Распределение Больцмана

редактировать

Распределение вероятностей энергетических состояний системы Фактор Больцмана p i / p j (вертикальная ось) как функция температуры T для нескольких разностей энергии ε i - ε j.

В статистической механике и математике a Распределение Больцмана (также называемое распределением Гиббса ) - это распределение вероятностей или вероятностная мера, которая дает вероятность того, что система будет находиться в определенном состояние как функция энергии этого состояния и температуры системы. Распределение выражается в форме:

pi ∝ e - ε ik T {\ displaystyle p_ {i} \ propto e ^ {- {\ frac {\ varepsilon _ {i}} {kT}}}}{\ displaystyle p_ {i} \ propto e ^ {- {\ frac {\ varepsilon _ {i}} {kT}}}}

где p i - вероятность того, что система находится в состоянии i, ε i - энергия этого состояния, а постоянная kT распределения является произведением Постоянная Больцмана k и термодинамическая температура T. Символ ∝ {\ textstyle \ propto}{\ textstyle \ propto} обозначает пропорциональность (см. § Распределение для константы пропорциональности).

Термин «система» здесь имеет очень широкое значение; он может варьироваться от одиночного атома до макроскопической системы, такой как резервуар для хранения природного газа. Благодаря этому распределение Больцмана можно использовать для решения очень широкого круга задач. Распределение показывает, что состояния с более низкой энергией всегда будут иметь более высокую вероятность быть занятыми.

Отношение вероятностей двух состояний известно как фактор Больцмана и, как правило, зависит только от разности энергий состояний:

pipj = e ε j - ε ik T {\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} = e ^ {\ frac {\ varepsilon _ {j} - \ varepsilon _ {i}} {kT}}}{\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} = e ^ {\ frac {\ varepsilon _ {j} - \ varepsilon _ {i }} {kT}}}

Распределение Больцмана назван в честь Людвига Больцмана, который впервые сформулировал его в 1868 году во время своих исследований статистической механики газов, находящихся в тепловом равновесии. Статистическая работа Больцмана подтверждается в его статье «О взаимосвязи между второй фундаментальной теоремой механической теории тепла и вероятностными расчетами, касающимися условий теплового равновесия». Позднее распределение было широко исследовано в его современной общей форме Джозайя Уиллард Гиббс в 1902 году.

Обобщенное распределение Больцмана является достаточным и необходимым условием эквивалентности определения энтропии, определенного статистической механикой (формула энтропии Гиббса S = - К В ∑ ipi log ⁡ pi {\ displaystyle S = -k _ {\ mathrm {B}} \ sum _ {i} p_ {i} \ log p_ {i}}{\ displaystyle S = -k _ {\ mathrm {B}} \ sum _ {i} p_ {i} \ log p_ {i}} ) и термодинамическое определение энтропии (d S = δ Q rev T {\ displaystyle dS = {\ frac {\ delta Q _ {\ text {rev}}}} {T}}}{\ displaystyle dS = {\ frac {\ delta Q _ {\ text {rev}}} {T}}} и фундаментальное термодинамическое соотношение ).

Распределение Больцмана не следует путать с распределением Максвелла – Больцмана. Первое дает вероятность того, что система будет находиться в определенное состояние как функция энергии этого состояния; Напротив, последнее используется для описания скоростей частиц в идеализированных газах.

Содержание

  • 1 Распределение
  • 2 В статистической механике
  • 3 В математике
  • 4 В экономике
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки

Распределение

Распределение Больцмана - это распределение вероятностей, которое дает вероятность определенного состояния как функцию энергии и температуры этого состояния системы , к которой применяется распределение. Он задается как

pi = 1 Q e - ε i / k T = e - ε i / k T ∑ j = 1 M e - ε j / k T {\ displaystyle p_ {i} = {\ frac { 1} {Q}}} {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT} = {\ frac {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT}} {\ sum _ {j = 1} ^ {M} {e ^ {- {\ varepsilon} _ {j} / kT}}}}}{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {Q}}} {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT } = {\ frac {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT}} {\ sum _ {j = 1} ^ {M} {e ^ {- {\ varepsilon} _ {j} / kT }}}}}

где p i - вероятность состояния i, ε i энергия состояния i, k постоянная Больцмана, T температура системы и M количество всех состояний, доступных для интересующей системы. Предполагаемые скобки вокруг знаменателя kT для краткости опущены. Знаменатель нормализации Q (обозначаемый некоторыми авторами как Z) - это каноническая статистическая сумма

Q = ∑ i = 1 M e - ε i / k T {\ displaystyle Q = {\ sum _ {i = 1 } ^ {M} {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT}}}}Q = {\ sum _ {{i = 1}} ^ {{M}} {e ^ {{- {\ varepsilon} _ {i} / kT}}} }

Это результат ограничения, согласно которому вероятности всех доступных состояний должны составлять в сумме 1.

Распределение Больцмана - это распределение, которое максимизирует энтропию

H (p 1, p 2, ⋯, p M) = - ∑ i = 1 M pi log 2 ⁡ pi {\ displaystyle H (p_ {1 }, p_ {2}, \ cdots, p_ {M}) = - \ sum _ {i = 1} ^ {M} p_ {i} \ log _ {2} p_ {i}}{\ displaystyle H (p_ {1}, p_ {2}, \ cdots, p_ {M}) = - \ sum _ {i = 1} ^ {M} p_ {i} \ log _ {2 } p_ {i}}

с учетом ограничение, при котором ∑ pi ε i {\ textstyle {\ sum {p_ {i} {\ varepsilon} _ {i}}}}{\ textstyle {\ sum {p_ {i} {\ varepsilon} _ {i}}}} равняется определенному среднему значению энергии (что может быть доказано с помощью Множители Лагранжа ).

Статистическая сумма может быть вычислена, если мы знаем энергии состояний, доступных для интересующей системы. Для атомов значения статистической суммы можно найти в базе данных атомных спектров NIST.

Распределение показывает, что состояния с более низкой энергией всегда будут иметь более высокую вероятность быть занятыми, чем состояния с более высокой энергией. Он также может дать нам количественное соотношение между вероятностями того, что два состояния заняты. Отношение вероятностей для состояний i и j задается как

pipj = e (ε j - ε i) / k T {\ displaystyle {\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} = e ^ {({\ varepsilon} _ {j} - {\ varepsilon} _ {i}) / kT}}{{\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}}} = e ^ {{({\ varepsilon} _ {j} - {\ varepsilon} _ {i}) / kT}}

где p i - вероятность состояния i, p j вероятность состояния j, а ε i и ε j - энергии состояний i и j, соответственно.

Распределение Больцмана часто используется для описания распределения частиц, таких как атомы или молекулы, по доступным им энергетическим состояниям. Если у нас есть система, состоящая из многих частиц, вероятность того, что частица находится в состоянии i, практически равна вероятности того, что, если мы выберем случайную частицу из этой системы и проверим, в каком состоянии она находится, мы обнаружим, что она находится в состоянии i.. Эта вероятность равна количеству частиц в состоянии i, деленному на общее количество частиц в системе, то есть доле частиц, которые занимают состояние i.

pi = N i N {\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {N_ {i}} {N}}}p_ {i} = {{\ frac {N_ {i}} {N}}}

, где N i - количество частиц в состоянии i N - общее количество частиц в системе. Мы можем использовать распределение Больцмана, чтобы найти эту вероятность, которая, как мы видели, равна доле частиц, находящихся в состоянии i. Таким образом, уравнение, которое дает долю частиц в состоянии i как функцию энергии этого состояния, имеет вид

N i N = e - ε i / k T ∑ j = 1 M e - ε j / k T {\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT}} {\ sum _ {j = 1} ^ {M} {e ^ {- {\ varepsilon} _ {j} / kT}}}}}{\ displaystyle {\ frac {N_ {i}} {N}} = {\ frac {e ^ {- {\ varepsilon} _ {i} / kT}} {\ sum _ {j = 1} ^ {M} {e ^ {- {\ varepsil on} _ {j} / kT}}}}}

Это уравнение очень важно для спектроскопии. В спектроскопии мы наблюдаем спектральную линию атомов или молекул, в переходе которых мы хотим перейти из одного состояния в другое. Для того, чтобы это было возможно, в первом состоянии должны быть частицы, которые претерпят переход. Мы можем обнаружить, что это условие выполняется, найдя долю частиц в первом состоянии. Если им можно пренебречь, переход, скорее всего, не будет наблюдаться при температуре, для которой проводился расчет. Как правило, большая доля молекул в первом состоянии означает большее количество переходов во второе состояние. Это дает более сильную спектральную линию. Однако есть и другие факторы, которые влияют на интенсивность спектральной линии, например, вызвано ли это разрешенным или запрещенным переходом.

Распределение Больцмана обычно связано с функцией softmax используется в машинном обучении.

В статистической механике

Распределение Больцмана появляется в статистической механике при рассмотрении изолированных (или почти изолированных) систем фиксированного состава, находящихся в тепловом равновесии (равновесие по обмену энергией). Наиболее общий случай - это распределение вероятностей для канонического ансамбля, но также некоторые частные случаи (получаемые из канонического ансамбля) также показывают распределение Больцмана в различных аспектах:

Канонический ансамбль (общий случай)
Канонический ансамбль дает вероятности различных возможных состояний замкнутой системы фиксированного объема, находящейся в тепловом равновесии с термостатом. Канонический ансамбль - это распределение вероятностей с формой Больцмана.
Статистические частоты состояний подсистем (в невзаимодействующей совокупности)
Когда интересующая система представляет собой совокупность многих невзаимодействующих взаимодействующие копии меньшей подсистемы, иногда бывает полезно найти в коллекции статистическую частоту данного состояния подсистемы. Канонический ансамбль обладает свойством отделимости в применении к такому набору: до тех пор, пока невзаимодействующие подсистемы имеют фиксированный состав, состояние каждой подсистемы не зависит от других и также характеризуется каноническим ансамблем. В результате ожидаемое статистическое частотное распределение состояний подсистем имеет форму Больцмана.
Статистика Максвелла – Больцмана классических газов (систем невзаимодействующих частиц)
В системах частиц многие частицы находятся в одном пространстве и регулярно меняются местами друг с другом; одночастичное пространство состояний, которое они занимают, является общим пространством. Статистика Максвелла – Больцмана дает ожидаемое число частиц, обнаруженных в данном одночастичном состоянии, в классическом газе невзаимодействующих частиц в состоянии равновесия. Это ожидаемое числовое распределение имеет форму Больцмана.

Хотя эти случаи имеют сильное сходство, полезно различать их, поскольку они по-разному обобщают при изменении важнейших допущений:

  • Когда система находится в термодинамическом равновесии относительно как для энергообмена, так и для обмена частицами, требование фиксированного состава ослабляется, и получается большой канонический ансамбль , а не канонический ансамбль. С другой стороны, если и состав, и энергия фиксированы, то вместо этого применяется микроканонический ансамбль.
  • Если подсистемы в коллекции действительно взаимодействуют друг с другом, то ожидаемые частоты подсистем состояния больше не подчиняются распределению Больцмана и даже могут не иметь аналитического решения. Однако канонический ансамбль все еще может применяться к коллективным состояниям всей системы, рассматриваемой как единое целое, при условии, что вся система изолирована и находится в тепловом равновесии.
  • С квантовыми газами не- взаимодействующие частицы находятся в равновесии, количество частиц, находящихся в данном одночастичном состоянии, не следует статистике Максвелла – Больцмана, и нет простого выражения в замкнутой форме для квантовых газов в каноническом ансамбле. В большом каноническом ансамбле статистика заполнения состояний квантовых газов описывается статистикой Ферми – Дирака или статистикой Бозе – Эйнштейна, в зависимости от того, являются ли частицы фермионами или бозоны соответственно.

В математике

В более общих математических условиях распределение Больцмана также известно как мера Гиббса. В статистике и машинном обучении это называется лог-линейной моделью. В глубоком обучении распределение Больцмана используется в распределении выборки стохастических нейронных сетей, таких как машина Больцмана, ограниченная машина Больцмана, Энергетические модели и глубинная машина Больцмана.

В экономике

Распределение Больцмана может быть введено для распределения разрешений при торговле выбросами. Новый метод распределения, использующий распределение Больцмана, может описать наиболее вероятное, естественное и беспристрастное распределение разрешений на выбросы между несколькими странами. Простой и универсальный, этот новый метод имеет потенциал для многих экономических и экологических приложений.

Распределение Больцмана имеет ту же форму, что и модель полиномиального логита. Как модель дискретного выбора, она очень хорошо известна в экономике, поскольку Дэниел Макфадден установил связь с максимизацией случайной полезности.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-12 13:45:56
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте