Войти
В статистической механике, универсальность - это наблюдение, что для большого класса систем существуют свойства, которые не зависят от динамической подробности системы. Универсальность систем проявляется в пределе масштабирования, когда объединяется большое количество взаимодействующих частей. Современное значение этого термина было введено Лео Кадановым в 1960-х годах, но более простая версия концепции уже подразумевалась в уравнении Ван-дер-Ваальса и в более раннем Теория Ландау фазовых переходов, которая неправильно учитывала масштабирование.
Этот термин постепенно получает все более широкое распространение в нескольких областях математики, включая комбинаторику и теорию вероятностей, когда количественные характеристики структуры (например, асимптотическое поведение) можно вывести из нескольких глобальных параметров, фигурирующих в определении, без необходимости знания деталей системы.
ренормализационная группа обеспечивает интуитивно привлекательное, хотя математически нестрогое, объяснение универсальности. Он классифицирует операторы статистической теории поля на релевантные и нерелевантные. Соответствующие операторы - это те, кто отвечает за возмущения свободной энергии, которые влияют на и могут быть видны на больших расстояниях. Нерелевантные операторы - это те, которые изменяют только детали на коротком расстоянии. Набор масштабно-инвариантных статистических теорий определяет классы универсальности, а конечномерный список коэффициентов соответствующих операторов параметризует почти критическое поведение.
Понятие универсальности возникло при изучении фазовых переходов в статистической механике. Фазовый переход происходит, когда материал резко меняет свои свойства: вода при нагревании закипает и превращается в пар; или магнит при нагревании теряет свой магнетизм. Фазовые переходы характеризуются параметром порядка, таким как плотность или намагниченность, который изменяется в зависимости от параметра системы, например температуры. Специальное значение параметра, при котором система меняет свою фазу, - это критическая точка системы . Для систем, которые демонстрируют универсальность, чем ближе параметр к своему критическому значению, тем менее чувствительно параметр порядка зависит от деталей системы.
Если параметр β является критическим при значении β c, то параметр порядка a будет хорошо аппроксимирован выражением
Показатель α является критическим показателем числа система. Замечательное открытие, сделанное во второй половине двадцатого века, заключалось в том, что очень разные системы имеют одинаковые критические показатели.
В 1975 году Митчелл Фейгенбаум обнаружил универсальность повторяющихся карт.
Универсальность получила свое название, потому что она проявляется в большом разнообразии физических систем. Примеры универсальности:
Одним из важных достижений материаловедения в 1970-х и 1980-х годах было осознание того, что статистическая теория поля, как и к квантовой теории поля, можно было бы использовать для создания микроскопической теории универсальности. Основное наблюдение заключалось в том, что для всех различных систем поведение при фазовом переходе описывается континуальным полем, и что одна и та же статистическая теория поля будет описывать разные системы. Показатели масштабирования во всех этих системах могут быть получены только на основе теории поля и известны как критические показатели.
. Ключевое наблюдение состоит в том, что вблизи фазового перехода или критической точки возникают возмущения. во всех масштабах, и поэтому для описания явлений следует искать явно масштабно-инвариантную теорию, которая, по-видимому, была впервые заложена в формальную теоретическую основу Покровским и Паташинским. в 1965 г. Универсальность - это побочный продукт того факта, что существует относительно мало масштабно-инвариантных теорий. Для любой конкретной физической системы подробное описание может иметь множество параметров и аспектов, зависящих от масштаба. Однако по мере приближения к фазовому переходу масштабно-зависимые параметры играют все менее и менее важную роль, а масштабно-инвариантные части физического описания доминируют. Таким образом, упрощенная и часто точно решаемая модель может использоваться для аппроксимации поведения этих систем вблизи критической точки.
Просачивание может быть смоделировано случайной сетью электрических резисторов, при которой электричество течет от одной стороны сети к другой. Общее сопротивление сети, как видно, описывается средней связностью резисторов в сети.
Образование разрывов и трещин может быть смоделировано случайной цепью из электрических предохранителей. По мере увеличения электрического тока, протекающего через сеть, некоторые предохранители могут взорваться, но в целом ток шунтируется вокруг проблемных участков и равномерно распределяется. Однако в определенный момент (при фазовом переходе) может произойти каскадный отказ, когда избыточный ток от одного сработавшего предохранителя по очереди перегрузит следующий предохранитель, пока две стороны цепи не будут полностью разъединены и больше нет текущих потоков.
Чтобы выполнить анализ таких систем случайных сетей, нужно рассмотреть стохастическое пространство всех возможных сетей (то есть канонический ансамбль ) и выполнить суммирование (интеграция) по всем возможным сетевым конфигурациям. Как и в предыдущем обсуждении, каждая заданная случайная конфигурация понимается как полученная из пула всех конфигураций с некоторым заданным распределением вероятностей; роль температуры в распределении обычно заменяется средней связностью сети.
Ожидаемые значения операторов, такие как скорость потока, теплоемкость и т. д., получаются интегрированием по всем возможным конфигурациям. Этот акт интеграции по всем возможным конфигурациям является точкой общности между системами в статистической механике и квантовой теории поля. В частности, язык ренормгруппы может быть применен к обсуждению моделей случайных сетей. В 1990-х и 2000-х годах были обнаружены более сильные связи между статистическими моделями и конформной теорией поля. Изучение универсальности остается важной областью исследований.
Как и другие концепции из статистической механики (например, энтропия и основные уравнения ), универсальность оказалась полезной конструкцией для характеристики распределенных систем на более высоком уровне, таких как многоагентные системы. Этот термин применяется к многоагентному моделированию, в котором поведение на уровне системы, демонстрируемое системой, не зависит от степени сложности отдельных агентов и почти полностью определяется природой ограничений, управляющих их взаимодействиями. В сетевой динамике универсальность относится к тому факту, что, несмотря на разнообразие нелинейных динамических моделей, которые различаются во многих деталях, наблюдаемое поведение множества различных систем подчиняется набору универсальных законов. Эти законы не зависят от конкретных деталей каждой системы.
