Длина волны де Бройля в тепловом измерении

редактировать

Физическое количество идеальных и квантовых газов

В физике, тепловая длина волны де Бройля (λ th {\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}}}{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm { th}}} ) - это примерно средняя длина волны де Бройля частиц газа в идеальном газе при указанной температуре. Мы можем принять среднее расстояние между частицами в газе приблизительно равным (V / N), где V - объем, а N - количество частиц. Когда тепловая длина волны де Бройля намного меньше расстояния между частицами, газ можно рассматривать как классический газ или газ Максвелла – Больцмана. С другой стороны, когда тепловая длина волны де Бройля порядка или больше расстояния между частицами, квантовые эффекты будут преобладать, и газ следует рассматривать как ферми-газ или бозе-газ., в зависимости от природы частиц газа. Критическая температура является точкой перехода между этими двумя режимами, и при этой критической температуре длина тепловой волны будет приблизительно равна расстоянию между частицами. То есть квантовая природа газа будет очевидна для

VN λ th 3 ≤ 1 или (VN) 1/3 ≤ λ th {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {V} {N \ lambda _ { \ mathrm {th}} ^ {3}}} \ leq 1 \, {\ rm {или}} \ \ left ({\ frac {V} {N}} \ right) ^ {1/3} \ leq \ lambda _ {\ mathrm {th}}}{\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {V} {N \ lambda _ {\ mathrm {th}} ^ {3}}} \ leq 1 \, {\ rm {или}} \ \ left ({\ frac {V} {N}} \ right) ^ {1/3} \ leq \ lambda _ {\ mathrm {th}}}

то есть, когда расстояние между частицами меньше тепловой длины волны де Бройля; в этом случае газ будет подчиняться статистике Бозе – Эйнштейна или статистике Ферми – Дирака, в зависимости от того, что подходит. Это, например, случай для электронов в типичном металле при T = 300 K, где электронный газ подчиняется статистике Ферми – Дирака, или в Конденсат Бозе – Эйнштейна. С другой стороны, для

VN λ th 3 ≫ 1 или (VN) 1/3 ≫ λ th {\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {V} {N \ lambda _ {\ mathrm {th}} ^ {3}}} \ gg 1 \, {\ rm {или}} \ \ left ({\ frac {V} {N}} \ right) ^ {1/3} \ gg \ lambda _ {\ mathrm {th }}}{\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {V} {N \ lambda _ {\ mathrm {th}} ^ {3}}} \ gg 1 \, {\ rm {или}} \ left ({\ frac {V} {N}} \ right) ^ {1/3} \ gg \ lambda _ {\ mathrm {th}}}

то есть, когда расстояние между частицами намного больше, чем тепловая длина волны де Бройля, газ будет подчиняться статистике Максвелла – Больцмана. Так обстоит дело с молекулярными или атомарными газами при комнатной температуре, а также с тепловыми нейтронами, создаваемыми источником нейтронов.

Содержание

  • 1 Массивные частицы
  • 2 Безмассовые частицы
  • 3 Общее определение тепловой длины волны
  • 4 Примеры
  • 5 Ссылки

Массивные частицы

Для массивных невзаимодействующих частиц тепловая длина волны де Бройля может быть получена из расчета функция раздела. Предполагая одномерный ящик длиной L, статистическая сумма (с использованием энергетических состояний 1D частицы в ящике ):

Z = ∑ ne - E n / k BT = ∑ ne - час 2 N 2/8 м L 2 k BT {\ displaystyle Z = \ sum _ {n} e ^ {- E_ {n} / k _ {\ mathrm {B}} T} = \ sum _ {n} e ^ {- h ^ {2} n ^ {2} / 8mL ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T}}{\ displaystyle Z = \ sum _ {n} e ^ {- E_ {n} / k _ {\ mathrm {B}} T} = \ sum _ {n} e ^ {- h ^ {2} n ^ {2} / 8mL ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T}}

Поскольку уровни энергии очень близки друг к другу, мы можем аппроксимировать эту сумму как интеграл :

Z знак равно ∫ 0 ∞ е - час 2 N 2/8 м L 2 К BT dn = 2 π mk BT час 2 L ≡ L λ D {\ displaystyle Z = \ int _ {0} ^ {\ infty } e ^ {- h ^ {2} n ^ {2} / 8mL ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T} dn = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi mk _ {\ mathrm {B}) } T} {h ^ {2}}}} L \ Equiv {\ frac {L} {\ lambda _ {D}}}}{\ displaystyle Z = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- h ^ {2} n ^ {2} / 8mL ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T} dn = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi mk _ {\ mathrm {B}} T} {h ^ {2}}}} L \ Equiv {\ frac {L} {\ lambda _ {D}}}}

Следовательно,

λ D = h 2 π mk BT {\ displaystyle \ lambda _ {D} = {\ frac {h} {\ sqrt {2 \ pi mk _ {\ mathrm {B}} T}}}}{\ displaystyle \ lambda _ {D} = {\ frac {h} {\ sqrt {2 \ pi mk _ {\ mathrm {B}} T}}}}

где h {\ displaystyle h}h - постоянная Планка, m - масса частицы газа, k B {\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}} - постоянная Больцмана, а T - температура газа.

Это также можно выразить с помощью приведенной постоянной Планка ℏ = h 2 π {\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}{\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}} как:

λ th = 2 π ℏ 2 мк BT, {\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar ^ {2}} {mk _ {\ mathrm {B}} T}}},}{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}} = {\ sqrt {\ frac {2 \ pi \ hbar ^ {2}} {mk _ {\ mathrm {B}} T}}},}

Безмассовые частицы

Для безмассовой частицы тепловая длина волны может быть определена как:

λ th = ch 2 π 1/3 k BT = π 2/3 ℏ ck BT {\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}} = {\ frac {ch} {2 \ pi ^ {1/3} k _ {\ mathrm {B}} T}} = {\ frac {\ pi ^ {2/3} \ hbar c} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}{ \ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}} = {\ frac {ch} {2 \ pi ^ {1/3} k _ {\ mathrm {B}} T}} = {\ frac {\ pi ^ {2 / 3} \ hbar c} {k _ {\ mathrm {B}} T}}}

где c - скорость света. Как и тепловая длина волны для массивных частиц, она порядка средней длины волны частиц в газе и определяет критическую точку, в которой квантовые эффекты начинают преобладать. Например, при наблюдении длинноволнового спектра излучения черного тела может применяться «классический» закон Рэлея – Джинса, но когда наблюдаемые длины волн приближаются к тепловой длине волны фотонов в излучателе черного тела необходимо использовать «квантовый» закон Планка.

Общее определение длины тепловой волны

Было дано общее определение длины тепловой волны для идеального квантового газа в любом количестве измерений и для обобщенного соотношения между энергией и импульсом (дисперсионное соотношение) Данные Яна (Ян 2000). Это имеет практическое значение, так как существует множество экспериментальных ситуаций с разными размерностями и дисперсионными соотношениями. Если n - количество измерений, а соотношение между энергией (E) и импульсом (p) определяется следующим образом:

E = aps {\ displaystyle E = ap ^ {s} \,}E = ap ^ {s} \,

где a и s - константы, тогда длина тепловой волны определяется как:

λ th = h π (ak BT) 1 / s [Γ (n / 2 + 1) Γ (n / s + 1)] 1 / n {\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}} = {\ frac {h} {\ sqrt {\ pi}}} \ left ({\ frac {a} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) ^ {1 / s} \ left [{\ frac {\ Gamma (n / 2 + 1)} {\ Gamma (n / s + 1)}} \ right] ^ {1 / n}}{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}} = {\ frac {h} {\ sqrt {\ pi}}} \ left ({\ frac {a} {k _ {\ mathrm {B}} T} } \ right) ^ {1 / s} \ left [{\ frac {\ Gamma (n / 2 + 1)} {\ Gamma (n / s + 1)}} \ right] ^ {1 / n}}

где Γ - Гамма-функция. Например, в обычном случае массивных частиц в трехмерном газе n = 3 и E = p / 2m, что дает вышеуказанные результаты для массивных частиц. Для безмассовых частиц в трехмерном газе n = 3 и E = p c, что дает вышеуказанные результаты для безмассовых частиц.

Примеры

Некоторые примеры тепловой длины волны де Бройля при 298 К приведены ниже.

Молекулаm {\ displaystyle m}м (кг)λ th {\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {th}}}{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm { th}}} (m)
H23.3474E-277.1228E-11
N24.6518E-261.91076E-11
O25.31352E-261.78782E- 11
F26.30937E-261.64105E-11
Cl21.1614E-251.2093E-11
HCl5.97407E-261.68586E-11

Ссылки

  1. ^ Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.). В. Х. Фриман. п. 73. ISBN 978-0716710882.
  2. ^Шредер, Дэниел (2000). Введение в теплофизику. США: Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 253. ISBN 0-201-38027-7.
  • Цзыцзюнь Ян, «Общая длина тепловой волны и ее приложения», European Journal of Physics, 21 (2000) 625–631. http://www.iop.org/EJ/article/0143-0807/21/6/314/ej0614.pdf
  • Ву-Куок, Л., Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. этот вики-сайт не работает; см. эту статью в веб-архиве от 28 апреля 2012 г..
Последняя правка сделана 2021-06-11 08:30:06
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте