Среднее расстояние между частицами

Среднее расстояние между частицами ( или среднее расстояние между частицами) - это среднее расстояние между микроскопическими частицами (обычно атомами или молекулами ) в макроскопическом теле.

• 1 Неопределенность
• 2 Идеальный газ
  • 2.1 Распределение ближайших соседей
  • 2.2 Среднее расстояние и более высокие моменты распределения NN
• 3 ссылки
• 4 См. Также

Из самых общих соображений, среднее расстояние между частицами пропорционально размеру объема, приходящегося на одну частицу, т. Е. ${\ displaystyle 1 / n}$

${\ displaystyle \ langle r \ rangle \ sim 1 / n ^ {1/3},}$

где - плотность частиц. Однако, за исключением нескольких простых случаев, таких как модель идеального газа, точные вычисления коэффициента пропорциональности невозможны аналитически. Поэтому часто используются приближенные выражения. Одной из таких оценок является радиус Вигнера-Зейтца ${\ Displaystyle п = Н / В}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {4 \ pi n}} \ right) ^ {1/3},}$

что соответствует радиусу сферы, имеющей объем на частицу. Другое популярное определение - ${\ displaystyle 1 / n}$

${\ Displaystyle 1 / п ^ {1/3}}$,

соответствующая длине ребра куба с объемом на частицу. Эти два определения различаются примерно в разы, поэтому нужно проявлять осторожность, если в статье не удается точно определить параметр. С другой стороны, он часто используется в качественных утверждениях, где такой числовой фактор либо не имеет значения, либо играет незначительную роль, например, ${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle 1.61}$

• "потенциальная энергия... пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r" ( теорема Вириала )
• «расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля» ( кинетическая теория )

Распределение ближайших соседей

PDF расстояний NN в идеальном газе.

Мы хотим вычислить функцию распределения вероятностей расстояния до ближайшей соседней (NN) частицы. (Проблема была впервые рассмотрена Полом Герцем ; современный вывод см., Например,.) Предположим, что частицы внутри сферы имеют объем, так что. Обратите внимание, что поскольку частицы в идеальном газе не взаимодействуют, вероятность найти частицу на определенном расстоянии от другой частицы равна вероятности найти частицу на том же расстоянии от любой другой точки; мы будем использовать центр сферы. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle п = Н / В}$

Частица NN на расстоянии означает, что ровно одна из частиц находится на этом расстоянии, в то время как остальные частицы находятся на больших расстояниях, то есть они где-то вне сферы с радиусом. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N-1}$${\ displaystyle r}$

Вероятность найти частицу на расстоянии от начала координат между и равна, плюс у нас есть способы выбрать, какую частицу, в то время как вероятность найти частицу вне этой сферы равна. Искомое выражение тогда ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r + dr}$${\ displaystyle (4 \ pi r ^ {2} / V) dr}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 1-4 \ pi r ^ {3} / 3V}$

${\ displaystyle P_ {N} (r) dr = 4 \ pi r ^ {2} dr {\ frac {N} {V}} \ left (1 - {\ frac {4 \ pi} {3}} r ^ {3} / V \ right) ^ {N-1} = {\ frac {3} {a}} \ left ({\ frac {r} {a}} \ right) ^ {2} dr \ left (1 - \ left ({\ frac {r} {a}} \ right) ^ {3} {\ frac {1} {N}} \ right) ^ {N-1} \,}$

где мы заменили

${\ displaystyle {\ frac {1} {V}} = {\ frac {3} {4 \ pi Na ^ {3}}}.}$

Обратите внимание, что это радиус Вигнера-Зейтца. Наконец, переходя к пределу и используя, получаем ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle N \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right) ^ {x} = e}$

${\ displaystyle P (r) = {\ frac {3} {a}} \ left ({\ frac {r} {a}} \ right) ^ {2} e ^ {- (r / a) ^ {3 }} \,.}$

Можно сразу проверить, что

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} P (r) dr = 1 \,.}$

Пик распределения при

${\ displaystyle r _ {\ text {peak}} = \ left (2/3 \ right) ^ {1/3} a \ приблизительно 0,874a \,.}$

Среднее расстояние и более высокие моменты распределения NN

${\ displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (r) r ^ {k} dr = 3a ^ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty } x ^ {k + 2} e ^ {- x ^ {3}} dx \,,}$

или, используя замену, ${\ Displaystyle т = х ^ {3}}$

${\ displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = a ^ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {k / 3} e ^ {- t} dt = a ^ {k} \ Гамма (1 + {\ frac {k} {3}}) \,,}$

где - гамма-функция. Таким образом, ${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ langle r ^ {k} \ rangle = a ^ {k} \ Gamma (1 + {\ frac {k} {3}}) \,.}$

Особенно,

${\ displaystyle \ langle r \ rangle = a \ Gamma ({\ frac {4} {3}}) = {\ frac {a} {3}} \ Gamma ({\ frac {1} {3}}) \ около 0,893a \,}$

1. ^ Герц, Пол (1909). "Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind". Mathematische Annalen. 67 (3): 387–398. DOI : 10.1007 / BF01450410. ISSN   0025-5831. S2CID   120573104.
2. ^ Chandrasekhar, S. (1943-01-01). «Стохастические задачи физики и астрономии». Обзоры современной физики. 15 (1): 1–89. Bibcode : 1943RvMP... 15.... 1С. DOI : 10.1103 / RevModPhys.15.1.

• Радиус Вигнера-Зейтца