh (2 \ beta J_ {1}) \ cos (\ theta _ {1 }) - \ sinh (2 \ beta J_ {2}) \ cos (\ theta _ {2})].

Из этого выражения для свободной энергии все термодинамические функции модели могут быть рассчитаны с использованием соответствующей производной. 2D-модель Изинга была первой моделью, демонстрирующей непрерывный фазовый переход при положительной температуре. Это происходит при температуре $T c {\ displaystyle T_ {c}}$ $T_ {c}$ , которая решает уравнение

sinh ⁡ (2 J 1 k T c) sinh ⁡ (2 J 2 k T c) = 1. {\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {2J_ {1}} {kT_ {c}}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {2J_ {2}} {kT_ {c}) }} \ right) = 1.}

{\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {2J_ {1}} {kT_ {c}}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {2J_ {2}} {kT_ {c}}} \ right) = 1.}

В изотропном случае, когда энергии горизонтального и вертикального взаимодействия равны $J 1 = J 2 = J {\ displaystyle J_ {1} = J_ {2} = J}$ $J_ {1} = J_ {2} = J$ , критическая температура $T c {\ displaystyle T_ {c}}$ $T_ {c}$ возникает в следующей точке

T c = 2 Дж k ln ⁡ (1 + 2) {\ displaystyle T_ {c} = {\ frac {2J} {k \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}}}

T_ {c} = {\ frac {2J} {k \ ln (1 + {\ sqrt {2}})}}

Когда энергии взаимодействия $J 1 {\ displaystyle J_ {1 }}$ $J_ {1}$ , $J 2 {\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ оба отрицательны, модель Изинга становится антиферромагнетиком. Поскольку квадратная решетка является двухчастной, она инвариантна при этом изменении, когда магнитное поле $h = 0 {\ displaystyle h = 0}$ $час = 0$ , поэтому свободная энергия и критическая температура одинаковы для антиферромагнитный корпус. Для треугольной решетки, которая не является двудольной, ферромагнитная и антиферромагнитная модели Изинга ведут себя заметно по-разному.

Передаточная матрица

Начнем с аналогии с квантовой механикой. Модель Изинга на длинной периодической решетке имеет статистическую сумму

∑ {S} exp ⁡ (∑ i j S i, j (S i, j + 1 + S i + 1, j)). {\ displaystyle \ sum _ {\ {S \}} \ exp {\ biggl (} \ sum _ {ij} S_ {i, j} \ left (S_ {i, j + 1} + S_ {i + 1, j} \ right) {\ biggr)}.}

{\ displaystyle \ sum _ {\ {S \}} \ exp {\ biggl (} \ sum _ {ij} S_ {i, j} \ left (S_ {i, j + 1} + S_ {i + 1, j} \ right) {\ biggr)}.}

Думайте о направлении i как о пространстве, а о направлении j как о времени. Это независимая сумма всех значений, которые спины могут принимать на каждом временном интервале. Это тип интеграла по путям, это сумма по всем историям вращения.

Интеграл по путям можно переписать в виде гамильтоновой эволюции. Гамильтониан шагает во времени, выполняя единичный поворот между временем t и временем t + Δt:

U = ei H Δ t {\ displaystyle U = e ^ {iH \ Delta t}}

U = e ^ {iH \ Delta t}

Произведение U матрицы, одна за другой, представляет собой оператор эволюции полного времени, который является интегралом по путям, с которого мы начали.

UN = (ei H Δ t) N = ∫ DX ei L {\ displaystyle U ^ {N} = (e ^ {iH \ Delta t}) ^ {N} = \ int DXe ^ {iL}}

U ^ {N} = (e ^ {iH \ Delta t}) ^ {N} = \ int DXe ^ {iL}

где N - количество временных интервалов. Сумма по всем путям определяется как произведение матриц, каждый элемент матрицы - это вероятность перехода от одного среза к следующему.

Точно так же можно разделить сумму по всем конфигурациям функции распределения на слои, где каждый слайс является одномерной конфигурацией в момент 1. Это определяет матрицу передачи :

T C 1 C 2. {\ displaystyle T_ {C_ {1} C_ {2}}.}

T_{C_{1}C_{2}}.

Конфигурация в каждом срезе представляет собой одномерный набор вращений. В каждом временном интервале T имеет матричные элементы между двумя конфигурациями спинов, одна в ближайшем будущем, а другая в ближайшем прошлом. Эти две конфигурации - это C 1 и C 2, и все они являются одномерными спиновыми конфигурациями. Мы можем представить векторное пространство, в котором действует T, как все их сложные линейные комбинации. Использование квантово-механических обозначений:

| A⟩ = ∑ S A (S) | S⟩ {\ displaystyle | A \ rangle = \ sum _ {S} A (S) | S \ rangle}

| A \ rangle = \ sum _ {S} A (S) | S \ rangle

, где каждый базисный вектор $| S⟩ {\ displaystyle | S \ rangle}$ $| S \ rangle$ - спиновая конфигурация одномерной модели Изинга.

Как и гамильтониан, передаточная матрица действует на все линейные комбинации состояний. Статистическая сумма - это матричная функция от T, которая определяется суммой по всем историям, которые возвращаются к исходной конфигурации после N шагов:

Z = t r (T N). {\ displaystyle Z = \ mathrm {tr} (T ^ {N}).}

Z = \ mathrm {tr} (T ^ {N}).

Поскольку это матричное уравнение, его можно вычислить в любом базисе. Итак, если мы можем диагонализовать матрицу T, мы можем найти Z.

T в терминах матриц Паули

Вклад в статистическую сумму для каждой прошлой / будущей пары конфигураций на срезе равен сумма двух членов. Есть количество переворотов вращения в прошлом срезе и количество переворотов вращения между прошлым и будущим срезами. Определите оператор для конфигураций, который переворачивает спин в узле i:

σ i x. {\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {x}.}

\ sigma _ {i} ^ {x}.

В обычном базисе Изинга, воздействуя на любую линейную комбинацию прошлых конфигураций, он производит ту же линейную комбинацию, но со спином в позиции i каждого базисного вектора перевернулся.

Определите второй оператор, который умножает базисный вектор на +1 и -1 в соответствии со спином в позиции i:

σ i z. {\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {z}.}

\ sigma _ {i} ^ {z}.

T можно записать в следующих терминах:

∑ я A σ ix + B σ iz σ i + 1 z {\ displaystyle \ sum _ {i} A \ sigma _ {i} ^ {x} + B \ sigma _ {i} ^ {z} \ sigma _ {i + 1} ^ {z}}

\ sum _ {i} A \ sigma _ {i} ^ {x} + B \ sigma _ {i} ^ {z} \ sigma _ {i + 1} ^ {z}

где A и B - константы, которые следует определить так, чтобы воспроизвести статистическую сумму. Интерпретация состоит в том, что статистическая конфигурация этого среза влияет как на количество переворотов спина в срезе, так и на то, перевернулось ли вращение в позиции i.

Операторы создания и уничтожения спин-флипов

Как и в одномерном случае, мы переключим внимание со спинов на спин-флипы. Член σ в T подсчитывает количество переворотов спина, которые мы можем записать в терминах операторов рождения и уничтожения переворотов спина:

∑ C ψ i † ψ i. {\ displaystyle \ sum C \ psi _ {i} ^ {\ dagger} \ psi _ {i}. \,}

\ сумма C \ psi _ {i} ^ {\ dagger} \ psi _ {i}. \,

Первый член переворачивает вращение, поэтому в зависимости от базового состояния он либо:

перемещается переворот вращения на одну единицу вправо
перемещает переворот вращения на одну единицу влево
производит два переворота вращения на соседних сайтах
уничтожает два переворота вращения на соседних сайтах.

Записываем это в терминах операторов создания и уничтожения:

σ ix = D ψ † i ψ i + 1 + D ∗ ψ † i ψ i - 1 + C ψ i ψ i + 1 + C ∗ ψ † i ψ † i + 1. {\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {x} = D {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i} \ psi _ {i + 1} + D ^ {*} {\ psi ^ {\ dagger} } _ {i} \ psi _ {i-1} + C \ psi _ {i} \ psi _ {i + 1} + C ^ {*} {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i} {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i + 1}.}

\ sigma _ {i} ^ {x} = D {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i} \ psi _ {i + 1} + D ^ {*} {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i} \ psi _ {i-1} + C \ psi _ {i} \ psi _ {i + 1} + C ^ {*} {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i} {\ psi ^ {\ dagger}} _ {i + 1}.

Не обращайте внимания на постоянные коэффициенты и сосредоточьтесь на форме. Все они квадратичные. Поскольку коэффициенты постоянны, это означает, что матрица T может быть диагонализована преобразованиями Фурье.

Проведение диагонализации дает свободную энергию Онзагера.

Формула Онсагера для спонтанной намагниченности

Онсагер, как известно, объявил следующее выражение для спонтанной намагниченности M двумерного ферромагнетика Изинга на квадратной решетке на двух различных конференциях в 1948 год, хотя без доказательств

M = (1 - [sinh ⁡ 2 β J 1 sinh ⁡ 2 β J 2] - 2) 1 8 {\ displaystyle M = \ left (1- \ left [\ sinh 2 \ beta J_ {1} \ sinh 2 \ beta J_ {2} \ right] ^ {- 2} \ right) ^ {\ frac {1} {8}}}

M = \ left (1- \ left [\ sinh 2 \ beta J_ {1} \ sinh 2 \ beta J_ {2} \ right] ^ {- 2} \ right) ^ {\ frac {1} {8}}

где $J 1 {\ displaystyle J_ { 1}}$ $J_ {1}$ и $J 2 {\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ - энергии взаимодействия по горизонтали и вертикали.

Полный вывод был дан только в 1951 году Янгом (1952) с использованием ограничивающего процесса собственных значений матрицы передачи. Доказательство было впоследствии значительно упрощено в 1963 году Монтроллом, Поттсом и Уордом с использованием формулы предела Сеге для определителей Теплица путем рассмотрения намагниченности как предела корреляционные функции.

Минимальная модель

В критической точке двумерная модель Изинга представляет собой двумерную конформную теорию поля. Функции корреляции спина и энергии описываются минимальной моделью, которая была точно решена.

Три измерения

В трех измерениях, как и в двух измерениях, наиболее изученным случаем модели Изинга является трансляционно-инвариантная модель на кубической решетке со связью ближайших соседей в нулевом магнитном поле. Ведущие теоретики много десятилетий искали аналитическое трехмерное решение, которое было бы аналогично решению Онзагера в двумерном случае. К настоящему времени считается, что такого решения не существует, хотя существует Нет доказательств.

Александр Поляков и. Александр Поляков и показали, что модель Изинга имеет представление в терминах невзаимодействующих фермионных струн. Эта конструкция была проведена на решетке, и континуальный предел, предположительно описывающий критическую точку, неизвестен.

Результат NP-полноты Istrail для общей модели спинового стекла

В 2000 г. из Sandia National Laboratories было доказано, что неплоская модель Изинга NP-полная. То есть, предполагая P≠ NP,, общая модель Изинга со спиновым стеклом точно разрешима только в планарных случаях, поэтому решения для измерений выше двух также неразрешимы. Результат Истраила касается только модели спинового стекла с пространственно изменяющимися связями и ничего не говорит об исходной ферромагнитной модели Изинга с равными связями.

Фазовый переход

В трех измерениях, как в двух измерениях, аргумент Пайерла показывает, что существует фазовый переход. Строго известно, что этот фазовый переход является непрерывным (в том смысле, что длина корреляции расходится и намагниченность стремится к нулю) и называется критической точкой. Считается, что критическая точка может быть описана фиксированной точкой ренормализационной группы преобразования ренормгруппы Вильсона-Каданова. Также считается, что фазовый переход может быть описан трехмерной унитарной конформной теорией поля, о чем свидетельствуют моделирование Монте-Карло и теоретические аргументы. Хотя строгое установление картины ренормгруппы или конформной теории поля является открытой проблемой, физики-теоретики использовали эти два метода для вычисления критических показателей фазового перехода, которые согласуются с экспериментами и моделирования Монте-Карло.

Эта конформная теория поля, описывающая трехмерную критическую точку Изинга, активно исследуется с использованием метода конформного бутстрапа. В настоящее время этот метод дает наиболее точную информацию о структуре критической теории (см. критические показатели Изинга ).

Четыре измерения и более

В любом измерении модель Изинга может быть продуктивно описана с помощью локально меняющегося среднего поля. Поле определяется как среднее значение спина в большой области, но не настолько большое, чтобы охватить всю систему. Поле по-прежнему медленно меняется от точки к точке по мере перемещения усредняющего объема. Эти флуктуации поля описываются континуальной теорией поля в пределе бесконечной системы.

Локальное поле

Поле H определяется как длинноволновые компоненты Фурье переменной спина в том пределе, что длины волн велики. Есть много способов получить среднее значение длинных волн, в зависимости от деталей того, как отсекаются высокие длины волн. Детали не слишком важны, так как цель состоит в том, чтобы найти статистику H, а не спинов. Как только корреляции в H известны, корреляции между спинами на больших расстояниях будут пропорциональны корреляциям на больших расстояниях в H.

Для любого значения медленно меняющегося поля H свободная энергия (log- вероятность) является локальной аналитической функцией H и его градиентов. Свободная энергия F (H) определяется как сумма по всем конфигурациям Изинга, которые согласуются с длинноволновым полем. Поскольку H является грубым описанием, существует множество конфигураций Изинга, согласующихся с каждым значением H, при условии, что для сопоставления не требуется слишком большой точности.

Поскольку допустимый диапазон значений спина в любой области зависит только от значений H в пределах одного усредняемого объема из этой области, вклад свободной энергии от каждой области зависит только от значения H там и в соседние регионы. Таким образом, F - это сумма по всем областям локального вклада, который зависит только от H и его производных.

По симметрии в H, вклад вносят только четные степени. Благодаря симметрии отражения на квадратной решетке вклад вносят только четные степени градиентов. Выписываем первые несколько членов в свободной энергии:

β F = ∫ d d x [A H 2 + ∑ i = 1 d Z i (∂ i H) 2 + λ H 4 + ⋯]. {\ Displaystyle \ бета F = \ int d ^ {d} x \ left [AH ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {d} Z_ {i} (\ partial _ {i} H) ^ {2} + \ lambda H ^ {4} + \ cdots \ right].}

{\ displaystyle \ beta F = \ int d ^ {d} x \ left [AH ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {d} Z_ {i} (\ partial _ {i} H) ^ {2} + \ lambda H ^ {4} + \ cdots \ right].}

На квадратной решетке симметрии гарантируют, что все коэффициенты Z i производных членов равны. Но даже для анизотропной модели Изинга, где Z i в разных направлениях различаются, флуктуации H изотропны в системе координат, где масштабируются разные направления пространства.

На любой решетке член производной

Z ij ∂ i H ∂ j H {\ displaystyle Z_ {ij} \, \ partial _ {i} H \, \ partial _ {j} H}

{\ displaystyle Z_ {ij} \, \ partial _ {i} H \, \ partial _ {j} H}

- это положительно определенная квадратичная форма, которая может использоваться для определения метрики пространства. Таким образом, любая трансляционно-инвариантная модель Изинга инвариантна относительно вращения на больших расстояниях в координатах, которые составляют Z ij = δ ij. Вращательная симметрия возникает самопроизвольно на больших расстояниях только потому, что членов низшего порядка не так много. В мультикритических точках более высокого порядка эта случайная симметрия теряется.

Поскольку βF является функцией медленно меняющегося в пространстве поля, вероятность любой конфигурации поля равна:

P (H) ∝ e - ∫ d d x [A H 2 + Z | ∇ H | 2 + λ H 4]. {\ Displaystyle P (H) \ propto e ^ {- \ int d ^ {d} x \ left [AH ^ {2} + Z | \ nabla H | ^ {2} + \ lambda H ^ {4} \ right ]}.}

P (H) \ propto e ^ {- \ int d ^ {d} x \ left [AH ^ {2} + Z | \ nabla H | ^ {2} + \ lambda H ^ {4} \ right]}.

Среднее статистическое значение любого произведения H членов равно:

⟨H (x 1) H (x 2) ⋯ H (xn)⟩ = ∫ DHP (H) H (x 1) H (x 2) ⋯ H (xn) ∫ DHP (H). {\ Displaystyle \ langle H (x_ {1}) H (x_ {2}) \ cdots H (x_ {n}) \ rangle = {\ int DH \, P (H) H (x_ {1}) H ( x_ {2}) \ cdots H (x_ {n}) \ over \ int DH \, P (H)}.}

{\ displaystyle \ langle H (x_ {1}) H (x_ {2}) \ cdots H (x_ {n}) \ rangle = {\ int DH \, P ( H) H (x_ {1}) H (x_ {2}) \ cdots H (x_ {n}) \ over \ int DH \, P (H)}.}

Знаменатель в этом выражении называется статистической суммой, а интеграл по всем возможным значениям H - статистический интеграл по путям. Он интегрирует exp (βF) по всем значениям H, по всем длинноволновым компонентам Фурье спинов. F - евклидов лагранжиан для поля H, единственное различие между ним и квантовой теорией поля скалярного поля состоит в том, что все производные члены входят с положительным знаком, и нет общего множителя i..

Z = ∫ D H e - d d x [A H 2 + Z | ∇ H | 2 + λ ЧАС 4] {\ Displaystyle Z = \ int DH \, e ^ {- \ int d ^ {d} x \ left [AH ^ {2} + Z | \ nabla H | ^ {2} + \ lambda H ^ {4} \ right]}}

{\ displaystyle Z = \ int DH \, e ^ {- \ int d ^ {d} x \ left [AH ^ {2} + Z | \ nabla H | ^ {2} + \ lambda H ^ {4} \ right]}}

Анализ размерностей

Форму F можно использовать для прогнозирования наиболее важных терминов с помощью анализа измерений. Анализ размеров не является полностью простым, потому что необходимо определить масштаб H.

В общем случае выбрать закон масштабирования для H несложно, поскольку единственный член, который вносит вклад, - это первый,

F = ∫ d d x A H 2. {\ displaystyle F = \ int d ^ {d} x \, AH ^ {2}.}

{\ displaystyle F = \ int d ^ {d} x \, AH ^ {2}.}

Этот термин является наиболее значимым, но он дает тривиальное поведение. Эта форма свободной энергии является ультралокальной, что означает, что она представляет собой сумму независимого вклада каждой точки. Это похоже на переворот спина в одномерной модели Изинга. Каждое значение H в любой точке колеблется полностью независимо от значения в любой другой точке.

Масштаб поля можно переопределить, чтобы поглотить коэффициент A, и тогда становится ясно, что A определяет только общий масштаб колебаний. Ультралокальная модель описывает длинноволновое высокотемпературное поведение модели Изинга, поскольку в этом пределе средние флуктуационные значения не зависят от точки к точке.

Чтобы найти критическую точку, понизьте температуру. С понижением температуры колебания H увеличиваются, потому что колебания более коррелированы. Это означает, что среднее значение большого количества спинов не становится маленьким так быстро, как если бы они были некоррелированными, потому что они имеют тенденцию быть одинаковыми. Это соответствует уменьшению A в системе единиц, где H не поглощает A. Фазовый переход может происходить только тогда, когда вспомогательные члены в F могут вносить вклад, но поскольку первый член доминирует на больших расстояниях, коэффициент A должен быть настроен на ноль.. Это местоположение критической точки:

F = ∫ ddx [t H 2 + λ H 4 + Z (∇ H) 2], {\ displaystyle F = \ int d ^ {d} x \ left [tH ^ {2} + \ lambda H ^ {4} + Z (\ nabla H) ^ {2} \ right],}

F = \ int d ^ {d} x \ left [tH ^ {2} + \ lambda H ^ {4} + Z (\ nabla H) ^ {2} \ right],

где t - параметр, который проходит через ноль при переходе.

Так как t обращается в нуль, фиксация масштаба поля с использованием этого термина приводит к взрыву других членов. Если t мало, масштаб поля может быть установлен так, чтобы зафиксировать коэффициент члена H или члена (∇H) равным 1.

Magnetization

Чтобы найти намагниченность, зафиксируем масштабирование H так, чтобы λ было равно единице. Теперь поле H имеет размерность −d / 4, так что Hdx безразмерно, а Z имеет размерность 2 - d / 2. В этом масштабировании градиентный член важен только на больших расстояниях для d ≤ 4. Свыше четырех измерений, на длинных волнах, общая намагниченность зависит только от ультралокальных членов.

Есть одна тонкость. Поле H статистически колеблется, и эти колебания могут сместить нулевую точку t. Чтобы увидеть, как это сделать, рассмотрим разделение H следующим образом:

H (x) 4 = - ⟨H (x) 2⟩ 2 + 2 ⟨H (x) 2⟩ H (x) 2 + (H (x) 2 - ⟨ЧАС (Икс) 2⟩) 2 {\ Displaystyle H (x) ^ {4} = - \ langle H (x) ^ {2} \ rangle ^ {2} +2 \ langle H (x) ^ { 2} \ rangle H (x) ^ {2} + \ left (H (x) ^ {2} - \ langle H (x) ^ {2} \ rangle \ right) ^ {2}}

H (x) ^ {4} = - \ langle H (x) ^ {2} \ rangle ^ {2} +2 \ langle H (x) ^ {2} \ rangle H (x) ^ {2} + \ left (H (x) ^ {2} - \ langle H (x) ^ {2} \ rangle \ right) ^ {2}

Первый член является постоянным вкладом в свободную энергию, и им можно пренебречь. Второй член - это конечный сдвиг по t. Третий член - это величина, которая масштабируется до нуля на больших расстояниях. Это означает, что при анализе масштабирования t с помощью анализа размерностей важно смещение t. Исторически это очень сбивало с толку, потому что сдвиг t при любом конечном λ конечно, но вблизи перехода t очень мал. Дробное изменение t очень велико, и в единицах, где t фиксировано, сдвиг выглядит бесконечным.

Намагничивание находится на минимуме свободной энергии, и это аналитическое уравнение. В терминах смещенного t,

∂ ∂ H (t H 2 + λ H 4) = 2 t H + 4 λ H 3 = 0 {\ displaystyle {\ partial \ over \ partial H} \ left (tH ^ {2} + \ lambda H ^ {4} \ right) = 2tH + 4 \ lambda H ^ {3} = 0}

{\ partial \ over \ partial H} \ left (tH ^ {2} + \ lambda H ^ {4} \ right) = 2tH + 4 \ lambda H ^ {3} = 0

Для t < 0, the minima are at H proportional to the square root of t. So Landau's catastrophe аргумент верен в размерах больше 5. Показатель намагниченности в размерах больше 5 равен среднему значению поля.

Когда t отрицательно, колебания около нового минимума описываются новым положительным квадратичным коэффициентом. Поскольку этот член всегда преобладает, при температурах ниже переходных флуктуации снова становятся ультралокальными на больших расстояниях.

Колебания

Чтобы найти поведение флуктуаций, измените масштаб поля, чтобы зафиксировать член градиента. Тогда масштабный размер поля по длине равен 1 - d / 2. Теперь поле имеет постоянные квадратичные пространственные флуктуации при всех температурах. Масштабный размер члена H равен 2, а масштабный размер члена H равен 4 - d. Для d < 4, the H term has positive scale dimension. In dimensions higher than 4 it has negative scale dimensions.

Это существенная разница. В размерах, превышающих 4, фиксация масштаба члена градиента означает, что коэффициент члена Н становится все менее и менее важным для более длинных и длинных волн. Измерение, при котором неквадратичные вклады начинают давать вклад, известно как критическое измерение. В модели Изинга критический размер равен 4.

В размерах выше 4 критические флуктуации описываются чисто квадратичной свободной энергией на длинных волнах. Это означает, что все корреляционные функции вычисляются как гауссовские средние:

⟨S (x) S (y)⟩ ∝ ⟨H (x) H (y)⟩ = G (x - y)) Знак равно ∫ dk (2 π) deik (Икс - Y) К 2 + T {\ Displaystyle \ langle S (x) S (y) \ rangle \ propto \ langle H (x) H (y) \ rangle = G ( xy) = \ int {dk \ over (2 \ pi) ^ {d}} {e ^ {ik (xy)} \ over k ^ {2} + t}}

\ langle S (x) S (y) \ rangle \ propto \ langle H (x) H (y) \ rangle = G (xy) = \ int {dk \ over (2 \ pi) ^ {d}} {e ^ {ik (xy)} \ over k ^ {2} + t}

действительно, когда x - y велико. Функция G (x - y) является аналитическим продолжением пропагатора Фейнмана в мнимое время, поскольку свободная энергия является аналитическим продолжением действия квантового поля для свободного скалярного поля. Для размерностей 5 и выше все другие корреляционные функции на больших расстояниях затем определяются с помощью теоремы Вика. Все нечетные моменты равны нулю по симметрии ±. Четные моменты - это сумма по всему разбиению на пары произведения G (x - y) для каждой пары.

⟨S (x 1) S (x 2) ⋯ S (x 2 n)⟩ = C n ∑ G (xi 1, xj 1) G (xi 2, xj 2)… G (xin, xjn) { \ Displaystyle \ langle S (x_ {1}) S (x_ {2}) \ cdots S (x_ {2n}) \ rangle = C ^ {n} \ sum G (x_ {i1}, x_ {j1}) G (x_ {i2}, x_ {j2}) \ ldots G (x_ {in}, x_ {jn})}

{\ Displaystyle \ langle S (x_ {1}) S (x_ {2}) \ cdots S (x_ {2n}) \ rangle = C ^ {n} \ sum G (x_ {i1}, x_ {j1) }) G (x_ {i2}, x_ {j2}) \ ldots G (x_ {in}, x_ {jn})}

где C - константа пропорциональности. Так что знания G достаточно. Он определяет все многоточечные корреляции поля.

Критическая двухточечная функция

Чтобы определить форму G, учтите, что поля в интеграле по путям подчиняются классическим уравнениям движения, полученным путем изменения свободной энергии:

( - ∇ Икс 2 + T) ⟨ЧАС (Икс) ЧАС (Y)⟩ знак равно 0 → ∇ 2 G (x) + t G (x) = 0 {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left (- \ nabla _ {x} ^ {2} + t \ right) \ langle H (x) H (y) \ rangle = 0 \\\ rightarrow {} \ nabla ^ {2} G (x) + tG (x) = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} \ left (- \ nabla _ {x} ^ {2} + t \ right) \ langle H (x) H ( y) \ rangle = 0 \\\ rightarrow {} \ nabla ^ {2} G (x) + tG (x) = 0 \ end {align}}

Это действительно только в несовпадающих точках, так как корреляции H сингулярны, когда точки сталкиваются. H подчиняется классическим уравнениям движения по той же причине, по которой им подчиняются квантово-механические операторы - его флуктуации определяются интегралом по путям.

В критической точке t = 0 это уравнение Лапласа, которое может быть решено методом Гаусса из электростатики. Определите аналог электрического поля как

E = ∇ G {\ displaystyle E = \ nabla G}

E = \ nabla G

Вдали от начала координат:

∇ ⋅ E = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot E = 0}

\ nabla \ cdot E = 0

, поскольку G сферически симметричен в d измерениях, а E - радиальный градиент G. Интегрируя по большой d - 1 мерной сфере,

∫ dd - 1 SE r = constant {\ displaystyle \ int d ^ {d -1} SE_ {r} = \ mathrm {constant}}

\ int d ^ {d-1} SE_ {r} = \ mathrm {constant}

Это дает:

E = C rd - 1 {\ displaystyle E = {C \ over r ^ {d-1}}}

E = {C \ over r ^ {d-1}}

и G можно найти интегрированием по r.

G (r) = C r d - 2 {\ displaystyle G (r) = {C \ over r ^ {d-2}}}

G (r) = {C \ over r ^ { d-2}}

Константа C фиксирует общую нормализацию поля.

G (r) вдали от критической точки

Когда t не равно нулю, так что H колеблется при температуре, немного отличной от критической, двухточечная функция затухает на больших расстояниях. Уравнение, которому он подчиняется, изменяется:

∇ 2 G + t G = 0 → 1 rd - 1 ddr (rd - 1 d G dr) + t G (r) = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} G + tG = 0 \ to {1 \ over r ^ {d-1}} {d \ over dr} \ left (r ^ {d-1} {dG \ over dr} \ right) + tG (r) = 0 }

\ nabla ^ { 2} G + tG = 0 \ to {1 \ over r ^ {d-1}} {d \ over dr} \ left (r ^ {d-1} {dG \ over dr} \ right) + tG (r) = 0

Для малых r по сравнению с $t {\ displaystyle {\ sqrt {t}}}$ ${\ sqrt {t}}$ решение расходится точно так же, как и в критическом случае, но поведение на больших расстояниях изменен.

Чтобы понять, как это сделать, удобно представить двухточечную функцию в виде интеграла, введенного Швингером в контексте квантовой теории поля:

G (x) = ∫ d τ 1 (2 π τ) де - Икс 2 4 τ - T τ {\ Displaystyle G (x) = \ int d \ tau {1 \ over \ left ({\ sqrt {2 \ pi \ tau}} \ right) ^ {d}} e ^ {- {x ^ {2} \ over 4 \ tau} -t \ tau}}

G (x) = \ int d \ tau {1 \ over \ left ({\ sqrt {2 \ pi \ tau}} \ right) ^ {d}} e ^ {- {x ^ {2} \ over 4 \ tau} -t \ tau}

Это G, поскольку преобразование Фурье этого интеграла несложно. Каждый фиксированный вклад τ является гауссианом по x, чье преобразование Фурье представляет собой другой гауссиан обратной ширины по k.

г (к) знак равно ∫ d τ е - (к 2 - t) τ = 1 К 2 - t {\ displaystyle G (k) = \ int d \ tau e ^ {- (k ^ {2} - t) \ tau} = {1 \ over k ^ {2} -t}}

G (k) = \ int d \ tau e ^ {- (k ^ {2} -t) \ tau} = {1 \ over k ^ {2} -t}

Это обратный к оператору - t в k-пространстве, действующий на единичную функцию в k-пространстве, которая является Преобразование Фурье источника дельта-функции, локализованного в начале координат. Таким образом, он удовлетворяет тому же уравнению, что и G, с теми же граничными условиями, которые определяют силу расхождения при 0.

Интерпретация интегрального представления по собственному времени τ состоит в том, что двухточечная функция представляет собой сумму по все пути случайного блуждания, которые связывают позицию 0 с позицией x за время τ. Плотность этих путей в момент времени τ в позиции x является гауссовой, но случайные блуждающие люди исчезают с постоянной скоростью, пропорциональной t, так что гауссиане во время τ уменьшаются по высоте с коэффициентом, который постоянно уменьшается по экспоненте. В контексте квантовой теории поля это пути релятивистски локализованных квантов в формализме, который следует путям отдельных частиц. В чисто статистическом контексте эти пути все еще появляются в математическом соответствии с квантовыми полями, но их интерпретация носит менее физический характер.

Интегральное представление сразу показывает, что G (r) положительна, поскольку она представлена как взвешенная сумма положительных гауссианов. Он также дает скорость убывания при большом r, поскольку собственное время для случайного блуждания, чтобы достичь положения τ, равно r, и за это время гауссова высота уменьшилась на $e - t τ = e - tr 2 {\ displaystyle e ^ {- t \ tau} = e ^ {- tr ^ {2}}}$ $e ^ {-t \ tau} = e ^ {- tr ^ {2}}$ . Коэффициент затухания, подходящий для положения r, поэтому $e - tr {\ displaystyle e ^ {- {\ sqrt {t}} r}}$ $e ^ {- {\ sqrt {t}} r }$ .

Эвристическое приближение для G (r):

G ( r) ≈ e - trrd - 2 {\ displaystyle G (r) \ приблизительно {e ^ {- {\ sqrt {t}} r} \ over r ^ {d-2}}}

G (r) \ приблизительно {e ^ {- {\ sqrt {t}} r} \ над r ^ {d-2}}

Это не точное форма, за исключением трех измерений, где взаимодействие между путями становится важным. Точные формы в больших измерениях являются вариантами функций Бесселя.

Интерпретация полимеров Симанзика

Интерпретация корреляций как квантов фиксированного размера, путешествующих по случайным путям, позволяет понять, почему критическая размерность Взаимодействие H равно 4. Термин H можно рассматривать как квадрат плотности случайных блуждающих в любой точке. Чтобы такой член изменил корреляционные функции конечного порядка, которые вводят лишь несколько новых случайных блужданий во флуктуирующую среду, новые пути должны пересекаться. В противном случае квадрат плотности просто пропорционален плотности и сдвигает только коэффициент H на константу. Но вероятность пересечения случайных блужданий зависит от размерности, а случайные блуждания в размерности выше 4 не пересекаются.

фрактальная размерность обычного случайного блуждания равна 2. Количество шаров размера ε, необходимое для покрытия пути, увеличивается как ε. Два объекта фрактальной размерности 2 будут пересекаться с разумной вероятностью только в пространстве размерности 4 или меньше, то же самое условие, что и для общей пары плоскостей. Курт Симанзик утверждал, что это означает, что критические флуктуации Изинга в размерностях выше 4 должны описываться свободным полем. Этот аргумент со временем стал математическим доказательством.

4 - ε-измерения - ренормализационная группа

Модель Изинга в четырех измерениях описывается флуктуирующим полем, но теперь флуктуации взаимодействуют. В полимерном представлении пересечения случайных блужданий минимально возможны. В квантовом продолжении поля кванты взаимодействуют.

Отрицательный логарифм вероятности любой конфигурации поля H - это функция свободной энергии

F = ∫ d 4 x [Z 2 | ∇ H | 2 + т 2 Н 2 + λ 4! H 4] {\ displaystyle F = \ int d ^ {4} x \ left [{Z \ over 2} | \ nabla H | ^ {2} + {t \ over 2} H ^ {2} + {\ lambda \ over 4!} H ^ {4} \ right] \,}

F = \ int d ^ {4} x \ left [{Z \ over 2} | \ nabla H | ^ {2} + {t \ over 2} H ^ {2} + { \ lambda \ over 4!} H ^ {4} \ right] \,

Числовые коэффициенты используются для упрощения уравнений движения. Цель состоит в том, чтобы понять статистические колебания. Как и любой другой неквадратичный интеграл по путям, корреляционные функции имеют разложение Фейнмана в виде частиц, путешествующих по случайным блужданиям, расщепляющихся и воссоединяющихся в вершинах. Сила взаимодействия параметризуется классически безразмерной величиной λ.

Хотя анализ размеров показывает, что λ и Z безразмерны, это вводит в заблуждение. Длинноволновые статистические флуктуации не совсем масштабно инвариантны и становятся масштабно-инвариантными только тогда, когда сила взаимодействия обращается в ноль.

Причина в том, что отсечка используется для определения H, а отсечка определяет самую короткую длину волны. Колебания H на длинах волн вблизи отсечки могут влиять на более длинноволновые флуктуации. Если система масштабируется вместе с отсечкой, параметры будут масштабироваться с помощью анализа размеров, но тогда сравнение параметров не будет сравнивать поведение, потому что масштабированная система имеет больше режимов. Если масштабировать систему таким образом, чтобы отсечка по короткой длине волны оставалась фиксированной, то длинноволновые флуктуации изменяются.

перенормировка Вильсона

Быстрый эвристический способ изучения масштабирования - отсечь волновые числа H в точке λ. Фурье-моды H с волновыми числами больше λ не могут колебаться. Изменение масштаба, которое делает всю систему меньше, увеличивает все волновые числа и перемещает некоторые колебания выше границы отсечки.

Чтобы восстановить старую отсечку, выполните частичное интегрирование по всем волновым числам, которые раньше были запрещены, но теперь колеблются. В диаграммах Фейнмана интегрирование по флуктуирующей моде с волновым числом k связывает линии, несущие импульс k, в корреляционную функцию попарно с коэффициентом обратного пропагатора.

При изменении масштаба, когда система уменьшается в раз (1 + b), коэффициент t увеличивается в раз (1 + b) по результатам анализа размеров. Изменение t для бесконечно малого b равно 2bt. Два других коэффициента безразмерны и совершенно не меняются.

Эффект самого низкого порядка интегрирования может быть вычислен из уравнений движения:

∇ 2 H + t H = - λ 6 H 3. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} H + tH = - {\ lambda \ over 6} H ^ {3}.}

\ nabla ^ {2} H + tH = - {\ lambda \ over 6} H ^ {3}.

Это уравнение является тождеством внутри любой корреляционной функции вдали от других вставок. После интегрирования мод с Λ < k < (1+b)Λ, it will be a slightly different identity.

Поскольку форма уравнения будет сохранена, чтобы найти изменение коэффициентов, достаточно проанализировать изменение члена H. В расширении диаграммы Фейнмана член H в корреляционной функции внутри корреляции имеет три свисающие линии. Соединение двух из них при большом волновом числе k дает изменение H с одной оборванной линией, поэтому пропорционально H:

δ H 3 = 3 H ∫ Λ < | k | < ( 1 + b) Λ d 4 k ( 2 π) 4 1 ( k 2 + t) {\displaystyle \delta H^{3}=3H\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi)^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}}

\ delta H ^ {3} = 3H \ int _ {\ Lambda <| k | <(1 + b) \ Lambda} {d ^ {4} k \ over (2 \ pi) ^ {4}} {1 \ over (k ^ {2} + t)}

Коэффициент 3 исходит из того факта, что петля может быть замкнута тремя разными способами.

Интеграл следует разбить на две части:

∫ dk 1 k 2 - t ∫ dk 1 k 2 (k 2 + t) = A Λ 2 b + B bt {\ displaystyle \ int dk {1 \ over k ^ {2}} - t \ int dk {1 \ over k ^ {2} (k ^ {2} + t)} = A \ Lambda ^ {2} b + Bbt}

\ int dk {1 \ over k ^ {2}} - t \ int dk {1 \ over k ^ {2} (к ^ {2} + t)} = A \ Lambda ^ {2} b + Bbt

первая часть не пропорциональна t, и в уравнении движения она может быть поглощена постоянным сдвигом по t. Это вызвано тем, что член H имеет линейную часть. Только второй член, который изменяется от t до t, вносит вклад в критическое масштабирование.

Этот новый линейный член добавляется к первому члену слева, изменяя t на величину, пропорциональную t. Общее изменение t - это сумма члена из анализа размерностей и этого второго члена из операторных произведений :

δ t = (2 - B λ 2) bt {\ displaystyle \ delta t = \ left (2- {B \ lambda \ over 2} \ right) bt}

\ delta t = \ left (2- {B \ lambda \ over 2} \ right) bt

Значит, t масштабируется, но его размер аномальный, он изменяется на величину, пропорциональную значению λ.

Но меняется и λ. Изменение λ требует учета расщепления линий и их быстрого повторного соединения. Процесс самого низкого порядка - это процесс, при котором одна из трех линий из H разделяется на три, которые быстро соединяются с одной из других линий из той же вершины. Поправка к вершине равна

δ λ = - 3 λ 2 2 ∫ kdk 1 (k 2 + t) 2 = - 3 λ 2 2 b {\ displaystyle \ delta \ lambda = - {3 \ lambda ^ {2 } \ over 2} \ int _ {k} dk {1 \ over (k ^ {2} + t) ^ {2}} = - {3 \ lambda ^ {2} \ over 2} b}

\ delta \ lambda = - {3 \ lambda ^ {2} \ over 2} \ int _ {k} dk {1 \ over (k ^ {2} + t) ^ {2}} = - {3 \ lambda ^ {2} \ более 2} b

числовой коэффициент в три раза больше, потому что есть дополнительный коэффициент в три при выборе того, какую из трех новых линий сократить. Итак,

δ λ = - 3 B λ 2 b {\ displaystyle \ delta \ lambda = -3B \ lambda ^ {2} b}

\ delta \ lambda = -3B \ lambda ^ {2} b

Эти два уравнения вместе определяют уравнения ренормгруппы в четырех измерениях:

dtt знак равно (2 - B λ 2) bd λ λ = - 3 B λ 2 b {\ displaystyle {\ begin {align} {dt \ over t} = \ left (2- {B \ lambda \ over 2} \ справа) b \\ {d \ lambda \ over \ lambda} = {- 3B \ lambda \ over 2} b \ end {align}}}

{\ begin {align} {dt \ over t} = \ left (2- {B \ lambda \ over 2} \ right) b \\ {d \ lambda \ over \ lambda} = {- 3B \ lambda \ over 2} b \ end {align}}

Коэффициент B определяется по формуле

B b = ∫ Λ < | k | < ( 1 + b) Λ d 4 k ( 2 π) 4 1 k 4 {\displaystyle Bb=\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi)^{4}}{1 \over k^{4}}}

Bb = \ int _ { \ Lambda <| k | <(1 + b) \ Lambda} {d ^ {4} k \ over (2 \ pi) ^ {4}} {1 \ over k ^ {4}}

и пропорционален площади трехмерной сферы радиуса λ, умноженной на ширину области интегрирования bΛ, деленную на Λ:

B = (2 π 2 Λ 3) 1 (2 π) 4 б Λ 1 б Λ 4 знак равно 1 8 π 2 {\ displaystyle B = (2 \ pi ^ {2} \ Lambda ^ {3}) {1 \ over (2 \ pi) ^ {4}} {b \ Lambda } {1 \ over b \ Lambda ^ {4}} = {1 \ over 8 \ pi ^ {2}}}

B = (2 \ pi ^ {2} \ Lambda ^ {3}) {1 \ over (2 \ pi) ^ {4}} {b \ Lambda} {1 \ over b \ Lambda ^ {4}} = { 1 \ более 8 \ pi ^ {2 }}

В других измерениях константа B изменяется, но такая же константа появляется как в потоке t, так и в в потоке муфты. Причина в том, что производная по t замкнутого контура с одной вершиной является замкнутым контуром с двумя вершинами. Это означает, что единственная разница между масштабированием связи и t - это комбинаторные факторы от объединения и разделения.

Фиксированная точка Вильсона – Фишера

Для исследования трех измерений, исходя из четырехмерной теории, должно быть возможно, потому что вероятности пересечения случайных блужданий непрерывно зависят от размерности пространства. На языке графов Фейнмана связь не сильно меняется при изменении размерности.

Процесс ухода от измерения 4 не может быть полностью определен без рецепта, как это делать. Рецепт четко обозначен только на диаграммах. Он заменяет представление Швингера в размерности 4 на представление Швингера в размерности 4 - ε, определяемое следующим образом:

G (x - y) = ∫ d τ 1 td 2 ex 2 2 τ + t τ {\ displaystyle G (xy) = \ int d \ tau {1 \ over t ^ {d \ over 2}} e ^ {{x ^ {2} \ over 2 \ tau} + t \ tau}}

G (xy) = \ int d \ tau {1 \ over t ^ {d \ over 2}} e ^ {{x ^ {2} \ over 2 \ tau} + t \ tau}

В размерности 4 - ε соединение λ имеет положительный масштабный размер ε, который необходимо добавить к потоку.

d λ λ знак равно ε - 3 B λ dtt = 2 - λ B {\ displaystyle {\ begin {align} {d \ lambda \ over \ lambda} = \ varepsilon -3B \ lambda \\ {dt \ over t} = 2- \ lambda B \ end {align}}}

{\ begin {align} {d \ lambda \ over \ lambda} = \ varepsilon -3B \ lambda \\ {dt \ over t} = 2- \ lambda B \ end {align}}

Коэффициент B зависит от размера, но он отменяется. Фиксированная точка для λ больше не равна нулю, а находится в:

λ = ε 3 B {\ displaystyle \ lambda = {\ varepsilon \ over 3B}}

\ lambda = {\ varepsilon \ over 3B}

, где размерность шкалы t изменяется на величину λB = ε / 3.

Показатель намагниченности изменяется пропорционально:

1 2 (1 - ε 3) {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (1 - {\ varepsilon \ over 3} \ right)}

{\ tfrac {1} {2}} \ left (1 - {\ varepsilon \ over 3} \ right)

, что составляет 0,333 в трех измерениях (ε = 1) и 0,166 в двух измерениях (ε = 2). Это не так уж и далеко от измеренной экспоненты 0,308 и двумерной экспоненты Онзагера 0,125.

Бесконечные измерения - среднее поле

Поведение модели Изинга на полносвязном графе можно полностью понять с помощью теории среднего поля. Этот тип описания подходит для квадратных решеток очень большой размерности, потому что тогда каждый узел имеет очень большое количество соседей.

Идея состоит в том, что если каждое вращение связано с большим количеством вращений, важно только среднее отношение + вращений к - спинам, поскольку колебания этого среднего значения будут небольшими. Поле среднего значения H представляет собой среднюю долю вращений, которая равна + минус средняя доля вращений, которая равна -. Энергозатраты на переключение одного спина в среднем поле H составляют ± 2JNH. Удобно переопределить J, чтобы поглотить множитель N, так что предел N → ∞ будет гладким. С точки зрения нового Дж, затраты энергии на переворот спина составляют ± 2 Дж.

Эта стоимость энергии дает отношение вероятности p того, что спин равен +, к вероятности 1 − p того, что спин равен -. Это соотношение является фактором Больцмана:

p 1 - p = e 2 β JH {\ displaystyle {p \ over 1-p} = e ^ {2 \ beta JH}}

{p \ over 1-p } = e ^ {2 \ beta JH}

, так что

p = 1 1 + e - 2 β JH {\ displaystyle p = {1 \ over 1 + e ^ {- 2 \ beta JH}}}

p = {1 \ over 1 + e ^ {- 2 \ бета JH}}

Среднее значение вращения определяется путем усреднения 1 и −1 с весами p и 1 - p, поэтому среднее значение равно 2p - 1. Но это среднее значение одинаково для всех спинов и, следовательно, равно H.

H = 2 p - 1 = 1 - e - 2 β JH 1 + е - 2 β JH знак равно tanh ⁡ (β JH) {\ Displaystyle H = 2p-1 = {1-e ^ {- 2 \ beta JH} \ более 1 + e ^ {- 2 \ beta JH}} = \ tanh (\ beta JH)}

H = 2p-1 = {1-e ^ {- 2 \ beta JH} \ over 1 + e ^ {- 2 \ beta JH}} = \ tanh (\ beta JH)

Решениями этого уравнения являются возможные согласованные средние поля. Для βJ < 1 there is only the one solution at H = 0. For bigger values of β there are three solutions, and the solution at H = 0 is unstable.

Нестабильность означает, что небольшое увеличение среднего поля выше нуля дает статистическую долю вращений, которая равна +, которая больше, чем значение среднего поля. Таким образом, среднее поле, которое колеблется выше нуля, будет создавать еще большее среднее поле и в конечном итоге установится на стабильном решении. Это означает, что при температурах ниже критического значения βJ = 1 модель Изинга среднего поля претерпевает фазовый переход в пределе больших N.

Выше критической температуры флуктуации H затухают, поскольку среднее поле восстанавливает колебание до нулевого поля. Ниже критической температуры среднее поле приводится к новому равновесному значению, которое является либо положительным H, либо отрицательным H решением уравнения.

Для βJ = 1 + ε, чуть ниже критической температуры, значение H можно рассчитать из разложения Тейлора гиперболического тангенса:

H = tanh ⁡ (β JH) = (1 + ε) ЧАС - (1 + ε) 3 ЧАС 3 3 {\ Displaystyle H = \ tanh (\ beta JH) = (1+ \ varepsilon) H - {(1+ \ varepsilon) ^ {3} H ^ {3} \ over 3}}

H = \ tanh (\ beta JH) = (1+ \ varepsilon) H - {(1+ \ varepsilon) ^ {3} H ^ {3} \ over 3}

Разделив на H, чтобы отбросить нестабильное решение при H = 0, стабильные решения будут:

H = 3 ε {\ displaystyle H = {\ sqrt {3 \ varepsilon}}}

H = {\ sqrt {3 \ varepsilon}}

Спонтанная намагниченность H растет вблизи критической точки как квадратный корень из изменения температуры. Это верно всякий раз, когда H может быть вычислено из решения аналитического уравнения, которое является симметричным между положительными и отрицательными значениями, что привело Ландау к подозрению, что все фазовые переходы типа Изинга во всех измерениях должны следовать этому закону.

Показатель среднего поля универсальный, потому что изменения в характере решений аналитических уравнений всегда описываются катастрофами в ряду Тейлора, который является полиномиальным уравнением. По симметрии уравнение для H должно иметь только нечетные степени H в правой части. Изменение β должно только плавно изменять коэффициенты. Переход происходит, когда коэффициент перед H в правой части равен 1. Рядом с переходом:

H = ∂ (β F) ∂ h = (1 + A ε) H + BH 3 + ⋯ {\ displaystyle H = {\ partial (\ beta F) \ over \ partial h} = (1 + A \ varepsilon) H + BH ^ {3} + \ cdots}

H = {\ partial ( \ beta F) \ over \ partial h} = (1 + A \ varepsilon) H + BH ^ {3} + \ cdots

Какие бы ни были A и B, пока ни один из них не настроен до нуля спонтанная намагниченность будет расти как квадратный корень из ε. Этот аргумент может быть ошибочным только в том случае, если свободная энергия βF не является аналитической или необщей в точном β, где происходит переход.

Но спонтанное намагничивание в магнитных системах и плотность газов вблизи критической точки измеряются очень точно. Плотность и намагниченность в трех измерениях имеют одинаковую степенную зависимость от температуры вблизи критической точки, но экспериментальное поведение таково:

H ∝ ε 0,308 {\ displaystyle H \ propto \ varepsilon ^ {0,308}}

H \ propto \ varepsilon ^ {0.308}

Показатель степени также универсален, так как в модели Изинга он такой же, как в экспериментальном магните и газе, но не равен среднему значению поля. Это было большим сюрпризом.

Это также верно в двух измерениях, где

H ∝ ε 0,125 {\ displaystyle H \ propto \ varepsilon ^ {0,125}}

H \ propto \ varepsilon ^ {0.125}

Но это не было неожиданностью, потому что это было предсказано автор Онсагер.

Низкие размеры - блочные спины

В трех измерениях пертурбативный ряд из теории поля представляет собой разложение по константе связи λ, которая не является особенно малой. Эффективный размер связи в фиксированной точке на единицу превышает коэффициент разветвления путей частиц, поэтому параметр расширения составляет примерно 1/3. В двух измерениях параметр пертурбативного расширения равен 2/3.

Но перенормировку также можно эффективно применить к спинам напрямую, без перехода к среднему полю. Исторически этот подход возник благодаря Лео Каданову и предшествовал пертурбативному расширению ε.

Идея состоит в том, чтобы итеративно интегрировать спины решетки, создавая поток в связях. Но теперь связи - это коэффициенты энергии решетки. Тот факт, что описание континуума существует, гарантирует, что эта итерация будет сходиться к фиксированной точке, когда температура настроена на критичность.

Перенормировка Мигдала – Каданова

Напишите двумерную модель Изинга с бесконечным числом возможных взаимодействий более высокого порядка. Для сохранения симметрии спинового отражения вносят вклад только четные степени:

E = ∑ i j J i j S i S j + ∑ J i j k l S i S j S k S l…. {\ displaystyle E = \ sum _ {ij} J_ {ij} S_ {i} S_ {j} + \ sum J_ {ijkl} S_ {i} S_ {j} S_ {k} S_ {l} \ ldots.}

E = \ sum _ { ij} J_ {ij} S_ {i} S_ {j} + \ sum J_ {ijkl} S_ {i} S_ {j} S_ {k} S_ {l} \ ldots.

По инвариантности трансляции J ij является только функцией ij. По случайной вращательной симметрии при больших i и j его размер зависит только от величины двумерного вектора i - j. Аналогичным образом ограничиваются и коэффициенты более высокого порядка.

Итерация перенормировки делит решетку на две части - четные спины и нечетные спины. Нечетные вращения живут на позициях решетки нечетной шахматной доски, а четные - на четной шахматной доске. Когда спины индексируются по позиции (i, j), нечетные сайты - это сайты с нечетным i + j, а четные - с четным i + j, а четные сайты связаны только с нечетными сайтами.

Два возможных значения нечетных вращений будут интегрированы путем суммирования обоих возможных значений. Это создаст новую функцию свободной энергии для оставшихся ровных вращений с новыми скорректированными муфтами. Ровные вращения снова находятся в решетке, оси которой наклонены под углом 45 градусов к старым. При откручивании системы восстанавливается старая конфигурация, но с новыми параметрами. Эти параметры описывают взаимодействие между вращениями на расстоянии $2 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}}}$ $\ scriptstyle {\ sqrt {2}}$ больше.

Начиная с модели Изинга и повторяя эту итерацию, в конечном итоге меняются все связи. Когда температура выше критической, связи сходятся к нулю, поскольку спины на больших расстояниях некоррелированы. Но при критической температуре будут ненулевые коэффициенты, связывающие спины на всех порядках. Поток можно приблизительно оценить, рассматривая только первые несколько членов. Этот усеченный поток будет давать все лучшие и лучшие приближения к критическим показателям, когда включается больше членов.

Простейшее приближение - оставить только обычный член J и отбросить все остальное. Это создаст поток в J, аналогичный потоку в t в фиксированной точке λ в разложении ε.

Чтобы найти изменение J, рассмотрим четырех соседей нечетного участка. Это единственные спины, которые с ним взаимодействуют. Мультипликативный вклад в статистическую сумму от суммы двух значений спина в нечетном узле равен:

e J (N + - N -) + e J (N - - N +) = 2 ch ⁡ ( J [N + - N -]) {\ displaystyle e ^ {J (N _ {+} - N _ {-})} + e ^ {J (N _ {-} - N _ {+})} = 2 \ cosh ( J [N _ {+} - N _ {-}])}

e ^ {J (N _ {+} - N _ {-})} + e ^ {J (N _ {-} - N_ { +})} = 2 \ ch (J [N _ {+} - N _ {-}])

где N ± - количество соседей, равных ±. Пренебрегая множителем 2, вклад свободной энергии от этого нечетного узла равен:

F = log ⁡ (ch ⁡ [J (N + - N -)]). {\ displaystyle F = \ log (\ cosh [J (N _ {+} - N _ {-})]).}

F = \ log (\ ch [J (N _ {+} - N _ {-})]).

Сюда входят взаимодействия ближайшего соседа и следующего ближайшего соседа, как и ожидалось, а также четырехспиновый взаимодействие, от которого следует отказаться. Чтобы сократить до взаимодействий ближайших соседей, учтите, что разница в энергии между всеми спинами с одинаковыми и равными числами + и - составляет:

Δ F = ln ⁡ (ch ⁡ [4 Дж]). {\ displaystyle \ Delta F = \ ln (\ cosh [4J]).}

\ Delta F = \ ln (\ ch [4J]).

Из взаимодействий ближайших соседей разница в энергии между всеми равными и разнесенными спинами составляет 8 Дж. Разница в энергии между всеми спинами равная и не смещенная, но чистый нулевой спин составляет 4 Дж. Без учета четырехспинового взаимодействия разумным усечением является среднее значение этих двух энергий или 6 Дж. Поскольку каждая ссылка будет способствовать двум нечетным спинам, правильное значение для сравнения с предыдущим будет вдвое меньше:

3 J ′ = ln ⁡ (ch ⁡ [4 J]). {\ displaystyle 3J '= \ ln (\ cosh [4J]).}

3J'=\ln(\cosh[4J]).

Для малых J это быстро переходит к нулевой связи. Поток большого J к большим муфтам. Показатель намагниченности определяется из угла наклона уравнения в фиксированной точке.

Варианты этого метода дают хорошие численные приближения для критических показателей, когда включено много членов как в двух, так и в трех измерениях.

Приложения

Магнетизм

Первоначальной мотивацией для модели было явление ферромагнетизма. Железо магнитное; будучи намагниченным, он остается намагниченным в течение длительного времени по сравнению с любым атомным временем.

В XIX веке считалось, что магнитные поля возникают из-за токов в материи, а Ампер постулировал, что постоянные магниты создаются постоянными атомными токами. Однако движение классических заряженных частиц не могло объяснить постоянные токи, как показывает Лармор. Чтобы обладать ферромагнетизмом, атомы должны иметь постоянные магнитные моменты, которые не связаны с движением классических зарядов.

После открытия спина электрона стало ясно, что магнетизм должен быть вызван большим количеством электронов, вращающихся в одном направлении. Было естественным спросить, откуда все электроны знают, в каком направлении вращаться, потому что электроны на одной стороне магнита не взаимодействуют напрямую с электронами на другой стороне. Они могут влиять только на своих соседей. Модель Изинга была разработана, чтобы исследовать, можно ли заставить большую часть электронов вращаться в одном направлении, используя только локальные силы.

Решеточный газ

Модель Изинга можно переинтерпретировать как статистическую модель движения атомов. Поскольку кинетическая энергия зависит только от количества движения, а не от положения, в то время как статистика положений зависит только от потенциальной энергии, термодинамика газа зависит только от потенциальной энергии для каждой конфигурации атомов.

Грубая модель состоит в том, чтобы сделать пространство-время решеткой и представить, что каждая позиция либо содержит атом, либо его нет. Пространство конфигурации - это пространство независимых битов B i, где каждый бит равен 0 или 1 в зависимости от того, занята позиция или нет. Притягивающее взаимодействие снижает энергию двух соседних атомов. Если притяжение происходит только между ближайшими соседями, энергия уменьшается на -4JB iBjдля каждой занятой соседней пары.

Плотностью атомов можно управлять, добавляя химический потенциал, который представляет собой мультипликативную вероятностную стоимость добавления еще одного атома. Мультипликативный коэффициент вероятности может быть интерпретирован как аддитивный член в логарифме - энергия. Дополнительная энергия конфигурации с N атомами изменяется на мкН. Вероятностная стоимость еще одного атома - множитель exp (−βμ).

Итак, энергия решеточного газа равна:

E = - 1 2 ∑ ⟨i, j⟩ 4 JB i B j + ∑ i μ B i {\ displaystyle E = - {\ frac { 1} {2}} \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} 4JB_ {i} B_ {j} + \ sum _ {i} \ mu B_ {i}}

E = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} 4JB_ {i} B_ {j} + \ sum _ {i} \ mu B_ {i}

Перезапись битов с точки зрения спинов $В я знак равно (S я + 1) / 2. {\ Displaystyle B_ {я} = (S_ {i} +1) / 2.}$ $B_ {i} = (S_ {i} +1) / 2.$

E = - 1 2 ∑ ⟨я, j⟩ JS я S J - 1 2 ∑ я (4 J - μ) S i {\ displaystyle E = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} JS_ {i} S_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} (4J- \ mu) S_ {i}}

E = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ langle i, j \ rangle} JS_ {i} S_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i } (4J- \ mu) S_ {i}

Для решеток, где у каждого сайта одинаковое количество соседей, это Изинговский модель с магнитным полем h = (zJ - μ) / 2, где z - количество соседей.

В биологических системах модифицированные версии модели решеточного газа использовались для понимания диапазона поведения связывания. К ним относятся связывание лигандов с рецепторами на поверхности клетки, связывание белков хемотаксиса с мотором жгутика и конденсация ДНК.

Применение в нейробиологии

Активность нейроны в головном мозге можно моделировать статистически. Каждый нейрон в любой момент либо активен +, либо неактивен -. Активные нейроны - это те, которые посылают потенциал действия по аксону в любое заданное временное окно, а неактивные - те, которые этого не делают. Поскольку нейронная активность в любой момент времени моделируется независимыми битами, Хопфилд предположил, что динамическая модель Изинга предоставит первое приближение для нейронной сети, способной обучаться.

Следуя общему подходу Джейнса, недавняя интерпретация Шнейдмана, Берри, Сегева и Биалека состоит в том, что модель Изинга полезна для любой модели нейронной функции, потому что статистическая модель для нейронной активности должна быть выбрана с использованием принцип максимума энтропии. Учитывая набор нейронов, статистическая модель, которая может воспроизвести среднюю частоту срабатывания каждого нейрона, вводит множитель Лагранжа для каждого нейрона:

E = - ∑ ihi S i {\ displaystyle E = - \ sum _ {i} h_ {i} S_ {i}}

E = - \ sum _ {i} h_ {i} S_ {i}

Но активность каждого нейрона в этой модели статистически независима. Чтобы учесть парные корреляции, когда один нейрон имеет тенденцию запускаться (или не запускаться) вместе с другим, введите попарные множители лагранжа:

E = - 1 2 ∑ ij J ij S i S j - ∑ ihi S i {\ displaystyle E = - {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {ij} J_ {ij} S_ {i} S_ {j} - \ sum _ {i} h_ {i} S_ {i}}

E = - {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {ij} J_ {ij} S_ {i} S_ {j} - \ sum _ {i} h_ {i} S_ {i}

где $J ij {\ displaystyle J_ {ij}}$ $J_{ij}$ не ограничиваются соседями. Обратите внимание, что это обобщение модели Изинга иногда называют квадратичным экспоненциальным двоичным распределением в статистике. Эта функция энергии вносит вероятностные смещения только для спина, имеющего значение, и для пары спинов, имеющих одинаковое значение. Корреляции высшего порядка не ограничиваются множителями. Образец активности, выбранный из этого распределения, требует наибольшего количества битов для хранения в компьютере при наиболее эффективной схеме кодирования, которую только можно вообразить, по сравнению с любым другим распределением с такой же средней активностью и попарными корреляциями. Это означает, что модели Изинга актуальны для любой системы, которая описывается как можно более случайными битами, с ограничениями на парные корреляции и средним числом единиц, что часто встречается как в физических, так и в социальных науках.

Спиновые очки

С помощью модели Изинга так называемые спиновые стекла также могут быть описаны с помощью обычного гамильтониана $H ^ = - 1 2 ∑ J я, К S я S К, {\ Displaystyle {\ Hat {H}} = - {\ гидроразрыва {1} {2}} \, \ sum J_ {i, k} \, S_ {i} \, S_ { k},}$ ${\ hat {H}} = - {\ frac {1} {2}} \, \ sum J_ {i, k} \, S_ {i} \, S_ {k},$ где S-переменные описывают спины Изинга, а J i, k берутся из случайного распределения. Для спиновых стекол типичное распределение выбирает антиферромагнитные связи с вероятностью p и ферромагнитные связи с вероятностью 1 - p. Эти связи остаются фиксированными или «закаленными» даже при наличии тепловых колебаний. Когда p = 0, мы имеем исходную модель Изинга. Эта система заслуживает отдельного интереса; в частности, у одного есть «неэргодические» свойства, ведущие к странному релаксационному поведению. Большое внимание также привлекла связанная модель Изинга с разбавлением связей и сайтов, особенно в двух измерениях, что привело к интригующему критическому поведению.

Морской лед

2D пруд с таянием приближения могут быть созданы с использованием модели Изинга; Данные топографии морского льда в значительной степени влияют на результаты. Переменная состояния является двоичной для простого двухмерного приближения: вода или лед.

См. Также

Сноски

Ссылки

Внешние ссылки