Эргодичность

В математике, в частности в теории динамических систем и теории вероятностей, эргодичность - это свойство (дискретной или непрерывной) динамической системы, которое выражает форму неприводимости системы с теоретико-меры точки зрения.

Включает эргодичность случайных процессов ; хотя язык, используемый для изучения эргодических процессов, обычно более вероятностный. Истоки понятия и номенклатуры лежат в статистической физике, где Л. Больцман сформулировал эргодическую гипотезу. Неформальный способ сформулировать это так: среднее поведение во времени на траектории не зависит от конкретной выбранной траектории. Современное понятие эргодичности нашло множество приложений в математике, помимо этой изначальной мотивации.

Изучение эргодических систем является частью более обширной области эргодической теории.

• 1 Определение для систем с дискретным временем
  • 1.1 Неформальное обсуждение
  • 1.2 Формальное определение
  • 1.3 Примеры
  • 1.4 Эквивалентные формулы
  • 1.5 Дополнительные примеры
    • 1.5.1 Сдвиги Бернулли и подсдвиги
    • 1.5.2 Вращения
    • 1.5.3 Карта кошки Арнольда
  • 1.6 Эргодические теоремы
  • 1.7 Связанные свойства
    • 1.7.1 Плотные орбиты
    • 1.7.2 Смешивание
    • 1.7.3 Собственная эргодичность
• 2 Определение для динамических систем с непрерывным временем
  • 2.1 Примеры
  • 2.2 Эргодические потоки
• 3 Эргодичность в компактных метрических пространствах
  • 3.1 Интерпретация функционального анализа
    • 3.1.1 Существование эргодических мер
    • 3.1.2 Эргодическое разложение
    • 3.1.3 Пример
    • 3.1.4 Непрерывные системы
  • 3.2 Уникальная эргодичность
• 4 Вероятностная интерпретация: эргодические процессы
• 5 Эргодичность цепей Маркова
  • 5.1 Динамическая система, связанная с цепью Маркова
  • 5.2 Критерий эргодичности
  • 5.3 Экзамен les
    • 5.3.1 Счетная мера
    • 5.3.2 Неэргодические цепи Маркова
    • 5.3.3 Периодическая цепь
• 6 Обобщения
  • 6.1 Действия эргодической группы
  • 6.2 Квазиинвариантные меры
  • 6.3 Эргодические отношения
• 7 Историческое развитие
• 8 Этимология
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Неформальное обсуждение

Любое точное определение явления эргодичности с математической точки зрения требует теории меры. Более интуитивным описанием с физической точки зрения является эргодическая гипотеза. Эргодические процессы дают более вероятностную формулировку для некоторых случаев.

Для дискретной динамической системы $(X,\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; T)\}$, где пробел $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$наделен дополнительной структурой пространства вероятностной меры, которое инвариантно относительно преобразования $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, эргодичность означает что нет способа измеримо изолировать нетривиальную часть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, которая инвариантна для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$. (Здесь «тривиальный» означает, что подмножество или его дополнение имеет меру 0.) Образно можно сказать, что преобразование смешивает пространство вместе (измеримо) неразрешимым способом; более сильное, количественное понятие - это перемешивание.

. Связь этого динамического понятия с физическим понятием эргодичности устанавливается с помощью эргодической теоремы Биркгофа. Связь с эргодическими процессами обсуждается ниже.

Формальное определение

Пусть $(X,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$быть измеримым пространством. Если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- измеримая функция от $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$до самого себя и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$a вероятностная мера на $(X,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$, тогда мы говорим, что $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$равно $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$-ergodic или $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- эргодическая мера для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$сохраняет $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и выполняется следующее условие:

Для любого $A\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$такого, что $T\; -\; 1\; (A)\; \subset \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{-\; 1\}\; (A)\; \backslash \; subset\; A\}$либо $\mu \; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 0\}$или $\mu \; (A)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 1\}$.

Другими словами, не существует $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$-инвариантных подмножеств вплоть до мера 0 (относительно $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$). Напомним, что $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$с сохранением $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$(или $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$быть $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$-инвариантом ) означает, что $\mu \; (T\; -\; 1\; (A))\; =\; \mu \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (T\; ^\; \{-\; 1\; \}\; (A))\; =\; \backslash \; mu\; (A)\}$для всех $A\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$(см. Также Сохраняющая меру динамическая система ).

Примеры

Простейший пример - когда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является конечным набором и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$счетная мера. Тогда собственно-карта $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$сохраняет $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$тогда и только тогда, когда это биекция, и это эргодичен, если и только если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$имеет только одну орбиту (то есть для каждого $x,\; y\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\; \backslash \; in\; X\}$существует $k\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$такое, что $y\; =\; T\; k\; (x)\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; y\; =\; T\; ^\; \{k\}\; (x)\}$). Например, если $X\; =\; \{1,\; 2,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; \{1,2,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$, то цикл $(1\; 2\; \cdots \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; \backslash ,\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; n)\}$эргодично, но перестановка $(1\; 2)\; (3\; 4\; \cdots \; п)\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; \backslash ,\; 2)\; (3\; \backslash ,\; 4\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; n)\}$не является (он имеет два инвариантных подмножества $\{1,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\}$и $\{3,\; 4,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{3,4,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$).

Эквивалентные формулировки

Приведенное выше определение допускает следующие немедленные переформулировки:

• для каждого $A\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$с $\mu \; (T\; -\; 1\; (A)\; △\; A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (T\; ^\; \{-\; 1\}\; (A)\; \backslash \; bigtriangleup\; A)\; =\; 0\}$у нас есть $\mu \; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 0\}$или $\mu \; (A)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 1\; \backslash ,\; \}$(где $△\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bigtriangleup\}$обозначает симметричную разность );
• для каждого $A\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$с положительной мерой $\mu \; (\bigcup \; n\; =\; 1\; \infty \; T\; -\; n\; (A))\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; T\; ^\; \{-\; n\}\; (A)\; \backslash \; right)\; =\; 1\}$;
• для каждых двух наборов $A,\; B\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A,\; B\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; B\}\}\}$положительной меры, существует $n>0\; \{\backslash \; displaystyle\; n>0\}$такое, что $\mu \; ((T\; -\; n\; (A))\; \cap \; B)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; ((T\; ^\; \{-\; n\}\; (A))\; \backslash \; cap\; B)>0\}$;
• Каждая измеримая функция $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$с $f\; \circ \; T\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; T\; =\; f\}$постоянно на подмножестве полной меры.

Что важно для приложений, условие в последней характеристике может быть ограничено квадратично интегрируемыми функциями только:

• Если $f\; \in \; L\; 2\; (X,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; L\; ^\; \{2\}\; (X,\; \backslash \; mu)\}$и $f\; \circ \; T\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; T\; =\; f\}$, тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$постоянно почти везде.

Дальнейшие примеры

Бернулли сдвигает и подменяет

Пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$будет конечным множеством и $X\; =\; SZ\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; S\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$с $\mu \; \{\backslash \; di\; splaystyle\; \backslash \; mu\}$мера продукта (каждый фактор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$снабжен своей мерой подсчета). Тогда оператор сдвига $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, определенный как $T\; ((sk)\; k\; \in \; Z))\; =\; (sk\; +\; 1)\; k\; \in \; Z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; left\; ((s\_\; \{k\})\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\})\; \backslash \; right)\; =\; (s\_\; \{k\; +\; 1\})\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$является $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$-эргодическим.

Есть еще много эргодических показателей для карты сдвига $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Периодические последовательности дают меры с конечным носителем. Что еще более интересно, есть бесконечно поддерживаемые, которые представляют собой подсдвиги конечного типа.

Вращения

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет единичной окружностью $\{z\; \in \; C,\; |\; z\; |\; =\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\},\; \backslash ,\; |\; z\; |\; =\; 1\; \backslash \}\}$с его мерой Лебега $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$. Для любого $\theta \; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$поворот на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$на угол $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$определяется выражением $R\; \theta \; (z)\; =\; e\; 2\; i\; \pi \; \theta \; z\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; \backslash \; theta\}\; z\}$. Если $\theta \; \in \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, тогда $T\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$не является эргодическим для меры Лебега, так как у нее бесконечно много конечных орбит. С другой стороны, если $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$иррационально, то $T\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$эргодично.

Карта кошек Арнольда

Пусть $X\; =\; R\; 2\; /\; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\}$- 2-тор. Тогда любой элемент $g\; \in \; SL\; 2\; (Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\})\}$определяет собственную карту $Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, поскольку $g\; (Z\; 2)\; =\; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\})\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; ^\; \{2\}\; \}$. Когда $g\; =\; (2\; 1\; 1\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 2\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\}$один получает так называемое отображение кошки Арнольда, которое эргодично для меры Лебега на торе.

Эргодические теоремы

Если $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- вероятностная мера в пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, который является эргодическим для преобразования $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$поточечная эргодическая теорема Г. Биркгофа утверждает, что для любых измеримых функций $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; :\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$и для $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- почти каждая точка $x\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; X\}$среднее время на орбите $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$сходится к среднему пространственному значению $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$. Формально это означает, что

$lim\; k\; \to \; +\; \infty \; (1\; k\; +\; 1\; \sum \; i\; =\; 0\; k\; f\; (T\; i\; (x)))\; =\; \int \; X\; f\; d\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; +\; 1\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; f\; (T\; ^\; \{i\}\; (x))\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{X\}\; fd\; \backslash \; mu.\}$

эргодическая теорема о среднем Дж. фон Неймана является аналогичным, более слабым утверждением об усредненных сдвигах интегрируемых с квадратом функций.

Связанные свойства

Плотные орбиты

Непосредственным следствием определения эргодичности является то, что в топологическом пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, и если $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$является σ-алгеброй борелевских множеств, если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$равно $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$-ergodic, затем $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- почти каждая орбита $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$плотно поддерживает $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$.

Это не эквивалент, поскольку для преобразования, которое не является однозначно эргодическим, но для которого существует является эргодической мерой с полной поддержкой $\mu \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}$для любой другой эргодической меры $\mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$мера $1\; 2\; (\mu \; 0\; +\; \mu \; 1)\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\})\}$не эргодичен для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, но его орбиты плотны в опоре. Явные примеры могут быть построены с помощью мер, инвариантных к сдвигу.

Смешивание

Преобразование $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$пространства меры вероятности $(X,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; mu)\}$считается смешивающим для меры $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, если для любых измеримых множеств $A,\; B\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A,\; B\; \backslash \; subset\; X\}$выполняется следующее:

$lim\; n\; \to \; +\; \infty \; \mu \; (T\; -\; n\; A\; \cap \; B)\; =\; \mu \; (A)\; \mu \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; mu\; (T\; ^\; \{-\; n\}\; A\; \backslash \; cap\; B)\; =\; \backslash \; mu\; (A)\; \backslash \; mu\; (B)\}$Сразу видно, что преобразование перемешивания также эргодично (принимая $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$быть $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$-стабильным подмножеством, а $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$его дополнение). Обратное неверно, например, вращение окружности с иррациональным углом (которое является эргодическим в приведенных выше примерах) не является смешивающим (для достаточно малого интервала его последовательные изображения не будут пересекаться большую часть времени). Сдвиги Бернулли смешиваются, как и кошачья карта Арнольда.

Это понятие перемешивания иногда называют сильным перемешиванием, в отличие от слабого перемешивания, что означает, что

$lim\; n\; \to \; +\; \infty \; 1\; n\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; |\; \mu \; (T\; -\; n\; A\; \cap \; B)\; -\; \mu \; (A)\; \mu \; (B)\; |\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; +\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mu\; (T\; ^\; \{-\; n\}\; A\; \backslash \; cap\; B)\; -\; \backslash \; mu\; (A)\; \backslash \; mu\; (B)\; \backslash \; right\; |\; =\; 0\}$

Собственная эргодичность

Преобразование $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$называется собственно эргодическим, если он не имеет орбиты полной меры. В дискретном случае это означает, что мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$не поддерживается на конечной орбите $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$.

Определение по существу то же самое для динамических систем с непрерывным временем как для одиночного преобразования. Пусть $(X,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$будет измеримым пространством и для каждого $t\; \in \; R\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\}$, тогда такая система задается семейством $T\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{t\}\}$измеримых функций из $Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$самому себе, так что для любого $t,\; s\; \in \; R\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; t,\; s\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\}$соотношение $T\; s\; +\; t\; =\; T\; s\; \circ \; T\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{s\; +\; t\}\; =\; T\_\; \{s\}\; \backslash \; circ\; T\_\; \{t\}\}$(обычно это также спрашивается, что отображение орбиты из $R\; +\; \times \; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; to\; X\}$также измеримо). Если $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$является мерой вероятности на $(X,\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\})\}$тогда мы говорим, что $T\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{t\}\}$равно $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$-ergodic или $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- эргодическая мера для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, если каждое $T\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{t\}\; \}$сохраняет $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и выполняется следующее условие:

для любого $A\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$, если для всех $t\; \in \; R\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\}$мы имеем $T\; t\; -\; 1\; (A)\; \subset \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{t\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (A)\; \backslash \; subset\; A\}$, то либо $\mu \; (A)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (\; A)\; =\; 0\}$или $\mu \; (A)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 1\}$.

Примеры

Как в дискретном случае простейший пример есть действие транзитивного действия, например действие на окружности, заданное формулой $T\; t\; (z)\; =\; e\; 2\; i\; \pi \; tz\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; T\_\; \{t\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; t\}\; z\}$является эргодическим для меры Лебега.

Пример с бесконечным числом орбит дается потоком вдоль иррационального наклона на торе: пусть $X\; =\; S\; 1\; \times \; S\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{1\}\}$и $\alpha \; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Пусть $T\; t\; (z\; 1,\; z\; 2)\; =\; (е\; 2\; я\; \pi \; tz\; 1,\; e\; 2\; \alpha \; i\; \pi \; tz\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{t\}\; (z\_\; \{1\},\; z\_\; \{2\})\; =\; (\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; t\}\; z\_\; \{1\},\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; alpha\; i\; \backslash \; pi\; t\}\; z\_\; \{2\})\}$; то если $\alpha \; \notin \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; not\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$, это эргодично для меры Лебега.

Эргодические потоки

Другими примерами эргодических потоков являются:

• Бильярд в выпуклых евклидовых областях;
• геодезический поток Риманово многообразие конечного объема с отрицательной кривизной эргодично (для нормированной меры объема);
• поток орицикла на гиперболическом многообразии конечного объема эргодичен (для нормализованная мера объема)

Если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- компактное метрическое пространство он естественно наделен σ-алгеброй борелевских множеств. Дополнительная структура, проистекающая из топологии, затем позволяет получить гораздо более подробную теорию эргодических преобразований и мер на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Интерпретация функционального анализа

Очень мощное альтернативное определение эргодических мер может дается с помощью теории банаховых пространств. Радоновые меры на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$образуют банахово пространство, в котором множество $P\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (\; X)\}$вероятностных мер на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$представляет собой подмножество выпуклого. Учитывая непрерывное преобразование $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$подмножество $P\; (X)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; \backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\; ^\; \{T\}\}$of $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$-инвариантные меры - это замкнутое выпуклое подмножество, а мера эргодична для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$тогда и только тогда, когда это крайняя точка этой выпуклости.

Существование эргодических мер

В приведенной выше настройке из теоремы Банаха-Алаоглу следует, что всегда существуют экстремальные точки в $P\; (X)\; T\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; (X)\; ^\; \{T\}\}$. Следовательно, преобразование компактного метрического пространства всегда допускает эргодические меры.

Эргодическое разложение

В общем, инвариантная мера не обязательно должна быть эргодической, но, как следствие теории Шоке, ее всегда можно выразить как барицентр вероятностной меры на множестве эргодических мер. Это называется эргодическим разложением меры.

Пример

В случае $X\; =\; \{1,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$и $T\; =\; (1\; 2)\; (3\; 4\; \cdots \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; (1\; \backslash ,\; 2)\; (3\; \backslash ,\; 4\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; n)\}$мерой подсчета является не эргодичен. Эргодические меры для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это единообразные меры $\mu \; 1,\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}$поддерживается в подмножествах $\{1,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\}$и $\{3,\dots ,\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{3,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$и каждую $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$-инвариантную вероятностную меру можно записать в форме $t\; \mu \; 1\; +\; (1\; -\; t)\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; (1-t)\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}$для некоторого $t\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,1]\}$. В частности, $2\; n\; \mu \; 1\; +\; n\; -\; 2\; n\; \mu \; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{n-2\}\; \{n\}\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}$- эргодическое разложение счетной меры.

Непрерывные системы

Все в этом разделе дословно переносится в непрерывные действия $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$или $R\; +\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{+\}\}$на компактных метрических пространствах.

Уникальная эргодичность

Преобразование $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$называется однозначно эргодическим, если существует уникальная вероятность Бореля. мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, что является эргодическим для $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$.

In в рассмотренных выше примерах иррациональные повороты окружности однозначно эргодичны; карты сдвига нет.

Если $(X\; n)\; n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\}$- случайный процесс с дискретным временем в пространстве $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$, он называется эргодическим, если совместное распределение переменных на $\Omega \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{N\}\}\}$инвариантно относительно карты сдвига $(xn)\; n\; \ge \; 1\; \mapsto \; (xn\; +\; 1)\; n\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{n\})\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; \backslash \; mapsto\; (x\_\; \{n\; +\; 1\})\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\}$. Это частный случай рассмотренных выше понятий.

Самый простой случай - это случай независимого и идентично распределенного процесса, который соответствует карте сдвига, описанной выше. Другой важный случай - это случай цепи Маркова, который подробно обсуждается ниже.

Аналогичная интерпретация верна для случайных процессов с непрерывным временем, хотя построение измеримой структуры действия более сложно.

Динамическая система, связанная с цепью Маркова

Пусть $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- конечное множество. A цепь Маркова на $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$определяется матрицей $P\; \in \; [0,\; 1]\; S\; \times \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; in\; [\; 0,1]\; ^\; \{S\; \backslash \; times\; S\}\}$, где $P\; (s\; 1,\; s\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s\_\; \{1\},\; s\_\; \{2\})\}$- вероятность перехода от $s\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{1\}\}$к $s\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{2\}\}$, поэтому $\sum \; s\; \prime \; \in \; s\; P\; (s,\; s\; \text{'})\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\text{'}\; \backslash \; in\; s\}\; P\; (s,\; s\; \text{'})\; =\; 1\}$. A Стационарная мера для $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- это вероятностная мера $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$на $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$такой, что $\nu \; P\; =\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; P\; =\; \backslash \; nu\}$; то есть $\sum \; s\; \prime \; \in \; S\; \nu \; (s\; \prime )\; P\; (s\; \prime ,\; s)\; =\; \nu \; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; \text{'}\backslash \; in\; S\}\; \backslash \; nu\; (s\text{'})\; P\; (s\; \text{'},\; s)\; =\; \backslash \; nu\; (s)\}$для всех $s\; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; \backslash \; in\; S\}$.

Используя эти данные, мы можем определить вероятностную меру $\mu \; \nu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}$на множестве $X\; =\; SZ\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; S\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$с произведением σ -алгебры, задав меры цилиндров следующим образом:

$\mu \; \nu \; (\cdots \; \times \; S\; \times \; \{(sn,\dots ,\; sm)\}\; \times \; S\; \times \; \cdots )\; =\; \nu \; (sn)\; P\; (sn,\; sn\; +\; 1)\; \cdots \; P\; (sm\; -\; 1,\; sm).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; (\backslash \; cdots\; \backslash \; times\; S\; \backslash \; times\; \backslash \; \{(s\_\; \{n\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{m\})\; \backslash \}\; \backslash \; times\; S\; \backslash \; times\; \backslash \; cdots)\; =\; \backslash \; nu\; (s\_\; \{\; n\})\; P\; (s\_\; \{n\},\; s\_\; \{n\; +\; 1\})\; \backslash \; cdots\; P\; (s\_\; \{m-1\},\; s\_\; \{m\}).\}$Стационарность $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$тогда означает, что мера $\mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}$инвариантна относительно карты сдвига $T\; ((sk)\; k\; \in \; Z))\; =\; (sk\; +\; 1)\; к\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \backslash \; left\; ((s\_\; \{k\})\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\})\; \backslash \; right)\; =\; (s\_\; \{k\; +\; 1\})\; \_\; \{\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$.

Критерий эргодичности

Мера $\mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}$всегда эргодична для карту сдвига, если ассоциированная цепь Маркова неприводима (любое состояние может быть достигнуто с положительной вероятностью из любого другого состояния за конечное число шагов).

Из приведенных выше гипотез следует, что существует единственная стационарная мера для цепи Маркова. В терминах матрицы $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$достаточным условием для этого является то, чтобы 1 было простым собственным значением матрицы $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и все другие собственные значения $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$(в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$) имеют модуль <1.

Обратите внимание, что в теории вероятностей цепь Маркова называется эргодической, если, кроме того, каждое состояние является апериодическим (моменты времени, когда вероятность возврата положительна, не кратны одному целому числу>1). Это не обязательно для того, чтобы инвариантная мера была эргодической; следовательно, понятия «эргодичность» для цепи Маркова и связанной с ней инвариантной относительно сдвига меры различны (для цепи строго сильнее).

Более того, критерием является «если и только если», если все взаимодействующие классы в цепочке рекуррентны и мы рассматриваем все стационарные меры.

Примеры

Мера подсчета

Если $P\; (s,\; s\; \prime )\; =\; 1\; /\; |\; S\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s,\; s\; \text{'})\; =\; 1\; /\; |\; S\; |\}$для всех $s,\; s\; \prime \; \in \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; s,\; s\text{'}\; \backslash \; in\; S\}$тогда стационарная мера - это счетная мера, мера $\mu \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{P\}\}$- произведение счетных мер. Цепь Маркова эргодична, поэтому приведенный выше пример сдвига является частным случаем критерия.

Неэргодические цепи Маркова

Цепи Маркова с повторяющимися сообщающимися классами не являются неприводимыми, не являются эргодическими, и это сразу видно из следующего. Если $S\; 1\; ⊊\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\; \backslash \; subsetneq\; S\}$- два различных повторяющихся взаимодействующих класса, существуют ненулевые стационарные меры $\nu \; 1,\; \nu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\}\}$поддерживается на $S\; 1,\; S\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\},\; S\_\; \{2\}\}$соответственно и на подмножествах $S\; 1\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$и $S\; 2\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \}$оба являются инвариантными относительно сдвига и имеют меру 1.2 для инвариантной вероятностной меры $1\; 2\; (\nu \; 1\; +\; \nu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\})\}$. Очень простой пример этого - цепочка на $S\; =\; \{1,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\}$, заданная матрицей $(1\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\}$(оба состояния стационарные).

Периодическая цепь

Цепь Маркова на $S\; =\; \{1,\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\}$, заданная матрица $(0\; 1\; 1\; 0)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\}$является несократимой, но периодической. Таким образом, она не эргодична в смысле цепи Маркова, хотя связанная мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $\{1,\; 2\}\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \; \}\; ^\; \{\backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\}$эргодичен для карты сдвига. Однако сдвиг не является смешиванием для этой меры, поскольку для наборов

$A\; =\; \cdots \; \times \; \{1,\; 2\}\; \times \; 1\; \times \; \{1,\; 2\}\; \times \; 1\; \times \; \{1,\; 2\}\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \; times\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\; \backslash \; times\; 1\; \backslash \; times\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\; \backslash \; cdots\}$и $B\; =\; \cdots \; \times \; \{1,\; 2\}\; \times \; 2\; \times \; \{1,\; 2\}\; \times \; 2\; \times \; \{1,\; 2\}\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \backslash \; cdots\; \backslash \; times\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\; \backslash \; times\; 2\; \backslash \; times\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\; \backslash \; times\; 2\; \backslash \; times\; \backslash \; \{1,2\; \backslash \}\; \backslash \; cdots\}$мы имеем $\mu \; (A)\; =\; 1/2\; =\; \mu \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; 1/2\; =\; \backslash \; mu\; (B)\}$но $\mu \; (T\; -\; n\; A\; \cap \; B)\; =\; \{1/2,\; если\; n\; нечетно,\; 0,\; если\; n\; четно.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (T\; ^\; \{-\; n\}\; A\; \backslash \; cap\; B)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; 1/2\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{нечетное\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{\; if\}\}\; n\; \{\backslash \; text\; \{четно.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Действия эргодической группы

Определение эргодичности также имеет смысл для групповые действия. Классическая теория (для обратимых преобразований) соответствует действиям $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$или $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

Quasi- инвариантные меры

Для неабелевых групп может не быть инвариантных мер даже на компактных метрических пространствах. Однако определение эргодичности остается неизменным, если заменить инвариантные меры на квазиинвариантные меры.

. Важными примерами являются действия полупростой группы Ли (или решетки в нем) на его границе Фюрстенберга.

Эргодические отношения

Отношение измеримой эквивалентности, которое называется эргодическим, если все насыщенные подмножества либо нулевые, либо конулевые.

Идея эргодичности зародилась в области термодинамики, где необходимо было связать отдельные состояния молекул газа с температурой газа. в целом и его эволюция во времени. Для этого необходимо было указать, что именно означает хорошее смешивание газов, чтобы термодинамическое равновесие могло быть определено с математической строгостью. Как только теория была хорошо развита в физике, она была быстро формализована и расширена, так что эргодическая теория долгое время оставалась самостоятельной областью математики. В рамках этой прогрессии сосуществуют несколько немного отличающихся друг от друга определений эргодичности и множество интерпретаций концепции в разных областях.

Например, в классической физике этот термин подразумевает, что система удовлетворяет эргодической гипотезе из термодинамики, соответствующее пространство состояний позиция и импульс пространства. В теории динамических систем пространство состояний обычно рассматривается как более общее фазовое пространство. С другой стороны, в теории кодирования пространство состояний часто дискретно как по времени, так и по состоянию, с менее сопутствующей структурой. Во всех этих областях идеи среднего времени и среднего по ансамблю также могут нести дополнительный багаж - как в случае со многими возможными термодинамически релевантными функциями распределения Используется для определения ансамблевых средних в физике. Таким образом, теоретико-мерная формализация концепции также служит объединяющей дисциплиной.

Обычно считается, что термин эргодический происходит от греческих слов ἔργον (эргон: «работа») и ὁδός (ходос: «путь», «путь»). "), выбранный Людвигом Больцманном, когда он работал над проблемой в статистической механике. В то же время он также считается производным от эргомоноды, введенной Больцманом в относительно малоизвестной статье 1884 года. Этимология, похоже, оспаривается и другими способами.

.

• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию. Спрингер. ISBN 0-387-95152-0.
• Брин, Майкл; Гаррет, Штук (2002). Введение в динамические системы. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80841-3.

Найдите ergodic в Wiktionary, бесплатном словаре.

• Карма Даджани и Шерд Дирксин, «Простое введение в эргодическую теорию»