Propagator

Функция в квантовой теории поля, показывающая амплитуды вероятности движущихся частиц

В квантовой механике и квантовая теория поля, пропагатор - это функция, которая определяет амплитуду вероятности для частицы перемещаться из одного места в другое в заданное время или перемещаться вместе с определенная энергия и импульс. В диаграммах Фейнмана, которые служат для расчета скорости столкновений в квантовой теории поля, виртуальные частицы вносят свой пропагатор в скорость рассеяния событие, описанное соответствующей диаграммой. Их также можно рассматривать как обратное волнового оператора , соответствующего частице, и поэтому их часто называют (причинными) функциями Грина (называемыми " причинно ", чтобы отличить его от эллиптической лапласианской функции Грина).

• 1 Нерелятивистские пропагаторы
  • 1.1 Основные примеры: пропагатор свободной частицы и гармонический осциллятор
• 2 Релятивистские пропагаторы
  • 2.1 Скаляр пропагатор
  • 2.2 Пространство позиций
    • 2.2.1 Причинные пропагаторы
      • 2.2.1.1 Запаздывающий пропагатор
      • 2.2.1.2 Расширенный пропагатор
    • 2.2.2 Фейнмановский пропагатор
  • 2.3 Импульсный пространственный пропагатор
  • 2.4 Быстрее света?
    • 2.4.1 Объяснение с использованием пределов
  • 2.5 Распространители в диаграммах Фейнмана
  • 2.6 Другие теории
    • 2.6.1 Спин ⁄ 2
    • 2.6.2 Спин 1
  • 2.7 Пропагатор гравитона
• 3 Связанные сингулярные функции
  • 3.1 Решения уравнения Клейна – Гордона
    • 3.1.1 Функция Паули – Джордана
    • 3.1.2 Положительные и отрицательные частотные части (обрезанные пропагаторы)
    • 3.1.3 Вспомогательные Яарная функция
  • 3.2 Функции Грина для уравнения Клейна – Гордона
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

В нерелятивистской квантовой механике, пропагатор дает амплитуду вероятности для частицы перемещаться из одной пространственной точки в один момент времени в другую пространственную точку в более позднее время.

Рассмотрим систему с гамильтонианом H. Функция Грина (фундаментальное решение ) для уравнения Шредингера - это функция

$G\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; 1\; i\; \hslash \; \Theta \; (t\; -\; t\; \prime )\; К\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x,\; t;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{я\; \backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; Theta\; (t-t\; \text{'})\; K\; (x,\; t;\; x\text{'},\; t\; \text{'})\}$

, удовлетворяющее

$(i\; \hslash \; \partial \; \partial \; t\; -\; H\; x)\; G\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; \delta \; (Икс\; -\; Икс\; \text{'})\; \delta \; (T\; -\; T\text{'}),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (я\; \backslash \; HBAR\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; H\_\; \{x\}\; \backslash \; right)\; G\; (х,\; т;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; \backslash \; delta\; (x-x\; \text{'})\; \backslash \; delta\; (t-t\text{'})\; ~,\}$

где H x обозначает гамильтониан, записанный в координатах x, δ (x) обозначает дельта-функцию Дирака, Θ (t) - это ступенчатая функция Хевисайда, а K (x, t; x ′, t ′) - ядро ​​ указанного выше дифференциального оператора Шредингера в больших скобках. Термин пропагатор иногда используется в этом контексте для обозначения G, а иногда и K. В этой статье этот термин будет использоваться для обозначения K (см. принцип Дюамеля ).

Этот пропагатор можно также записать как амплитуду перехода

$K\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; ⟨x\; \mid \; U\; ^\; (t,\; t\; \prime )\; \mid \; x\; \prime ⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (x,\; t;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; mid\; \{\backslash \; hat\; \{U\}\}\; (t,\; t\; \text{'})\; \backslash \; mid\; x\text{'}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle,\}$

где Û ( t, t ′) является унитарным оператором эволюции во времени для системы, переводящей состояния в момент времени t в состояния во время t. Обратите внимание на начальное условие, обеспечиваемое $lim\; t\; \to \; t\; \prime \; K\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; \delta \; (x\; -\; x\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; t\; \text{'}\}\; K\; (x,\; t;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; \backslash \; delta\; (x-x\; \text{'})\}$.

Квантовомеханический пропагатор также может быть найден с помощью интеграла по путям,

$K\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; знак\; равно\; \int \; ехр\; \; [я\; \hslash \; \int \; tt\; \prime \; L\; (q\; \dot{},\; q,\; t)\; dt]\; D\; [q\; (t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (x,\; t;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{t\; \text{'}\}\; L\; (\{\backslash \; dot\; \{q\}\},\; q,\; t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; right]\; D\; [q\; (\; t)]\}$

где граничные условия интеграла по путям включают q (t) = x, q (t ′) = x ′. Здесь L обозначает лагранжиан системы. Пути, которые суммируются, перемещаются только вперед во времени и интегрируются с дифференциалом $D\; [q\; (t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; [q\; (t)]\}$, который следует пути в время.

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор позволяет найти волновую функцию системы с учетом начальной волновой функции и временного интервала. Новая волновая функция задается уравнением

$\psi \; (x,\; t)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \psi \; (x\; \prime ,\; t\; \prime )\; K\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; d\; x\; \prime .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; psi\; (x\; \text{'},\; t\text{'})\; K\; (x,\; t;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; \backslash ,\; dx\; \text{'}~.\}$

Если K (x, t; x ′, t ′) зависит только от разности x - x ′, это свертка исходной волновой функции и пропагатора.

Основные примеры: пропагатор свободной частицы и гармонический осциллятор

Для трансляционно-инвариантной системы во времени пропагатор зависит только от разницы во времени t - t ′, поэтому его можно переписать как

$K\; (x,\; t;\; x\; \prime ,\; t\; \prime )\; =\; K\; (x,\; x\; \prime ;\; t\; -\; t\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (x,\; t;\; x\; \text{'},\; t\text{'})\; =\; K\; (x,\; x\; \text{'};\; t-t\text{'}).\}$

пропагатор одномерной свободной частицы, можно получить из, например, интеграла по путям, тогда

$K\; (x,\; x\; \prime ;\; t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; +\; \infty \; dkeik\; (x\; -\; x\; \prime )\; e\; -\; i\; \hslash \; k\; 2\; т\; 2\; м\; знак\; равно\; (м\; 2\; \pi \; я\; т)\; 1\; 2\; е\; -\; м\; (х\; -\; х\; \text{'})\; 2\; 2\; я\; \hslash \; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (x,\; x\; \text{'};\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; dk\; \backslash ,\; e\; ^\; \{ik\; (x-x\; \text{'})\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; hbar\; k\; ^\; \{2\}\; t\}\; \{2m\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; hbar\; t\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{m\; (x-x\; \text{'})\; ^\; \{2\}\}\; \{2i\; \backslash \; hbar\; t\}\}\}.\}$

Аналогично, пропагатор единицы -мерный квантовый гармонический осциллятор - это ядро ​​Мелера,

$K\; (x,\; x\; \prime ;\; t)\; =\; (m\; \omega \; 2\; \pi \; i\; \hslash \; sin\; \; \omega \; t)\; 1\; 2\; exp\; \; (-\; m\; \omega \; ((x\; 2\; +\; x\; \prime \; 2)\; cos\; \; \omega \; t\; -\; 2\; xx\; \prime )\; 2\; i\; \hslash \; sin\; \; \omega \; t).\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (х,\; х\; \text{'};\; т)\; =\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{м\; \backslash \; омега\}\; \{2\; \backslash \; пи\; я\; \backslash \; hbar\; \backslash \; грех\; \backslash \; омега\; т\}\}\; \backslash \; право)\; ^\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{m\; \backslash \; omega\; ((x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; \text{'}^\; \{2\})\; \backslash \; cos\; \backslash \; omega\; t-2xx\text{'})\}\; \{2i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; sin\; \backslash \; omega\; t\}\; \}\; \backslash \; right)\; ~.\}$

Последнее может быть получено из предыдущего результата о свободных частицах при использовании тождества группы Ли SU (2) ван Кортрика,

$exp\; \; (-\; it\; \hslash \; (1\; 2\; mp\; 2\; +\; 1\; 2\; м\; \omega \; 2\; Икс\; 2))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{it\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; ~\; \{\backslash \; mathsf\; \{p\})\; \}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ~\; m\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; mathsf\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

$=\; exp\; \; (-\; im\; \omega \; 2\; \hslash \; x\; 2\; tan\; \; (\omega \; t\; 2))\; exp\; \; (-\; i\; 2\; m\; \omega \; \hslash \; p\; 2\; sin\; \; (\omega \; t))\; exp\; \; (-\; im\; \omega \; 2\; \hslash \; x\; 2\; tan\; \; (\omega \; t\; 2)),\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{im\; \backslash \; omega\}\; \{2\; \backslash \; hbar\}\}\; ~\; \{\backslash \; mathsf\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; t\})\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{2m\; \backslash \; omega\; \backslash \; hbar\}\}\; ~\; \{\backslash \; mathsf\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{im\; \backslash \; omega\}\; \{2\; \backslash \; hbar\}\}\; ~\; \{\backslash \; mathsf\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; tan\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; t\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ~,\}$

действительно для работы rs $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{x\}\}\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{p\}\}\}$удовлетворяющие соотношению Гейзенберга $[x,\; p]\; =\; я\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; mathsf\; \{x\}\},\; \{\backslash \; mathsf\; \{p\}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\}$.

Для N-мерного случая пропагатор может быть просто получен на произведение

$K\; (x\; \to ,\; x\; \to \; \prime ;\; t)\; =\; \prod \; q\; =\; 1\; N\; K\; (x\; q,\; x\; q\; \prime ;\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\},\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; \text{'};\; т)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{q\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; K\; (x\_\; \{q\},\; x\_\; \{q\}\text{'};\; t)\; ~.\}$

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля пропагаторы инварианты Лоренца. Они дают амплитуду для частицы, перемещающейся между двумя точками пространства-времени.

Скалярный пропагатор

В квантовой теории поля теория свободного (невзаимодействующего) скалярного поля является полезным и простым примером, который служит для иллюстрации необходимых концепций. для более сложных теорий. Он описывает спин нулевых частиц. Существует ряд возможных пропагаторов свободной теории скалярного поля. Перейдем к описанию наиболее распространенных.

Позиционное пространство

Пропагаторы позиционного пространства - это функции Грина для уравнения Клейна – Гордона. Это означает, что они являются функциями G (x, y), которые удовлетворяют

$(◻\; x\; +\; m\; 2)\; G\; (x,\; y)\; =\; -\; \delta \; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; square\; \_\; \{x\}\; +\; m\; ^\; \{2\})\; G\; (x,\; y)\; =\; -\; \backslash \; delta\; (xy)\}$

где:

• x, y - две точки в пространстве-времени Минковского.
• $◻\; x\; =\; \partial \; 2\; \partial \; t\; 2\; -\; \nabla \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; square\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\}$- это оператор Даламбертиана, действующий на координаты x.
• δ (x - y) - это дельта-функция Дирака.

(как обычно в релятивистском В расчетах по квантовой теории поля мы используем единицы, в которых скорость света, c и приведенная постоянная Планка, ħ, установлены на единицу.)

Мы ограничим внимание к 4-мерному пространству-времени Минковского. Мы можем выполнить преобразование Фурье уравнения для пропагатора, получив

$(-\; p\; 2\; +\; m\; 2)\; G\; (p)\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-p\; ^\; \{2\; \}\; +\; m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; G\; (p)\; =\; -\; 1.\}$

Это уравнение можно инвертировать в смысле распределений, отметив, что уравнение xf (x) = 1 имеет решение (см. теорема Сохоцкого-Племеля )

$f\; (x)\; =\; 1\; x\; \pm \; i\; \epsilon \; =\; 1\; x\; \mp \; я\; \pi \; \delta \; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; x\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; mp\; i\; \backslash \; pi\; \backslash \; delta\; (x),\}$

с ε, предполагающим предел до нуля. Ниже мы обсудим правильный выбор знак, вытекающий из требований причинности.

Решение:

$G\; (x,\; y)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 4\; \int \; d\; 4\; pe\; -\; ip\; (x\; -\; y)\; p\; 2\; -\; m\; 2\; \pm \; i\; \epsilon ,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{4\}\; p\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; ip\; (\; xy)\}\}\; \{p\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}\; ~,\}$

где

$p\; (x\; -\; y):\; =\; p\; 0\; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; -\; p\; \to \; \cdot \; (x\; \to \; -\; y\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (xy):\; =\; p\_\; \{0\}\; (x\; ^\; \{0\}\; -y\; ^\; \{0\})\; -\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\}$

- это 4-вектор внутренний товар.

Различные варианты того, как деформировать контур интегрирования в приведенном выше выражении, приводят к различным формам пропагатора. Выбор контура обычно выражается в виде интеграла $p\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\}$.

Тогда подынтегральное выражение имеет два полюса в

$p\; 0\; =\; \pm \; p\; \to \; 2\; +\; m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; m\; ^\; \{2\}\}\}\}$

поэтому разные варианты того, как их избежать, приводят к разным пропагаторам.

Причинные пропагаторы

Запаздывающий пропагатор

Контур, идущий по часовой стрелке по обоим полюсам, дает причинный замедленный пропагатор . Это ноль, если xy пространственноподобен или если x ⁰ < y ⁰ (i.e. if y is to the future of x).

Этот выбор контура эквивалентен вычислению предела,

$G\; ret\; (x,\; y)\; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; 1\; (2\; \pi )\; 4\; \int \; d\; 4\; pe\; -\; ip\; (x\; -\; y)\; (p\; 0\; +\; i\; \epsilon )\; 2\; -\; p\; \to \; 2\; -\; m\; 2\; =\; -\; \Theta \; (x\; -\; y)\; 2\; \pi \; \delta \; (\tau \; xy\; 2)\; +\; \Theta \; (x\; -\; y)\; \Theta \; (\tau \; ху\; 2)\; м\; J\; 1\; (м\; \tau \; ху)\; 4\; \pi \; \tau \; ху\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ret\}\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\; 2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{4\}\; p\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; ip\; (xy)\}\}\; \{(p\_\; \{0\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\; (xy)\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; delta\; (\backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{2\})\; +\; \backslash \; Theta\; (xy)\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{2\})\; \{\backslash \; frac\; \{mJ\_\; \{1\}\; (m\; \backslash \; tau\; \_\; \{xy\})\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\}\; \}\}$

Здесь

- это ступенчатая функция Хевисайда и

$\tau \; xy:\; =\; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; 2\; -\; (х\; \to \; -\; y\; \to )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{xy\}:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(x\; ^\; \{0\}\; -y\; ^\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; -\; (\{\backslash \; vec\; \{x\; \}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$

- это собственное время от x до y и $J\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{1\}\}$- это функция Бесселя первого рода. Выражение $y\; \prec \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; prec\; x\}$означает, что y причинно предшествует x, что для пространства-времени Минковского означает

и $\tau \; xy\; 2\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 0\; ~.\}$

Это выражение может быть связано с значением ожидаемого вакуума коммутатора свободного оператор скалярного поля,

$G\; ret\; (x,\; y)\; =\; i\; ⟨0\; |\; [\Phi \; (x),\; \Phi \; (y)]\; |\; 0⟩\; \Theta \; (Икс\; 0\; -\; Y\; 0)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ret\}\}\; (x,\; y)\; =\; я\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; влево\; [\backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; right]\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; \backslash \; Theta\; (x\; ^\; \{0\}\; -y\; ^\; \{0\})\}$

где

$[\Phi \; (x),\; \Phi \; (y)]:\; =\; \Phi \; (x)\; \Phi \; (y)\; -\; \Phi \; (\; Y)\; \Phi \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; [\backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; right]:\; =\; \backslash \; Phi\; (x)\; \backslash \; Phi\; (y)\; -\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; Phi\; (x)\}$

- коммутатор ..

Расширенный пропагатор

Контур, идущий против часовой стрелки под обоими полюсами, дает причинный расширенный пропагатор . Это ноль, если x-y пространственноподобен или если x ⁰>y ⁰ (т.е. если y находится в прошлом от x).

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела

$G\; adv\; (x,\; y)\; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; 1\; (2\; \pi )\; 4\; \int \; d\; 4\; pe\; -\; ip\; (x\; -\; y)\; (p\; 0\; -\; i\; \epsilon )\; 2\; -\; p\; \to \; 2\; -\; m\; 2\; =\; -\; \Theta \; (y\; -\; x)\; 2\; \pi \; \delta \; (\tau \; xy\; 2)\; +\; \Theta \; (y\; -\; x)\; \Theta \; (\tau \; xy\; 2)\; m\; J\; 1\; (m\; \tau \; xy)\; 4\; \pi \; \tau \; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{adv\}\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{4\}\; p\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; ip\; (xy)\}\}\; \{(p\_\; \{0\}\; -i\; \backslash \; varepsilon)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Theta\; (yx)\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; delta\; (\backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{2\})\; +\; \backslash \; Theta\; (yx)\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{2\})\; \{\backslash \; frac\; \{mJ\_\; \{1\}\; (m\; \backslash \; tau\; \_\; \{xy\})\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\; \_\; \{xy\}\}\}\}$

Это выражение также может быть выражено в терминах ожидаемого значения вакуума коммутатора свободного скалярного поля. В этом случае

$G\; adv\; (x,\; y)\; =\; -\; i\; ⟨0\; |\; [\Phi \; (x),\; \Phi \; (y)]\; |\; 0⟩\; \Theta \; (у\; 0\; -\; х\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{adv\}\}\; (x,\; y)\; =\; -\; я\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; left\; [\backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; right]\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; \backslash \; Theta\; (y\; ^\; \{\; 0\}\; -x\; ^\; \{0\})\; ~.\}$

пропагатор Фейнмана

Контур, проходящий под левым полюсом и над правым полюсом, дает пропагатор Фейнмана .

Этот выбор контура эквивалентен вычислению предел

Здесь

$s:\; =\; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; 2\; -\; (х\; \to \; -\; y\; \to )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; s:\; =\; (x\; ^\; \{0\}\; -y\; ^\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; -\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\})\; ^\; \{2\},\}$

где x и y - две точки в пространстве-времени Минковского, а точка в экспоненте - это четырехвекторное внутреннее произведение. H 1 - это функция Ханкеля, а K 1 - модифицированная функция Бесселя.

Это выражение может быть получено непосредственно из теории поля, поскольку ожидаемое значение вакуума для упорядоченного по времени произведения свободного скалярного поля, то есть произведение всегда берется таким образом, что временное упорядочение точек пространства-времени одинаково,

$GF\; (x\; -\; y)\; =\; -\; i\; ⟨0\; |\; T\; (\Phi \; (x)\; \Phi \; (y))\; |\; 0⟩\; =\; -\; i\; ⟨0\; |\; [\Theta \; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; \Phi \; (x)\; \Phi \; (y)\; +\; \Theta \; (y\; 0\; -\; x\; 0)\; \Phi \; (y)\; \Phi \; (x)]\; |\; 0⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\_\; \{F\}\; (xy)\; =\; -\; я\; \backslash \; langle\; 0\; |\; T\; (\backslash \; Phi\; (x)\; \backslash \; Phi\; (y))\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; -\; i\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; left\; [\backslash \; Theta\; (x\; ^\; \{0\}\; -y\; ^\; \{0\})\; \backslash \; Phi\; (x)\; \backslash \; Phi\; (y)\; +\; \backslash \; Theta\; (y\; ^\; \{0\}\; -x\; ^\; \{0\})\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; Phi\; (x)\; \backslash \; right]\; |\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Это выражение инвариант Лоренца, если операторы поля коммутируют с друг друга, когда точки x и y разделены пространственным интервалом .

Обычный вывод состоит в том, чтобы вставить полный набор одночастичных состояний импульса между полями с лоренц-ковариантной нормализацией, а затем показать, что Θ-функции, обеспечивающие причинное временное упорядочение, могут быть получены с помощью контурный интеграл вдоль оси энергии, если подынтегральное выражение такое же, как указано выше (отсюда бесконечно малая мнимая часть), чтобы сдвинуть полюс с действительной линии.

Пропагатор также может быть получен с использованием формулировки интеграла по путям квантовой теории.

Импульсный пространственный пропагатор

преобразование Фурье пропагаторов пространственного положения можно рассматривать как пропагаторы в импульсном пространстве. Они имеют гораздо более простую форму, чем пропагаторы пространства позиций.

Они часто записываются с явным термином ε, хотя это понимается как напоминание о том, какой контур интегрирования подходит (см. Выше). Этот член ε включен для включения граничных условий и причинно-следственной связи (см. Ниже).

Для 4-импульса p причинный и фейнмановский пропагаторы в импульсном пространстве равны:

$G\; ~\; ret\; (p)\; =\; 1\; (p\; 0\; +\; i\; \epsilon )\; 2\; -\; p\; \to \; 2\; -\; м\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ret\}\}\; (p)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(p\_\; \{0\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$G\; ~\; adv\; (p)\; =\; 1\; (p\; 0\; -\; i\; \epsilon )\; 2\; -\; p\; \to \; 2\; -\; m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{\backslash \; text\; \{adv\}\}\; (p)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(p\_\; \{0\}\; -i\; \backslash \; varepsilon)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; m\; ^\; \{2\}\}\}\}$

$G\; ~\; F\; (p)\; =\; 1\; p\; 2\; -\; m\; 2\; +\; i\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{G\}\}\; \_\; \{F\}\; (p)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}.\}$

Для целей Расчеты диаграммы Фейнмана обычно удобно записывать с дополнительным общим коэффициентом −i (условные обозначения меняются).

Быстрее света?

У пропагатора Фейнмана есть некоторые свойства, которые сначала кажутся сбивающими с толку. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор отличен от нуля вне светового конуса , хотя он быстро спадает для пространственноподобных интервалов. Интерпретируя амплитуду движения частицы, это означает, что виртуальная частица движется быстрее света. Не сразу очевидно, как это можно согласовать с причинно-следственной связью: можем ли мы использовать виртуальные частицы быстрее скорости света для отправки сообщений быстрее скорости света?

Ответ - нет: в то время как в классической механике интервалы, по которым могут перемещаться частицы и причинные эффекты, одинаковы, в квантовой теории поля это уже неверно, где это коммутаторы, определяющие, какие операторы могут влиять друг на друга.

Так что же представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В QFT вакуум является активным участником, а числа частиц и значения полей связаны с помощью принципа неопределенности ; значения поля неопределенны даже для нулевого числа частиц. Существует ненулевая амплитуда вероятности обнаружить значительную флуктуацию вакуумного значения поля Φ (x), если его измерить локально (или, точнее, если измерить оператор, полученный усреднением поле над небольшим регионом). Кроме того, динамика полей имеет тенденцию в некоторой степени благоприятствовать пространственно-коррелированным флуктуациям. Ненулевое упорядоченное по времени произведение для пространственно-разделенных полей затем просто измеряет амплитуду нелокальной корреляции в этих вакуумных флуктуациях, аналогично корреляции ЭПР. Действительно, пропагатор часто называют двухточечной корреляционной функцией для свободного поля.

, поскольку, согласно постулатам квантовой теории поля, все наблюдаемые операторы коммутируют друг с другом на пространственно-подобном расстоянии, сообщения не могут быть отправлены через эти корреляции не больше, чем через любые другие корреляции EPR; корреляции в случайных величинах.

Что касается виртуальных частиц, то пропагатор на пространственно-подобном разделении можно рассматривать как средство вычисления амплитуды для создания пары виртуальная частица - античастица, которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальная пара, выходящая из вакуума. На языке Фейнмана такие процессы создания и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, блуждающей назад и вперед во времени, которая может вывести ее за пределы светового конуса. Однако никакие сигналы назад во времени не допускаются.

Объяснение с использованием пределов

Это можно прояснить, записав пропагатор в следующей форме для безмассового фотона,

$GF\; \epsilon \; (x,\; y)\; =\; \epsilon \; (x\; -\; y)\; 2\; +\; я\; \epsilon \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{F\}\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\}\; ~.\}$

Это - обычное определение, но нормализованное с коэффициентом $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$. Тогда правило состоит в том, что предел $\epsilon \; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$берется только в конце вычисления.

Видно, что

$GF\; \epsilon \; (x,\; y)\; =\; 1\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{F\}\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \}\}$если $(x\; -\; y)\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (xy)\; ^\; \{2\}\; =\; 0\}$

и

$lim\; \epsilon \; \to \; 0\; GF\; \epsilon \; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; G\_\; \{F\}\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (x,\; y)\; =\; 0\}$если $(x\; -\; y)\; 2\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (xy)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; neq\; 0\}$

Следовательно, это означает, что один фотон всегда будет оставаться на световом конусе. Также показано, что полная вероятность для фотона в любой момент должна быть нормирована обратной величиной следующего множителя:

$lim\; \epsilon \; \to \; 0\; \int \; |\; G\; F\; \epsilon \; (0,\; x)\; |\; 2\; d\; x\; 3\; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; \int \; \epsilon \; 2\; (x\; 2\; -\; t\; 2)\; 2\; +\; \epsilon \; 4\; d\; x\; 3\; =\; 2\; \pi \; 2\; |\; т\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; int\; \backslash \; left\; |\; G\_\; \{F\}\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (0,\; x)\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\; \{(\backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; -t\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{4\}\}\; \}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{3\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; |\; t\; |\; ~.\}$

Мы видим, что части вне светового конуса обычно равны нулю в пределе и важны только в диаграммах Фейнмана.

Пропагаторы в диаграммах Фейнмана

Чаще всего пропагатор используется для вычисления амплитуд вероятности взаимодействий частиц с использованием диаграмм Фейнмана. Эти расчеты обычно проводятся в импульсном пространстве. В общем, амплитуда получает коэффициент пропагатора для каждой внутренней линии, то есть каждой линии, которая не представляет входящую или выходящую частицу в начальном или конечном состоянии. Он также получит множитель, пропорциональный и похожий по форме на член взаимодействия в лагранжиане теории для каждой внутренней вершины, где пересекаются линии. Эти предписания известны как правила Фейнмана.

Внутренние линии соответствуют виртуальным частицам. Поскольку пропагатор не обращается в нуль для комбинаций энергии и импульса, запрещенных классическими уравнениями движения, мы говорим, что виртуальным частицам разрешено находиться вне оболочки. Фактически, поскольку пропагатор получается путем обращения волнового уравнения, в общем случае он будет иметь особенности на оболочке.

Энергия, переносимая частицей в пропагаторе, может быть даже отрицательной. Это можно интерпретировать просто как случай, когда вместо частицы, идущей в одну сторону, ее античастица движется в другую сторону и, следовательно, несет встречный поток положительной энергии. Пропагатор охватывает обе возможности. Это означает, что нужно быть осторожным со знаками минус для случая фермионов, пропагаторы которых не являются четными функциями по энергии и импульсу (см. Ниже).

Виртуальные частицы сохраняют энергию и импульс. Однако, поскольку они могут быть вне оболочки, везде, где диаграмма содержит замкнутый контур, энергии и импульсы виртуальных частиц, участвующих в контуре, будут частично неограниченными, поскольку изменение количества для одной частицы в контуре может быть сбалансировано. равным и противоположным изменением в другом. Следовательно, каждая петля на диаграмме Фейнмана требует интеграла по континууму возможных энергий и импульсов. В общем, эти интегралы произведений пропагаторов могут расходиться, и эта ситуация должна быть обработана процессом перенормировки.

Другие теории

Спин ⁄ 2

Если частица обладает spin, то его пропагатор в целом несколько сложнее, так как он будет включать в себя спин частицы или индексы поляризации. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет пропагатор для частицы со спином ⁄ 2, определяется выражением

$(i\; \nabla ̸\; \prime \; -\; m)\; SF\; (x\; \prime ,\; x)\; =\; I\; 4\; \delta \; 4\; (x\; \prime \; -\; х),\; \{\backslash \; displaystyle\; (я\; \backslash \; not\; \backslash \; nabla\; \text{'}-m)\; S\_\; \{F\}\; (x\text{'},\; x)\; =\; I\_\; \{4\}\; \backslash \; delta\; ^\; \{4\}\; (x\text{'}-x),\}$

где я 4 - это единичная матрица в четырех измерениях, в которой используется наклонная нотация Фейнмана. Это уравнение Дирака для источника дельта-функции в пространстве-времени. Используя импульсное представление,

$SF\; (x\; \prime ,\; x)\; =\; \int \; d\; 4\; p\; (2\; \pi )\; 4\; exp\; \; [-\; ip\; \cdot \; (x\; \prime \; -\; x)]\; S\; ~\; F\; (p),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{\; F\}\; (x\; \text{'},\; x)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\; p\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; [-ip\; \backslash \; cdot\; (x\text{'}-x)\; \backslash \; right]\}\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{F\}\; (p),\}$

уравнение принимает вид

$(i\; \nabla ̸\; \prime \; -\; m)\; \int \; d\; 4\; p\; (2\; \pi )\; 4\; S\; ~\; F\; (\; p)\; ехр\; \; [-\; ip\; \cdot \; (x\; \prime \; -\; x)]\; =\; \int \; d\; 4\; p\; (2\; \pi )\; 4\; (p̸\; -\; m)\; S\; ~\; F\; (p)\; exp\; \; [-\; ip\; \cdot \; (x\; \prime \; -\; x)]\; =\; \int \; d\; 4\; п\; (2\; \pi )\; 4\; я\; 4\; ехр\; \; [-\; ip\; \cdot \; (x\; \prime \; -\; x)]\; =\; I\; 4\; \delta \; 4\; (x\; \prime \; -\; x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (i\; \backslash \; not\; \backslash \; nabla\; \text{'}-m)\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\; p\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{F\}\; (p)\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; [-ip\; \backslash \; cdot\; (x\text{'}-x)\; \backslash \; right]\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\; p\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; (\; \backslash \; not\; pm)\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{F\}\; (p)\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; [-ip\; \backslash \; cdot\; (x\text{'}-x)\; \backslash \; right]\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; int\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{4\}\; p\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; I\_\; \{4\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; left\; [-ip\; \backslash \; cdot\; (x\text{'}-x)\; \backslash \; right]\}\; \backslash \backslash \; [6pt\; ]\; =\; \{\}\; I\_\; \{4\}\; \backslash \; delta\; ^\; \{4\}\; (x\text{'}-x),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где в правой части используется интегральное представление четырехмерной дельта-функции. Таким образом,

$(p̸\; -\; m\; I\; 4)\; S\; ~\; F\; (p)\; =\; I\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; not\; p-mI\_\; \{4\})\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{F\}\; (p)\; =\; I\_\; \{4\}.\}$

Умножая слева на

$(p̸\; +\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; not\; p\; +\; m)\}$

(исключение единичных матриц из нотации) и использование свойств гамма-матриц,

$p̸\; p̸\; =\; 1\; 2\; (p̸\; p̸\; +\; p̸\; p̸)\; =\; 1\; 2\; (\gamma \; \mu \; p\; \mu \; \gamma \; \nu \; p\; \nu \; +\; \gamma \; \nu \; p\; \nu \; \gamma \; \mu \; p\; \mu )\; =\; 1\; 2\; (\gamma \; \mu \; \gamma \; \nu \; +\; \gamma \; \nu \; \gamma \; \mu )\; p\; \mu \; p\; \nu \; =\; g\; \mu \; \nu \; p\; \mu \; p\; \nu \; =\; p\; \nu \; p\; \nu \; знак\; равно\; п\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; not\; p\; \backslash \; not\; p\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; not\; p\; \backslash \; not\; p\; +\; \backslash \; not\; p\; \backslash \; not\; p)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; p\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; p\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; p\; ^\; \{\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; p\; ^\; \{\backslash \; mu\})\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; +\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\backslash \; mu\})\; p\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; p\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; ^\; \{\; \backslash \; nu\}\; =\; p\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; p\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; =\; p\; ^\; \{2\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

пропагатор импульсного пространства, используемый в диаграммах Фейнмана для Дирака поле, представляющее электрон в квантовой электродинамике, имеет форму

$S\; ~\; F\; (p)\; =\; (p̸\; +\; m)\; p\; 2\; -\; m\; 2\; +\; i\; \epsilon \; =\; (\gamma \; \mu \; p\; \mu \; +\; m)\; п\; 2\; -\; м\; 2\; +\; я\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{F\}\; (p)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; not\; p\; +\; m)\}\; \{p\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{(\backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; m)\}\; \{p\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}.\}$

iε внизу - рецепт для как обращаться с полюсами в сложной плоскости p 0. Он автоматически дает контур интегрирования Фейнмана, сдвигая полюса соответствующим образом. Иногда пишут

$S\; ~\; F\; (p)\; =\; 1\; \gamma \; \mu \; p\; \mu \; -\; m\; +\; i\; \epsilon \; =\; 1\; p̸\; -\; m\; +\; i\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{S\}\}\; \_\; \{F\}\; (p)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; -m\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \backslash \; not\; p-m\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}$

для краткости. Следует помнить, что это выражение является лишь сокращенной записью для (γ μ p - m). «Один над матрицей» в остальном бессмысленен. В позиционном пространстве

$SF\; (x\; -\; y)\; =\; \int \; d\; 4\; p\; (2\; \pi )\; 4\; e\; -\; ip\; \cdot \; (x\; -\; y)\; \gamma \; \mu \; p\; \mu \; +\; mp\; 2\; -\; m\; 2\; +\; i\; \epsilon \; =\; (\gamma \; \mu \; (x\; -\; y)\; \mu \; |\; x\; -\; y\; |\; 5\; +\; m\; |\; x\; -\; y\; |\; 3)\; J\; 1\; (m\; |\; x\; -\; y\; |).\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{F\}\; (ху)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\; ^\; \{4\}\; p\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; ip\; \backslash \; cdot\; (xy)\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; p\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; +\; m\}\; \{p\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\; \}\; (xy)\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{|\; xy\; |\; ^\; \{5\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{|\; xy\; |\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; right)\; J\_\; \{1\}\; (m\; |\; xy\; |).\}$

Это связано с пропагатором Фейнмана следующим образом:

$SF\; (x\; -\; y)\; =\; (i\; \partial ̸\; +\; m)\; GF\; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{F\}\; (xy)\; =\; (i\; \backslash \; не\; \backslash \; partial\; +\; m)\; G\_\; \{F\}\; (xy)\}$

где $\partial ̸:\; =\; \gamma \; \mu \; \partial \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; not\; \backslash \; partial:\; =\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$.

Спин 1

Пропагатор для калибровочного бозона в калибровочной теории зависит от выбора соглашения для фиксации калибровки. Для датчика, используемого Фейнманом и Штюкельбергом, пропагатор для фотона равен

$-\; i\; g\; \mu \; \nu \; p\; 2\; +\; i\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{-ig\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; over\; p\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}.\}$

Пропагатор для массивного векторного поля может быть получен из лагранжиана Штюкельберга. Общая форма с калибровочным параметром λ выглядит так:

$g\; \mu \; \nu \; -\; k\; \mu \; k\; \nu \; m\; 2\; k\; 2\; -\; m\; 2\; +\; i\; \epsilon \; +\; k\; \mu \; k\; \nu \; m\; 2\; k\; 2\; -\; m\; 2\; \lambda \; +\; i\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; k\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\; \}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; k\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}.\}$

С помощью этой общей формы можно получить пропагатор в унитарной калибровке для λ = 0, пропагатор в калибровке Фейнмана или 'т Хофта для λ = 1 и в калибровке Ландау или Калибровка Лоренца при λ = ∞. Существуют также другие обозначения, в которых калибровочный параметр является обратным к λ. Однако название пропагатора относится к его окончательной форме, а не обязательно к значению калибровочного параметра.

Унитарный датчик:

$g\; \mu \; \nu \; -\; k\; \mu \; k\; \nu \; m\; 2\; k\; 2\; -\; m\; 2\; +\; i\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; k\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{m\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\; \}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}.\}$

Калибровка Фейнмана ('т Хофта):

$g\; \mu \; \nu \; k\; 2\; -\; m\; 2\; +\; i\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}.\}$

Шкала Ландау (Лоренца):

$g\; \mu \; \nu \; -\; К\; \mu \; К\; \nu \; К\; 2\; К\; 2\; -\; М\; 2\; +\; Я\; \epsilon .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; k\; \_\; \{\backslash \; nu\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; -m\; ^\; \{2\; \}\; +\; i\; \backslash \; varepsilon\}\}.\}$

Пропагатор гравитона

Пропагатор гравитона для пространства Минковского в общей теории относительности равен

$G\; \alpha \; \beta \; \mu \; \nu \; =\; P\; \alpha \; \beta \; \mu \; \nu \; 2\; k\; 2\; -\; P\; s\; 0\; \alpha \; \beta \; \mu \; \nu \; 2\; k\; 2\; =\; g\; \alpha \; \mu \; g\; \beta \; \nu \; +\; g\; \beta \; \mu \; g\; \alpha \; \nu \; -\; 2\; D\; -\; 2\; g\; \mu \; \nu \; g\; \alpha \; \beta \; k\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ~\; \backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ~\; \backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; ^\; \{2\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{s\}\; ^\; \{0\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ~\; \backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}\; \{2k\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\_\; \{\; \backslash \; alpha\; \backslash \; mu\}\; g\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; nu\}\; +\; g\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; mu\}\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; nu\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{D-2\}\}\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; g\; \_\; \{\backslash \; альфа\; \backslash \; бета\}\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$- количество измерений пространства-времени, $P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}$- это поперечный и бесследный оператор проекции со спином 2 и $P\; s\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{s\}\; ^\; \{0\}\}$- скаляр со спином 0 мультиплет. Гравитонный пропагатор для (Анти) ​​пространства де Ситтера равен

$G\; =\; P\; 2\; 2\; H\; 2\; -\; ◻\; +\; P\; s\; 0\; 2\; (◻\; +\; 4\; H\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2H\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; Box\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{P\}\}\; \_\; \{s\}\; ^\; \{0\}\}\; \{2\; (\backslash \; Box\; +\; 4H\; ^\; \{2\})\}\},\}$

где $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- постоянная Хаббла. Обратите внимание, что при переходе к пределу $H\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; to\; 0\}$и $◻\; \to \; -\; k\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \backslash \; to\; -k\; ^\; \{2\}\}$, пропагатор AdS сводится к пропагатору Минковского.

Скалярные пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна – Гордона. Есть связанные сингулярные функции, которые важны в квантовой теории поля. Мы следуем обозначениям Бьоркена и Дрелла. См. Также Боголюбов и Ширков (Приложение А). Эти функции проще всего определить в терминах ожидаемого значения вакуума произведений операторов поля.

Решения уравнения Клейна – Гордона

Функция Паули – Жордана

Коммутатор двух скалярных полевых операторов определяет функцию Паули – Жордана $\Delta \; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (xy)\}$by

$⟨0\; |\; [\Phi \; (x),\; \Phi \; (y)]\; |\; 0⟩\; знак\; равно\; я\; \Delta \; (Икс\; -\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; влево\; [\backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; right]\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; =\; i\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; (xy)\}$

с

$\Delta \; (x\; -\; y)\; =\; G\; adv\; (x\; -\; y)\; -\; G\; ret\; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; (xy)\; =\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{adv\}\}\; (xy)\; -\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ret\}\}\; (xy)\}$

Это удовлетворяет

$\Delta \; (x\; -\; y)\; =\; -\; \Delta \; (y\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (xy)\; =\; -\; \backslash \; Delta\; (yx)\}$

и равен нулю, если .

Положительная и отрицательная частотные части (отсеченные пропагаторы)

Мы можем определить положительную и отрицательную частотные части $\Delta \; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (xy)\}$, иногда называемые обрезанными пропагаторами, релятивистски инвариантным образом.

Это позволяет нам определить положительную частотную часть:

$\Delta \; +\; (x\; -\; y)\; =\; ⟨0\; |\; \Phi \; (x)\; \Phi \; (y)\; |\; 0⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; (xy)\; =\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; Phi\; (x)\; \backslash \; Phi\; (y)\; |\; 0\; \backslash \; rangle,\}$

и отрицательная частотная часть:

$\Delta \; -\; (x\; -\; y)\; =\; ⟨0\; |\; \Phi \; (y)\; \Phi \; (x)\; |\; 0⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; (xy)\; =\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; Phi\; (x)\; |\; 0\; \backslash \; rangle.\}$

Они удовлетворяют

$i\; \Delta \; =\; \Delta \; +\; -\; \Delta \; -\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; я\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; -\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\}$

и

$(◻\; x\; +\; m\; 2)\; \Delta \; \pm \; (x\; -\; y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; \backslash \; Box\; \_\; \{x\}\; +\; m\; ^\; \{2\})\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; (xy)\; =\; 0.\}$

Вспомогательная функция

Антикоммутатор двух операторов скалярного поля определяет $\Delta \; 1\; (x\; -\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; (xy)\}$функция по

$⟨0\; |\; \{\Phi \; (x),\; \Phi \; (y)\}\; |\; 0⟩\; знак\; равно\; \Delta \; 1\; (Икс\; -\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; 0\; |\; \backslash \; влево\; \backslash \; \{\backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; Phi\; (y)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; (xy)\; \}$

с

$\Delta \; 1\; (x\; -\; y)\; =\; \Delta \; +\; (x\; -\; y)\; +\; \Delta \; -\; (x\; -\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; (xy)\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{+\}\; (xy)\; +\; \backslash \; Delta\; \_\; \{-\}\; (xy).\}$

Это удовлетворяет $\Delta \; 1\; (x\; -\; y)\; =\; \Delta \; 1\; (y\; -\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; (xy)\; =\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; (yx).\}$

Функции Грина для уравнения Клейна – Гордона

Запаздывающие, продвинутые пропагаторы и пропагаторы Фейнмана все определенные выше функции Грина для уравнения Клейна – Гордона.

Они связаны с сингулярными функциями следующим образом:

$G\; ret\; (x\; -\; y)\; =\; -\; \Delta \; (x\; -\; y)\; \Theta \; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ret\}\; \}\; (xy)\; =\; -\; \backslash \; Delta\; (xy)\; \backslash \; Theta\; (x\_\; \{0\}\; -y\_\; \{0\})\}$

$G\; adv\; (x\; -\; y)\; =\; \Delta \; (x\; -\; y)\; \Theta \; (y\; 0\; -\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; text\; \{adv\}\}\; (ху)\; =\; \backslash \; Delta\; (xy)\; \backslash \; Theta\; (y\_\; \{0\}\; -x\_\; \{0\})\}$

$2\; GF\; (x\; -\; y)\; =\; -\; я\; \Delta \; 1\; (\; Икс\; -\; Y)\; +\; \epsilon \; (Икс\; 0\; -\; Y\; 0)\; \Delta \; (Икс\; -\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; 2G\_\; \{F\}\; (ху)\; =\; -\; я\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; \_\; \{1\}\; (ху)\; +\; \backslash \; varepsilon\; (х\_\; \{0\; \}\; -y\_\; \{0\})\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; (xy)\}$

где

$\epsilon \; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; =\; 2\; \Theta \; (x\; 0\; -\; y\; 0)\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; (x\_\; \{0\}\; -y\_\; \{0\})\; =\; 2\; \backslash \; Theta\; (x\_\; \{0\}\; -y\_\; \{0\})\; -\; 1.\}$

• Бьоркен, Дж. ; Дрелл, С. (1965). Релятивистские квантовые поля. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-005494-0. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) (Приложение C.)
• Боголюбов, Н. ; Ширков Д.В. (1959). Введение в теорию квантованных полей. Wiley-Interscience. ISBN 0-470-08613-0. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) (особенно стр. 136–156 и Приложение А)
• ДеВитт-Моретт, К. ; ДеВитт Б. (ред.). Относительность, группы и топология. Глазго: Блэки и сын. ISBN 0-444-86858-5.(раздел Динамическая теория групп и полей, особенно стр. 615-624)
• Грейнер У. ; Рейнхардт, Дж. (2008). Квантовая электродинамика (4-е изд.). Спрингер Верлаг. ISBN 9783540875604. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Greiner, W. ; Reinhardt, J. (1996). Квантование поля. Springer Verlag. ISBN 9783540591795. Уолтер Грайнер Классическая механика: точечные частицы и относительность.CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Гриффитс, DJ (1987). Введение в элементарные частицы. Нью-Йорк: John Wiley Sons. ISBN 0-471-60386- 4. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Гриффитс, DJ (2004). Введение в квантовую механику. Верхняя река Сэдл: Прентис Холл. ISBN 0-131-11892-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Halliwell, JJ; Orwitz, M. (1993), «Sum- сверхисторическое происхождение законов состава релятивистской квантовой механики и квантовой космологии », Physical Review D, 48 (2): 748–768, arXiv : gr-qc / 9211004, Bibcode : 1993PhRvD..48..748H, doi : 10.1103 / PhysRevD. 48.748, PMID 10016304
• Хуанг, Керсон (1998). Квантовая теория поля: от операторов к интегралам по траекториям. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-14120-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Itzykson, C. ; Zuber, JB. (1980). Quant гм Теория поля. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-032071-3.
• Покорски С. (1987). Теории калибровочного поля. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36846-4. CS1 maint: ref = harv (ссылка ) (Имеет полезные приложения правил диаграммы Фейнмана, включая пропагаторов, сзади.)
• Schulman, LS (1981). Методы и приложения интеграции путей. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-76450-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Шарф, Г. (1995). Finite Quantum Electrodynamics, Причинный подход. Springer. ISBN 978-3-642-63345-4.

• Три метода вычисления пропагатора Фейнмана