Потенциал Леннарда-Джонса

Рисунок 1 . График потенциальной функции Леннарда-Джонса: межмолекулярная потенциальная энергия $V\; L\; J\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{LJ\}\}\}$как функция частиц пары частиц. Минимум возможности составляет $r\; =\; rm\; =\; 2\; 1/6\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{m\}\; =\; 2\; ^\; \{1/6\}\; \backslash \; sigma\}$.

потенциал Леннарда-Джонса (также называемый потенциалом LJ или 12-6 потенциалом ) представляет собой межмолекулярный парный потенциал. Среди межмолекулярных потенциалов потенциал Леннарда-Джонса играет центральную роль, как вода среди жидкостей: это потенциал, который изучался наиболее широко и тщательно. Он прототипом простых, но реалистичных межмолекулярных взаимодействий.

Потенциал Леннарда-Джонса моделирует мягкие взаимодействия отталкивания и притяжения. Следовательно, потенциал Леннарда-Джонса электронно-нейтральные молекулы или молекулы. Он назван в честь Джона Леннард-Джонса. Обычно используемое выражение для использования Леннарда-Джонса:

$V\; LJ\; =\; 4\; \epsilon \; [(\sigma \; r)\; 12\; -\; (\sigma \; r)\; 6],\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{LJ\}\}\; =\; 4\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{12\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{6\}\; \backslash \; right],\; ~~~~~~\; (1)\}$

где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- расстояние между двумя взаимодействующими частями, $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- глубина потенциальной ямы (обычно называемая «энергией дисперсии»), а $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- расстояние, на котором потенциальная энергия частицы $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$равно нулю (часто обозначается как «размер частиц»). Потенциал Леннарда-Джонса имеет минимум на расстоянии $r\; =\; rm\; =\; 2\; 1/6\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{m\}\; =\; 2\; ^\; \{1/6\}\; \backslash \; sigma\}$, где потенциальная энергия имеет значение $V\; =\; -\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; -\; \backslash \; varepsilon\}$.

Потенциал Леннарда-Джонса - это упрощенная модель, которая, тем не менее, включает основные особенности взаимодействия между простыми атомами и молекулами: Две взаимодействующие частицы отталкиваются друг от друга на очень близком расстоянии, притягиваются друг к другу на умеренном расстоянии и не взаимодействуют на бесконечном расстоянии, см. Рисунок 1. Потенциал Леннарда-Джонса - это парный потенциал, т.е. трех- или многочастичные столкновения не рассматриваются. по потенциалу.

Статистическая механика и компьютерное моделирование может изучение для изучения Леннарда-Джонса и получение теплофизических свойств «вещества Леннарда-Джонса». И потенциал Леннарда-Джонса, и, соответственно, наличие Леннарда-Джонса упрощенными, но реалистичными моделями, например, они точно отражают важные физические принципы, такие как критической и тройной точки, конденсация и замерзание и т. Д. Потенциал Леннарда-Джонса математически прост и широко используется в исследованиях материи с первых дней компьютерного моделирования. Благодаря своей математической простоте и универсальному возможному моделированию Леннарда-Джонса, вероятно, до сих пор наиболее изучаемым модельным потенциалом. Вещество Леннарда-Джонса часто даже называют «Леннард-Джонсиум», предполагая, что оно рассматривается как химический элемент. Потенциал Леннарда-Джонса обычно является стандартным выбором для разработки теорий для материи (особенно мягкой материи), а также для разработки и тестирования вычислительных методов и алгоритмов. После настройки параметров модели $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$на свойства реального вещества, потенциал Леннарда-Джонса может использоваться для описание простых веществ (например, благородных газов ) с хорошей точностью. Кроме того, потенциал Леннарда-Джонса часто используется в качестве строительного блока в молекулярных моделях (также известных как силовых полях ) для более сложных веществ.

• 1 Физические основы и математические детали
• 2 Применение Леннарда-Джонса в молекулярном моделировании
• 3 Альтернативные обозначения Леннарда-Джонса
• 4 Безразмерные (приведенные единицы)
• 5 Теплофизические свойства Леннард-Джонса
  • 5.1 Характерные точки и кривые
  • 5.2 Свойства жидкости Леннард-Джонса
  • 5.3 Свойства твердого вещества Леннард-Джонса
• 6 Смеси веществ Леннард-Джонса
• 7 Уравнения состояния для улучшения Леннарда- Джонса
• 8 Дальнодействующее взаимодействие возможностей Леннарда-Джонса
• 9 Усеченный и сдвинутый потенциал Леннарда-Джонса (LJTS)
• 10 Расширения и модификации Потенциал Леннарда-Джонса
• 11 См.
• 12 Ссылки
• 13 Внешние ссылки

Потенциал Леннарда-Джонса моделирует два наиболее важных и фундаментальных молекулярных взаимодействия: Отталкивающий член ($1\; /\; r\; 12\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{12\}\}$термин) есть отталкивание Паули на малых расстояниях взаимодействующих частиц из-за перекрытия электронных орбиталей и член притяжения ($1\; /\; r\; 6\; \{\; \backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{6\}\}$термин) притяжение при дальнодействующих взаимодействиях (сила дисперсии ), которые исчезают на бесконечном расстоянии между двумя частями. Резкие отталкивающие взаимодействия на коротких расстояниях приводят к низкой сжимаемости твердой и жидкой фаз; притягивающие дисперсионные взаимодействия стабилизируют конденсированную фазу, особенно равновесие пара и жидкости..

Функциональная форма члена притяжения, то есть показатель степени «6», имеет физическое обоснование, которое не выполняется так строго для отталкивающего члена с показателем «12». Притягивающие дисперсионные взаимодействия между простыми атомами и молекулами вызывают флуктуирующих частичных зарядов. Квантово-химические расчеты показали, что этот дисперсионный вклад должен уменьшаться с $1\; /\; r\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{6\}\}$.

$1\; /\; r\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{12\}\}$в основном используется потому, что его можно очень эффективно реализовать с вычислительной точки зрения как квадрат $1\; /\; r\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{6\}\}$, что не выполняется в такой же степени для других значений показателя отталкивания вместо «12». Кроме того, $1\; /\; r\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{12\}\}$достаточно хорошо аппроксимирует отталкивание Паули. Потенциал Леннарда-Джонса можно обобщить, используя произвольные показатели вместо 12 и 6. Полученный потенциал называется потенциалом Ми. В данной статье исключительно классический (12-6) потенциал Леннарда-Джонса.

Потенциал Леннарда-Джонса имеет полюс при $r\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$, т.е. потенциальная энергия расходится к $V\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$, что может вызвать нестабильность в молекулярном моделировании, например для отбора проб химического потенциала. Потенциал Леннарда-Джонса сходится к $V\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$для $r\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$. Следовательно, с математической точки зрения, притягательные встречи присутствуют для бесконечно удаленных частиц. Эти дисперсионные «дальнодействующие» оказывают важное влияние на несколько свойств Леннард-Джонса, например давление или теплоемкость в окрестности критической точки и самой критической точки. Важность дальнодействующих взаимодействий была замечена уже на ранних этапах статистической механики. Для компьютерного моделирования можно использовать только конечное число частиц, что позволяет оценить потенциал до конечного радиуса $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, что так - так называемый эффект конечного размера. Существуют хорошо зарекомендовавшие методы для неявного учета игнорируемого таким образом вклада дальнего действия для данной наблюдаемой (подробности приведенных).

Часто существуют множественные потенциалы Леннарда-Джонса и соответствующие вещества в зависимости от обработки дальнодействующих взаимодействий. Это заблуждение. Есть только один «потенциал Леннарда-Джонса», который точно определяет формулой. (1). Потенциал Леннарда-Джонса требует рассмотрения и оценки дальнодействующих взаимодействий до очень больших (фактически бесконечных) расстояний - по крайней мере, так, чтобы влияние усечения не влияло на наблюдаемую, представляющую для информации о десятичных разрядах.

Потенциал Леннарда-Джонса подразумевает, что частицы являются точечными массами с массой $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Несмотря на то, что параметр $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$часто называют «размером частицы», частицы, взаимодействующие с потенциалом Леннарда-Джонса, не имеют однозначно определенного «размера» - в отличие от потенциал твердой сферы. Частицы, взаимодействующие с потенциалом Леннарда-Джонса, скорее имеют мягкие ядра отталкивания.

Модель Леннарда-Джонса потенциальную межмолекулярную энергию $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$между двумя частями на основе изложенных принципов. Следуя механике Ньютона, действующая сила $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$между двумя взаимодействующими частями, просто получается путем дифференцирования потенциала Леннарда-Джонса относительно $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, т.е. $F\; =\; d\; V\; /\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\; /\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r\}$. В зависимости от расстояния между двумя частями результирующая сила может быть либо притягивающей, либо отталкивающей.

Потенциал Леннарда-Джонса дает хорошее приближение межмолекулярных взаимодействий для многих приложений: макроскопические свойства, вычисленные с использованием Леннарда-Джонса, хорошо согласуются с экспериментальными данными для простых веществ, таких как аргон, с одной стороны, и потенциалом функция функция $VLJ\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{LJ\}\}\; (r)\}$находится в хорошем согласии с результатами квантовой химии с другой стороны. Потенциал Леннарда-Джонса дает хорошее описание молекулярных взаимодействий в жидких фазах, тогда как молекулярные взаимодействия в твердых фазах только приблизительно. В основном это связано с тем, что многочастные роли играют роль в твердых фазах, которые не влияют на потенциал Леннарда-Джонса. Следовательно, потенциал Леннарда-Джонса широко используется в физике мягкой материи и связанных, тогда как он часто используется в физике твердого тела. Благодаря использованию модели дисперсионных и отталкивающих взаимодействий в молекулярных моделях. Это особенно точно для элементов благородного газа и метана. Кроме того, это хорошее приближение для молекулярных взаимодействий на больших и малых расстояниях для нейтральных атомов и молекул. Поэтому Леннарда-Джонса очень часто используется в качестве строительного блока молекулярных моделей сложных молекул, например алканы или вода. Потенциал Леннарда-Джонса также можно использовать для обработки взаимодействий адсорбция на границах раздела твердое тело-жидкость, то есть физадсорбции или хемосорбции.

Хорошо известно, что основная Ограничения потенциала Леннарда -Джонса заключается в том, что этот потенциал является парным потенциалом (не охватывает нескольких тел) и что $1\; /\; r\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; r\; ^\; \{12\}\}$показатель степени используется для отталкивания. Результаты квантовой химии предполагают, что следует использовать более высокий показатель степени, чем 12, то есть более крутой потенциал. Кроме того, потенциал Леннарда-Джонса имеет ограниченную гибкость, т.е. только два параметра модели $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$может карьера для описания настоящего вещества.

Многочисленные межмолекулярные потенциалы были предложены в прошлом для моделирования простых мягких взаимодействий отталкивания и притяжения между сферически симметричными частями, т.е. общая форма, показанная на рисунке 1. Примеры других потенциалов: потенциал Морзе, потенциал Ми, потенциал Бэкингема и потенциал Танга-Тонни. Тем не менее, ни один из них не имеет такого общего значения, как потенциал Леннарда-Джонса.

Потенциал Леннарда-Джонса фундаментальное не только в вычислительной химии и физике мягкой материи., но и для моделирования реальных веществ. Существуют два основных способа использования потенциала Леннарда-Джонса для этой цели: (1) реальный атом или молекула вещества моделирует собственный потенциал Леннарда-Джонса, что дает очень хорошие результаты для благородных газов и метан, т.е. дисперсно взаимодействующие сферические частицы. В случае метана заключено, что молекула сферически симметрична, а атомы водорода слиты с атомом углерода в общую единицу. Это упрощение может быть применено и к более сложным молекулам, но обычно дает плохие результаты. (2) Настоящая молекула вещества построена из множества типов функций леннард-джонсовского взаимодействия, которые могут быть связаны либо гибкими дополнительными связями, либо гибкими дополнительными функциями (и в конечном итоге состоят из других типов потенциалов, например, частичных зарядов). Молекулярные модели (часто называемые «силовым полем ») практически для всех молекулярных и ионных частиц построены с использованием этой схемы, например, для алканов.

При использовании В Согласно первому описанному подходу, молекулярная модель имеет только два свойства Леннарда-Джонса $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$которые можно использовать для фитинга, например $\epsilon \; /\; К\; В\; =\; 120\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; /\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; =\; 120\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\}$и $\sigma \; =\; 0,34\; нм\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; 0,34\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{nm\}\}$часто используется для аргона. Очевидно, этот подход является лишь хорошим приближением для сферических и просто дисперсионно взаимодействующих молекул и атомов. Прямое использование преимуществ Леннарда-Джонса большое преимущество в том, что методы и преимущества для использования Леннарда-Джонса напрямую. Следовательно, доступны возможности для использования Леннарда-Джонса и вещества могут быть напрямую масштабированы с использованием соответствующих $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$(см. Сокращенные единицы). Параметры мощности Леннарда-Джонса $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, как правило, можно согласовать с любым желаемым своим реальным веществом.. В физике мягкой материи для параметров обычно используются экспериментальные данные для фазового равновесия пар-жидкость или критической точки; в физике твердого тела используются, скорее, сжимаемость, теплоемкость или постоянные решетки.

Второй описанный подход использования Леннарда-Джонса в качестве строительного блока более сложных и сложных молекул. Молекулярные модели, таким образом, адаптированы в том смысле, что результаты моделирования применимы только для конкретных моделей. Этот подход к разработке молекулярных силовых полей сегодня в основном используется в физике мягкой материи и связанных, таких как ическая инженерия. Большое количество силовых полей основано на потенциале Леннарда-Джонса, например силовое поле TraPPE, силовое поле OPLS и силовое поле MolMod (обзор молекулярных силовых полей выходит за рамки данной статьи). Для моделирования твердотельных материалов используются сложные многочастичные потенциалы (например, потенциалы EAM ).

Есть несколько различных способов преобразования потенциала Леннарда-Джонса, помимо уравнений. (1). Альтернативы:

Форма AB

Форма AB часто используется в реализации программного обеспечения для моделирования, поскольку она удобна для вычислений. Потенциал Леннарда-Джонса можно записать как

$V\; LJ\; (r)\; =\; A\; r\; 12\; -\; B\; r\; 6,\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{LJ\}\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{r\; ^\; \{\; 12\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{r\; ^\; \{6\}\}\},\}$

где, $A\; =\; 4\; \epsilon \; \sigma \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 4\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; ^\; \{12\}\}$и $B\; =\; 4\; \epsilon \; \sigma \; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; 4\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; ^\; \{6\}\}$. И наоборот, $\sigma \; =\; AB\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{6\}]\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{B\}\}\}\}$и $\epsilon \; =\; B\; 2\; 4\; А\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{B\; ^\; \{2\}\}\; \{4A\}\}\}$. Это форма, в которой Леннард-Джонс написал потенциал, названный в его честь.

Форма n-exp

Форма n-exp - математически более общая форма и может быть записана как

$V\; LJ\; (r)\; знак\; равно\; \epsilon \; ((р\; 0\; р)\; 2\; N\; -\; 2\; (р\; 0\; р)\; п),\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; текст\; \{LJ\}\}\; (г)\; =\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{0\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2n\}\; -2\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{0\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right),\}$

где $n\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 6\}$и $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$- энергия связи молекулы (энергия, необходимая для разделения элементов). Применяя гармоническое приближение к минимуму возможности (при $V\; (rm)\; =\; -\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (r\_\; \{m\})\; =\; -\; \backslash \; varepsilon\}$), показатель степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и энергетический параметр $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$могут быть связаны с жесткостью пружины $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$.$k\; Знак\; равно\; 2\; \epsilon \; (nr\; 0)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 2\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{r\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$

откуда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$можно вычислить, если известно $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Обычно гармонические состояния известны: $\Delta \; E\; =\; \hslash \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; E\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}$, где $\omega \; =\; k\; /\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{k\; /\; m\}\}\}\;$. $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$также может быть связано с групповой скоростью в кристалле, $vg\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{g\}\; \}\}$

$vg\; =\; a\; \cdot \; nr\; 0\; \epsilon \; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; text\; \{g\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cdot\; n\}\; \{r\_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \{m\}\}\},\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$- расстояние до решетки, а $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- масса частицы.

безразмерные (уменьшенные) единицы

Свойство	Символ	Уменьшенная форма
Длина	$r\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; г\; ^\; \{*\}\}$	$р\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$
Время	$t\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{*\}\}$	$t\; \epsilon \; m\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \{m\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}$
Температура	$T\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{*\}\}$	$k\; BT\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{k\_\; \{B\}\; T\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$
Force	$F\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{*\}\}$	$F\; \sigma \; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{F\; \backslash \; sigma\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$
Энергия	$U\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; U\; ^\; \{*\}\}$	$U\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$
Давление	$p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\}$	$p\; \sigma \; 3\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$
Плотность	$\rho \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; ^\; \{*\}\}$	$\rho \; \sigma \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\}$
Поверхностное натяжение	$\gamma \; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\; *\}\}$	$\gamma \; \sigma \; 2\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$

Размер Безоперационные восстановленные единицы могут быть определены на основе параметров потенциала Леннарда-Джонса, что удобно для молекулярного моделирования. С числовой точки зрения преимущества этой системы единиц включаютИспользование возможностей вычисления значений, используемых ближе к единице. Эта сокращенная система инструкций требует указания размера $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$и параметра энергии $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$Леннарда. -Потенциал Джонса и частицы $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Все физические свойства могут быть легко преобразованы с учетом соответствующих размеров, см. Таблицу. Сокращенные единицы часто сокращаются и обозначаются звездочкой.

В общем сокращенные единицы также могут быть построены на других дополнительных молекулах, которые состоят из длины и параметров энергии.

Рисунок 2 . Фазовая диаграмма вещества Леннард-Джонса. Корреляции и числовые значения для критической точки и тройной точки (точек) взяты из работ. Звездочка указывает на критическую точку. Круг указывает тройную точку пар-жидкость-твердое тело, а треугольник указывает тройную точку пар-твердое тело (ГЦК) -твердое тело (ГПУ). Сплошными линиями обозначены линии сосуществования двух фаз. Пунктирными линиями обозначена спинодаль пар-жидкость.

Теплофизические свойства вещества Леннарда-Джонса, т.е. частиц, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса, можно получить с помощью статистической механики. Некоторые свойства можно вычислить аналитическим методом, тогда как другие свойства можно получить путем молекулярного моделирования. На последнее обычно накладываются как статистические, так и систематические неопределенности. Например, вириальные коэффициенты могут быть вычислены непосредственно из возможностей Леннарда с использованием алгебраических выражений, поэтому данные данные не содержат неопределенности. Результаты молекулярного моделирования, например давление при данной температуре и плотности имеет как статистические, так и систематические погрешности. Молекулярное моделирование возможностей Леннарда-Джонса, как правило, может быть выполнено использование либо моделирования молекулярной динамики (MD), либо моделирования Монте-Карло (MC). Для моделирования MC использует потенциал Леннарда-Джонса $VLJ\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{LJ\}\}\; (r)\}$, как модели MD всегда основаны на производной способности, то есть силы $F\; =\; d\; V\; /\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\; /\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; r\}$. Эти различия в сочетании с различиями в трактовке дальнодействующих взаимодействий (см. Ниже) могут влиять на вычисленные теплофизические свойства.

Лайннард-Джонсиум является архетипом для моделирования простых, но реалистичных межмолекулярных взаимодействий, большое количество теплофизических свойств изучено и опубликовано в литературе. Данные компьютерных экспериментов с потенциалом Леннарда-Джонса в настоящее время наиболее точно известными данными в вычислительной химии классической механики. Следовательно, такие данные также в основном используются в качестве эталона для проверки и тестирования новых алгоритмов и теорий. Потенциал Леннарда-Джонса использовался с первых дней молекулярного моделирования. Первые результатыных экспериментов для возможности Леннарда-Джонса были представлены Розенблютом и Розенблютом, Вудом и Паркером после того, как в 1953 г. стало доступное моделирование на «быстрых вычислительных машинх ». С тех пор во многих исследованиях были представлены данные Субстанция Леннарда-Джонса; общедоступно около 50 000 точек данных. Текущее состояние исследований теплофизических свойств вещества Леннарда-Джонса можно обобщить следующим образом. Наиболее полное резюме и цифровая база данных предоставлены Stephan et al. В настоящее время ни одно хранилище данных не покрывает и поддерживает эту базу данных (или любую другую потенциальную модель) - даже данные и результаты, материалы на веб-сайте NIST, следует рассматривать с осторожностью (не воспроизводимые и вводящие в заблуждение ссылки).

На рисунке 2 фазовая диаграмма флюида Леннард-Джонса. Фазовые равновесия возможности Леннарда-Джонса изучались много раз и, соответственно, известны сегодня с хорошей точностью. На рисунке 2 показаны корреляции результатов, полученных из результатов компьютерного эксперимента (следовательно, вместо точек данных показаны линии).

Среднее значение межмолекулярного взаимодействия частиц Леннард-Джонса сильно зависит от термодинамического состояния, то есть температуры и давления (или плотности). Для твердого тела притягивающее леннард-джонсовское взаимодействие играет доминирующую роль, особенно при низких температурах. Для жидких состояний упорядоченная структура отсутствует по с твердыми состояниями. Средняя потенциальная энергия на частицу отрицательна. Для газообразных состояний притягивающая способность Леннарда-Джонса играет второстепенную роль, поскольку они далеки друг от друга. Основная часть внутренней энергии сохраняется в виде кинетической энергии для газообразных состояний. В сверхкритических состояниях притягивающее взаимодействие Леннарда-Джонса играет второстепенную роль. С повышением температуры средней кинетической энергии частиц увеличивается и большая энергетическая яму мощности Леннарда-Джонса. Следовательно, частицы в основном взаимодействуют посредством мягкого отталкивающего взаимодействия потенциалов, и средней энергии на частицу соответственно положительна.

В целом, из-за большого промежутка времени потенциала Леннарда-Джонса былен, данные о теплофизических свойствах были представлены в литературе, а вычислительных ресурсов было недостаточно для точного моделирования (по современным стандартам), значительный объем данных, как известно, сомнительно. Тем не менее, во многих исследованиях данные об уклонении используются в качестве справочных. Отсутствие репозиториев данных и оценки данных - важный элемент для будущей работы в долгосрочной области исследований исследований Леннарда-Джонса.

Характерные точки и кривые

наиболее важными характеристиками точками Леннарда-Джонса являются критическая точка и тройная точка пар-жидкость-твердое тело . Они неоднократно изучались в литературе и собраны в [2]. Таким образом, критическая точка нашлась в

• $T\; c\; =\; 1,321\; \pm \; 0,007\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\; =\; 1,321\; \backslash \; pm\; 0,007\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\; \}\; ^\; \{-\; 1\}\}$
• $\rho \; c\; =\; 0,316\; \pm \; 0,005\; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\; =\; 0,316\; \backslash \; pm\; 0,005\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$
• $pc\; =\; 0,129\; \pm \; 0,005\; \epsilon \; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\; =\; 0,129\; \backslash \; pm\; 0,005\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$

Данные погрешности были рассчитаны на основе стандартного отклонения критических параметров, полученных из наиболее надежных доступных наборов данных парожидкостного равновесия. Эти неопределенности можно принять как нижний предел точности, с которой критическая точка жидкости может быть получена из молекулярного моделирования.

Рисунок 3 . Характеристические кривые вещества Леннард-Джонса. Толстая черная линия указывает на парожидкостное равновесие; звездочка указывает на критическую точку. Коричневая линия указывает на равновесие твердое тело-жидкость. Другие черные сплошные линии и символы обозначают характерные кривые Брауна (подробности см. В тексте) вещества Леннарда-Джонса: линии представляют собой уравнения состояния, символы - модели молекулярного моделирования, треугольники - точные данные в пределе идеального газа, полученные из вириальных коэффициентов.. Данные взяты из.

В настоящем времени, что тройная точка размещена в

• $T\; tr\; =\; 0,69\; \pm \; 0,005\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr\}\}\; =\; 0,69\; \backslash \; pm\; 0,005\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$
• $\rho \; tr,\; газ\; =\; 0,0017\; \pm \; 0,004\; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr,\; gas\}\}\; =\; 0,\; 0017\; \backslash \; pm\; 0,004\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$
• $\rho \; tr,\; liq\; =\; 0,845\; \pm \; 0,009\; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr,\; liq\}\}\; =\; 0,845\; \backslash \; pm\; 0,009\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$
• $\rho \; tr,\; sol\; =\; 0,961\; \pm \; 0,007\; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr,\; sol\}\}\; =\; 0,961\; \backslash \; pm\; 0,007\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$
• $ptr\; =\; 0,0012\; \pm \; 0,0007\; \epsilon \; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr\}\}\; =\; 0,0012\; \backslash \; pm\; 0,0007\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\; \}\}$

Неопределенности предоставьте собой разброс данных от разных авторов. Критическая точка вещества Леннард-Джонса изучалась гораздо чаще, чем тройная точка. Как для критической точки, так и для тройной точки пар-жидкость-твердое тело в нескольких исследованиях сообщалось о результатах, выходящих за пределы указанных выше диапазонов. Приведенные выше данные находятся в настоящее время правильными и надежными. Тем не менее менее детерминированность критической температуры и температуры тройной точки все еще неудовлетворительна.

Очевидно, кривые сосуществования фаз (см. Рисунок 2) имеют фундаментальное значение для способности Леннарда-Джонса. Кроме того, характерные кривые Брауна дают иллюстративное описание существенных характеристик Леннарда-Джонса. Характеристические кривые Брауна определяются как кривые, на которых характеристики термодинамические свойства соответствуют характеристикам идеального газа. Для реальной жидкости $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$и его производные могут соответствовать значениям идеального газа для специального $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$комбинации только в результате фаз правил Гиббса. Полученные точки вместе представляющую кривую. Определены четыре характерные кривые: одна 0-го порядка (называемая кривой Зенона) и три кривые 1-го порядка (называемые кривой Амагата, Бойля и Чарльза). Требуется отрицательная кривая или нулевую кривизну на всем протяжении и максимум на диаграмме двойного логарифма давление-температура. Более того, характерные кривые Брауна и вириальные коэффициенты связаны с пределе идеального газа и поэтому известны точно при $\rho \; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$. Как результаты компьютерного моделирования, так и результаты уравнения состояния были в литературе для возможности Леннарда-Джонса.

Точки на кривой Зенона Z имеют коэффициент сжимаемости, равный единице $Z\; знак\; равно\; п\; /\; (\rho \; T)\; =\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; =\; p\; /\; (\backslash \; rho\; T)\; =\; 1\}$. Кривая Зенона начинается при температура Бойля $TB\; =\; 3.417927982\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; =\; 3.417927982\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$, окружает критическую точку и наклон, равную единицу в нижнем пределе температуры. Точки на кривой Бойля B имеют $d\; Z\; d\; 1\; /\; \rho \; |\; T\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; Z\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; 1\; /\; \backslash \; rho\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{T\}\; =\; 0\}$. Кривая Бойля начинается с кривой Зенона при температуре Бойля, слабо окружает критическую точку и кривой давления пара. Точки на кривой Чарльза (также известная как кривая инверсии Джоуля-Томсона ) имеют $d\; Z\; d\; T\; |\; p\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; Z\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; T\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{p\}\; =\; 0\}$и, что более важно, $d\; T\; dp\; |\; h\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; T\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; p\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{h\}\; =\; 0\}$, т.е. без изменения температуры при изэнтальпическое дросселирование. Он берет начало в $T\; =\; 6.430798418\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 6.430798418\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$в пределе идеального газа, пересекает кривую Зенона и заканчивается кривой давления пара. Точки на кривой Амагата A имеют $d\; Z\; d\; T\; |\; \rho \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; Z\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; T\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; =\; 0\}$. Он также начинается в пределе идеального газа при $T\; =\; 25,15242837\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 25.15242837\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$, окружает критическую точку и остальные три характеристические кривые и переходит в область твердой фазы. Подробное обсуждение характеристических кривых потенциала Леннарда-Джонса дано Стефаном и Дейтерсом.

Рисунок 4 . Вириальные коэффициенты потенциала Леннарда-Джонса как функция температуры: второй вириальный коэффициент $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$(вверху) и третий вириальный коэффициент $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$(внизу). Круг показывает температуру Бойля $T\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\}$. Результаты взяты из.

Свойства жидкости Леннарда-Джонса

Рисунок 5 . Парожидкостное равновесие вещества Леннарда-Джонса: давление пара (вверху), плотности насыщения (в центре) и межфазное натяжение (внизу). Символы указывают на результаты молекулярного моделирования. Линии показывают результаты уравнения состояния (и теории квадратного градиента для межфазного натяжения).

Свойства жидкости Леннарда-Джонса широко изучены в литературе из-за выдающейся важности потенциала Леннарда-Джонса в мягкой материи физика и смежные области. На сегодняшний день опубликовано около 50 наборов данных компьютерных экспериментов для парожидкостного равновесия. Более того, за прошедшие годы было опубликовано более 35000 точек данных по однородным жидкостным состояниям, которые недавно были скомпилированы и оценены на предмет выбросов в базе данных с открытым доступом.

Парожидкостное равновесие вещества Леннарда-Джонса в настоящее время установлено. известна с точностью, т.е. взаимным согласованием термодинамически согласованных данных, $\pm \; 1\%\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \%\}$для давления пара, $\pm \; 0,2\%\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 0,2\; \backslash \%\}$для плотности насыщенной жидкости, $\pm \; 1\%\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \%\}$для плотности насыщенного пара, $\pm \; 0,75\%\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 0,75\; \backslash \%\}$для энтальпии парообразования и $\pm \; 4\%\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 4\; \backslash \%\}$для поверхностного натяжения. Такое статус-кво нельзя считать удовлетворительным, учитывая тот факт, что статистические неопределенности, обычно сообщаемые для отдельных наборов данных, значительно ниже указанных выше значений (даже для более сложных молекулярных силовых полей).

Как правило, можно получить только с помощью молекулярного моделирования, как свойства фазового равновесия, так и свойства однородного состояния при произвольной плотности, тогда как вириальные коэффициенты можно вычислить непосредственно из потенциала Леннарда-Джонса. Численные данные для второго и третьего вириальных коэффициентов доступны в широком диапазоне температур. Для более высоких вириальных коэффициентов (до шестнадцатого) количество доступных точек данных уменьшается с номера вириального коэффициента. Также часто изучались транспортные свойства (вязкость, теплопроводность и коэффициент меньшей самодиффузии) жидкости Леннард-Джонса, но база данных значительно плотна, чем для однородных равновесных свойств, таких как $pv\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; pvT\}$- или данные внутренней энергии. Кроме того, было разработано большое количество аналитических моделей (уравнения состояния ) для описания флюида Леннарда-Джонса (подробности см. Ниже).

Свойства твердого тела Леннард-Джонса

База данных и знания о твердом теле Леннарда-Джонса значительно хуже, чем для флюидных фаз, что в основном связано с тем, что твердое тело Леннарда-Джонса Потенциал реже используется в приложениях для моделирования твердых веществ. Было рано осознавать, что в твердых фазах не следует приближать к попарно аддитивным - особенно для металлов.

Тем не менее, потенциал Леннарда-Джонса все еще часто используется в физике твердого тела благодаря своей простоте и вычислительной эффективности. Следовательно, основная физическая фаза и фазовые равновесия твердое тело-исследовали несколько раз, например Ссылки

Вещество Леннарда-Джонса образует как ГЦК (гранецентрированную кубическую), так и ГПУ (гексагональную плотноупаковую) решетки - в зависимости от температуры и давления, ср. Рисунок 2. При низкой температуре и умеренном давлении решетка ГПУ является энергетически более благоприятной и, следовательно, равновесной структурой. Структура ГЦК-решетки энергетически выгодна при высокой температуре, так и при высоком давлении и, следовательно, в целом равновесной структурой в более широком диапазоне состояний. Линия сосуществования между фазами ГЦК и ГПУ начинается в $T\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 0\}$примерно в $p\; =\; 878,5\; \epsilon \; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; 878,5\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$, проходит через температурный максимум примерно при $T\; =\; 0,4\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 0,4\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$, а затем заканчивается на границе пар-твердая фаза примерно на $T\; =\; 0,32\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 0,32\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$, что, таким образом, образует тройную точку. Следовательно, только твердая фаза с ГЦК-фазой имеет фазовое равновесие с жидкой и сверхкритической фазой, ср. рисунок 2.

Тройная точка двух твердых фаз (ГЦК и ГПУ) и паровой фазы, как сообщается, находится в:

• $T\; tr\; =\; 0,32\; \pm \; 0,001\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr\}\}\; =\; 0,32\; \backslash \; pm\; 0,001\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$
• $\rho \; tr,\; gas\; =..\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr,\; gas\}\}\; =..\}$еще не сообщалось
• $\rho \; tr,\; fcc\; =\; 1.03859\; \pm \; 0.0008\; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr,\; fcc\}\}\; =\; 1.03859\; \backslash \; pm\; 0.0008\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$
• $\rho \; tr,\; hcp\; =\; 1.03861\; \pm \; 0.0007\; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr,\; hcp\}\; \}\; =\; 1.03861\; \backslash \; pm\; 0,0007\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$
• $ptr\; =\; 0,96\; \cdot \; 10–9\; \epsilon \; \sigma \; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr\}\}\; =\; 0,96\; \backslash \; cdot\; 10\; ^\; \{-\; 9\}\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 3\}\}$

Обратите внимание, что в литературе также сообщалось о других, отличающихся значениях. Следовательно, база данных для тройной точки ГЦК-ГПУ-пар должна быть укреплена в будущем.

Рисунок 6 . Парожидкостные равновесия бинарных смесей Леннарда-Джонса. Во всех показанных случаях компонент 2 является более летучим компонентом (обогащение паровой фазой). Единицы указаны в $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$компонент 1, который одинаков во всех четырех показанных смесях. Температура составляет $T\; =\; 0,92\; \epsilon \; k\; B\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 0.92\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$. Символы - это результаты результатов молекулярного моделирования, а линии - уравнения состояния. Данные взяты из ссылок

Смеси частиц Леннард-Джонса в основном используются в качестве прототипа для разработки теорий и методов растворов, а также для изучения свойств растворов в Генеральная. Это восходит к фундаментальной работе Лонге-Хиггинса и Роулинсона и его сотрудников по теории конформных решений. Сегодня это основа на основе теорий смесей.

Смеси двух или более компонентов Леннард-Джонса настраиваются путем изменения по крайней мере одного потенциального взаимодействия ($\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$или $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \}$) одного из компонентов по отношению к другому. Для бинарной смеси это дает три типа парных взаимодействий, которые все моделируют потенциалом Леннарда-Джонса: взаимодействие 1-1, 2-2 и 1-2. Для перекрестных взаимодействий требуются 1-2 дополнительных допущения для указанных параметров $\epsilon \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{12\}\}\}$или $\sigma \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{12\}\}\}$из $\epsilon \; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{11\}\}\}$, $\sigma \; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{11\}\; \}\}$и $\epsilon \; 22\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{22\}\}\}$, $\sigma \; 22\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{22\}\}\}$. Для этих так называемых правил комбинирования можно использовать различные варианты (все более или менее эмпирические и не основанные строго на физических аргументах). Наиболее часто используемым правилом комбинации является правило Лоренц и Бертло

$\sigma \; 12\; =\; \eta \; 12\; \sigma \; 11\; +\; \sigma \; 22\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{12\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{12\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; sigma\; \_\; \{11\}\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{22\}\}\; \{2\}\}\}$

$\epsilon \; 12\; =\; \xi \; 12\; \epsilon \; 11\; \epsilon \; 22\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{12\}\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{11\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{22\}\}\}\}$

Параметр $\xi \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}\}$является дополнительным независимым от состояния параметром взаимодействия для смеси. Параметр $\eta \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{12\}\}$обычно устанавливается равным единым, поскольку среднее арифметическое можно считать физически вероятным для параметра перекрестного взаимодействия. Параметр $\xi \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}\}$, с другой стороны, часто используется для корректировки фазового поведения модельной смеси. Для аналитических моделей, например уравнения состояния, параметр отклонения обычно описывается как $k\; 12\; =\; 1\; -\; \xi \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{12\}\; =\; 1-\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}\}$. Для $\xi \; 12>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}>1\}$, энергия дисперсии перекрестного взаимодействия и, соответственно, сила притяжения между непохожими частями увеличивается. Наоборот, силы притяжения между разнородными частями увеличиваются. 1061>Для смесей Леннарда-Джонса могут быть изучены как жидкие, так и твердые фазовые равновесия, т.е. пар-жидкость, жидкость-жидкость, газ Соответственно, различные типы тройных точек (трехфазное равновесие) и критических точек, -газ, твердое тело-пар, твердое тело-жидкость и твердое тело-твердое тело. могут существовать так же, как и различные эвтектические и азеотропные точки. Бинарные смеси Леннарда-Джонса во флюидной области (различные типы равновесий жидкой и газовой фаз) были изучены более всесторонне, чем фазовые равновесия, содержащие твердые фазы.

Что касается поведения жидкой фазы, смеси демонстрируют практически идеальное поведение (в смысле закона Рауля ) для $\xi \; 12\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}\; =\; 1\}$. Для $\xi \; 12>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}>1\}$преобладают притягивающие взаимодействие, и смеси имеют тенденцию образовывать высококипящие азеотропы, т.е. для стабилизации паров требуется более низкое давление жидких компонентов, чем давление паров. Для преобладают отталкивающие взаимодействия, тенденции образовывать низкокипящие азеотропы, то есть для стабилизации парожидкостного равновесия требуется более высокое давление, чем давление паров чистых компонентов, поскольку средние дисперсионные силы равны уменьшилось. $\xi \; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{12\}\}$, кроме того, приведут к разрывам смешиваемости жидкость-жидкость. Также были изучены различные типы фазовых равновесий, твердые фазы. 1 004>Кэрол и др. Также существуют случаи, когда границы твердой фазы пересекаются повышение равновесия фаз флюида. Однако для фазовых равновесий, которые включают твердые фазы, количество опубликованных данных скудно.

Большое количество условий состояния (EOS) для потенциала / вещества Леннарда-Джонса было предложено с тех пор, как его характеристики стали доступны с помощью первого компьютера симуляции. Из-за фундаментальной важности возможности Леннарда-Джонса наиболее подходящие в настоящее время EOS описывают жидкость Леннарда-Джонса. Они были всесторонне рассмотрены Стефаном и др.

Уравнения состояния флюида Леннарда-Джонса имеют особое значение в физике мягкой материи и физической химии, поскольку они часто используются в качестве отправной точки для разработки EOS для сложных жидкостей, например полимеры и сопутствующие жидкости. Мономерные звенья этих моделей обычно напрямую заимствуются из EOS Леннарда-Джонса в качестве строительного блока, например EOS PHC, BACKONE EOS и EOS типа SAFT.

В литературе было предложено более 30 EOS Леннарда-Джонса. Всесторонняя оценка таких EOS показала, что несколько EOS описывают возможности Леннарда-Джонса с хорошей и хорошей точностью, но ни один из них не является выдающимся. Три из этих EOS демонстрируют неприемлемое нефизическое поведение в некоторой области жидкости, например множественные петли Ван-дер-Ваальса, в остальном достаточно точными. Только уравнение состояния Леннард-Джонса Колафы и Незбеды оказалось надежным и точным для термодинамических свойств флюида Леннарда-Джонса. Следовательно, EOS Леннарда-Джонса Колафы и Незбеды в настоящее время считается наиболее полезным выбором - поскольку он надежен и точен. Кроме того, EOS Леннарда-Джонса Johnson et al. оказался менее точным практически для всех справочных данных, чем EOS Колафа и Незбеда. Интересно отметить, что LJ EOS Johnson et al. однако используется гораздо чаще, чем у Колафы и Незбеды.

Рисунок 7 . Наглядный пример сходимости схемы коррекции для учета дальнодействующих дополнительных возможностей Леннарда-Джонса. В нем $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$указывает примерную наблюдаемую, а $rc\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\}$применяемый радиус отсечения. Скорректированное значение на большом расстоянии обозначается как $X\; c\; или\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{corr\}\}\}$(символы и линия как ориентир для глаз); гипотетическое «истинное» значение как $X\; t\; r\; u\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{true\}\}\}$(пунктирная линия).

Потенциал Леннарда-Джонса, ср. Уравнение (1) и рисунок 1 имеет бесконечный диапазон. Только при его рассмотрении исследуется «истинный» и «полный» потенциал Леннарда-Джонса. Для оценки наблюдаемой ансамбля частиц, взаимодействующих посредством данного Леннарда-Джонса, с использованием молекулярного моделирования, взаимодействия могут быть оценены явно до определенного расстояния - просто из-за того, что количество частиц частицы всегда будут конечными. Максимальное расстояние, применяемое при моделировании, обычно называется радиусом отсечения $rc\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{c\}\}\}$(поскольку потенциал Леннарда-Джонса радиально симметричен). Чтобы получить теплофизические свойства (как микроскопические, так и микроскопические) «истинного» и «полного» потенциала Леннарда-Джонса (ЛД), необходимо включить вкладыш за пределы радиуса отсечки.

Были разработаны различные схемы поправок для учета дальнодействующих взаимодействий при моделировании и для поддержания достаточно хорошей аппроксимации «полного» потенциала. Они основаны на упрощенных предположениях относительно структуры жидкости. Для простых случаев, таких как исследования равновесия однородных жидкостей, простые поправочные члены дают отличные результаты. В других случаях, например, исследование неоднородных систем с различными фазами, учет дальнодействующих взаимодействий более утомителен. Эти поправки обычно называют «дальнодействующими поправками». Для определения свойств известны простые аналитические выражения. Для данного наблюдаемого $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$«исправленный» результат моделирования $X\; corr\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{corr\}\}\}$равен просто вычисляется из выбранного значения $X\; sampled\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{sampled\}\}\}$и значения дальнодействующей коррекции $X\; lrc\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{lrc\}\}\; \}$, например для внутренней энергии $U\; corr\; =\; U\; sampled\; +\; U\; lrc\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{corr\}\}\; =\; U\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{sampled\}\}\; +\; U\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{lrc\}\}\}$. Гипотетическое истинное значение наблюдаемого Леннарда-Джонса на действительно бесконечном расстоянии отсечки (термодинамический предел) $X\; true\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{true\}\}\}$может в целом только оценивать.

Кроме того, качество схемы дальнодействующей коррекции зависит от радиуса отсечки. Допущения, сделанные с помощью схем коррекции, обычно не оправдываются при (очень коротких радиусах отсечки). Это проиллюстрировано в примере, показанном на рисунке 7. Схема коррекции с большим радиусом действия называется сходящейся, если остающаяся ошибка схемы коррекции достаточно мала на данном расстоянии отсечки, см. Рисунок 7.

Рисунок 8 . Сравнение парожидкостного равновесия «полного» возможности Леннарда-Джонса (черный) и «усеченного и смещенного» возможности Леннарда-Джонса (синий). Символы указывают на результаты молекулярного моделирования; линии указывают на указанные параметры состояния.

Усеченный и сдвинутый потенциал Леннарда-Джонса (LJTS) часто используется как альтернатива «полному» потенциалу Леннарда-Джонса (см. Уравнение (1)). «Полный» и «усеченный и сдвинутый» потенциал Леннарда-Джонса следует строго разделять. Это просто два разных, дающих разные теплофизические свойства. Усеченный и смещенный потенциал Леннарда-Джонса определяется как

$V\; LJTS\; (r)\; =\; \{V\; LJ\; (r)\; -\; V\; LJ\; (r\; end)\; r\; \le \; r\; end\; 0\; r>r\; end,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; V\_\; \{\backslash \; text\; \{LJTS\}\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{LJ\}\}\; (r)\; -V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{LJ\}\}\; (r\; \_\; \{\backslash \; text\; \{end\}\})\; ~~\; ~\; ~\; r\; \backslash \; leq\; r\; \_\; \{\backslash \; text\; \{end\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; ~~~~\; r>r\; \_\; \{\backslash \; text\; \{end\}\},\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

с

$V\; LJ\; (r)\; =\; 4\; \epsilon \; [(\sigma \; r)\; 12\; -\; (\sigma \; r)\; 6].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; text\; \{LJ\}\; \}\; (r)\; =\; 4\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{12\}\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{6\}\; \backslash \; right].\}$

Следовательно, потенциал LJTS строго усечен на $rend\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$и сдвинут на соответствующее значение энергии $VLJ\; (раздирать)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{LJ\}\}\; (\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\})\}$. Последний применяемый, чтобы избежать разрыва кратковременный скачок при $r\; e\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$. Для дополнительно LJTS не рассматривает никакие дальнодействующие взаимодействия за пределами $r\; e\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$- ни явно, ни неявно. Потенциал просто резко обрывается на $r\; e\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$. Наиболее часто используемая версия усеченного и смещенного для Леннарда-Джонса - это вариант с $rend\; =\; 2,5\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\; =\; 2,5\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\}$. Тем не менее, в литературе использовались разные значения $r\; e\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$. Каждый потенциал LJTS с заданным радиусом усечения $r\; e\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$должен рассматривать как возможности и, соответственно, собственное вещество.

Потенциал LJTS в вычислительном отношении значительно дешевле, чем «полный» потенциал Леннарда-Джонса, но все же охватывает большие физические характеристики материи (критической и тройной точек, мягкие взаимодействия отталкивания и притяжения, фазовые равновесия и т. Д..). Поэтому потенциал LJTS очень часто используется для тестирования новых алгоритмов, методов моделирования и физических теорий.

Интересно, что для однородных межмолекулярных систем, рассчитанные на основе LJ и возможности LJTS на заданном расстоянии одинаковы (поскольку $d\; V\; /\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; V\; /\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; r\}$то же самое), тогда как смещение влияет на потенциальную энергию и давление. Кроме того, на LJTS-вещество может влиять выбранный алгоритм моделирования, то есть выборка MD или MC (обычно это не относится к свойствам «полному» потенциалу Леннарда-Джонса).

Для дополнительной LJTS с $rend\; =\; 2.5\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\; =\; 2.5\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\}$сдвиг потенциальной энергии составляет примерно 1/60 энергии дисперсии в потенциальной яме: $VLJ\; (rend\; =\; 2.5\; \sigma )\; =\; -\; 0,0163\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{LJ\}\}\; (r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\; =\; 2.5\; \backslash ,\; \backslash \; сигма)\; =\; -\; 0,0163\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon\}$. На рисунке 8 показано сравнение парожидкостного равновесия «полного» потенциала Леннарда-Джонса и «усеченного и смещенного» потенциала Леннарда-Джонса. Результаты «полного» потенциала Леннарда-Джонса имеют значительно более высокую критическую температуру и давление по сравнению с возможностями для LJTS, но критическая плотность очень похожа. Давление пара и энтальпия парообразования находятся под более сильным диапазоном взаимодействий, чем насыщенные плотности. Это связано с тем, что потенциалом манипулирует в основном энергетическим путем путем усечения и сдвига.

Потенциал Леннарда-Джонса - как архетип для межмолекулярных потенциалов - много раз использовался в качестве отправной точки для развития более сложных межмолекулярных потенциалов. В литературе предлагались различные расширения и дополнительные возможности Леннарда-Джонса. Можно утверждать, что все силовые поля (существуют сотни), можно проследить до возможности Леннарда-Джонса. Более обширный список приведен в статье о функциях «межатомный потенциал». Следующий список относится только к потенциалам, которые напрямую связаны с потенциалом Леннарда-Джонса и имеют как историческое значение, так и все еще актуальны для настоящего исследования

• Потенциал Ми - это обобщенная версия потенциала Леннарда-Джонса, то есть экспоненты 12 и 6 представлены как параметры $\lambda \; rep\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rep\}\}\}$и $\lambda \; attr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{attr\}\}\; \}$. Особенно термодинамические производные свойства, например сжимаемость и скорость звука, как известно, очень чувствительны к крутизне отталкивающей части межмолекулярного потенциала, которая, следовательно, может быть смоделирована более сложным образом с помощью потенциала Ми. Первая явная формулировка потенциала Ми приписывается Эдуарду Грюнайзену. Следовательно, потенциал Ми был фактически предложен до потенциала Леннарда-Джонса. Потенциал Ми назван в честь Густава Ми.
• потенциала Бэкингема Потенциал Бэкингема был предложен Ричардом Бэкингемом. Отталкивающая часть потенциала Леннарда-Джонса заменена здесь экспоненциальной функцией и включает дополнительный параметр.
• Потенциал Стокмайера Потенциал Стокмайера назван в честь W.H. Штокмайер. Потенциал Стокмайера - это комбинация потенциала Леннарда-Джонса, наложенного диполем. Следовательно, частицы Стокмайера не являются сферически-симметричными, а скорее имеют важную ориентационную структуру.
• Двухцентровый потенциал Леннарда-Джонса Двухцентровый потенциал Леннарда-Джонса состоит из двух идентичных узлов взаимодействия Леннарда-Джонса (одинаковые $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$, $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$, $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$), которые связаны как твердое тело. Часто его обозначают сокращенно 2CLJ. Обычно удлинение (расстояние между участками Леннарда-Джонса) значительно меньше, чем параметр размера $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$. Следовательно, два сайта взаимодействия в значительной степени слиты.
• Усеченный и продольный потенциал Леннарда-Джонса Усеченный и продольный потенциал Леннарда-Джонса - редко используемый, но полезный потенциал. Подобно более популярному потенциалу LJTS, он сильно усечен на определенном "конечном" расстоянии $rend\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{end\}\}\}$, и никакие дальнодействующие взаимодействия за пределами. В отличие от потенциала LJTS, который смещен таким образом, что потенциал является непрерывным, усеченный и шлицевый потенциал Леннарда-Джонса становится непрерывным за счет использования произвольной, но подходящей функции сплайна.

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с Потенциалы Леннарда-Джонса.

• Молекулярная механика
• Встроенная модель атома
• Силовое поле (химия)
• Сравнение реализаций силового поля
• Потенциал Морзе и Морзе / Потенциал дальнего действия
• Вириальное расширение

1. ^«Об определении молекулярных полей. - I. Из изменения вязкости газа с температурой». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера. 106 (738): 441–462. 1924. doi : 10.1098 / rspa.1924.0081. ISSN 0950-1207.
2. ^«Об определении молекулярных полей. —II. Из уравнения состояния газа». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера. 106 (738): 463–477. 1924. doi : 10.1098 / rspa.1924.0082. ISSN 0950-1207.
3. ^Леннард-Джонс, Дж. Э. (1931-09-01). "Сплоченность". Труды физического общества. 43 (5): 461–482. DOI : 10.1088 / 0959-5309 / 43/5/301. ISSN 0959-5309.
4. ^ Хилл, Террелл Л. (1956). Статистическая механика: принципы и избранные приложения. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-65390-0. OCLC 15163657.
5. ^ D. С. Рапапорт (1 апреля 2004 г.). Искусство моделирования молекулярной динамики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82568-9.
6. ^ Frenkel, D.; Смит, Б. (2002), Понимание молекулярного моделирования (второе издание), Сан-Диего: Academic Press, ISBN 0-12-267351-4
7. ^ Wood, W.W.; Паркер, Ф. Р. (1957). «Уравнение Монте-Карло состояния молекул, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса. I. Сверхкритическая изотерма примерно при вдвое большей критической температуре». Журнал химической физики. 27 (3): 720–733. DOI : 10.1063 / 1.1743822. ISSN 0021-9606.
8. ^ Rosenbluth, Marshall N.; Розенблут, Арианна В. (1954). «Дальнейшие результаты по уравнениям состояния Монте-Карло». Журнал химической физики. 22 (5): 881–884. DOI : 10.1063 / 1.1740207. ISSN 0021-9606.
9. ^Alder, B.J.; Уэйнрайт, Т. Э. (1959). «Исследования в области молекулярной динамики. I. Общий метод». Журнал химической физики. 31 (2): 459–466. doi : 10.1063 / 1.1730376. ISSN 0021-9606.
10. ^Рахман, А. (1964-10-19). «Корреляции в движении атомов в жидком аргоне». Физический обзор. 136 (2A): A405 – A411. DOI : 10.1103 / PhysRev.136.A405. ISSN 0031-899X.
11. ^ Стефан, Саймон; Штаубах, Йенс; Хассе, Ганс (2020). «Обзор и сравнение уравнений состояния жидкости Леннарда-Джонса». Равновесия жидкой фазы. 523 : 112772. doi : 10.1016 / j.fluid.2020.112772.
12. ^ Стефан, Саймон; Тол, Моника; Врабец, Ядран; Хассе, Ханс (2019-10-28). «Теплофизические свойства флюида Леннард-Джонса: база данных и оценка данных». Журнал химической информации и моделирования. 59 (10): 4248–4265. doi : 10.1021 / acs.jcim.9b00620. ISSN 1549-9596. PMID 31609113.
13. ^Йоргенсен, Уильям Л.; Максвелл, Дэвид С.; Тирадо-Ривес, Джулиан (январь 1996 г.). «Разработка и испытание полностью атомного силового поля OPLS по конформационной энергии и свойствам жидкостей». Журнал Американского химического общества. 118 (45): 11225–11236. DOI : 10.1021 / ja9621760. ISSN 0002-7863.
14. ^Ван, Цзюньмэй; Вольф, Ромен М.; Колдуэлл, Джеймс У.; Коллман, Питер А.; Дело, Дэвид А. (2004-07-15). «Разработка и тестирование общего янтарного силового поля». Журнал вычислительной химии. 25 (9): 1157–1174. DOI : 10.1002 / jcc.20035. ISSN 0192-8651. PMID 15116359. S2CID 18734898.
15. ^ Стефан, Саймон; Хорш, Мартин Т.; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (2019-07-03). «MolMod - база данных открытого доступа силовых полей для молекулярного моделирования жидкостей». Молекулярное моделирование. 45 (10): 806–814. DOI : 10.1080 / 08927022.2019.1601191. ISSN 0892-7022. S2CID 119199372.
16. ^ Эггиманн, Бекки Л.; Суннарборг, Амара Дж.; Стерн, Хадсон Д.; Блисс, Эндрю П.; Зипманн, Й. Илья (02.01.2014). «Онлайн-база данных параметров и свойств силового поля TraPPE». Молекулярное моделирование. 40 (1–3): 101–105. DOI : 10.1080 / 08927022.2013.842994. ISSN 0892-7022. S2CID 95716947.
17. ^Чжэнь, Шу; Дэвис, Дж. Дж. (16 августа 1983 г.). «Расчет n - m потенциальной энергии Леннард-Джонса для металлов». Physica Status Solidi A. 78 (2): 595–605. Bibcode : 1983PSSAR..78..595Z. doi : 10.1002 / pssa.2210780226.
18. ^Eisenschitz, R.; Лондон, Ф. (1930-07-01). "Uber das Verhältnis der van der Waalsschen Kräfte zu den homöopolaren Bindungskräften". Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 60 (7): 491–527. DOI : 10.1007 / BF01341258. ISSN 0044-3328. S2CID 125644826.
19. ^Роулинсон, Дж. С. (20 ноября 2006 г.). «Развитие некоторых статистических механических идей». Молекулярная физика. 104 (22–24): 3399–3410. doi : 10.1080 / 00268970600965835. ISSN 0026-8976. S2CID 119942778.
20. ^Abascal, J.L.F.; Вега, К. (15 декабря 2005 г.). «Универсальная модель для конденсированных фаз воды: TIP4P / 2005». Журнал химической физики. 123 (23): 234505. doi : 10,1063 / 1,2121687. ISSN 0021-9606. PMID 16392929.
21. ^ Ми, Густав (1903). "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper". Annalen der Physik (на немецком языке). 316 (8): 657–697. doi : 10.1002 / andp.19033160802.
22. ^Тан, К. Т.; Тоеннис, Дж. Питер (1984-04-15). «Улучшенная простая модель возможности-дер-Ваальса, основанная на универсальных функциях затухания для коэффициентов дисперсии». Журнал химической физики. 80 (8): 3726–3741. DOI : 10.1063 / 1.447150. ISSN 0021-9606.
23. ^ Чжэнь, Шу; Дэвис, Дж. Дж. (1983-08-16). «Расчет потенциальной энергии Леннарда-Джонса - м для металлов». Physica Status Solidi (A) (на немецком языке). 78 (2): 595–605. doi : 10.1002 / pssa.2210780226.
24. ^ Halicioglu, T.; Паунд, Г. М. (1975-08-16). «Расчет потенциальной энергии для кристаллического состояния». Physica Status Solidi (А). 30 (2): 619–623. doi : 10.1002 / pssa.2210300223.
25. ^Йоргенсен, Уильям Л.; Максвелл, Дэвид С.; Тирадо-Ривес, Джулиан (январь 1996 г.). «Разработка и испытание полностью атомного силового OPLS на конформационную энергию и свойства жидкостей». Журнал Американского химического общества. 118 (45): 11225–11236. DOI : 10.1021 / ja9621760. ISSN 0002-7863.
26. ^Менделев, М. И.; Han, S.; Сроловиц, Д. Дж.; Ackland, G.J.; Sun, D. Y.; Аста, М. (2003). «Разработка новых межатомных потенциалов, подходящих для кристаллического и жидкого железа». Философский журнал. 83 (35): 3977–3994. doi : 10.1080 / 14786430310001613264. ISSN 1478-6435. S2CID 4119718.
27. ^Леннард-Джонс, Дж. Э. (1931). «Сплоченность». Труды физического общества. 43 (5): 461–482. Bibcode : 1931PPS.... 43..461L. doi : 10.1088 / 0959-5309 / 43/5/301.
28. ^ Allen, Michael P.; Тилдесли, Доминик Дж. (23.11.2017). «Компьютерное моделирование жидкостей». Оксфордская стипендия онлайн. doi : 10.1093 / oso / 9780198803195.001.0001. ISBN 9780198803195.
29. ^ Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (28.11.2018). «Комплексное высокоточное уравнение состояния и сосуществования для классических кристаллов Леннард-Джонса и низкотемпературных жидких фаз». Журнал химической физики. 149 (20): 204508. doi : 10,1063 / 1,5053714. ISSN 0021-9606. PMID 30501268.
30. ^ Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (07.08.2020). «Исправление:« Всеобъемлющее высокоточное высокоточное уравнение состояния и свойств сосуществования для классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фазких фаз »[Дж. Chem. Phys. 149, 204508 (2018)] «. Журнал химической физики. 153 (5): 059901. doi : 10.1063 / 5.0021283. ISSN 0021-9606. PMID 32770918.
31. ^ Шаппалс, Майкл; Мекленфельд, Андреас; Крегер, Лейф; Ботан, Виталий; Кёстер, Андреас; Стефан, Саймон; Гарсия, Эддер Дж.; Руткаи, Габор; Раабе, Габриэле; Кляйн, Питер; Леонхард, Кай (12.09.2017). «Круговое исследование: молекулярное моделирование термодинамических свойств на основе моделей с внутренними степенями свободы». Журнал химической теории и вычислений. 13 (9): 4270–4280. doi : 10.1021 / acs.jctc.7b00489. ISSN 1549-9618. PMID 28738147.
32. ^Loeffler, Hannes H.; Бозисио, Стефано; Дуарте Рамос Матос, Гильерме; Сух, Донхёк; Ру, Бенуа; Мобли, Дэвид Л.; Мишель, Жюльен (13.11.2018). «Воспроизводимость расчетов свободной энергии в различных пакетах программного обеспечения для молекулярного моделирования». Журнал химической теории и вычислений. 14 (11): 5567–5582. doi : 10.1021 / acs.jctc.8b00544. ISSN 1549-9618. PMID 30289712.
33. ^ Ленхард, Йоханнес; Кюстер, Уве (2019). «Воспроизводимость и концепция численного решения». Умы и машины. 29 (1): 19–36. DOI : 10.1007 / s11023-019-09492-9. ISSN 0924-6495. S2CID 59159685.
34. ^Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (15 сентября 2001 г.). «Исследование гистограмм с изменением веса и масштабирования конечного размера флюидов Леннарда - Джонса». Равновесия жидкой фазы. 187–188: 171–191. DOI : 10.1016 / S0378-3812 (01) 00534-9. ISSN 0378-3812.
35. ^ Смит, Б. (1992), «Фазовые диаграммы жидкостей Леннарда-Джонса» (PDF), Журнал химической физики, 96(11): 8639–8640, Bibcode : 1992JChPh..96.8639S, doi : 10.1063 / 1.462271
36. ^ Метрополис, Николай; Розенблут, Арианна В.; Розенблют, Маршалл Н.; Теллер, Огаста Х.; Теллер, Эдвард (1953). «Уравнение вычислений состояний на быстрых вычислительных машинах». Журнал химической физики. 21 (6): 1087–1092. doi : 10.1063 / 1.1699114. ISSN 0021-9606.
37. ^ Кёстер, Андреас; Маусбах, Питер; Врабец, Ядран (10.10.2017). «Предплавление, равновесие твердое тело-жидкость и термодинамические свойства в области высокой плотности на основе Леннарда-Джонса». Журнал химической физики. 147 (14): 144502. doi : 10,1063 / 1,4990667. ISSN 0021-9606. PMID 29031254.
38. ^ Стефан, Саймон; Дейтерс, Ульрих К. (20.08.2020). «Характеристические кривые флюида Леннарда-Джонса». Международный журнал теплофизики. 41 (10): 147. doi : 10.1007 / s10765-020-02721-9. ISSN 1572-9567. PMC 7441092. PMID 32863513.
39. ^ Deiters, Ulrich K.; Ноймайер, Арнольд (2016-08-11). «Компьютерное моделирование характеристических кривых чистых жидкостей». Журнал химических и технических данных. 61 (8): 2720–2728. doi : 10.1021 / acs.jced.6b00133. ISSN 0021-9568.
40. ^ Агравал, Рупал; Кофке, Дэвид А. (1995). «Термодинамические и структурные свойства модельных систем при сосуществовании твердой и жидкой фазы: II. Плавление и сублимация системы Леннард-Джонса ». Молекулярная физика. 85 (1): 43–59. doi : 10.1080 / 00268979500100921. ISSN 0026-8976.
41. ^Браун, Э. (1960). «О термодинамических свойствах жидкостей». Bulletin de l'Institut International du Froid. Приложение 1960-1: 169–178.
42. ^Апфельбаум, Э.М.; Воробьев, В. С. (18.06.2020). «Линия единичного коэффициента сжимаемости (зеноналиния) для кристаллических состояний». Журнал физической химии Б. 124 (24): 5021–5027. doi : 10.1021 / acs.jpcb.0c02749. ISSN 1520-6106. PMID 32437611.
43. ^Апфельбаум, Э.М.; Воробьев, В. С.; Мартынов, Г. А. (2008). "По поводу теории линии Зенона". Журнал физической химии А. 112 (26): 6042–6044. doi : 10.1021 / jp802999z. ISSN 1089-5639. PMID 18543889.
44. ^ Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (2020-06-01). «Влияние дисперсионных дальнодействующих взаимодействий на свойства парожидкостных равновесий и границ раздела бинарных леннард-джонсовских смесей». Молекулярная физика. 118 (9–10): e1699185. DOI : 10.1080 / 00268976.2019.1699185. ISSN 0026-8976. S2CID 214174102.
45. ^Николас, Дж. Дж.; Губбинс, К.Э.; Streett, W.B.; Тилдесли, Д.Дж. (1979). «Уравнение состояния для жидкости Леннард-Джонса». Молекулярная физика. 37 (5): 1429–1454. doi : 10.1080 / 00268977900101051. ISSN 0026-8976.
46. ^Фэн, Чао; Шульц, Эндрю Дж.; Чаудхари, Випин; Кофке, Дэвид А. (2015-07-28). «Вириальные коэффициенты с восьмого по шестнадцатый модели Леннарда-Джонса». Журнал химической физики. 143 (4): 044504. doi : 10.1063 / 1.4927339. ISSN 0021-9606. PMID 26233142.
47. ^Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (10 ноября 2009 г.). «Шестой, седьмой и восьмой вириальные коэффициенты модели Леннарда-Джонса». Молекулярная физика. 107 (21): 2309–2318. doi : 10.1080 / 00268970903267053. ISSN 0026-8976. S2CID 94811614.
48. ^Белл, Иэн Х.; Мессерли, Ричард; Тол, Моника; Костильола, Лоренцо; Дайр, Джепп К. (25.07.2019). «Модифицированное масштабирование энтропии среды жидкости Леннард-Джонса». В Журнал физической химии Б. 123 (29): 6345–6363. doi : 10.1021 / acs.jpcb.9b05808. ISSN 1520-6106. PMC 7147083. PMID 31241958.
49. ^Лаутеншлэгер, Мартин П.; Хассе, Ганс (2019). «Транспортные свойства усеченной и сдвинутой по Леннард-Джонсу жидкости по результатам моделирования неравновесной молекулярной динамики». Равновесия жидкой фазы. 482 : 38–47. doi : 10.1016 / j.fluid.2018.10.019.
50. ^ Травессет, Алекс (2014-10-28). «Фазовая диаграмма степенного закона и системы Леннарда-Джонса: кристаллические фазы». Журнал химической физики. 141 (16): 164501. doi : 10.1063 / 1.4898371. ISSN 0021-9606. PMID 25362319.
51. ^Хансен, Жан-Пьер; Верле, Лу (1969-08-05). «Фазовые переходы системы Леннарда-Джонса». Физический обзор. 184 (1): 151–161. DOI : 10.1103 / PhysRev.184.151. ISSN 0031-899X.
52. ^Лонге-Хиггинс, Х.К. (1951-02-07). «Статистическая термодинамика многокомпонентных систем». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки. 205 (1081): 247–269. doi : 10.1098 / rspa.1951.0028. ISSN 0080-4630. S2CID 202575459.
53. ^Леланд, Т.В.; Роулинсон, Дж. С.; Сатер, Г. А. (1968). «Статистическая термодинамика смесей молекул разных размеров». Труды общества Фарадея. 64 : 1447. doi : 10.1039 / tf9686401447. ISSN 0014-7672.
54. ^Мансури, Г. Али; Лиланд, Томас В. (1972). «Статистическая термодинамика смесей. Новая версия теории конформного письма ». Журнал химического общества, Труды Фарадея 2. 68 : 320. doi : 10.1039 / f29726800320. ISSN 0300-9238.
55. ^Роулинсон, Дж. С.; Суинтон, Ф. (1982). Жидкости и жидкие смеси (Третье изд.). Лондон: Баттерворт.
56. ^ Дейтерс, Ульрих К.; Краска, Томас (2012). Фазовое равновесие флюида при высоком давлении: феноменология и вычисления (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-444-56354-5. OCLC 787847134.
57. ^Шнабель, Торстен; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (2007). «В отличие от параметров Леннарда - Джонса для парожидкостного равновесия». Журнал молекулярных жидкостей. 135 (1–3): 170–178. arXiv : 0904.4436. doi : 10.1016 / j.molliq.2006.12.024. S2CID 16111477.
58. ^Лоренц, Х.А. (1881). "Ueber die Anwendung des Satzes vom Virial in der kinetischen Theorie der Gase". Annalen der Physik (на немецком языке). 248 (1): 127–136. doi : 10.1002 / andp.18812480110.
59. ^van Konynenburg, P.H.; Скотт, Р.Л. (1980-12-18). «Критические линии и фазовые равновесия в бинарных ван-дер-ваальсовых смесях». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки. 298 (1442): 495–540. doi : 10.1098 / rsta.1980.0266. ISSN 0080-4614. S2CID 122538015.
60. ^Потофф, Джеффри Дж.; Панагиотопулос, Афанассиос З. (1998-12-22). «Критическая точка и фазовое поведение чистой жидкости и смеси Леннарда-Джонса». Журнал химической физики. 109 (24): 10914–10920. doi : 10.1063 / 1.477787. ISSN 0021-9606.
61. ^Проценко, Сергей П.; Байдаков, Владимир Г. (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с сильно асимметричным взаимодействием компонентов. 1. Влияние энергетических параметров на фазовые равновесие и свойства границ раздела жидкость-газ ». Равновесия жидкой фазы. 429 : 242–253. doi : 10.1016 / j.fluid.2016.09.009.
62. ^Проценко, Сергей П.; Байдаков, Владимир Г.; Брюханов, Василий М. (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с сильно асимметричным взаимодействием компонентов. 2. Влияние размера частиц на фазовое равновесие и свойства границ раздела жидкость-газ ». Равновесия жидкой фазы. 430 : 67–74. doi : 10.1016 / j.fluid.2016.09.022.
63. ^Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (2020-01-23). «Молекулярные встречи на границах раздела пар-жидкость: бинарные смеси простых жидкостей». Physical Review E. 101 (1): 012802. doi : 10.1103 / PhysRevE.101.012802. ISSN 2470-0045. PMID 32069593.
64. ^ Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2002). «Равновесия между твердой, жидкой и паровой фазами в бинарных смесях Леннарда - Джонса». Равновесия жидкой фазы. 194–197: 197–206. doi : 10.1016 / S0378-3812 (01) 00650-1.
65. ^ Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2001). «Моделирование методом Монте-Карло полных фазовых диаграмм для бинарных смесей Леннарда - Джонса». Равновесия жидкой фазы. 182 (1–2): 37–46. doi : 10.1016 / S0378-3812 (01) 00378-8.
66. ^ Хичкок, Моника Р.; Холл, Кэрол К. (1999-06-15). «Равновесие твердой и жидкой фаз для бинарных леннард-джонсовских смесей». Журнал химической физики. 110 (23): 11433–11444. DOI : 10.1063 / 1.479084. ISSN 0021-9606.
67. ^Джунгблут, Светлана; Деллаго, Кристоф (14 марта 2011 г.). «Кристаллизация бинарной смеси Леннард-Джонса». Журнал химической физики. 134 (10): 104501. doi : 10.1063 / 1.3556664. ISSN 0021-9606. PMID 21405169.
68. ^ Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2004). «Влияние давления на полное фазовое поведение бинарных смесей». Журнал Айше. 50 (1): 215–225. doi : 10.1002 / aic.10020. ISSN 0001-1541.
69. ^Коттерман, Р.Л.; Праусниц, Дж. М. (1986). «Молекулярная термодинамика жидкостей при низкой и высокой плотности. Часть II: Фазовые равновесия для смесей, используются компоненты большими различиями в молекулах или потенциальной энергии ». Журнал Айше. 32 (11): 1799–1812. doi : 10.1002 / aic.690321105. ISSN 0001-1541.
70. ^Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен; Фишер, Иоганн (1996). «Основа семьи состояний: 1. Неполярные и полярные чистые жидкости». Журнал Айше. 42 (4): 1116–1126. doi : 10.1002 / aic.690420423. ISSN 0001-1541.
71. ^Вайнгерл, Ульрике; Вендланд, Мартин; Фишер, Иоганн; Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен (2001). «Основа класса состояний: 2. Неполярные и полярные смеси жидкостей». Журнал Айше. 47 (3): 705–717. doi : 10.1002 / aic.690470317.
72. ^ Лафит, Томас; Апостолакова Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (2013-10-16). «Точная статистическая ассоциативная теория жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми». Журнал химической физики. 139 (15): 154504. doi : 10.1063 / 1.4819786. HDL : 10044/1/12859. ISSN 0021-9606. PMID 24160524.
73. ^Блас, Ф.Дж.; Вега, Л.Ф. (1997). «Термодинамическое поведение гомоядерных и гетероядерных цепей Леннард-Джонса с сайтами ассоциации из моделирования и теории». Молекулярная физика. 92 (1): 135–150. doi : 10.1080 / 002689797170707. ISSN 0026-8976.
74. ^Краска, Томас; Габбинс, Кейт Э. (1996). «Расчеты фазового равновесия с модифицированным уравнением состояния SAFT. 1. Чистые алканы, алканолы и вода ». Промышленные и инженерные химические исследования. 35 (12): 4727–4737. doi : 10.1021 / ie9602320. ISSN 0888-5885.
75. ^Ghonasgi, D.; Чепмен, Уолтер Г. (1994). «Прогноз свойств модельных полимерных растворов и смесей». Журнал Айше. 40 (5): 878–887. doi : 10.1002 / aic.690400514. ISSN 0001-1541.
76. ^Меке, М.; Мюллер, А.; Винкельманн, Дж.; Врабец, Дж.; Фишер, Дж.; Размах, Р.; Вагнер, В. (1996-03-01). «Точное уравнение состояния типа Ван-дер-Ваальса для леннард-джонсовской жидкости». Международный журнал теплофизики. 17 (2): 391–404. doi : 10.1007 / BF01443399. ISSN 1572-9567. S2CID 123304062.
77. ^ Колафа, Иржи; Незбеда, Иво (1994). «Жидкость Леннарда-Джонса: точное аналитическое и теоретически обоснованное уравнение состояния». Равновесия жидкой фазы. 100 : 1–34. doi : 10.1016 / 0378-3812 (94) 80001-4.
78. ^Тол, Моника; Руткаи, Габор; Кёстер, Андреас; Люстиг, Рольф; Спан, Роланд; Врабец, Ядран (2016). «Уравнение состояния для жидкости Леннард-Джонса». Журнал физических и химических справочных данных. 45 (2): 023101. doi : 10.1063 / 1.4945000. ISSN 0047-2689.
79. ^Готтшалк, Матиас (01.12.2019). «УСЛ для жидкости Леннарда-Джонса: подход вириального расширения». Продвижение AIP. 9 (12): 125206. doi : 10.1063 / 1.5119761. ISSN 2158-3226.
80. ^ Джонсон, Дж. Карл; Цольвег, Джон А.; Габбинс, Кейт Э. (1993-02-20). «Возвращение к уравнению состояния Леннарда-Джонса». Молекулярная физика. 78 (3): 591–618. doi : 10.1080 / 00268979300100411. ISSN 0026-8976.
81. ^Врабец, Ядран; Кедия, Гаурав Кумар; Фукс, Гвидо; Хассе, Ганс (10 мая 2006 г.). «Комплексное исследование сосуществования пара и жидкости в усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса, включая плоской и сферической границы раздела». Молекулярная физика. 104 (9): 1509–1527. doi : 10.1080 / 00268970600556774. ISSN 0026-8976. S2CID 96606562.
82. ^Хейер, Микаэла; Стефан, Саймон; Лю, Цзиньлу; Чепмен, Уолтер Дж.; Хассе, Ганс; Лангенбах, Кай (18.08.2018). «Уравнение состояния для леннард-джонсовской усеченной и сдвинутой жидкости с радиусом отсечки 2,5 на основе теории возмущений и ее приложений к межфазной термодинамике». Молекулярная физика. 116 (15–16): 2083–2094. DOI : 10.1080 / 00268976.2018.1447153. ISSN 0026-8976. S2CID 102956189.
83. ^Шауль, Кэтрин Р.С.; Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2010). «Влияние усечения и сдвига на вириальные коэффициенты потенциалов Леннарда - Джонса». Сборник чехословацких химических сообщений. 75 (4): 447–462. DOI : 10.1135 / cccc2009113. ISSN 1212-6950.
84. ^Ши, Вэй; Джонсон, Дж Карл (2001). «Исследование гистограмм с изменением веса и масштабирования конечного размера флюидов Леннарда - Джонса». Равновесия жидкой фазы. 187–188: 171–191. doi : 10.1016 / S0378-3812 (01) 00534-9.
85. ^ Дуников Д.О.; Малышенко, С.П.; Жаховский, В. В. (2001-10-08). «Закон соответствующих состояний и моделирование молекулярной динамики леннард-джонсовской жидкости». Журнал химической физики. 115 (14): 6623–6631. DOI : 10.1063 / 1.1396674. ISSN 0021-9606.
86. ^Чипев, Никола; Секлер, Штеффен; Хайнен, Маттиас; Врабец, Ядран; Гратль, Фабио; Хорш, Мартин; Бернройтер, Мартин; Гласс, Колин В; Нитхаммер, Кристоф; Молоток, Николай; Крищок, Бернд (2019). «TweTriS: Моделирование двадцати триллионов элементов». Международный журнал приложений высокопроизводительных вычислений. 33 (5): 838–854. doi : 10.1177 / 1094342018819741. ISSN 1094-3420. S2CID 59345875.
87. ^Стефан, Саймон; Лю, Цзиньлу; Лангенбах, Кай; Чепмен, Уолтер Дж.; Хассе, Ганс (2018). «Граница раздела пар-жидкость леннард-джонсовской усеченной и смещенной жидкости: сравнение молекулярного моделирования, теории градиента плотности и функциональной теории плотности». Журнал физической химии C. 122 (43): 24705–24715. doi : 10.1021 / acs.jpcc.8b06332. ISSN 1932-7447.
88. ^Грюнайзен, Эдвард (1911). "Das Verhältnis der thermischen Ausdehnung zur spezifischen Wärme fester Elemente". Zeitschrift für Elektrochemie und angewandte Physikalische Chemie. 17 : 737–739. doi : 10.1002 / bbpc.191100004 (неактивен 2020-10-18). CS1 maint: DOI неактивен с октября 2020 года (ссылка )
89. ^Grüneisen, E. (1912). «Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente». Annalen der Physik (на немецком языке)). 344 (12): 257–306. doi : 10.1002 / andp.19123441202.
90. ^Stockmayer, WH (1941-05-01). «Вторые вириальные коэффициенты полярных газов». Журнал химической физики. 9 (5): 398–402. doi : 10.1063 / 1.1750922. ISSN 0021-9606.

• Леннард -Модель Джонса на SklogWiki.