Модель Поттса

Модель в статистической механике, обобщающая модель Изинга

В статистической механике, Модель Поттса, обобщение модели Изинга, представляет собой модель взаимодействия спинов на кристаллической решетке. Изучая модель Поттса, можно получить представление о поведении ферромагнетиков и некоторых других явлениях физики твердого тела. Сила модели Поттса не столько в том, что она хорошо моделирует эти физические системы; дело скорее в том, что одномерный случай точно разрешим и что он имеет богатую математическую формулировку, которая была тщательно изучена.

Модель названа в честь Ренфри Поттса, который описал модель ближе к концу своей докторской диссертации 1951 года. Тезис. Модель была связана с «планарной моделью Поттса» или «моделью часов», которую ему предложил его советник Кирилл Домб. Планарная модель Поттса с четырьмя состояниями иногда известна как модель Ашкина – Теллера, в честь Юлиуса Ашкина и Эдварда Теллера, который рассматривал эквивалентную модель в 1943 году.

Модель Поттса связана и обобщена несколькими другими моделями, включая XY-модель, модель Гейзенберга и N-векторную модель.. Модель Поттса с бесконечным радиусом действия известна как. Когда спины взаимодействуют неабелевым способом, модель связана с моделью, которая используется для обсуждения ограничения в квантовой хромодинамике. Обобщения модели Поттса также использовались для моделирования роста зерен в металлах и пен. Дальнейшее обобщение этих методов с помощью и, известное как клеточная модель Поттса, было использовано для моделирования статических и кинетических явлений пены и биологического морфогенеза.

• 1 Физическое описание
• 2 Обсуждение
• 3 Теоретическое описание меры
  • 3.1 Топология пространства состояний
  • 3.2 Энергия взаимодействия
  • 3.3 Функция распределения и мера
  • 3.4 Решение в свободном поле
  • 3.5 Модель взаимодействия
• 4 Модель Поттса в обработке сигналов и изображений
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Модель Поттса состоит из спинов, которые размещены на решетка ; решетка обычно рассматривается как двумерная прямоугольная евклидова решетка, но часто ее обобщают на другие измерения или другие решетки. Первоначально Домб предположил, что вращение принимает одно из q возможных значений, равномерно распределенных по окружности, под углами

$\theta \; n\; =\; 2\; \pi \; nq,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; n\}\; \{q\}\},\}$

где n = 0, 1,..., q-1 и что взаимодействие гамильтониан определяется как

$H\; c\; =\; J\; с\; \sum \; (я,\; j)\; соз\; \; (\theta \; si\; -\; \theta \; sj)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{c\}\; =\; J\_\; \{c\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{(i,\; j)\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; theta\; \_\; \{s\_\; \{i\; \}\}\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{s\_\; \{j\}\}\; \backslash \; right)\}$

с суммой, работающей по парам ближайших соседей (i, j) по всем узлам решетки. Цвета сайта s i принимают значения в {1,..., q}. Здесь J c - константа связи, определяющая силу взаимодействия. Эта модель теперь известна как векторная модель Поттса или модель часов . Поттс предоставил место в двух измерениях фазового перехода для q = 3 и 4. В пределе q → ∞ это становится XY-моделью.

, которая теперь известна как стандартная модель Поттса. был предложен Поттсом в ходе его исследования выше и использует более простой гамильтониан, задаваемый следующим образом:

$H\; p\; =\; -\; J\; p\; \sum \; (i,\; j)\; \delta \; (si,\; sj)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{\; p\}\; =\; -\; J\_\; \{p\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{(i,\; j)\}\; \backslash \; delta\; (s\_\; \{i\},\; s\_\; \{j\})\; \backslash ,\}$

где δ (s i, s j) - это дельта Кронекера, которая равна единице, когда s i = s j, и нулю в противном случае.

Стандартная модель Поттса с q = 2 эквивалентна модели Изинга и векторной модели Поттса с двумя состояниями, где J p = −2J c. Стандартная модель Поттса с q = 3 эквивалентна векторной модели Поттса с тремя состояниями, где J p = - (3/2) J c.

Обычным обобщением является введение внешнего "магнитного поля" член h, и перемещая параметры внутри сумм и позволяя им варьироваться по модели:

$\beta \; H\; g\; =\; -\; \beta \; \sum \; (i,\; j)\; J\; ij\; \delta \; (si,\; sj)\; -\; \sum \; ihisi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; H\_\; \{g\}\; =\; -\; \backslash \; beta\; \backslash \; sum\; \_\; \{(i,\; j)\}\; J\_\; \{ij\}\; \backslash \; delta\; (s\_\; \{i\},\; s\_\; \{j\})\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; h\_\; \{i\}\; s\_\; \{i\}\; \backslash ,\}$

, где β = 1 / kT обратная температура, k постоянная Больцмана и T температура. Суммирование может проходить через более удаленных соседей по решетке или фактически может быть бесконечной силой.

В разных статьях могут использоваться несколько разные соглашения, которые могут изменять H и связанную с ним статистическую сумму с помощью аддитивных или мультипликативных констант.

Несмотря на свою простоту в качестве модели физической системы, модель Поттса полезна в качестве модельной системы для исследования фазовых переходов. Например, двумерные решетки с J>0 демонстрируют переход первого рода, если q>4. Когда q ≤ 4, наблюдается непрерывный переход, как в модели Изинга, где q = 2. Дальнейшее использование можно найти через связь модели с проблемами перколяции, а также полиномами Тутта и хроматическими полиномами, найденными в комбинаторике.

Модель тесно связана с моделью случайных кластеров Fortuin- Kasteleyn , другой моделью в статистической механике. Понимание этой взаимосвязи помогло разработать эффективные методы Монте-Карло с цепью Маркова для численного исследования модели при малых q.

Для целых значений q, q ≥ 3, модель отображает явление «межфазной адсорбции» с интригующими критическими свойствами смачивания при фиксации противоположных границ в двух разных состояниях.

Ферромагнитная модель Поттса на квадратной решетке имеет фазовый переход при $\beta \; J\; =\; ln\; \; (1\; +\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; J\; =\; \backslash \; ln\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{q\}\}))\}$для $q\; \ge \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; geq\; 4\}$или $q\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; 2\}$. Ожидается, что формула верна и для $q\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; 3\}$, хотя строгое доказательство этого предположения все еще отсутствует.

Одномерная модель Поттса может быть выражена в терминах субдвига конечного типа и, таким образом, получает доступ ко всем математическим методам, связанным с этим формализмом. В частности, ее можно точно решить с помощью техники операторов переноса. (Однако Эрнст Исинг использовал комбинаторные методы для решения модели Изинга, которая является «предком» модели Поттса, в своей докторской диссертации 1924 года). Этот раздел развивает математический аппарат, основанный на теории меры, лежащий в основе этого решения.

Хотя приведенный ниже пример разработан для одномерного случая, многие аргументы и почти все обозначения легко обобщаются на любое количество измерений. Часть формализма также достаточно широка, чтобы работать со связанными моделями, такими как XY-модель, модель Гейзенберга и N-векторная модель.

Топология пространства. состояний

Пусть Q = {1,..., q} - конечный набор символов, и пусть

$QZ\; =\; \{s\; =\; (\dots ,\; s\; -\; 1,\; s\; 0,\; s\; 1,\; \dots ):\; Sk\; \in \; Q\; \forall \; k\; \in \; Z\}\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}\; =\; \backslash \; \{s\; =\; (\backslash \; ldots,\; s\; \_\; \{-\; 1\},\; s\_\; \{0\},\; s\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots):\; s\_\; \{k\}\; \backslash \; in\; Q\; \backslash ;\; \backslash \; forall\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \}\}$

- множество всех бибесконечных строк значений из множества Q. Этот набор называется полная смена. Для определения модели Поттса может использоваться либо все это пространство, либо его определенное подмножество, субсдвиг конечного типа. Сдвиги получили это название, потому что в этом пространстве существует естественный оператор оператор сдвига τ: Q → Q, действующий как

$\tau \; (s)\; k\; =\; sk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; (s)\; \_\; \{k\}\; =\; s\_\; \{k\; +\; 1\}\}$

Этот набор имеет естественную топологию продукта ; базой для этой топологии являются цилиндрические множества

$C\; m\; [\xi \; 0,\dots ,\; \xi \; k]\; =\; \{s\; \in \; QZ:\; sm\; =\; \xi \; 0,\dots ,\; sm\; +\; k\; =\; \xi \; k\}\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{m\}\; [\backslash \; xi\; \_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; xi\; \_\; \{k\}]\; =\; \backslash \; \{s\; \backslash \; in\; Q\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{Z\}\}:\; s\_\; \{m\}\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{m\; +\; k\}\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{k\}\; \backslash \}\}$

то есть набор всех возможных строк, в которых k + 1 спинов точно соответствует заданному, конкретному набору значений ξ 0,..., ξ k. Явные представления для наборов цилиндров можно получить, отметив, что строка значений соответствует q-адическому числу, однако естественная топология q-адических чисел более тонкая, чем топология приведенного выше произведения.

Энергия взаимодействия

Взаимодействие между спинами тогда задается непрерывной функцией V: Q → R на этой топологии. Подойдет любая непрерывная функция; например,

$V\; (s)\; =\; -\; J\; \delta \; (s\; 0,\; s\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (s)\; =\; -\; J\; \backslash \; delta\; (s\_\; \{0\},\; s\_\; \{1\})\}$

. для описания взаимодействия между ближайшими соседями. Конечно, разные функции дают разные взаимодействия; поэтому функция s 0, s 1 и s 2 будет описывать взаимодействие следующего ближайшего соседа. Функция V дает энергию взаимодействия между набором спинов; это не гамильтониан, но он используется для его построения. Аргументом функции V является элемент s ∈ Q, то есть бесконечная цепочка спинов. В приведенном выше примере функция V просто выбрала два спина из бесконечной строки: значения s 0 и s 1. В общем, функция V может зависеть от некоторых или всех спинов; в настоящее время точно решаются только те, которые зависят от конечного числа.

Определите функцию H n : Q → R как

$H\; n\; (s)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; V\; (\tau \; ks)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; V\; (\backslash \; tau\; ^\; \{k\}\; s)\}$

Эта функция может состоять из двух частей: собственная энергия конфигурация [s 0, s 1,..., s n ] спинов, плюс энергия взаимодействия этого набора и всех других спинов в решетка. Предел n → ∞ этой функции есть гамильтониан системы; для конечного n их иногда называют гамильтонианом конечного состояния .

функцией распределения и мерой

Соответствующая статистическая сумма конечного состояния задается как

$Z\; n\; (\; V)\; знак\; равно\; \sum \; s\; 0,\dots ,\; sn\; \in \; Q\; ехр\; \; (-\; \beta \; H\; n\; (C\; 0\; [s\; 0,\; s\; 1,\dots ,\; sn]))\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; (V)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; s\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; Q\}\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; beta\; H\_\; \{n\}\; (C\_\; \{0\}\; [s\_\; \{0\},\; s\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\}])))\}$

, где C 0 - это наборы цилиндров, определенные выше. Здесь β = 1 / kT, где k - постоянная Больцмана, а T - температура. В математике очень часто задают β = 1, так как его легко восстановить, изменив масштаб энергии взаимодействия. Эта статистическая сумма записывается как функция взаимодействия V, чтобы подчеркнуть, что это только функция взаимодействия, а не какой-либо конкретной конфигурации спинов. Статистическая сумма вместе с гамильтонианом используются для определения меры на борелевской σ-алгебре следующим образом: мера множества цилиндров, то есть элемента базы, задается как

$\mu \; (C\; k\; [s\; 0,\; s\; 1,\dots ,\; sn])\; =\; 1\; Z\; n\; (V)\; exp\; \; (-\; \beta \; H\; n\; (C\; k\; [s\; 0,\; s\; 1,\dots ,\; sn]))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (C\_\; \{k\}\; [s\_\; \{0\},\; s\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\}])\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\_\; \{n\}\; (V)\}\}\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; бета\; H\_\; \{n\}\; (C\_\; \{k\}\; [s\_\; \{0\},\; s\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\}]))\}$

Затем можно расширить счетной аддитивностью до полной σ-алгебры. Эта мера является вероятностной мерой ; он дает вероятность появления данной конфигурации в конфигурационном пространстве Q. Наделив конфигурационное пространство вероятностной мерой, построенной таким образом из гамильтониана, конфигурационное пространство превращается в канонический ансамбль.

Большинство термодинамических свойств можно выразить непосредственно через статистическую сумму. Так, например, свободная энергия Гельмгольца задается как

$A\; n\; (V)\; =\; -\; k\; T\; log\; \; Z\; n\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; (V)\; =\; -\; kT\; \backslash \; log\; Z\_\; \{n\}\; (V)\}$

Еще одна важная связанная величина - это

$P\; (V)\; =\; lim\; n\; \to \; \infty \; 1\; n\; log\; \; Z\; n\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (V)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; log\; Z\_\; \{n\}\; (V)\}$

, который будет отображаться как логарифм ведущего собственного значения оператор передачи решения.

Решение со свободным полем

Простейшей моделью является модель, в которой взаимодействие отсутствует вообще, поэтому V = c и H n = c (с константой c и независимо от конфигурации спина). Статистическая сумма становится

$Z\; n\; (c)\; =\; e\; -\; c\; \beta \; \sum \; s\; 0,\dots ,\; sn\; \in \; Q\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; (c)\; =\; e\; ^\; \{-\; c\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; s\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; s\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; Q\}\; 1\}$

Если все состояния разрешены, то есть базовый набор состояний задается полным сдвигом, тогда Сумма может быть тривиально вычислена как

$Z\; n\; (c)\; =\; e\; -\; c\; \beta \; qn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; (c)\; =\; e\; ^\; \{-\; c\; \backslash \; beta\}\; q\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}$

Если соседние спины разрешены только в определенных конкретных конфигурациях, то пространство состояний задается субсдвигом конечного типа. Тогда статистическая сумма может быть записана как

$Z\; n\; (c)\; =\; e\; -\; c\; \beta \; |\; Зафиксируем\; \tau \; n\; |\; знак\; равно\; е\; -\; с\; \beta \; Тр\; А\; n\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\_\; \{п\}\; (с)\; =\; е\; ^\; \{-\; с\; \backslash \; бета\}\; |\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Fix\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; тау\; ^\; \{n\}\; |\; =\; е\; ^\; \{-\; с\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Tr\}\}\; A\; ^\; \{n\}\}$

, где card - это мощность или количество набора, а Fix - набор фиксированных точек функции повторного сдвига:

$Fix\; \tau \; n\; =\; \{s\; \in \; QZ:\; \tau \; ns\; =\; s\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Fix\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; tau\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; \{s\; \backslash \; in\; Q\; ^\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\}:\; \backslash \; tau\; ^\; \{n\}\; s\; =\; s\; \backslash \}\}$

Матрица A q × q - это матрица смежности, определяющая, какие соседние значения вращения разрешены.

Модель взаимодействия

Простейшим случаем модели взаимодействия является модель Изинга, в которой спин может принимать только одно из двух значений, s n ∈ {−1, 1} и взаимодействуют только спины ближайших соседей. Потенциал взаимодействия определяется как

$V\; (\sigma )\; =\; -\; J\; ps\; 0\; s\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; sigma)\; =\; -\; J\_\; \{p\}\; s\_\; \{0\}\; s\_\; \{1\}\; \backslash ,\}$

Этот потенциал может быть записано в матрицу 2 × 2 с матричными элементами

$M\; \sigma \; \sigma \; \prime \; =\; exp\; \; (\beta \; J\; p\; \sigma \; \sigma \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; sigma\; \text{'}\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; J\_\; \{p\}\; \backslash \; sigma\; \backslash \; sigma\; \text{'}\backslash \; right)\}$

с индексом σ, σ ′ ∈ {−1, 1}. Тогда функция распределения задается следующим образом:

$Z\; n\; (V)\; =\; Tr\; M\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{n\}\; (V)\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Tr\}\}\; \backslash ,\; M\; ^\; \{n\}\}$

Общий Решение для произвольного числа спинов и произвольного взаимодействия с конечным радиусом действия дается той же общей формой. В этом случае точное выражение для матрицы M немного сложнее.

Цель решения такой модели, как модель Поттса, состоит в том, чтобы дать точное выражение в замкнутой форме для статистической суммы и выражение для состояний Гиббса или состояния равновесия в пределе n → ∞, термодинамический предел.

Модель Поттса имеет приложения для реконструкции сигналов. Предположим, что нам дано зашумленное наблюдение кусочно-постоянного сигнала g в R . Чтобы восстановить g из зашумленного вектора наблюдения f в R, нужно искать минимизатор соответствующей обратной задачи, функционал Л-Поттса P γ (u), который определяется как

$P\; \gamma \; (u)\; =\; \gamma \; \Vert \; \nabla \; u\; \Vert \; 0\; +\; \Vert \; u\; -\; f\; \Vert \; pp\; =\; \gamma \; \#\; \{i:\; ui\; \ne \; ui\; +\; 1\}\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; |\; u\; i\; -\; f\; i\; |\; п\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; (u)\; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; |\; \backslash \; nabla\; u\; \backslash \; |\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; |\; uf\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; ^\; \{p\}\; =\; \backslash \; gamma\; \backslash \; \#\; \backslash \; \{i:\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; neq\; u\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; u\_\; \{i\}\; -f\_\; \{i\}\; |\; ^\; \{p\}\}$

Штраф за прыжок $\Vert \; \nabla \; u\; \Vert \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; nabla\; u\; \backslash \; |\; \_\; \{0\}\}$вынуждает кусочно-постоянные решения и член данных $\Vert \; u\; -\; f\; \Vert \; pp\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; uf\; \backslash \; |\; \_\; \{p\}\; ^\; \{p\}\}$связывает минимизирующего кандидата u с данными f. Параметр γ>0 контролирует компромисс между регулярностью и точностью данных. Существуют быстрые алгоритмы точной минимизации функционала L и L-Поттса (Friedrich, Kempe, Liebscher, Winkler, 2008).

В обработке изображений функционал Поттса связан с проблемой сегментации. Однако в двух измерениях проблема NP-трудная (Бойков, Векслер, Забих, 2001).

• Модель случайного кластера
• Модель Изинга с квадратной решеткой
• Минимальные модели

• Ашкин, Джулиус; Теллер, Эдвард (1943). «Статистика двумерных решеток с четырьмя компонентами». Phys. Ред. 64(5–6): 178–184. Bibcode : 1943PhRv... 64..178A. doi : 10.1103 / PhysRev.64.178.
• Гранер, Франсуа; Стекольщик, Джеймс А. (1992). «Моделирование биологической сортировки клеток с использованием двумерной расширенной модели Поттса». Phys. Rev. Lett. 69(13): 2013–2016. Bibcode : 1992PhRvL..69.2013G. doi : 10.1103 / PhysRevLett.69.2013. PMID 10046374.
• Поттс, Ренфри Б. (1952). «Некоторые обобщенные преобразования порядка-беспорядка». Mathematical Proceedings. 48(1): 106–109. Bibcode : 1952PCPS... 48..106P. doi : 10.1017 / S0305004100027419.
• Ву, Фа-Юэ (1982). «Модель Поттса». Ред. Мод. Phys. 54(1): 235–268. Bibcode : 1982RvMP... 54..235W. doi : 10.1103 / RevModPhys.54.235.
• Фридрих, Ф.; Kempe, A.; Либшер, В.; Винклер, Г. (2008). «М-оценка со штрафом за сложность: быстрое вычисление». Журнал вычислительной и графической статистики. 17 (1): 201–224. doi : 10.1198 / 106186008X285591. MR 2424802. S2CID 117951377.
• Бойков Ю.А. и другие. (2001). «Быстрая приблизительная минимизация энергии с помощью разрезов графика». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 23 (11): 1222–1239. doi : 10.1109 / 34.969114.
• Селке, Уолтер ; (1983). «Межфазная адсорбция в планарных моделях Поттса». Zeitschrift für Physik B. 50 (2): 113–116. Bibcode : 1983ZPhyB..50..113S. DOI : 10.1007 / BF01304093. S2CID 121502987.

• Хаггард, Гэри; Пирс, Дэвид Дж.; Ройл, Гордон. «Код для эффективного вычисления полиномов Тутта, хроматики и потока».