Кинетическая теория газов

Температура идеального одноатомного газа пропорциональна средней кинетической энергии его атомов. Размер атомов гелия относительно их расстояния показан в масштабе при давлении 1950 атмосфер. Атомы имеют определенную среднюю скорость, замедленную здесь в два триллиона раз от комнатной температуры.

кинетическая теория газов - исторически значимая, но простая модель класс 11 термодинамическое поведение газов, с помощью которого были установлены многие принципиальные концепции термодинамики. Модель описывает газ как большое количество идентичных субмикроскопических частиц (атомов или молекул ), все из которых находятся в постоянном, быстром, случайном движение. Предполагается, что их размер намного меньше среднего расстояния между частицами. Частицы испытывают случайные упругие столкновения между собой и с ограждающими стенками контейнера. Базовая версия модели описывает идеальный газ и не учитывает никаких других взаимодействий между частицами, и, таким образом, характер передачи кинетической энергии во время столкновений строго тепловой.

Кинетическая теория газов объясняет макроскопические свойства газов, такие как объем, давление и температура, а также транспортные свойства, такие как вязкость., теплопроводность и массовая диффузия. Модель также учитывает связанные явления, такие как броуновское движение.

Содержание

1 История
2 Допущения
3 Свойства равновесия
- 3.1 Давление и кинетическая энергия
- 3.2 Температура и кинетика энергия
- 3.3 Столкновения с контейнером
- 3.4 Скорость молекул
4 Транспортные свойства
- 4.1 Вязкость и кинетический импульс
- 4.2 Теплопроводность и тепловой поток
- 4.3 Коэффициент диффузии и диффузионный поток
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

История

Примерно в 50 до н.э. римский философ Лукреций предположил, что очевидно статические макроскопические тела были составлены в небольшом масштабе из быстро движущихся атомов, отскакивающих друг от друга. Эта эпикурейская атомистическая точка зрения редко рассматривалась в последующие столетия, когда аристотелевские идеи были доминирующими.

Передняя обложка Hydrodynamica

В 1738 году Даниэль Бернулли опубликовал Hydrodynamica, положивший начало кинетической теории газов. В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, который все еще используется по сей день, что газы состоят из большого числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы чувствуем, и что то, что мы ощущаем как heat - это просто кинетическая энергия их движения. Теория не была немедленно принята, отчасти потому, что закон сохранения энергии еще не был установлен, и для физиков не было очевидно, как столкновения между молекулами могут быть совершенно упругими.

Другие пионеры кинетической теории (чьи работы в значительной степени игнорировались их современниками) были Михаил Ломоносов (1747), Жорж-Луи Ле Саж (ок. 1780, опубликовано в 1818 году), Джон Херапат (1816) и Джон Джеймс Уотерстон (1843), которые связали свои исследования с разработкой механических объяснений гравитации. В 1856 г. Август Крениг (вероятно, прочитав статью Уотерстона) создал простую газокинетическую модель, которая учитывала только поступательное движение частиц.

В 1857 г. Рудольф Клаузиус, по его собственным словам, независимо от Крёнига, разработал аналогичную, но гораздо более сложную версию теории, которая включала поступательные и (в отличие от Крёнига) также вращательные и колебательные движения молекул. В этой же работе он ввел понятие средней длины свободного пробега частицы. В 1859 году, прочитав статью Клаузиуса о диффузии молекул, шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал распределение Максвелла молекулярных скоростей, которое дало долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. Это был первый статистический закон в физике. Максвелл также привел первый механический аргумент, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. В своей тринадцатистраничной статье 1873 года «Молекулы» Максвелл утверждает: «нам говорят, что« атом »- это материальная точка, окруженная« потенциальными силами »и что, когда« летающие молекулы »ударяются о твердое тело в постоянной последовательности он вызывает то, что называется давлением воздуха и других газов ". В 1871 году Людвиг Больцман обобщил достижения Максвелла и сформулировал распределение Максвелла – Больцмана. Также им впервые была установлена логарифмическая связь между энтропией и вероятностью.

Однако в начале 20 века многие физики считали атомы чисто гипотетическими конструкциями, а не реальными объектами. Важным поворотным моментом стали работы Альберта Эйнштейна (1905) и Мариана Смолуховского (1906) по броуновскому движению, в которых удалось получить точные количественные данные. предсказания, основанные на кинетической теории.

Допущения

Теория идеальных газов делает следующие предположения:

Газ состоит из очень маленьких частиц, известных как молекулы. Эта малость их размера такова, что общий объем отдельных добавленных молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом самого маленького открытого шара, содержащего все молекулы. Это эквивалентно утверждению, что среднее расстояние, разделяющее частицы газа, велико по сравнению с их размером .
Эти частицы имеют одинаковую массу.
Количество молекул настолько велико, что можно применить статистическую обработку.
Быстро движущиеся частицы постоянно сталкиваются между собой и со стенками контейнера. Все эти столкновения совершенно упругие. Это означает, что молекулы считаются идеально сферическими по форме и упругими по природе.
За исключением столкновений, взаимодействия между молекулами незначительны. (То есть они не оказывают силы друг на друга.)

Это означает:

1. Релятивистские эффекты незначительны.

2. Квантово-механические эффекты незначительны. Это означает, что расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля, и молекулы рассматриваются как классические объекты.

3. Благодаря двум вышеупомянутым, их динамику можно трактовать классически. Это означает, что уравнения движения молекул обратимы во времени.

Средняя кинетическая энергия частиц газа зависит только от абсолютной температуры системы системы. Кинетическая теория имеет собственное определение температуры, не идентичное термодинамическому определению.
Истекшее время столкновения между молекулой и стенкой контейнера ничтожно мало по сравнению с временем между последовательными столкновениями.
Поскольку они обладают массой, гравитация ускоряет молекулы. (Если бы это было не так, тогда не было бы градиента плотности в тропосфере планеты, и она схлопнулась бы к поверхности.)

Более современные разработки ослабляют эти предположения и основаны на уравнении Больцмана. Они могут точно описывать свойства плотных газов, потому что они включают объем молекул. Необходимые допущения: отсутствие квантовых эффектов, молекулярный хаос и небольшие градиенты объемных свойств. Расширения до более высоких порядков по плотности известны как вириальные разложения.

. Важной книгой по кинетической теории является книга Чепмена и Каулинга. Важный подход к предмету называется теория Чепмена – Энскога. Было много современных разработок, и есть альтернативный подход, разработанный Grad, основанный на разложении моментов. В другом пределе, для чрезвычайно разреженных газов, градиенты объемных свойств не малы по сравнению с длинами свободного пробега. Это известно как режим Кнудсена, и расширения могут быть выполнены по числу Кнудсена.

Свойства равновесия

Давление и кинетическая энергия

В кинетической модели газов давление равно силе, прилагаемой атомами, ударяющимися и отскакивающими от единицы площади поверхности газового баллона. Рассмотрим газ, состоящий из N молекул, каждая из которых имеет массу m, заключенных в куб объемом V = L.Когда молекула газа сталкивается со стенкой контейнера, перпендикулярной оси x, и отскакивает в противоположном направлении с той же скоростью ( упругое столкновение ), изменение импульса определяется как:

Δ p = pi, x - pf, x = pi, x - (- pi, x) = 2 пи, x = 2 mvx, {\ displaystyle \ Delta p = p_ {i, x} -p_ {f, x} = p_ {i, x} - (- p_ {i, x}) = 2p_ {i, x} = 2mv_ {x},}

{\ displaystyle \ Delta p = p_ {i, x} -p_ {f, x} = p_ {i, x } - (- p_ {i, x}) = 2p_ {i, x} = 2mv_ {x},}

где p - импульс, i и f указывают начальный и конечный импульс (до и после столкновения), x указывает, что рассматривается только направление x, а v - скорость частица (то же самое до и после столкновения).

Частица ударяется об одну конкретную боковую стенку один раз каждые

Δ t = 2 L vx, {\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {2L} {v_ {x}}},}

{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {2L} {v_ {x }}},}

где L - расстояние между противоположными стенами.

Сила , создаваемая этой частицей, составляет

F = Δ p Δ t = m v x 2 L. {\ displaystyle F = {\ frac {\ Delta p} {\ Delta t}} = {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {L}}.}

F = {\ frac {\ Delta p} {\ Delta t}} = {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {L}}.

Общая сила, действующая на стену, составляет

F = N mvx 2 ¯ L, {\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}} {L}},}

{\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}} {L}},}

где полоса обозначает среднее над N частицами.

Поскольку движение частиц является случайным и нет никакого смещения в любом направлении, средний квадрат скорости в каждом направлении идентичен:

v x 2 ¯ = v y 2 ¯ = v z 2 ¯. {\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {z} ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} = {\ overline {v_ {z} ^ {2}}}.}

Согласно теореме Пифагора в трех измерениях полный квадрат скорости v определяется как

v 2 ¯ = vx 2 ¯ + vy 2 ¯ + vz 2 ¯, {\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {z} ^ {2}}},}

{\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = {\ overline {v_ {x} ^ { 2}}} + {\ overline {v_ {y} ^ {2}}} + {\ overline {v_ {z} ^ {2}}},}

v 2 ¯ = 3 vx 2 ¯. {\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = 3 {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ overline {v ^ {2}}} = 3 {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}. }

Следовательно:

vx 2 ¯ = v 2 ¯ 3, { \ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2}}} = {\ frac {\ overline {v ^ {2}}} {3}},}

{\ displaystyle {\ overline {v_ {x} ^ {2 }}} = {\ frac {\ overline {v ^ {2}}} {3}},}

и силу можно записать как:

F = N mv 2 ¯ 3 L. {\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3L}}.}

F = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3L}}.

Эта сила действует на область L. Следовательно, давление газа

P = FL 2 = N mv 2 ¯ 3 V, {\ displaystyle P = {\ frac {F} {L ^ {2}}} = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}}} {3V}},}

{\ displaystyle P = {\ frac {F} {L ^ {2}}} = {\ frac {Nm {\ overline {v ^ {2}}}} {3V} },}

где V = L - объем коробки.

Что касается кинетической энергии газа K:

P V = 2 3 × K. {\ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} \ times {K}.}

{\ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} \ times {K}.}

Это первый нетривиальный результат кинетической теории, поскольку он связывает давление, макроскопический к (поступательной) кинетической энергии молекул $N 1 2 mv 2 ¯ {\ displaystyle N {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2 }}}}$ ${\ displaystyle N {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}}}$ , которое является микроскопическим свойством.

Температура и кинетическая энергия

Перепишите приведенный выше результат для давления как $PV = N mv 2 ¯ 3 {\ displaystyle PV = {Nm {\ overline {v ^ {2} }} \ более 3}}$ $PV = {Nm {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3}$ , мы можем объединить его с законом идеального газа

PV = N k BT, {\ displaystyle \ displaystyle PV = Nk_ {B} T,}

\ displaystyle PV = Nk_ {B} T,

(1)

где $k B {\ displaystyle \ displaystyle k_ {B}}$ $\ displaystyle k_ {B}$ - постоянная Больцмана и $T {\ displaystyle \ displaystyle T}$ $\ displaystyle T$ абсолютная температура, определенная законом идеального газа, чтобы получить

k BT = mv 2 ¯ 3 {\ displaystyle k_ {B} T = {m {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3}}

k_ {B} T = {m {\ overline {v ^ {2}}} \ over 3}

, что приводит к упрощенному выражению средней кинетической энергии на молекулу,

1 2 mv 2 ¯ = 3 2 k BT {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = {\ frac {3} {2}} k_ {B} T}

\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = {\ frac {3} {2}} k_ {B} T

Кинетическая энергия система в N раз больше, чем молекула, а именно $K = 1 2 N mv 2 ¯ {\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} Nm {\ overline {v ^ {2}}}}$ $K = \ frac {1} {2} N m \ overline {v ^ 2}$ . Тогда температура $T {\ displaystyle \ displaystyle T}$ $\ displaystyle T$ принимает форму

T = mv 2 ¯ 3 k B {\ displaystyle \ displaystyle T = {m {\ overline {v ^ { 2}}} \ over 3k_ {B}}}

\ displaystyle T = {m \ overline {v ^ 2} \ более 3 k_B}

(2)

что становится

T = 2 3 KN k B. {\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {2} {3}} {\ frac {K} {Nk_ {B}}}.}

\ displaystyle T = \ frac {2} {3} \ гидроразрыв {K} {N k_B}.

(3)

Уравнение (3) равно единице важный результат кинетической теории: средняя молекулярная кинетическая энергия пропорциональна абсолютной температуре по закону идеального газа. Из уравнения (1) и уравнения (3) мы имеем

P V = 2 3 K. {\ displaystyle \ displaystyle PV = {\ frac {2} {3}} K.}

\ displaystyle PV = \ frac {2} {3} K.

(4)

Таким образом, произведение давления и объема на моль пропорционально среднему (поступательная) молекулярная кинетическая энергия.

Уравнение (1) и уравнение (4) называются «классическими результатами», которые также могут быть получены из статистической механики ; для получения дополнительной информации см.:

Поскольку существует $3 N {\ displaystyle \ displaystyle 3N}$ $\ displaystyle 3N$ степеней свободы в системе одноатомного газа с $N {\ displaystyle \ displaystyle N}$ $\ displaystyle N$ частиц, кинетическая энергия на степень свободы на молекулу равна

K 3 N = k BT 2 {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {K} {3N}} = {\ frac {k_ {B} T} {2}}}

\ Displaystyle \ frac {K} {3 N} = \ frac {k_B T} {2}

(5)

В кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы, постоянная пропорциональности температуры равна 1/2 умноженной на постоянной Больцмана или R / 2 на моль. В дополнение к этому, температура будет снижаться, когда давление упадет до определенной точки. Этот результат связан с теоремой о равнораспределении.

Как отмечалось в статье о теплоемкости, двухатомные газы должны иметь 7 степеней свободы, но более легкие двухатомные газы действуют так, как если бы они имели только 5 • Одноатомные газы имеют 3 степени свободы.

Таким образом, кинетическая энергия на кельвин (одноатомный идеальный газ ) составляет 3 [R / 2] = 3R / 2:

на моль: 12,47 Дж
на молекула: 20,7 yJ = 129 мкэВ.

При стандартной температуре (273,15 K) мы получаем:

на моль: 3406 Дж
на молекулу : 5,65 zJ = 35,2 мэВ.

Столкновения с контейнером

Распределение скоростей частиц, ударяющихся о стенку контейнера, можно рассчитать на основе наивной кинетической теории, и результат можно использовать для анализ эффузивной скорости потока :

Предположим, что в контейнере числовая плотность $n {\ displaystyle n}$ $n$ и частицы подчиняются распределению скоростей Максвелла :

f M axwell (vx, vy, vz) dvxdvydvz = (m 2 π k T) 3/2 e - mv 2 2 k BT dvxdvydvz {\ displaystyle f_ {Maxwell} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})) dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}}

{\ displaystyle f_ {Maxwell} (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z} = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi kT}} \ right) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} dv_ {x} dv_ {y} dv_ {z}}

Тогда количество частиц, попавших в область $d A {\ displaystyle dA}$ $dA$ со скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ под углом $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ от нормали, во временном интервале $dt {\ displaystyle dt}$ $dt$ равно:

nv cos ⁡ θ d A dt × (m 2 π k BT) 3/2 e - mv 2 2 k BT (v 2 грех ⁡ θ dvd θ d ϕ) {\ displaystyle nv \ cos {\ theta} dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {3 / 2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} dv {d \ theta} d \ phi) }

{\ displaystyle nv \ cos {\ theta} dAdt {\ times} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi k_ {B } T}} \ right) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} dv {d \ theta} d \ phi)}

Интегрирование этого по всем подходящим скоростям в пределах ограничения $v>0, 0 < θ < π / 2, 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi }$ $v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ дает количество атомных или молекулярных столкновений со стенкой контейнера. на единицу площади в единицу времени:

J столкновение = 1 4 nv ¯ = n 4 8 k BT π m. {\ displaystyle J_ {collision} = {\ frac {1} {4}} n {\ bar {v}} = {\ frac {n} {4}} {\ sqrt {\ frac {8k_ {B} T} {\ pi m}}}.}

{\ displaystyle J_ {collision} = {\ frac {1} {4}} n {\ bar {v}} = {\ frac {n} {4}} {\ sqrt { \ frac {8k_ {B} T} {\ pi m}}}.}

Эта величина также известна как "скорость столкновения" в физике вакуума.

Если эта небольшая область $A {\ displaystyle A}$ $A$ пробита, чтобы стать маленьким отверстием, скорость эффузивного потока будет:

Φ эффузия = J столкновение A = n A k BT 2 π m. {\ displaystyle \ Phi _ {effusion} = J_ {collision} A = nA {\ sqrt {\ frac {k_ {B} T} {2 \ pi m}}}.}

{\ displaystyle \ Phi _ {effusion} = J_ {collision} A = nA {\ sqrt {\ frac {k_ {B} T} {2 \ pi m}}}.}

В сочетании с идеальным газом закон, это дает:

Φ эффузия = PA 2 π mk BT. {\ displaystyle \ Phi _ {effusion} = {\ frac {PA} {\ sqrt {2 \ pi mk_ {B} T}}}.}

{\ displaystyle \ Phi _ {effusion} = {\ frac {PA} {\ sqrt {2 \ pi mk_ {B} T}}}.}

Распределение скоростей частиц, попадающих в эту небольшую область:

f (v, θ, ϕ) dvd θ d ϕ = const. × (v cos ⁡ θ) × e - m v 2 2 k B T × (v 2 sin ⁡ θ d v d θ d ϕ) = c o n s t. × (v 3 е - mv 2 2 К BT dv) × (соз ⁡ θ sin ⁡ θ d θ) × d ϕ {\ displaystyle {\ begin {align} f (v, \ theta, \ phi) dv {d \ theta} d \ phi = const. {\ times} (v \ cos {\ theta}) {\ times} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} { \ times} (v ^ {2} \ sin {\ theta} dv {d \ theta} d \ phi) \\ = const. {\ times} (v ^ {3} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} dv) {\ times} (\ cos {\ theta} \ sin {\ theta} {d \ theta}) {\ times} d \ phi \ end {выровнено }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (v, \ theta, \ phi) dv {d \ theta} d \ phi = const. {\ times} (v \ cos {\ theta}) {\ times} e ^ {- { \ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} {\ times} (v ^ {2} \ sin {\ theta} dv {d \ theta} d \ phi) \\ = const. {\ times} (v ^ {3} e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} dv) {\ times} (\ cos {\ theta} \ sin {\ тета} {д \ тета}) {\ раз} д \ фи \ конец {выровнено}}}

с ограничением $v>0, 0 < θ < π / 2, 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi }$ $v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$ и $const. {\ displaystyle const.}$ ${\ displaystyle const.}$ может быть определено условием нормализации как $1 2 π (mk BT) 2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left ({ \ frac {m} {k_ {B} T}} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left ({\ frac { m} {k_ {B} T}} \ right) ^ {2}}$ .

Скорость молекул

Из формулы кинетической энергии можно показать, что

vp = 2 ⋅ к BT m, {\ displaystyle v _ {\ text {p}} = {\ sqrt {2 \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}},}

{\ displaystyle v _ {\ text {p}} = {\ sqrt {2 \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}},}

v ¯ = 2 π vp Знак равно 8 π ⋅ К BT м, {\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = {\ sqrt {{\ frac {8} { \ pi}} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}},}

{\ displaystyle {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = {\ sqrt {{\ frac {8} {\ pi}} \ cdot {\ frac {k_ {B}) T} {m}}}},}

v rms = 3 2 vp = 3 ⋅ k BT m, {\ displaystyle v _ {\ text {rms} } = {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} v_ {p} = {\ sqrt {{3} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}},}

{\ displaystyle v _ {\ text {rms}} = {\ sqrt {\ frac {3 } {2}}} v_ {p} = {\ sqrt {{3} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m}}}},}

где v выражается в м / с, T - в кельвинах, а m - масса одной молекулы газа. Наиболее вероятная (или режимная) скорость $vp {\ displaystyle v _ {\ text {p}}}$ $v _ {\ text {p}}$ составляет 81,6% от среднеквадратичной скорости $v rms {\ displaystyle v _ {\ text { среднеквадратичное значение}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {rms}}}$ , а средняя (среднее арифметическое или среднее) скорость $v ¯ {\ displaystyle {\ bar {v}}}$ $\ bar v$ составляет 92,1% от среднеквадратичного значения. скорость (изотропное распределение скоростей ).

См.:

Транспортные свойства

Кинетические Теория газов имеет дело не только с газами, находящимися в термодинамическом равновесии, но также, что очень важно, с газами, не находящимися в термодинамическом равновесии. Это означает использование кинетической теории для рассмотрения так называемых «транспортных свойств», таких как вязкость, теплопроводность и массовая диффузия.

вязкость и кинетический момент

В книгах по элементарной кинетической теории можно найти результаты широко распространенного моделирования разреженного газа. Вывод кинетической модели сдвиговой вязкости обычно начинается с рассмотрения течения Куэтта, где две параллельные пластины разделены слоем газа. Верхняя пластина движется с постоянной скоростью вправо за счет силы F. Нижняя пластина неподвижна, поэтому на нее должна действовать равная и противоположная сила, чтобы удерживать ее в состоянии покоя. Молекулы в газовом слое имеют компоненту прямой скорости $u {\ displaystyle u}$ $u$ , которая равномерно увеличивается с расстоянием $y {\ displaystyle y}$ $y$ над нижней пластиной.. Неравновесный поток накладывается на равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.

Пусть $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ будет сечением столкновения одной молекулы, сталкивающейся с другой. Числовая плотность $n {\ displaystyle n}$ $n$ определяется как количество молекул на (обширный) объем $n = N / V {\ displaystyle n = N / V}$ ${\ displaystyle n = N / V}$ . Сечение столкновения на объем или плотность сечения столкновения составляет $n σ {\ displaystyle n \ sigma}$ ${\ displaystyle п \ sigma}$ , и это связано со средней длиной свободного пробега $l {\ displaystyle l}$ $l$ by

$l = 1 2 n σ {\ displaystyle \ quad l = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} n \ sigma}}}$ ${\ displaystyle \ quad l = {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} n \ sigma}}}$

Обратите внимание, что единица измерения поперечного сечения столкновения на объем $n σ {\ displaystyle n \ sigma}$ ${\ displaystyle п \ sigma}$ обратно пропорциональна длине. Длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула, или количество молекул в объеме, прежде чем они совершат свое первое столкновение.

Пусть $u 0 {\ displaystyle u_ {0}}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$ будет поступательной скоростью газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри слоя газа. Количество молекул, прибывающих в область $d A {\ displaystyle dA}$ $dA$ на одной стороне газового слоя со скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ при угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ от нормали, в интервале времени $dt {\ displaystyle dt}$ $dt$ равен

$nv cos ⁡ θ d A dt × (м 2 π К BT) 3/2 е - mv 2 2 К BT (v 2 грех ⁡ θ dvd θ d ϕ) {\ displaystyle \ quad nv \ cos {\ theta} dAdt {\ times} \ left ({ \ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ right) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} dv {d \ theta} d \ phi)}$ ${\ displaystyle \ quad nv \ cos {\ theta} dAdt {\ times} \ left ( {\ frac {m} {2 \ pi k_ {B} T}} \ справа) ^ {3/2} \, e ^ {- {\ frac {mv ^ {2}} {2k_ {B} T}}} (v ^ {2} \ sin {\ theta} dv {d \ theta } d \ phi)}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии $l cos ⁡ θ {\ displaystyle l \ cos \ theta }$ ${\ displaystyle l \ соз \ theta}$ над и под слоем газа, и каждый будет давать прямой импульс

$px ± = m (u 0 ± l cos ⁡ θ dudy), {\ displaystyle \ quad p_ {x} ^ {\ pm} = m \ left (u_ {0} \ pm l \ cos \ theta {du \ over dy} \ right),}$ ${\ displaystyle \ quad p_ {x } ^ {\ pm} = m \ left (u_ {0} \ pm l \ cos \ theta {du \ over dy} \ right),}$

где знак плюса применяется к молекулам сверху, а знак минус ниже. Обратите внимание, что градиент скорости поступательного движения $d u / d y {\ displaystyle du / dy}$ ${\ displaystyle du / dy}$ можно считать постоянным на расстоянии средней длины свободного пробега.

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

$v>0, 0 < θ < π / 2, 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle \quad v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi }$ $\quad v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$

дает прямую передачу импульса в единицу времени на единицу площади (также известное как напряжение сдвига ):

$τ ± = 1 4 v ¯ n ⋅ m (u 0 ± 2 3 ldudy) {\ displaystyle \ quad \ tau ^ {\ pm} = {\ frac { 1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot m \ left (u_ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} l {du \ over dy} \ right)}$ ${\ displaystyle \ quad \ tau ^ {\ pm} = {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot m \ left (u_ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} l {du \ over dy} \ right)}$

Таким образом, чистая скорость количества движения на единицу площади, переносимого по воображаемой поверхности, равна

$τ = τ + - τ - = 1 3 v ¯ nm ⋅ ldudy {\ displaystyle \ quad \ tau = \ tau ^ {+} - \ tau ^ {-} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nm \ cdot l {du \ over dy}}$ ${\ displaystyle \ quad \ tau = \ tau ^ {+} - \ tau ^ {-} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} нм \ cdot l {ду \ над dy}}$

Объединение приведенного выше кинетического уравнения с законом Ньютона вязкость

$τ = η dudy {\ displaystyle \ quad \ tau = \ eta {du \ over dy}}$ ${\ displaystyle \ quad \ tau = \ eta {du \ over dy}}$

дает уравнение для вязкости при сдвиге, которое обычно обозначается $η 0 {\ displaystyle \ eta _ {0}}$ $\ eta_ {0}$ если это разреженный газ:

$η 0 = 1 3 v ¯ nml {\ displaystyle \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nml}$ ${\ displaystyle \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nml}$

Расческа Объединяя это уравнение с уравнением для средней длины свободного пробега, получаем

$η 0 = 1 3 2 m ⋅ v ¯ σ {\ displaystyle \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3 {\ sqrt {2 }}}} {\ frac {m \ cdot {\ bar {v}}} {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {1} {3 {\ sqrt {2} }}} {\ гидроразрыва {м \ cdot {\ bar {v}}} {\ sigma}}}$

Распределение Максвелла-Больцмана дает среднюю (равновесную) скорость молекулы как

$v ¯ = 2 π vp Знак равно 2 2 π ⋅ К BT м {\ Displaystyle \ quad {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = 2 {\ sqrt {{\ frac { 2} {\ pi}} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m_ {}}}}}}$ ${\ displaystyle \ quad {\ bar {v}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} v_ {p} = 2 {\ sqrt {{\ frac {2} {\ pi}} \ cdot {\ frac {k_ {B} T} {m_ {}}}}}}$

где $vp {\ displaystyle v_ {p}}$ ${\ displaystyle v_ {p}}$ это наиболее вероятная скорость. Отметим, что

$К В ⋅ NA = R и M = m ⋅ NA {\ displaystyle \ quad k_ {B} \ cdot N_ {A} = R \ quad {\ text {and}} \ quad M = m \ cdot N_ {A}}$ ${\ displaystyle \ quad k_ {B} \ cdot N_ {A} = R \ quad { \ text {and}} \ quad M = m \ cdot N_ {A}}$

и вставьте скорость в уравнение вязкости выше. Это дает хорошо известное уравнение для вязкости при сдвиге для разбавленных газов :

$η 0 = 2 3 π ⋅ mk BT σ = 2 3 π ⋅ MRT σ ⋅ NA {\ displaystyle \ quad \ eta _ {0} = { \ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {mk_ {B} T}} {\ sigma}} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {MRT}} {\ sigma \ cdot N_ {A}}}}$ ${\ displaystyle \ quad \ eta _ {0} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {mk_ {B} T}} {\ sigma}} = {\ frac {2} {3 {\ sqrt {\ pi}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {MRT}} {\ сигма \ cdot N_ {A}}}}$

и $M {\ displaystyle M}$ $M$ - молярная масса. Приведенное выше уравнение предполагает, что плотность газа низкая (то есть давление низкое). Это означает, что кинетическая поступательная энергия преобладает над вращательной и колебательной энергиями молекул. Уравнение вязкости также предполагает, что существует только один тип молекул газа и что молекулы газа представляют собой совершенные упругие частицы с твердым ядром сферической формы. Это предположение об упругих сферических молекулах с твердым ядром, таких как бильярдные шары, означает, что сечение столкновения одной молекулы можно оценить следующим образом:

$σ = π (2 r) 2 = π d 2 {\ displaystyle \ quad \ sigma = \ pi \ left (2r \ right) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ quad \ sigma = \ pi \ left (2r \ right) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$

Радиус $r {\ displaystyle r}$ $r$ называется радиусом поперечного сечения столкновения или кинетическим радиус, а диаметр $d {\ displaystyle d}$ $d$ называется диаметром поперечного сечения столкновения или кинетическим диаметром молекулы в мономолекулярном газе. Не существует простой общей связи между сечением столкновения и размером твердого ядра (достаточно сферической) молекулы. Соотношение зависит от формы потенциальной энергии молекулы. Для реальной сферической молекулы (т.е. атома благородного газа или достаточно сферической молекулы) потенциал взаимодействия больше похож на потенциал Леннарда-Джонса или потенциал Морзе, у которых есть отрицательная часть, которая притягивает другая молекула с расстояний, превышающих радиус твердого ядра. Радиус нулевого потенциала Леннарда-Джонса затем подходит для использования в качестве оценки кинетического радиуса.

Теплопроводность и тепловой поток

Следуя логике, аналогичной приведенной выше, можно вывести кинетическую модель для теплопроводности разбавленного газа:

Рассмотрим две параллельные пластины, разделенные слоем газа. Обе пластины имеют однородную температуру и настолько массивны по сравнению с газовым слоем, что их можно рассматривать как тепловые резервуары. Верхняя пластина имеет более высокую температуру, чем нижняя пластина. Молекулы в газовом слое обладают молекулярной кинетической энергией $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , которая равномерно увеличивается с расстоянием $y {\ displaystyle y}$ $y$ над нижним тарелка. Неравновесный поток энергии накладывается на равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.

Пусть $ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ будет молекулярной кинетической энергией газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Количество молекул, прибывающих в область $d A {\ displaystyle dA}$ $dA$ на одной стороне газового слоя со скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ при угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ от нормали, в интервале времени $dt {\ displaystyle dt}$ $dt$ равен

$ε ± = (ε 0 ± mcvl cos ⁡ θ d T dy), {\ displaystyle \ quad \ varepsilon ^ {\ pm} = \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm mc_ {v} l \ cos \ theta {dT \ over dy} \ right),}$ ${\ displaystyle \ quad \ varepsilon ^ {\ pm} = \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm mc_ {v} l \ cos \ theta {dT \ over dy} \ right),}$

где $cv {\ displaystyle c_ {v }}$ $c_{v}$ - удельная теплоемкость. Опять же, знак плюса относится к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент температуры $d T / d y {\ displaystyle dT / dy}$ ${\ displaystyle dT / dy}$ можно считать постоянным на расстоянии средней длины свободного пробега.

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

$v>0, 0 < θ < π / 2, 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle \quad v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi }$ $\quad v>0,0 <\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi$

дает перенос энергии в единицу времени на единицу площади (также известный как тепловой поток ):

$qy ± = - 1 4 v ¯ n ⋅ (ε 0 ± 2 3 mcvld T dy) {\ displaystyle \ quad q_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} mc_ {v} l {dT \ over dy} \ right)}$ ${\ displaystyle \ quad q_ {y } ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} n \ cdot \ left (\ varepsilon _ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} mc_ {v} l {dT \ over dy} \ right)}$

Обратите внимание, что передача энергии сверху происходит в направлении $- y {\ displaystyle -y}$ $-y$ , и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Чистый тепловой поток через воображаемую поверхность, таким образом, равен

$q = qy + - qy - = - 1 3 v ¯ nmcvld T dy {\ displaystyle \ quad q = q_ {y} ^ {+} - q_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l {dT \ over dy}}$ ${\ displaystyle \ quad q = q_ {y} ^ {+} - q_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ { v} l {dT \ over dy}}$

Объединение приведенного выше кинетического уравнения с законом Фурье

$q = - κ d T dy {\ displaystyle \ quad q = - \ kappa {dT \ over dy}}$ ${\ displaystyle \ quad q = - \ kappa {dT \ over dy}}$

дает уравнение для теплопроводности, которое обычно обозначается $κ 0 {\ displaystyle \ kappa _ {0}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {0}}$ если это разбавленный газ:

$κ 0 = 1 3 v ¯ nmcvl {\ displaystyle \ quad \ kappa _ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} nmc_ {v} l}$ ${\ displaystyle \ quad \ kappa _ {0} = {\ frac {1} {3 }} {\ bar {v}} nmc_ {v} l}$

Коэффициент диффузии и диффузионный поток

Следуя аналогичной логике, как указано выше, можно вывести кинетическую модель для массовой диффузии разбавленный газ:

Рассмотрим устойчивую диффузию между двумя областями одного и того же газа с идеально плоскими и параллельными границами, разделенными слоем того же газа. Обе области имеют одинаковую числовую плотность , но верхняя область имеет более высокую числовую плотность, чем нижняя область. В установившемся состоянии плотность числа в любой точке постоянна (то есть не зависит от времени). Однако числовая плотность $n {\ displaystyle n}$ $n$ в слое равномерно увеличивается с расстоянием $y {\ displaystyle y}$ $y$ над нижней пластиной. Неравновесный молекулярный поток накладывается на равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.

Пусть $n 0 {\ displaystyle n_ {0}}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$ будет числовой плотностью газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри слоя. Количество молекул, прибывающих в область $d A {\ displaystyle dA}$ $dA$ на одной стороне газового слоя со скоростью $v {\ displaystyle v}$ $v$ при угол $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ от нормали, в интервале времени $dt {\ displaystyle dt}$ $dt$ равен

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии $l cos ⁡ θ {\ displaystyle l \ cos \ theta }$ ${\ displaystyle l \ соз \ theta}$ над и под слоем газа, где локальная числовая плотность равна

$n ± = (n 0 ± l cos ⁡ θ dndy) {\ displaystyle \ quad n ^ {\ pm} = \ left (n_ {0} \ pm l \ cos \ theta {dn \ over dy} \ right)}$ ${\ displaystyle \ quad n ^ {\ pm} = \ left (n_ {0} \ pm l \ соз \ theta {dn \ over dy} \ right)}$

Опять же, знак плюс применяется к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент числовой плотности $d n / d y {\ displaystyle dn / dy}$ ${\ displaystyle dn / dy}$ можно считать постоянным на расстоянии средней длины свободного пробега.

Integrating over all appropriate velocities within the constraint

$v>0, 0 < θ < π / 2, 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle \quad v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi }$ ${\ displaystyle \ quad v>0,0 <\ theta <\ pi / 2,0 <\ phi <2 \ pi}$

yields the molecular transfer per unit time per unit area (also known as diffusion flux ):

$J y ± = − 1 4 v ¯ ⋅ ( n 0 ± 2 3 l d n d y) {\displaystyle \quad J_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}\cdot \left(n_{0}\pm {\frac {2}{3}}l{dn \over dy}\right)}$ ${\ displaystyle \ quad J_ {y} ^ {\ pm} = - {\ frac {1} {4}} {\ bar {v}} \ cdot \ left (n_ {0} \ pm {\ frac {2} {3}} l {dn \ over dy} \ справа)}$

Note that the molecular transfer from above is in the $− y {\displaystyle -y}$ $-y$ direction, and therefore the overall minus sign in the equation. The net diffusion flux across the imaginary surface is thus

$J = J y + − J y − = − 1 3 v ¯ l d n d y {\displaystyle \quad J=J_{y}^{+}-J_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}l{dn \over dy}}$ ${\ displaystyle \ quad J = J_ {y} ^ {+} - J_ {y} ^ {-} = - {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} l { dn \ over dy}}$

Combining the above kinetic equation with Fick's first law of diffusion

$J = − D d n d y {\displaystyle \quad J=-D{dn \over dy}}$ ${\ displaystyle \ quad J = -D {dn \ over dy}}$

gives the equation for mass diffusivity, which is usually denoted $D 0 {\displaystyle D_{0}}$ ${\ displaystyle D_ {0}}$ when it is a dilute gas:

$D 0 = 1 3 v ¯ l {\displaystyle \quad D_{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}l}$ ${\ displaystyle \ quad D_ {0} = {\ frac {1} {3}} {\ bar {v}} l}$