Теория Ландау

Теория Ландау в физике - это теория, которую Лев Ландау представил в попытка сформулировать общую теорию непрерывных (т.е. второго рода) фазовых переходов. Его также можно адаптировать к системам, находящимся под воздействием внешних полей, и использовать в качестве количественной модели для прерывистых переходов (т. Е. Первого рода).

• 1 Формулировка среднего поля (без дальней корреляции)
  • 1.1 Переходы второго рода
  • 1.2 Прикладные поля
  • 1.3 Переходы первого рода
  • 1.4 Приложения
• 2 Включая дальние корреляции
• 3 См. Также
• 4 Сноски
• 5 Дополнительная литература

Ландау был мотивирован предположить, что свободная энергия любой системы должна подчиняться двум условиям:

• аналитична.
• она подчиняется симметрии гамильтониана.

Учитывая эти два условия, можно записать (в окрестности критическая температура, T c) феноменологическое выражение для свободной энергии в виде разложения Тейлора в параметре порядка.

Переходы второго рода

Набросок свободной энергии как функция параметра порядка $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$

Рассмотрим систему, которая нарушает некоторую симметрию ниже фазового перехода, который характеризуется параметром порядка $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$. Этот параметр порядка является мерой порядка до и после фазового перехода; параметр порядка часто равен нулю выше некоторой критической температуры и отличен от нуля ниже критической температуры. В простой ферромагнитной системе, такой как модель Изинга, параметр порядка характеризуется чистой намагниченностью $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, которая самопроизвольно становится ненулевой ниже критической температура $T\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{c\}\}$. В теории Ландау рассматривается функционал свободной энергии, который является аналитической функцией параметра порядка. Во многих системах с определенной симметрией свободная энергия будет функцией только четных степеней параметра порядка, для которых она может быть выражена как разложение в ряд

$F\; (T,\; \eta )\; -\; F\; 0\; =\; a\; (T)\; \eta \; 2\; +\; б\; (T)\; 2\; \eta \; 4\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (T,\; \backslash \; eta)\; -F\_\; \{0\}\; =\; a\; (T)\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\; (T)\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{4\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

В общем, в свободной энергии присутствуют члены более высокого порядка, но разумным приближением является рассмотрение ряда до четвертого порядка по параметру порядка, если параметр порядка мал. Чтобы система была термодинамически стабильной (то есть система не ищет бесконечного параметра порядка для минимизации энергии), коэффициент при наивысшей четной степени параметра порядка должен быть положительным, поэтому $b\; (T)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (T)>0\}$. Для простоты можно предположить, что $b\; (T)\; =\; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (T)\; =\; b\_\; \{0\}\}$, константа, вблизи критической температуры. Кроме того, поскольку $a\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (T)\}$меняет знак выше и ниже критической температуры, можно аналогичным образом расширить $a\; (T)\; \approx \; a\; 0\; (T\; -\; T\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (T)\; \backslash \; приблизительно\; a\_\; \{0\}\; (T-T\_\; \{c\})\}$, где предполагается, что $a>0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a>0\}$для высокотемпературная фаза, а - низкотемпературная фаза, чтобы произошел переход. С этими допущениями минимизация свободной энергии по отношению к параметру порядка требует

$\partial \; F\; \partial \; \eta \; =\; 2\; a\; (T)\; \eta \; +\; 2\; b\; (T)\; \eta \; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; eta\}\}\; =\; 2a\; (T)\; \backslash \; eta\; +\; 2b\; (T)\; \backslash \; eta\; ^\; \{3\}\; =\; 0\}$

Решение параметра порядка, которое удовлетворяет этому условию, равно $\eta \; =\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 0\}$или

$\eta \; 0\; 2\; =\; -\; ab\; =\; -\; a\; 0\; b\; 0\; (T\; -\; T\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{0\}\}\; \{b\_\; \{0\}\}\}\; (T-T\_\; \{c\})\}$

Параметр порядка и теплоемкость как функция температура

Ясно, что это решение существует только для , иначе $\eta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 0\}$является единственным решением. Действительно, $\eta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 0\}$является минимальным решением для $T>T\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; T>T\_\; \{c\}\}$, но решение $\eta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{0\}\}$минимизирует свободную энергию для и, таким образом, является стабильной фазой. Кроме того, параметр порядка следует соотношению

$\eta \; (\; T)\; \propto \; |\; T\; -\; T\; c\; |\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (T)\; \backslash \; propto\; \backslash \; left\; |\; T-T\_\; \{c\}\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{1/2\}\}$

ниже критической температуры, что указывает на критический показатель $\beta \; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1/2\}$для этой модели теории среднего Ландау.

энергия будет изменяться в зависимости от температуры, задаваемой

По свободной энергии можно вычислить удельную теплоемкость,

который имеет конечный скачок при критической температуре размером $\Delta \; c\; =\; a\; 0\; 2\; T\; c\; /\; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; c\; =\; a\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; T\_\; \{c\}\; /\; b\_\; \{0\}\}$. Таким образом, этот конечный скачок не связан с разрывом, который мог бы произойти, если бы система поглотила скрытое тепло, поскольку $T\; c\; \Delta \; S\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{c\}\; \backslash \; Delta\; S\; =\; 0\}$. Также следует отметить, что скачок теплоемкости связан с скачком второй производной свободной энергии, что характерно для фазового перехода второго рода. Кроме того, тот факт, что теплоемкость не имеет дивергенции или заострения в критической точке, указывает на ее критический показатель при $c\; \sim \; |\; Т\; -\; Т\; с\; |\; -\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; sim\; |\; T-T\_\; \{c\}\; |\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\}$равно $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$.

Применяемые поля

Во многих системах можно рассматривать возмущающее поле $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$, которое линейно связано с параметром порядка. Например, в случае классического дипольного момента $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$, энергия системы диполь-поле составляет $-\; \mu \; B\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; mu\; B\}$. В общем случае можно предположить сдвиг энергии $-\; \eta \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; eta\; h\}$из-за связи параметра порядка с приложенным полем $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$, и свободная энергия Ландау в результате изменится:

$F\; (T,\; \eta )\; -\; F\; 0\; =\; a\; 0\; (T\; -\; T\; c)\; \eta \; 2\; +\; b\; 0\; 2\; \eta \; 4\; -\; \eta \; час\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (T,\; \backslash \; eta)\; -F\_\; \{0\}\; =\; a\_\; \{0\}\; (T-T\_\; \{c\})\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{0\}\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; eta\; ^\; \{4\}\; -\; \backslash \; eta\; h\}$

В данном случае условие минимизации:

$\partial \; F\; \partial \; \eta \; =\; 2\; a\; (T)\; \eta \; +\; 2\; b\; 0\; \eta \; 3\; -\; h\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; eta\}\}\; =\; 2a\; (T)\; \backslash \; eta\; +\; 2b\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{3\}\; -h\; =\; 0\}$

Одно из непосредственных следствий этого уравнения и его решения заключается в том, что если приложенное поле не равно нулю, то намагниченность не равна нулю при любой температуре. Это означает, что больше не существует спонтанного нарушения симметрии, которое происходит при любой температуре. Кроме того, из этого условия можно получить некоторые интересные термодинамические и универсальные величины. Например, при критической температуре, когда $a\; (T\; c)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (T\_\; \{c\})\; =\; 0\}$, можно найти зависимость параметра порядка от внешнего поле:

$\eta \; (T\; c)\; знак\; равно\; (час\; 2\; b\; 0)\; 1/3\; \propto \; час\; 1\; /\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (T\_\; \{c\})\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{2b\_\; \{0\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/3\}\; \backslash \; propto\; h\; ^\; \{1\; /\; \backslash \; delta\}\}$

с указанием критического показателя $\delta \; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; 3\}$.

Нулевое поле восприимчивость как функция температуры вблизи критической температуры

Кроме того, из вышеуказанного условия можно найти восприимчивость в нулевом поле $\chi \; \equiv \; \partial \; \eta \; /\; \partial \; h\; |\; час\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \backslash \; eta\; /\; \backslash \; partial\; h\; |\; \_\; \{h\; =\; 0\}\}$, который должен удовлетворять

$0\; =\; 2\; a\; \partial \; \eta \; \partial \; h\; +\; 6\; b\; \eta \; 2\; \partial \; \eta \; \partial \; час\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; 2a\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; eta\}\; \{\backslash \; partial\; h\}\}\; +\; 6b\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; eta\}\; \{\backslash \; partial\; h\; \}\}\; -\; 1\}$

$[2\; a\; +\; 6\; b\; \eta \; 2]\; \partial \; \eta \; \partial \; h\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [2a\; +\; 6b\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; eta\}\; \{\backslash \; partial\; h\; \}\}\; =\; 1\}$

В этом случае, вспоминая в случае нулевого поля, что $\eta \; 2\; =\; -\; a\; /\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; =\; -\; a\; /\; b\}$при низких температурах, тогда как $\eta \; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$для температур выше критической, восприимчивость в нулевом поле, следовательно, имеет следующую температурную зависимость:

, который напоминает закон Кюри-Вейсса для температурной зависимости магнитной восприимчивости в магнитных материалах, и дает критический показатель среднего поля $\gamma \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 1\}$.

Переходы первого рода

Хотя теория Ландау обычно используется для изучения переходов второго рода, ее также можно использовать для изучения переходы первого рода. Чтобы смоделировать это, можно рассмотреть возможность разложения по свободной энергии до шестого порядка (в нулевом поле),

$F\; (T,\; \eta )\; =\; A\; (T)\; \eta \; 2\; -\; B\; 0\; \eta \; 4\; +\; C\; 0\; \eta \; 6\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; F\; (T,\; \backslash \; eta)\; =\; A\; (T)\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; -B\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{4\}\; +\; C\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{6\}\}$

где снова $A\; (T)\; =\; A\; 0\; (T\; -\; T\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (T)\; =\; A\_\; \{0\}\; (T-T\_\; \{c\})\}$. При некоторой температуре перехода $T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{*\}\}$произойдет изменение параметра порядка с нуля на ненулевое значение. При высоких температурах, превышающих некоторую "температуру перехода" $T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{*\}\}$, этот функционал свободной энергии везде положителен и вогнут вверх, а параметр порядка равен нулю (поскольку это минимизирует свободную энергию). При температуре перехода параметр порядка больше не будет равным нулю; кроме того, это произойдет, когда свободная энергия равна нулю (как и $\eta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 0\}$решение), и, кроме того, эта точка должна быть локальным минимумом, чтобы быть устойчивым решением. Экстремизация свободной энергии по отношению к параметру порядка для этих условий дает два уравнения:

$0\; =\; A\; (T)\; \eta \; 2\; -\; В\; 0\; \eta \; 4\; +\; С\; 0\; \eta \; 6\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; =\; A\; (T)\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; -B\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{4\}\; +\; C\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{6\}\}$

$0\; знак\; равно\; 2\; A\; (T)\; \eta \; -\; 4\; B\; 0\; \eta \; 3\; +\; 6\; C\; 0\; \eta \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; 2A\; (T)\; \backslash \; eta\; -4B\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{3\}\; +\; 6C\_\; \{0\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{5\}\}$

Фазовый переход первого рода, продемонстрированный в разрыве параметра порядка как функции температуры

, который выполняется, когда $\eta \; 2\; (T\; \ast )\; =\; В\; 0\; 2\; С\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; (T\; \_\; \{*\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{0\}\}\; \{2C\_\; \{0\}\}\}\}$. Используя те же уравнения, также требуется, чтобы $A\; (T\; \ast )\; =\; A\; 0\; (T\; \ast \; -\; T\; c)\; =\; B\; 0\; 2/4\; C\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (T\; \_\; \{*\})\; =\; A\_\; \{0\; \}\; (T\; \_\; \{*\}\; -\; T\_\; \{c\})\; =\; B\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; /\; 4C\_\; \{0\}\}$. Отсюда два важных результата; во-первых, параметр порядка претерпевает скачок при этой температуре перехода (поскольку он равен нулю прямо над $T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{*\}\}$, но внезапно прыгает прямо под $T\; \ast \; \{\; \backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{*\}\}$), характерная для перехода первого рода. Кроме того, температура перехода $T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{*\}\}$, при которой изменяется параметр порядка, не совпадает с критической температурой $T\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{c\}\; \}$системы, где $A\; (T\; c)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (T\_\; \{c\})\; =\; 0\}$.

При температурах ниже температуры перехода параметр порядка задается как

$\eta \; 2\; =\; B\; 0\; 3\; C\; 0\; [1\; +\; 1-3\; A\; (T)\; C\; 0\; B\; 0\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{0\}\; \}\; \{3C\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; [1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3A\; (T)\; C\_\; \{0\}\}\; \{B\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

, который нанесен справа. Это показывает явный разрыв, связанный с параметром порядка как функцией температуры. Чтобы дополнительно продемонстрировать, что переход является первым родом, можно показать, что свободная энергия для этого параметра порядка непрерывна при температуре перехода $T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{*\}\}$, но его первая производная страдает разрывом.

Применения

Экспериментально было известно, что кривая сосуществования жидкость-газ и кривая намагничивания ферромагнетика демонстрируют масштабное соотношение вида $|\; Т\; -\; Т\; с\; |\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; T-T\_\; \{c\}\; |\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$, где $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$загадочным образом был одинаковым для обеих систем. Это феномен универсальности. Также было известно, что простые модели жидкость-газ точно отображаются в простые магнитные модели, что подразумевает, что две системы обладают одинаковой симметрией. Затем из теории Ландау следовало, почему эти две явно несопоставимые системы должны иметь одинаковые критические показатели, несмотря на разные микроскопические параметры. Теперь известно, что феномен универсальности возникает по другим причинам (см. Ренормализационная группа ). Фактически, теория Ландау предсказывает неверные критические показатели для систем Изинга и жидкость-газ.

Великое достоинство теории Ландау состоит в том, что она дает конкретные предсказания того, какое неаналитическое поведение следует наблюдать, когда лежащая в основе свободная энергия является аналитической. Тогда вся неаналитичность в критической точке, критических показателях, объясняется тем, что равновесное значение параметра порядка изменяется неаналитически, как квадратный корень, всякий раз, когда свободная энергия теряет свой уникальный минимум.

Расширение теории Ландау с включением флуктуаций параметра порядка показывает, что теория Ландау строго справедлива только вблизи критических точек обычных систем с пространственными размерами больше 4. Это и есть, и может быть намного больше. чем четыре при более точно настроенном фазовом переходе. При анализе изотропной точки Лифшица критический размер равен 8. Это потому, что теория Ландау является теорией среднего поля и не включает дальнодействующие корреляции.

Эта теория не объясняет неаналитичность в критической точке, но применительно к сверхтекучим и сверхпроводниковым фазовым переходам теория Ландау послужила источником вдохновения для другой теории, Гинзбурга – Ландау. теория из сверхпроводимости.

Рассмотрим приведенную выше свободную энергию модели Изинга. Предположим, что параметр порядка $\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$и внешнее магнитное поле, $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, могут иметь пространственные вариации. Теперь можно предположить, что свободная энергия системы принимает следующую модифицированную форму:

$F:\; =\; \int \; d\; D\; x\; (a\; (T)\; +\; r\; (T)\; \psi \; 2\; (x)\; +\; s\; (T)\; \psi \; 4\; (Икс)\; +\; е\; (T)\; (\nabla \; \psi \; (Икс))\; 2\; +\; час\; (Икс)\; \psi \; (Икс)\; +\; О\; (\psi \; 6;\; (\nabla \; \psi )\; 4))\; \{\backslash \; Displaystyle\; F:\; =\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{D\; \}\; x\; \backslash \; \backslash \; left\; (a\; (T)\; +\; r\; (T)\; \backslash \; psi\; ^\; \{2\}\; (x)\; +\; s\; (T)\; \backslash \; psi\; ^\; \{4\}\; (x)\; \backslash \; +\; f\; (T)\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; psi\; (\; x))\; ^\; \{2\}\; \backslash \; +\; h\; (x)\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; \backslash \; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (\backslash \; psi\; ^\; \{6\};\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; psi)\; ^\; \{4\})\; \backslash \; right)\; \}$

где $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$- общая пространственная размерность. Итак,

$⟨\psi \; (x)⟩:\; =\; Tr\; \psi \; (x)\; e\; -\; \beta \; HZ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; rangle:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{Tr\}\}\; \backslash \; \backslash \; psi\; (x)\; \{\backslash \; rm\; \{e\}\}\; ^\; \{-\; \backslash \; beta\; H\}\}\; \{Z\}\}\}$

Предположим, что для локализованного внешнего магнитного возмущения $h\; (x)\; \to \; 0\; +\; h\; 0\; \delta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; 0\; +\; h\_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; (x)\}$, параметр порядка принимает форму $\psi \; (x)\; \to \; \psi \; 0\; +\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; phi\; (x)\}$. Тогда

$\delta \; ⟨\psi \; (x)⟩\; \delta \; h\; (0)\; =\; \varphi \; (x)\; h\; 0\; =\; \beta \; (⟨\psi \; (x)\; \psi \; (0)⟩\; -\; ⟨\psi \; (x)⟩\; ⟨\psi \; (0)⟩)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; delta\; h\; (0)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; (x)\}\; \{h\_\; \{0\}\}\}\; =\; \backslash \; beta\; \backslash \; left\; (\backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle\; -\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (x)\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right)\}$

То есть колебание $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\}$в параметре порядка соответствует корреляции порядка-порядка. Следовательно, пренебрежение этой флуктуацией (как и в более раннем подходе среднего поля) соответствует пренебрежению корреляцией порядка-порядка, которая расходится вблизи критической точки.

Можно также найти для $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\}$, откуда показатель масштабирования, $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$, для длины корреляции $\xi \; \sim \; (T\; -\; T\; c)\; -\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \backslash \; sim\; (T-T\_\; \{c\})\; ^\; \{-\; \backslash \; nu\}\}$Можете вывести. Исходя из этого, критерий Гинзбурга для применимости теории Ландау среднего поля Изинга (без дальнодействующей корреляции) может быть рассчитан как:

$D\; \ge \; 2\; +\; 2\; \beta \; \nu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; geq\; 2\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; nu\}\}\}$

В нашей текущей модели Изинга теория Ландау среднего поля дает $\beta \; =\; 1/2\; =\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1/2\; =\; \backslash \; nu\}$и поэтому она (теория Ландау среднего поля Изинга) верна только для пространственной размерности больше или равной 4 (при предельных значениях $D\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; 4\}$, есть небольшие исправления в показателях степени). Эту модифицированную версию теории Ландау среднего поля иногда также называют теорией Ландау-Гинзбурга фазовых переходов Изинга. В качестве пояснения, существует также теория Ландау-Гинзбурга, специфичная для фазового перехода сверхпроводимости, которая также включает флуктуации.

• теория Гинзбурга – Ландау
• критерий Гинзбурга

1. ^Лев Д. Ландау (1937). «К теории фазовых переходов» (PDF). Ж. Эксп. Теор. Физ. 7 : 19-32. Архивировано из оригинала (PDF) 14 декабря 2015 г.
2. ^Landau, L.D.; Лифшиц, Э.М. (2013). Статистическая физика. 5 . Эльзевир. ISBN 978-0080570464.
3. ^Tolédano, J.C.; Толедано, П. (1987). «Глава 5: Переходы первого порядка». Теория фазовых переходов Ландау. Всемирная научная издательская компания. ISBN 9813103949.
4. ^Stoof, H.T.C.; Gubbels, K.B.; Дикершайд, Д.Б.М. (2009). Ультрахолодные квантовые поля. Springer. ISBN 978-1-4020-8763-9.
5. ^«Статистическая физика равновесия» Майкла Плишке, Биргера Бергерсена, раздел 3.10, 3-е изд.

• Ландау Л.Д. Сборник статей (Наука, Москва, 1969)
• Майкл К. Кросс, Теория Ландау фазовых переходов второго рода, [1] (конспекты лекций по статистической механике Калифорнийского технологического института).
• Юхновский И.Р., Фазовые переходы второго порядка - метод коллективных переменных, World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6