уравнение Больцмана или уравнение переноса Больцмана (BTE ) описывает статистическое поведение термодинамической системы не в состояние равновесия, разработанное Людвигом Больцманом в 1872 году. Классическим примером такой системы является жидкость с градиентами температуры в космосе заставляя тепло течь из более горячих областей в более холодные, за счет случайного, но смещенного переноса частиц , составляющих эту жидкость. В современной литературе термин уравнение Больцмана часто используется в более общем смысле, имея в виду любое кинетическое уравнение, которое описывает изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.
Уравнение возникает не на основе анализа отдельных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а, скорее, путем рассмотрения распределения вероятностей для положения и импульса типичного частица - то есть вероятность того, что частица занимает заданную очень маленькую область пространства (математически элемент объема ) с центром в позиции , и имеет импульс, почти равный данному вектору импульса (таким образом, занимая очень небольшую область импульсного пространства ) в любой момент времени.
Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепло энергия и импульс, когда жидкость находится в движении. Можно также получить другие характеристики, характерные для жидкостей, такие как вязкость, теплопроводность и электрическая проводимость (рассматривая носители заряда в материале как газ). См. Также уравнение конвекции – диффузии.
Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, а неизвестная функция в уравнении является функцией плотности вероятности в шестимерном пространство положения и импульса частицы. Проблема существования и уникальности решений все еще не решена полностью, но некоторые недавние результаты весьма многообещающие.
Набор всех возможных положений r и импульсы p называются фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех координат для каждой координаты положения x, y, z и еще трех для каждой компоненты импульса p x, p y, p г. Все пространство 6- мерное : точка в этом пространстве (r, p) = (x, y, z, p x, p y, p z), и каждая координата параметризована временем t. Малый объем («дифференциальный элемент объема ») записывается
Поскольку вероятность N молекул, которые все имеют r и p в пределах под вопросом, по сути уравнения представляет собой величину f, которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства или вероятность на единицу длины в кубе на единицу количества движения в куб в момент времени t. Это функция плотности вероятности : f (r, p, t), определенная так, что
- это количество молекул, каждая из которых имеет позиции, лежащие в пределах элемента объема около r и импульсы, лежащие в импульсном пространстве элемент примерно p, в момент времени t. Интегрирование по области пространственного положения и импульсного пространства дает общее количество частиц, которые имеют положения и импульсы в эта область:
, который является 6-кратным интегралом. В то время как f связано с несколькими частицами, фазовое пространство предназначено для одной частицы (не для всех, что обычно имеет место в детерминированных системах многих тел ), поскольку Под вопросом только один r и p . Использование r1, p1для частицы 1, r2, p2для частицы 2 и т. Д. До rN, pNдля частицы N не является частью анализа.
Предполагается, что частицы в системе идентичны (так что каждый имеет одинаковую массу м). Для смеси более чем одного химических веществ требуется одно распределение для каждого, см. Ниже.
Тогда общее уравнение можно записать как
где термин "сила" соответствует силам, действующим на частицы внешним воздействием (не самими частицами), термин "diff" представляет диффузию частиц, и "coll" - это термин столкновение, учитывающий силы, действующие между частицами при столкновениях. Выражения для каждого члена справа приведены ниже.
Обратите внимание, что некоторые авторы используют скорость частицы v вместо импульса p ; они связаны в определении количества движения следующим образом: p = m v.
Рассмотрим частицы, описываемые f, каждая из которых испытывает внешнюю силу F не из-за других частиц (см. термин столкновения для последней трактовки).
Предположим, что в момент t некоторое количество частиц все имеют позицию r внутри элемента и импульс p в пределах . Если на каждую частицу мгновенно действует сила F, то в момент времени t + Δt их положение будет r + Δ r= r+ pΔt / m, а импульс p + Δ p= p+ FΔt. Тогда при отсутствии коллизий f должно удовлетворять
Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что элемент объема фазового пространства - константа, которую можно отобразить с помощью Уравнения Гамильтона (см. Обсуждение в разделе теорема Лиувилля ). Однако, поскольку столкновения действительно происходят, плотность частиц в объеме фазового пространства 'изменяется, поэтому
(1) |
где Δf - полное изменение f. Разделив (1) на Δt и принимая пределы Δt → 0 и Δf → 0, получаем
(2) |
Общая разность f составляет:
(3) |
где ∇ - оператор градиента, · - скалярное произведение,
- сокращение для импульсного аналога ∇, и êx, êy, êzявляются декартовыми единичными векторами.
Деление (3) на dt и замена в (2) дает:
В в данном контексте F(r, t) - это силовое поле , действующее на частицы в жидкости, а m - масса частиц. Термин справа добавлен для описания эффекта столкновения между частицами; если он равен нулю, то частицы не сталкиваются. Бесстолкновительное уравнение Больцмана, в котором отдельные столкновения заменяются агрегированными взаимодействиями на большие расстояния, например Кулоновские взаимодействия, часто называемые уравнением Власова.
Это уравнение более полезно, чем основное, приведенное выше, но все же неполное, поскольку f не может быть решено, если не известен член столкновения в f. Этот термин не может быть найден так же легко или обобщенно, как другие - это статистический термин, представляющий столкновения частиц, и требует знания статистики, которой подчиняются частицы, например Максвелла – Больцмана, Ферми– Распределения Дирака или Бозе – Эйнштейна.
Ключевой идеей, примененной Больцманом, было определение члена столкновения возникающие исключительно в результате столкновений двух тел между частицами, которые, как предполагается, не коррелировали до столкновения. Это предположение было названо Больцманом «Stosszahlansatz» и также известно как «предположение о молекулярном хаосе ». В этом предположении член столкновения может быть записан в виде интеграла импульсного пространства по произведению одночастичных функций распределения:
где pAи pB- импульсы любых двух частиц (для удобства обозначены как A и B) до столкновения, p′Aи p′B- импульсы после столкновения,
- величина относительных импульсов (см. относительная скорость для получения дополнительной информации об этой концепции), а I (g, Ω) - дифференциальное сечение столкновения, в котором относительные импульсы сталкивающихся частиц превращаются на угол θ в элемент телесного угла dΩ из-за столкновения.
Поскольку большая часть проблемы при решении уравнения Больцмана возникает из-за сложного члена столкновения, были предприняты попытки «смоделировать» и упростить член столкновения. Наиболее известное модельное уравнение принадлежит Бхатнагару, Гроссу и Круку. В приближении BGK предполагается, что эффект молекулярных столкновений должен заставить неравновесную функцию распределения в точке физического пространства вернуться к максвелловской равновесной функции распределения, и что скорость, с которой это происходит, пропорциональна частоте молекулярных столкновений.. Таким образом, уравнение Больцмана преобразовано в форму BGK:
где - частота столкновений молекул, а - локальная максвелловская функция распределения с учетом температуры газа в данной точке пространства.
Для смеси химических веществ, помеченных индексами i = 1, 2, 3,..., n, уравнение для вида i имеет вид
где f i = f i(r, pi, t), а член столкновения равен
где f ′ = f ′ (p′i, t), величина относительных импульсов равна
и I ij - это дифференциальное сечение, как и раньше, между частицами i и j. Интегрирование производится по компонентам импульса подынтегрального выражения (обозначенным i и j). Сумма интегралов описывает вход и выход частиц вида i в элемент фазового пространства или из него.
Уравнение Больцмана можно использовать для вывода гидродинамических законов сохранения массы, заряда, количества движения и энергии. Для жидкости, состоящей только из одного вида частиц, числовая плотность n определяется как
Среднее значение любой функции A равно
Поскольку уравнения сохранения включают тензоры, соглашение Эйнштейна о суммировании будет использоваться там, где повторяющиеся индексы в продукте указывают на суммирование по этим индексам. Таким образом, и , где - вектор скорости частицы. Определите как некоторую функцию импульса только, который сохраняется при столкновении. Предположим также, что сила является функцией только положения, и что f равно нулю для . Умножение уравнения Больцмана на A и интегрирование по импульсу дает четыре члена, которые, используя интегрирование по частям, можно выразить как
где последний член равен нулю, так как A сохраняется при столкновении. Пусть , масса частицы, интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения массы:
где - массовая плотность, а - средняя скорость жидкости.
Если принять , импульс частицы, интегральное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения импульса:
где - тензор давления (тензор вязких напряжений плюс гидростатическое давление ).
Если , кинетическая энергия частице интегрированное уравнение Больцмана становится уравнением сохранения энергии:
где - плотность кинетической тепловой энергии, а - вектор теплового потока.
В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде как
где L - оператор Лиувилля (там - несовместимое определение между оператором Лиувилля, как определено здесь, и оператором Лиувилля, как определено здесь, и тем, что приведено в статье), описывающим эволюцию объема фазового пространства, и C - оператор столкновения. Нерелятивистская форма L - это
Можно записать релятивистские квантовые уравнения Больцмана для релятивистских квантовых систем, в которых число частиц не сохраняется при столкновениях. Это имеет несколько применений в физической космологии, включая образование легких элементов в нуклеосинтезе Большого взрыва, производство темной материи и бариогенез. Априори не ясно, может ли состояние квантовой системы быть охарактеризовано классической плотностью фазового пространства f. Однако для широкого класса приложений существует четко определенное обобщение f, которое является решением эффективного уравнения Больцмана, которое может быть получено из первых принципов квантовой теории поля.
Уравнение Больцмана полезно в галактической динамике. Галактика при определенных предположениях может быть представлена как сплошная жидкость; тогда его массовое распределение представлено буквой f; в галактиках физические столкновения между звездами очень редки, и эффектом гравитационных столкновений можно пренебречь в течение времени, намного превышающего возраст Вселенной.
Его обобщение в общей теории относительности. это
где Γ βγ - символ Кристоффеля второго рода (это предполагает отсутствие внешних сил, так что частицы движутся вдоль геодезических в отсутствие столкновений), с важной тонкостью, заключающейся в том, что плотность является функцией в смешанной контравариантно-ковариантной (x, p i) фазе пространство в противоположность полностью контравариантному (x, p) фазовому пространству.
В физической космологии для изучения космического микроволнового фонового излучения использовался полностью ковариантный подход. В более общем плане при изучении процессов в ранней вселенной часто пытаются учесть эффекты квантовой механики и общей теории относительности. В очень плотной среде, образованной первичной плазмой после Большого взрыва, частицы непрерывно создаются и аннигилируют. В такой среде квантовая когерентность и пространственное расширение волновой функции могут влиять на динамику, что делает сомнительным, подходит ли классическое распределение f в фазовом пространстве, которое появляется в уравнении Больцмана, для описания система. Однако во многих случаях можно вывести эффективное уравнение Больцмана для обобщенной функции распределения из первых принципов квантовой теории поля. Это включает образование легких элементов в нуклеосинтезе Большого взрыва, производство темной материи и бариогенез.
Точные решения для в некоторых случаях доказано существование уравнений Больцмана; этот аналитический подход обеспечивает понимание, но обычно не используется в практических задачах.
Вместо этого численные методы (включая конечные элементы ) обычно используются для поиска приближенных решений различных форм уравнения Больцмана. Примеры приложений варьируются от гиперзвуковой аэродинамики в потоках разреженного газа до потоков плазмы.
Вблизи локального равновесия решение уравнения Больцмана может быть представлено как асимптотическое разложение по степеням числа Кнудсена (разложение Чепмена-Энскога ). Первые два члена этого разложения дают уравнения Эйлера и уравнения Навье-Стокса. У высших членов есть особенности. Проблема математического развития предельных процессов, которые ведут от атомистической точки зрения (представленной уравнением Больцмана) к законам движения сплошных сред, является важной частью шестой проблемы Гильберта.