Теория узлов

редактировать
Изучение математических узлов Примеры различных узлов, включая тривиальный узел (вверху слева) и узел-трилистник (под ним) Узловая диаграмма узла-трилистника, простейшего Нетривиального узла

В топологии, теория узлов изучение математических узлов. Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни, например, на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены вместе, поэтому его нельзя развязать, простейшим узлом является узел кольцо (или " развязанный "). На математическом языке узел - это вложение круга в трехмерном евклидово пространство, R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}\ mathbb {R} ^ {3} (в топологии круг не связан с классической геометрической концепцией, но со всеми его гомеоморфизмами ). Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другую деформацию R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}\ mathbb {R} ^ {3} на самом себе (известный как изотопия окружающей среды ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанным нитью, которые не связаны с разрезанием нити или пропусканием нити через себя.

Узлы можно описать по-разному. Однако, учитывая метод описания, может быть более одного описания, которое представляет один и тот же узел. Например, обычным методом описания узла является плоская диаграмма, называемая диаграмма узлов. Любой данный узел можно нарисовать множеством разных способов, используя диаграмму узлов. Следовательно, фундаментальная проблема в теории узлов - определить, когда два описания выделяют один и тот же узел.

Существует полное алгоритмическое решение этой проблемы, которое имеет неизвестную сложность. На практике узлы часто различают с помощью инварианта узла , «количество», которое одинаково при вычислении на основе разных описаний узла. Важные инварианты включают полиномы узлов, группы узлов и гиперболические инварианты.

Первоначальной мотивацией основателей теории узлов было создание таблицы узлов и звеньев, которые представляют собой узлы из нескольких компонентов, переплетенных друг с другом. Более шести миллиардов узлов и звеньев были занесены в таблицу с момента появления теории узлов в 19 веке.

Чтобы глубже, математики обобщили концепцию узла используемые методы. Узлы можно рассматривать в других трехмерных пространствах и можно использовать объекты, отличные от окружностей; см. узел (математика). Узлы более высокой размерности - это n-мерные сферы в m-мерном евклидовом пространстве.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Эквивалентность узлов
  • 3 Диаграммы узлов
    • 3.1 Движения Рейдемейстера
  • 4 инварианты узлов
    • 4.1 Многочлены узлов
    • 4.2 Гиперболические инварианты
  • 5 Выше размеры
    • 5.1 Узлы сфер более высокого измерения
  • 6 Добавление узлов
  • 7 Табулирование узлов
    • 7.1 Обозначение Александера - Бриггса
    • 7.2 Обозначение Даукера - Тистлтуэйта
    • 7.3 Обозначение Конвея
    • 7.4 Код Гаусса
  • 8 См. Также
  • 9 Ссылки
  • 10 Дополнительная литература
    • 10.1 Вводные учебники
    • 10.2 Обзоры
  • 11.1 Внешние ссылки
    • 11.1 История
    • 11.2 Таблицы узлов и программное обеспечение

История

Сложные кельтские узлы в 1200-летней Келлской книге

Археологи представили, что завязывание узлов восходит к доисторическим временам. Помимо их использования, такого как запись информации и связывание объектов вместе, узлы интересовали людей своей эстетикой и духовным символизмом. Узлы встречаются в различных формах китайских произведений искусства, датируемых территорий веками до нашей эры (см. китайское завязывание узлов ). бесконечный узел появляется в тибетском буддизме, в то время как кольца Борромео часто появлялись в разных культурах, часто олицетворяя силу в единстве. Кельтские монахи, создаваемые Келлскую книгу, расточили целые страницы замысловатым кельтским узором.

Первый табулятор узлов, Питер Гатри Тейт

Математический Теория узлов была впервые представлена в 1771 году Александром-Теофилем Вандермондом, который явно отмечен топологическими при повышении свойств узлов, связанных с геометрией положения. Математические исследования узлов начались в 19 веке с Карла Фридриха Гаусса, который определил интеграл связи (Серебро 2006). В 1860-х годах теория лорда Кельвина о том, что атомы представляют собой узлы в эфире, привела к созданию Питером Гатри Тейтом первых таблиц узлов для полной классификации. В 1885 году Тейт опубликовал таблицу узлов с пересечений до десяти, и то, что стало известно как гипотезы Тейта. Эта запись мотивировала первых теоретиков узлов, но теория узлов в конечном итоге стала частью развивающейся темы топологии.

Эти топологи в начале 20-го века - Макс Ден, J. У. Александер и другие - изучали узлы с точки зрения группы узлов и инвариантов из теории гомологии, например, полинома Александера. Это был бы основной подход к теории узлов, пока серия прорывов не изменила предмет.

В конце 1970-х годов Уильям Терстон ввел гиперболическую геометрию в изучении узлов с помощью теоремы гиперболизации. Было показано, что многие узлы являются гиперболическими узлами, что позволяет использовать геометрию для определения новых мощных инвариантов узлов. Открытие полинома Джонса Воаном Джонсом в 1984 г. (Сосинский 2002, стр. 71–89) и последующие материалы Эдварда Виттена, Максим Концевич и другие выявили глубокую связь между теорией узлов и математическими методами в статистической механике и квантовой теории поля. С тех пор было изобретено множество инвариантовых узлов с использованием таких инструментов, как квантовые группы и гомология Флоера.

В последние несколько десятилетий 20-го века ученые заинтересовались изучением физические узлы для понимания явлений образования узлов в ДНК и других полимеров. Теория местная установка для определения того, является ли молекула хиральной (имеет «хиральность») или нет (Саймон 1986). Путаницы, нити с обоими концами, закрепленными на месте, были использованы при изучении действия топоизомеразы на ДНК (Flapan 2000). Теория узлов может иметь решающее значение при построении квантовых компьютеров через модель топологических квантовых вычислений (Collins 2006).

Эквивалентность узла

Слева - безузел и эквивалентный ему узел. Может быть легче определить, эквивалентны сложным узлам, такие как тот, что справа, развязке.

Узел создается, начиная с одномерного отрезка линии, оборачивая его вокруг себя произвольно, а затем сливает два своих свободных конца вместе, чтобы сформировать замкнутый контур (Адамс 2004) (Сосинский 2002). Проще говоря, мы можем сказать, что узел K {\ displaystyle K}K - это «простая замкнутая кривая» или «(замкнутая) кривая Жордана» (см. Кривая ), то есть: «почти» инъективная и непрерывная функция K: [0, 1] → R 3 {\ displaystyle K \ двоеточие [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}{\ displaystyle K \ двоеточие [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {3}} , с единственной "неинъективностью" K (0) = K (1) {\ displaystyle K (0) = K (1)}K (0) = K (1) . Топологи считают, что узлы и другие зацепления, такие как звенья и косы, эквивалентными, если узел можно плавно разворачивать, не пересекаясь, чтобы он совпал с другими узлом.

Идея эквивалентности узлов состоит в том, чтобы дать точное определение, когда два узла должны быть одинаковыми, даже если они размещены в пространстве по-разному. Формальное математическое определение состоит в том, что два узла K 1, K 2 {\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}{\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}} эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h: R 3 → R 3 {\ displaystyle h \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}h \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3} с h (K 1) = K 2 {\ displaystyle h (K_ {1}) = K_ {2}}{\ displaystyle h (K_ {1}) = K_ {2}} .

Другой способ определения эквивалентности узлов состоит в том, что два узла эквивалентны, когда существует непрерывное семейство гомеоморфизмы {ht: R 3 → R 3 для 0 ≤ t ≤ 1} {\ displaystyle \ {h_ {t}: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3} \ \ mathrm {for} \ 0 \ leq t \ leq 1 \}}{\ displaystyle \ {h_ {t}: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3} \ \ mathrm {for} \ 0 \ leq t \ leq 1 \}} пространства на себя, так что последний из них переносит первый узел на второй узел. (Более формально: два узла K 1 {\ displaystyle K_ {1}}K_ {1} и K 2 {\ displaystyle K_ {2}}K_ {2} эквивалентны если существует непрерывное отображение H: R 3 × [0, 1] → R 3 {\ displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {3} \ times [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}}{\ displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {3} \ times [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {3}} такой, что а) для каждого t ∈ [0, 1] {\ displaystyle t \ in [0,1]}t \ в [0,1] бесконечно Икс ∈ R 3 {\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R} ^ {3}}{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {3}} в H (x, t) ∈ R 3 {\ Displaystyle H (x, t) \ в \ mathbb {R} ^ {3}}{\ displaystyle H (x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {3}} - гомеоморфизм R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}\ mathbb {R} ^ {3} на себя; б) ЧАС (Икс, 0) знак равно Икс {\ Displaystyle Н (х, 0) = х}{ \ displaystyle H (x, 0) = x} для всех х ∈ R 3 {\ Displaystyle х \ in \ mathbb { R} ^ {3}}{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {3}} ; и в) ЧАС (К 1, 1) = К 2 {\ displaystyle H (K_ {1}, 1) = K_ {2}}{\ displaystyle H (K_ {1}, 1) = K_ {2 }} . Такая функция H {\ displaystyle H}H известна как изотопия окружающей среды.)

Эти два понятия эквивалентности узлов точно соответствуют тому, какие узлы являются эквивалентными: два узла, которые эквивалентны определению сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, также эквивалентны определению внешней изотопии, потому что любые сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}\ mathbb {R} ^ {3} для себя является заключительной стадией окружающей изотопии, начиная с идентичности. И наоборот, два узла, эквивалентные по определению внешней изотопии, также эквивалентны по определению сохраняющего ориентацию гомеоморфизма, потому что t = 1 {\ displaystyle t = 1}t = 1 (заключительная) стадия окружающей изотопии должен быть сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом, переводящим один узел в другой.

Основная проблема теории узлов, проблема распознавания, - это определение эквивалентности двух узлов. Существуют алгоритмы для решения этой проблемы, первый из которых дал Вольфганг Хакен в конце 1960-х (Хасс 1998). Тем не менее, эти алгоритмы могут занимать очень много времени, чтобы понять, насколько сложна эта проблема на самом деле (Хасс 1998). Особый интерес представляет особый случай распознавания разветвления, называемый проблемой распаковки (Hoste 2005).

Диаграммы узлов

Полезный способ визуализации узлы и управлять ими - спроецировать узел на плоскость - представьте, как узел отбрасывает тень на стену. Небольшое изменение направления проецирования гарантирует, что оно будет один к одному, за исключением двойных точек, называемых пересечениями, где «тень» узла пересекает себя один раз в поперечном направлении (Рольфсен 1976). При каждом скрещивании, чтобы можно было воссоздать исходный узел, необходимо отличать верхнюю прядь от нижнего. Это делается путем создания разрыва пряди, идущей снизу. Полученная диаграмма представляет собой кривую погруженной плоскости с дополнительными данными о том, какая ветвь закончилась, а какая меньше на каждом пересечении. (Эти диаграммы называются диаграммами узлов, если они представляют собой диаграммы связей и диаграммы связей, когда они представляют собой звено.) Аналогично, узловые поверхности в 4-м пространстве может быть отнесено к погруженным поверхностям в 3-м пространстве.

A сокращенная диаграмма - это общая диаграмма, в которой нет приводимых пересечений (также нулевых или съемных пересечений ) или в которых все сводимые пересечения были удалены. (Weisstein, ReducedKnotDiagram) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFWeisstein (help ) (Weisstein, ReducibleCrossing) harv: несколько целей (2 ×): CITEREFWeisstein (help )

Рейдемейстер перемещается

В 1927 году, используя с этой схематической схемой узлов, JW Alexander и независимо Курт Рейдемейстер Эти операции, теперь называемые движения Рейдемейстера, следующие:

  1. Скручивайте и раскручивайте в любом направлении, связаны последовательностью трех видов движений на диаграмме, показанной.>
  2. Переместите одну прядь полностью поверх другой.
  3. Переместите прядь полностью над или под перекрестком.
Рейдемейстер перемещается
Движение Рейдемейстера 1.png Frame left.png Движение Рейдемейстера 2.png
Тип IТип II
Reidemeister move 3.png
Тип III

Доказательство того, что диаграммы эквивалентных узлов связаны движениями Рейдемейстера, анализируется на анализ того, чт о происходит при плоской проекции движения, соединяющего один узел с другими. Движение можно организовать так, чтобы почти всегда проекция была узловой диаграммой, за исключением конечного числа раз, когда происходит «событие» или «катастрофа», например, когда более двух нитей пересекаются в одной точке или несколько нитей. товары касательно в точке. Внимательное рассмотрение покажет, какие сложные события можно исключить, оставив только самые простые события: (1) образование или выпрямление «петли»; (2) две нити, которые касаются в одной точке и проходят сквозь нее; и (3) три нити, пересекающиеся в одной точке. Это в точности ходы Райдемейстера (Сосинский 2002, гл. 3) (Ликориш 1997, гл. 1).

Инварианты узлов

Инвариант узлов - это «количество», одинаковое для эквивалентных узлов (Адамс 2004) (Ликориш 1997) (Рольфсен 1976). Например, если инвариант вычисляется из узлов, он должен давать одинаковое значение для двух диаграмм узлов, представляющих эквивалентные узлы. Инвариант может принимать одно и то же значение на двух разных узлах, поэтому сам по себе может быть неспособен различить все узлы. Элементарный инвариант - это трехцветная раскраска.

«Классические» инварианты узлов включают группу узлов, которая является фундаментальной группой дополнения узлов, и многочлен Александера, который можно вычислить из инварианта Александера, модуля, построенного из бесконечного циклического покрытия узлов дополнения (Lickorish 1997) (Rolfsen 1976). В конце 20 века были открыты такие инварианты, как «квантовые» полиномы узлов, инварианты Васильева и гиперболические инварианты. Эти вышеупомянутые инварианты - лишь верхушка айсберга современной теории узлов.

Многочлены узлов

Многочлен узлов - это инвариантный узел, который является многочленом. Хорошо известные примеры включают полиномы Джонса и Александера. Вариант многочлена Александера, многочлен Александера - Конвея, представляет собой многочлен от стандартных z с целыми коэффициентами (Lickorish 1997).

Полином Александера - Конвея фактически определяет в терминах звеньев, которые состоят из одного или нескольких узлов, переплетенных друг с другом. Концепции, описанные выше для узлов, например диаграммы и движения Рейдемейстера, также справедливы для ссылок.

Рассмотрим ориентированную схему ссылок, то есть такую, в котором каждый компонент ссылки имеет предпочтительное направление, указанное стрелкой. Для данного пересечения диаграммы пусть L +, L -, L 0 {\ displaystyle L _ {+}, L _ {-}, L_ {0}}L _ {+}, L _ {-}, L_ {0} будут ориентированными диаграммами связей, в результате от изменения диаграммы, как показано на рисунке:

Skein (HOMFLY).svg

Исходная диаграмма может быть либо L + {\ displaystyle L _ {+}}L_ + , либо L - {\ displaystyle L _ {- }}L_- , в зависимости от конфигурации перехода. Тогда полином Александера - Конвея, C (z) {\ displaystyle C (z)}С (z) , рекурсивно определяется в соответствии с правилами:

  • C (O) = 1 {\ displaystyle C (O) = 1}C (O) = 1 (где O {\ displaystyle O}O - любая диаграмма несучка )
  • C (L +) = C (L -) + z C (L 0). {\ Displaystyle C (L _ {+}) = C (L _ {-}) + zC (L_ {0}).}C (L_ +) = C (L_-) + z C (L_0).

Второе правило - это то, о чем часто говорят как отношение мотков. Проверить, что эти правила задают инвариантной ориентированной, необходимо определить, что многочлен не изменяется при трех движениях Рейдемейстера.

Ниже приведен пример примера определения многих важных многочленых узлов. Он вычисляет полином Александера - Конвея для узла-трилистника. Желтые пятна, где используется отношение.

C(Skein-Relations-trefoil-plus-sm.png ) = C (Skein-Relations-trefoil-minus-sm.png ) + z C (Отношение мотка- trefoil-zero-sm.png )

дает развязку и ссылку Хопфа. Применяя отношение к ссылке Хопфа, где указано,

C(Моток -relation-link22-plus-sm.png ) = C (Skein-Relations-link22-minus-sm.png ) + z C (Skein-Relations-link22-zero-sm.png )

дает деформируемое звено с нулевым пересечением (на самом деле это разъединение двух компонентов) и развязку. Разрыв связи требует некоторой хитрости:

C(Skein-Relations-link20-plus- sm.png ) = C (Skein-Relations-link20-minus-sm.png ) + z C (Skein-Relations-link20-zero -sm.png )

, что подразумевает, что C (разъединение двух компонентов) = 0, поскольку первые два многочлена являются несвязанными и, следовательно, равно.

Если сложить все это вместе, получим:

C (трилистник) = 1 + z (0 + z) = 1 + z 2 {\ displaystyle C (\ mathrm {trefoil}) = 1 + z (0 + z) = 1 + z ^ {2}}{\ displaystyle C (\ mathrm {trefoil}) = 1 + z (0 + z) = 1 + z ^ {2}}

Временной многочлен Александера - Конвея является инвариантомным узлом, это показывает, что трилистник не эквивалентен несучку. Таким образом, трилистник действительно «завязан».

На самом деле, есть два узла-трилистника, называемые правым и левым трилистником, которые являются зеркальным отображением друг друга (возьмите трилистника, приведенную выше, и измените каждое пересечение на другое, чтобы получить зеркальное изображение). Они не эквивалентны друг другу, что означает, что они не амфихиральны. Это было показано Максом Ден, до изобретения полиномов узлов, с использованием теории групп методы (Ден 1914). Но многочлен Александера – Конвея для каждого вида трилистника будет одинаковым, что можно увидеть, выполнив приведенное выше вычисление с зеркальным отображением. Фактически, полином Джонса может различать левый и правый трилистник (Lickorish 1997).

Гиперболические инварианты

Уильям Терстон доказал, что многие узлы являются гиперболическими узлами, что означает, что узел дополняет (т. Е. Набор точек 3- пространство не на узле) допускает геометрическую структуру, в частности структуру гиперболической геометрии. Гиперболическая структура зависит только от узла, поэтому любая величина, вычисленная из гиперболической структуры, является инвариантом узла (Адамс 2004).

Кольца Борромео - это связь со свойством, при котором удаление одного кольца разъединяет другие. Обзор куспида SnapPea : кольца Борромео дополняют перспектива обитателя, живущего рядом с красным компонентом.

Геометрия позволяет нам визуализировать, как выглядит внутренняя часть узла или связующего звена, представляя лучи света движущимися по геодезическим геометрии. Примером может служить изображение дополнения к кольцам Борромео. Обитатель этого звена смотрит на пространство вблизи красного компонента. Шары на картинке - виды хоробол окрестностей ссылки. Путем стандартногоутолщения звена получаются горизонтальные окрестности компонент звена. Несмотря на то, что граница представляет собой тор, если смотреть изнутри дополнения связей, она выглядит как сфера. Каждый компонент связи показывает как бесконечно много сфер (одного цвета), поскольку существует бесконечно много световых лучей от наблюдателя к компоненту связи. Фундаментальный параллелограмм (показанный на картинке) разбивает плитку как по вертикали, так и по горизонтали и показывает, как бесконечно расширять узор из сфер.

Этот узор, узор "горобок", сам по себе является полезным инвариантом. Другие гиперболические инварианты включают форму основной параллелограммы, длину кратчайшей геодезической и объем. Современные методы табуляции узлов и ссылок используют эти инварианты. Быстрые компьютеры и умные методы получения этих инвариантов выполняет вычисление этих инвариантов на практике простой (выполняет Adams, Hildebrand Weeks 1991).

Высшие измерения

Трехмерный узел можно развязать, если его поместить в четырехмерное пространство. Делается это путем смены переходов. Предположим, что одна нить находится позади другой, если смотреть из выбранной точки. Поднимите его в четвертое измерение, чтобы не было препятствий (передняя прядь не имеет компонентов); затем сдвиньте его вперед и опустите назад, теперь впереди. Аналогия с самолетом - отрыв веревки от поверхности или точки внутри круга.

На самом деле, в четырех измерениях любой непересекающийся замкнутый цикл одном струны эквивалентен непересекающемуся узлу. Сначала «протолкните» цикл в трехмерном подпространстве, что всегда возможно, хотя и технически объяснимо.

Завязывание сфер более высокой размерности

Таким образом можно рассматривать топологически как одну из сфер, следующее обобщение в рассмотрении двумерной сферы (S 2 {\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}{\ mathbb {S}} ^ {2} ), встроенное в 4-мерное евклидово пространство (R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}\ mathbb {R} ^ {4} ). Такое вложение является узлом, если нет гомеоморфизма R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}\ mathbb {R} ^ {4} на себя, переводящего вложенную 2-сферу в стандартное «круглое» вложение. 2-х сфер. и представьте себе два типичных семейства таких узлов с двумя сферами.

Математический метод, называемый «общее положение», подразумевает, что для данной n-сферы в m-мерном евклидовом пространстве, если m достаточно велико (в зависимости от n), сфера должна быть незаузленной. В общем, кусочно-линейные n-сфере образуют узлы только в (n + 2) -мерном пространстве (Zeeman 1963), хотя это уже не требование для гладко завязанных сфер. На самом деле в 6k-мерном изображении есть гладко заузленные (4k - 1) -сферы, например в R 6 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {6}}\ mathbb {R} ^ 6 (Haefliger 1962) (Levine 1965) есть 3-сфера с гладкими узлами. Таким образом, коразмерность гладкого узла может быть сколь угодно большой, если не фиксировать размерность завязанной сферы; однако любая гладкая k-сфера, вложенная в R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} с 2n - 3k - 3>0, не имеет узлов. Понятие узла имеет дальнейшие обобщения в математике, см.: узел (математика), изотопическая классификация вложений.

Каждый узел в n-сфере S n {\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}\ mathbb {S} ^ n - связь вещественно-алгебраического множественного с изолированной сингулярностью в R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { n + 1}}\ mathbb {R} ^ {n + 1} (Акбулут и Кинг 1981).

n-узел - это одиночный S n {\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}\ mathbb {S} ^ n , встроенный в R m {\ displaystyle \ mathbb { R} ^ {m}}\ mathbb {R} ^ {m} . N-ссылка - это k-копий S n {\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}\ mathbb {S} ^ n , встроенных в R m {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ { m}}\ mathbb {R} ^ {m} , где k - натуральное число. И случай m = n + 2, и случай m>n + 2 хорошо изучены. N>1 имеет разные варианты будущего, чем случай n = 1, и представляет собой захватывающую область.

Добавление узлов

Добавление двух узлов

Два узла могут быть добавлены путем разрезания обоих узлов и соединения пар концов. Операция называется узловой суммой или иногда связной суммой или композицией двух узлов. Формально это можно определить следующим образом (Адамс 2004): рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что проекции не пересекаются. Найдите прямоугольную плоскость, в которой одна пара противоположных сторон является дугой вдоль каждого узла, а остальная часть прямоугольника не пересекается с узлами. Сформируйте новый узел, удалив первую пару противоположных сторон и соединив другую пару противоположных сторон. Полученный узел представляет собой сумму исходных узлов. В зависимости от того, как это делается, могут образоваться два разных узла (но не более). Эта неоднозначность в сумме может быть устранена, если узлы ориентированы, т.е. с учетом предпочтительного направления движения вдоль узла, и требуются, чтобы узлы дуги в сумме были ориентированы согласованно с ориентированной границей прямоугольника.

Сумма ориентированных узлов коммутативна и ассоциативна. Узел является основным, если он нетривиален и не может быть записан как сумма двух нетривиальных узлов. Узел, который можно записать в виде такой суммы, является составным. Для узлов существует разложение на простые числа, аналогичные простому и составным числам (Schubert 1949). Для ориентированных узлов это разложение также уникально. Могут быть добавлены и более крупные узлы, но есть некоторые отличия. Хотя вы не можете сформировать узел в трех измерениях, добавив два нетривиальных узла, вы можете сделать это в более высоких измерениях, по крайней мере, если рассматривать гладкие узлы в коразмерности не менее 3.

Табулирование узлов

Таблица простые узлы до семи пересечений. Узлы помечены обозначением Александера - Бриггса

Традиционно сучки каталогизируются по номеру пересечения. Таблицы узлов обычно включают только простые узлы и только одну запись для узла и его зеркального отображения (если они разные) (Hoste, Thistlethwaite Weeks 1998). Число нетривиальных узлов для данного числа пересечений быстро увеличивается, что затрудняет вычисление таблиц (Hoste 2005, стр. 20). При составлении таблиц удалось насчитать более 6 миллиардов узлов и звеньев (Hoste 2005, стр. 28). Последовательность простых узлов данного номера перекрестка до перекрестка номер 16 равна 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972, 253293., 1388705... (последовательность A002863 в OEIS ). Хотя эта последовательность строго возрастает (Адамс 2004), хотя экспоненциальные верхняя и нижняя границы для этой демонстрируются, не было доказано, что эта последовательность строго возрастает.

В первых таблицах узлов Тейта, Литтла и Киркмана использовались узловые диаграммы, хотя Тейт также использовал предшественник нотации Даукера. Для узлов были изобретены разные обозначения, которые позволяют более эффективно табулировать (Hoste 2005).

В ранних таблицах была предпринята попытка перечислить все узлы максимум из 10 пересечений и все чередующиеся узлы из 11 пересечений (Hoste, Thistlethwaite Weeks 1998). Развитие теории узлов благодаря Александру, Райдемейстеру, Зейферту и другому облегчению задачи проверки, и таблицы узлов до 9 пересечений включительно были опубликованы Александром-Бриггсом и Рейдемейстером в конце 1920-х годов.

Первая серьезная проверка этой работы была сделана в 1960-х годах Джоном Хортоном Конвеем, который не только разработал новую нотацию, но и полином Александера - Конвея (Конвей 1970) (Doll Hoste 1991). Это подтвердило список узлов максимум из 11 переходов и новый список звеньев до 10 переходов. Конвей обнаружил ряд пропусков, но только одно дублирование в таблицах Тейта - Литтла; однако он пропустил дубликаты, называемые парой Перко, которую заметил бы только в 1974 году Кеннет Перко (Перко 1974). Эта известная ошибка будет распространяться, когда Дейл Ролфсен добавил таблицу в свой влиятельный текст, основанный на работе Конвея. Статья Конвея 1970 года по теории узлов также содержит типографское дублирование на его странице с 11 пересекаемыми узлами без чередования и опускает 4 примера - 2 из них ранее были в старшей диссертации Д. Ломбардеро в Принстоне 1968 года и еще 2 были обнаружены проявены. [см. Перко (1982), Примитивность некоторых узлов, Труды по топологии] Менее известен дубликат в его таблице 10 перекрестных связей: 2.-2.-20.20 - зеркало 8 * -20: -20. [См. Перко (2016), «Основные исторические моменты нециклической теории узлов», J. Разветвления теории узлов].

В конце 1990-х Хост, Тистлтуэйт и Уикс подсчитали все узлы через 16 переходов (Хост, Тислтуэйт и Уикс 1998). В 2003 году Ранкин, Флинт и Шерманн составили таблицу чередующихся узлов через 22 пересечения (Hoste 2005).

Обозначение Александра - Бриггса

Это наиболее традиционное обозначение, статье 1927 года Джеймса У. Александера и позже расширенной Дейлом Рольфсеном в его таблице узлов (см. Изображение и выше Список простых узлов ). Обозначение просто упорядочивает узлы по их пересечений. Один записывает номер пересечения с нижним индексом, чтобы обозначить его порядок среди всех узлов с этим номером пересечения. Этот порядок является произвольным и поэтому не имеет особого значения (каждый в количестве пересечений скрученный узел идет после торического узла ). Перечисляются следующие номера пересечения с верхним индексом для обозначения количества компонентов и нижнего индекса для обозначения его порядка в ссылках с одинаковым первым индексом. Таким образом, узел трилистника обозначен как 3 1, ссылка Хопфа - 2. 1. Имена Александера-Бриггса в диапазоне от 10 162 до 10 166 неоднозначны из-за открытия пары Перко в Чарльз Ньютон Литтл исходная и последующие таблицы узлов, а также различные в подходах к исправлению этих ошибок в таблицах узлов и других публикаций, созданных после этого момента.

Обозначение Даукера - Тистлтуэйта

Узловая диаграмма с пересечениями, помеченными для Даукера последовательность

Нотация Даукера - Тистлтуэйта, также называемая нотацией или кодом Даукера, для узла - это конечная последовательность четных целых чисел. Числа генерируются, следуя за узлом и отмеченная перекрестки последовательными целыми числами. Мне кажется, что каждый перекресток через несколько дней перекресток Алиекспресс! Соответствующий знак указывает на пересечение и пересечение. Например, на этом рисунке узловая диаграмма имеетечения, помеченные парами (1,6) (3, −12) (5,2) (7,8) (9, −4) и (11, −10). Обозначение Даукера - Тистлтуэйта для этой маркировки - это последовательность: 6, −12, 2, 8, −4, −10. Узловая диаграмма имеет более одной возможной нотации Даукера, и существует хорошо понятная неоднозначность при восстановлении узла из нотации Даукера - Тислтуэйта.

Нотация Конвея

Нотация Конвея для узлов и звеньев, названная в честь Джона Хортона Конвея, основана на теории клубков. (Конвей 1970). Преимущество этого обозначения в том, что оно отражает некоторые свойства узла или звена.

Обозначение описывает, как построить конкретную диаграмму ссылок для ссылки. Начнем с базового многогранника, четырехвалентного связного плоского графа без областей двуугольника. Такой многогранник сначала обозначается числом вершин, а затем числом звездочек, которые определяют положение многогранника в списке основных многогранников. Например, 10 ** обозначает второй многогранник с 10 вершинами в списке Конвея.

Затем в каждую вершину подставляется алгебраический клубок (каждая вершина ориентирована так, что нет произвольного выбора при замене). Каждый такой клубок имеет обозначение, состоящее из чисел и знаков + или -.

Пример: 1 * 2 −3 2. 1 * обозначает единственный базовый многогранник с одной вершиной. 2 −3 2 - это последовательность, описывающая непрерывную дробь, связанную с рациональным клубком. Этот клубок вставляем в вершину основного многогранника 1 *.

Более сложный пример: 8 * 3.1.2 0.1.1.1.1.1 Здесь снова 8 * относится к базовому многограннику с 8 вершинами. Точки разделяют обозначения для каждого клубка.

Любая ссылка допускает такое описание, и ясно, что это очень компактное обозначение даже для очень большого числа пересечений. Обычно используются еще несколько сокращений. Последний пример обычно пишется 8 * 3: 2 0, где единицы опускаются и сохраняется количество точек, за исключением точек в конце. Для алгебраического узла, такого как в первом примере, 1 * часто опускается.

В новаторской статье Конвея по этой теме перечислены до 10-вершинных базовых многогранников, которые он использует для табулирования ссылок, которые стали стандартом для этих ссылок. Для дальнейшего перечисления многогранников с высшими вершинами доступны нестандартные варианты.

Код Гаусса

Код Гаусса, аналогичный нотации Даукера – Тистлтуэйта, представляет собой узел с последовательностью целых чисел. Однако вместо того, чтобы обозначать каждый перекресток двумя разными числами, перекрестки обозначаются только одним номером. Если пересечение является пересечением, отображается положительное число. В андеркроссинге отрицательное число. Например, узел трилистника в коде Гаусса может быть задан как: 1, −2,3, −1,2, −3

Код Гаусса ограничен в его способности идентифицировать узлы. Эта проблема частично решается с помощью расширенного кода Гаусса.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Вводные учебники

Есть ряд вводных в теорию узлов. Классическое введение для аспирантов или студентов продвинутого уровня: (Рольфсен 1976). Другие полезные тексты из ссылок: (Adams 2001) harv error: no target: CITEREFAdams2001 (help ) и (Lickorish 1997). неформальный и доступный по большей части для старшеклассников. Интенсивное введение для аспирантов, охватывающее хорошее сочетание классических и современных тем.

Surveys

  • Menasco, William W.; Тистлтуэйт, Морвен, ред. (2005), Handbook of Knot Theory, Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3
    • В справочнике Menasco и Thistlethwaite рассматривается сочетание тем, имеющих отношение к текущим тенденциям исследований. доступна для продвинутых студентов, но представляет интерес для профессиональных исследователей.
  • Ливио, Марио (2009), «Глава 8: Неоправданная эффективность?», Является ли Бог математиком?, Саймон и Шустер, стр. 203 –218, ISBN 978-0-7432-9405-8

Внешние ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с теорией узлов.
Искать теория узлов в Wiktionary, бесплатном словаре.
  • «Математика и узлы» Это онлайн-версия выставки, разработанной для Королевского общества 1989 года «PopMath RoadShow». Его цель состояла в том, чтобы использовать узлы для представления методов математики широкой публике.

История

Таблицы узлов и программное обеспечение

Последняя правка сделана 2021-05-25 11:37:11
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте