Термодинамическая бета

редактировать

Взаимный произведение температуры на постоянную Больцмана, часто используется в экспонентах в физике и химии и связывает статистическую механику с теорией информации

SI температура / холод Шкала температуры: температуры по шкале Кельвина показаны синим цветом (шкала Цельсия - зеленым, шкала Фаренгейта - красным), значения холода в гигабайтах на наноджоуль показаны черным. Бесконечная температура (ноль холода) показана вверху диаграммы; положительные значения холода / температуры находятся справа, отрицательные значения - слева.

В статистической термодинамике, термодинамический бета, также известный как холод, является обратной величиной термодинамической температуры системы:

$β = 1 k BT {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B }} T}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}$ (где T - температура, а k B - постоянная Больцмана ).

Первоначально она была введена в 1971 году (как Kältefunktion "функция холода") [де ], одним из сторонников школы рациональной термодинамики, основанной на более ранних предложениях о функции «обратной температуры».

Термодинамическая бета имеет единиц, обратных энергии (в единицах СИ, $[β] = J - 1 {\ displaystyle [\ beta] = {\ textrm {J}} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle [\ beta] = {\ textrm {J}} ^ {- 1}}$ ). В нетепловых единицах измерения его также можно измерить в байт на джоуль или, что более удобно, в гигабайтах на наноджоуль; 1 К эквивалентен примерно 13 062 гигабайтам на наноджоуль. ноджоуль; при комнатной температуре: T = 300K, β ≈ 44 ГБ / нДж ≈ 39 эВ ≈ 2,4 × 10 Дж. Коэффициент пересчета составляет 1 ГБ / нДж = $8 ln ⁡ 2 × 10 18 {\ displaystyle 8 \ ln 2 \ times 10 ^ {18}}$ ${\ displaystyle 8 \ ln 2 \ times 10 ^ {1 8}}$ Дж.

Содержание

1 Описание
- 1.1 Преимущества
2 Статистическая интерпретация
3 Связь статистического представления с термодинамическим представлением
4 См. Также
5 Ссылки

Описание

Термодинамическая бета - это, по сути, связь между теорией информации и статистической механикой интерпретацией физической системы через ее энтропию и термодинамикой связанный с его энергией. Он выражает реакцию энтропии на увеличение энергии. Если система получает вызов с небольшим количеством энергии, тогда β описывает количество, которое система будет рандомизировать.

Посредством статистического определения температуры как функции энтропии функция холода может быть вычислена в микроканоническом ансамбле по формуле

β = 1 k BT = 1 k B ( ∂ S ∂ E) V, N {\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}} \, = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} }} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial E}} \ right) _ {V, N}}

{\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}} \, = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}}}} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial E }} \ right) _ {V, N}}

(т.е. частная производная энтропии S по энергии E при постоянном объеме V и числе частиц N).

Преимущества

Хотя по концептуальному содержанию он полностью эквивалентен температуре, β, как правило, считается более фундаментальной величиной, чем температура, из-за явления отрицательной температуры, в которой β равно непрерывна, поскольку она пересекает ноль, тогда как T имеет сингулярность.

Кроме того, β имеет то преимущество, что ее легче понять причинно: если к системе добавлено небольшое количество тепла, β - это увеличение энтропии, разделенное увеличением жары. Температуру трудно интерпретировать в том же смысле, поскольку невозможно «добавить энтропию» к системе, кроме как косвенно, путем изменения других величин, таких как температура, объем или количество частиц.

Статистическая интерпретация

Со статистической точки зрения β - это числовая величина, связывающая две макроскопические системы в равновесии. Точная формулировка следующая. Рассмотрим две системы 1 и 2, находящиеся в тепловом контакте, с соответствующими энергиями E 1 и E 2. Мы предполагаем, что E 1 + E 2 = некоторая константа E. Число микросостояний каждой системы будет обозначено Ω 1 и Ом 2. В наших предположениях Ω i зависит только от E i. Таким образом, количество микросостояний для объединенной системы составляет

Ω = Ω 1 (E 1) Ω 2 (E 2) = Ω 1 (E 1) Ω 2 (E - E 1). {\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} (E_ {2}) = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} ( E-E_ {1}). \,}

\ Omega = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} (E_ {2}) = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} (E-E_ {1}). \,

Мы выведем β из фундаментального предположения статистической механики :

Когда комбинированная система достигает равновесия, число Ω увеличивается до максимума.

(В другом случае словами, система естественным образом ищет максимальное количество микросостояний.) Следовательно, в состоянии равновесия

dd E 1 Ω = Ω 2 (E 2) dd E 1 Ω 1 (E 1) + Ω 1 (E 1) dd E 2 Ом 2 (Е 2) ⋅ d E 2 d E 1 знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega = \ Omega _ {2} (E_ {2}) {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega _ {1} (E_ {1}) + \ Omega _ {1} (E_ {1}) {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ Омега _ {2} (E_ {2}) \ cdot {\ frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = 0.}

{\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega = \ Omega _ {2} (E_ {2}) {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega _ {1} (E_ {1}) + \ Omega _ {1} (E_ {1}) {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ Omega _ {2} (E_ {2}) \ cdot {\ frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = 0.

Но E 1 + E 2 = E означает

d E 2 d E 1 = - 1. {\ displaystyle {\ frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = - 1.}

{\ frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = - 1.

Ω 2 (E 2) dd E 1 Ω 1 (E 1) - Ω 1 (E 1) dd E 2 Ω 2 (E 2) = 0 {\ displaystyle \ Omega _ {2} (E_ {2}) { \ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega _ {1} (E_ {1}) - \ Omega _ {1} (E_ {1}) {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ Omega _ {2} (E_ {2}) = 0}

\ Omega _ {2} (E_ {2}) {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ Omega _ {1 } (E_ {1}) - \ Omega _ {1} (E_ {1}) {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ Omega _ {2} (E_ {2}) = 0

т.е.

d d E 1 ln ⁡ Ω 1 = d d E 2 ln ⁡ Ω 2 в состоянии равновесия. {\ displaystyle {\ frac {d} {dE_ {1}}} \ ln \ Omega _ {1} = {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ ln \ Omega _ {2} \ quad {\ t_dv {в состоянии равновесия.}}}

{\ frac {d} {dE_ {1}}} \ ln \ Omega _ {1} = {\ frac {d} {dE_ {2}}} \ ln \ Omega _ {2} \ quad {\ t_dv {в состоянии равновесия.}}

Вышеупомянутое соотношение мотивирует определение β:

β = d ln ⁡ Ω d E. {\ displaystyle \ beta = {\ frac {d \ ln \ Omega} {dE}}.}

\ beta = {\ frac {d \ ln \ Omega} {dE}}.

Связь статистического представления с термодинамическим представлением

Когда две системы находятся в равновесии, они имеют одно и то же термодинамическая температура Т. Таким образом, интуитивно можно было бы ожидать, что β (как определено с помощью микросостояний) каким-то образом связано с T. Эта ссылка обеспечивается фундаментальным предположением Больцмана, записанным как