Число Кнудсена

редактировать

Число Кнудсена (Kn) - это безразмерное число, определяемое как отношение молекулярной длины среднего свободного пробега до репрезентативной шкалы физических длин. Этой шкалой длины может быть, например, радиус тела в жидкости. Номер назван в честь датского физика Мартина Кнудсена (1871–1949).

Число Кнудсена помогает определить, следует ли использовать статистическую механику или механику сплошной среды для гидродинамики для моделирования ситуации. Если число Кнудсена близко или больше единицы, длина свободного пробега молекулы сравнима с масштабом длины задачи, и предположение о континууме в механике жидкости уже не является хорошим приближением. В таких случаях следует использовать статистические методы.

Содержание

1 Определение
2 Связь с числами Маха и Рейнольдса в газах
3 Применение
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

Число Кнудсена - это безразмерное число, определяемое как

K n = λ L, {\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}},}

{ \ Displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}},}

где

λ {\ displaystyle \ lambda}

\ lambda

= средний свободный пробег [L],

L {\ displaystyle L}

L

= типичная шкала физической длины [L].

Рассматриваемая шкала длины, $L {\ displaystyle L}$ $L$ , может соответствовать различным физическим характеристикам системы, но чаще всего относится к длине зазора, в которой происходит перенос тепла или массы через газовую фазу.. Это имеет место в пористых и гранулированных материалах, где теплоперенос через газовую фазу сильно зависит от ее давления и, как следствие, длины свободного пробега молекул в этой фазе. Для газа Больцмана средний свободный пробег может быть легко вычислен, так что

K n = k BT 2 π d 2 p L, {\ displaystyle \ mathrm {Kn } \ = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2} pL}},}

{\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt { 2}} \ pi d ^ {2} pL}},}

где

k B {\ displaystyle k_ {\ text {B}}}

k _ {\ text {B}}

- постоянная Больцмана (1,380649 × 10 Дж / К в единицах СИ ) [MLT θ],

T {\ displaystyle T}

T

- термодинамическая температура [θ],

d {\ displaystyle d}

d

- диаметр твердой оболочки частицы [L],

p {\ displaystyle p}

p

- полное давление [MLT].

Для динамики частиц в атмосфере и при условии стандартных температуры и давления, т.е. 0 ° C и 1 атм, имеем $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ≈ 8 × 10 м (80 нм).

Связь с числами Маха и Рейнольдса в газах

Число Кнудсена может быть связано с числом Маха и числом Рейнольдса.

Используя динамическая вязкость

μ = 1 2 ρ c ¯ λ, {\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2}} \ rho {\ bar {c}} \ lambda,}

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2}} \ rho {\ bar {c}} \ lambda,}

со средним скорость молекулы (из распределения Максвелла – Больцмана )

c ¯ = 8 k BT π m, {\ displaystyle {\ bar {c}} = {\ sqrt {\ frac {8k _ {\ text {B}} T } {\ pi m}}},}

{\ displaystyle {\ bar {c}} = {\ sqrt {\ frac {8k _ {\ text {B}} T} {\ pi m}}},}

[средний свободный пробег] определяется следующим образом:

λ = μ ρ π m 2 k BT. {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mu} {\ rho}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}}}.}

{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mu} {\ rho}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}}}.}

Разделив на L (некоторая характерная длина), получаем число Кнудсена:

К N = λ L = μ ρ L π м 2 К BT, {\ Displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}}},}

{\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}} },}

где

c ¯ {\ displaystyle {\ bar {c}}}

\ bar {c}

- средняя скорость молекул из распределения Максвелла – Больцмана [LT],

T - термодинамическая температура [θ],

μ - динамическая вязкость [MLT],

m - молекулярная масса [M],

kB- постоянная Больцмана [MLT θ],

ρ - плотность [ML].

Безразмерный Маха число может быть записано как

M a = U ∞ cs, {\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {U _ {\ infty}} {c _ {\ text {s}}}},}

{\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {U _ {\ infty}} {c _ {\ text {s}}}},}

где скорость звука определяется как

cs = γ RTM = γ k BT m, {\ displaystyle c _ {\ text {s}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma RT} {M}}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ text {B}} T} {m}}},}

{\ displaystyle c _ {\ text {s}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma RT} {M}}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ text {B}} T} {m}}},}

где

U∞- скорость набегающего потока [LT],

R - это Универсальная газовая постоянная (в SI, 8,314 47215 Дж · К моль) [MLT θ моль],

M - молярная масса [М · моль ],

γ {\ displaystyle \ gamma}

\ gamma

- это отношение удельных теплоемкостей [1].

Можно записать безразмерное число Рейнольдса как

R e = ρ U ∞ L μ. {\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho U _ {\ infty} L} {\ mu}}.}

{ \ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho U _ {\ infty} L} {\ mu}}.}

Деление числа Маха на число Рейнольдса:

M a R e = U ∞ / CS ρ U ∞ L / μ знак равно μ ρ L CS = μ ρ L γ К BT м = μ ρ L м γ К BT {\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}} } = {\ frac {U _ {\ infty} / c _ {\ text {s}}} {\ rho U _ {\ infty} L / \ mu}} = {\ frac {\ mu} {\ rho Lc _ {\ text {s}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ text {B}} T} {m}}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm { Ma}} {\ mathrm {Re}}} = {\ frac {U _ {\ infty} / c _ {\ text {s}}} {\ rho U _ {\ infty} L / \ mu}} = {\ frac { \ mu} {\ rho Lc _ {\ text {s}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ text {B}} T} {m} }}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T}}}}

и умножением на $γ π 2 {\ displaystyle { \ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}}$ дает число Кнудсена:

μ ρ L m γ k BT γ π 2 = μ ρ L π m 2 k BT = K n. {\ displaystyle {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}}} = \ mathrm {Kn }.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ текст {B}} T}}} = \ mathrm {Kn}.}

Следовательно, числа Маха, Рейнольдса и Кнудсена связаны соотношением

K n = M a R e γ π 2. {\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}.}

{\ displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}}} {\ sqrt { \ frac {\ gamma \ pi} {2}}}.}

Приложение

Число Кнудсена можно использовать для определения разрежения потока:

$K n < 0.01 {\displaystyle \mathrm {Kn} <0.01}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Kn} <0.01}$ : Континуальный поток
$0,01 < K n < 0.1 {\displaystyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$ ${\ displaystyle 0,01 <\ mathrm {Kn} <0.1}$ : скользящий поток
$0,1 < K n < 10 {\displaystyle 0.1<\mathrm {Kn} <10}$ ${\ displaystyle 0.1 <\ mathrm {Kn} <10}$ : Переходный поток
$K n>10 {\ displaystyle \ mathrm {Kn}>10}$ $\mathrm {Kn}>10$ : Свободномолекулярный поток

Эта классификация режимов является эмпирической и проблемно-зависимой, но оказалась полезной для адекватного моделирования

Проблемы с высокими числами Кнудсена включают в себя вычисление движения частицы пыли через нижнюю атмосферу и движение спутника через экзосферу. Одно из наиболее широко используемых приложений для числа Кнудсена - в конструкции устройств микрофлюидики и MEMS, где потоки ra переход от континуума к свободномолекулярному. Считается, что движение жидкостей в ситуациях с высоким числом Кнудсена демонстрирует поток Кнудсена, также называемый свободномолекулярным потоком.

Воздушный поток вокруг самолета, такого как авиалайнер имеет низкое число Кнудсена, что делает его устойчивым в области механики континуума. Используя число Кнудсена, поправку для закона Стокса можно использовать в поправочном коэффициенте Каннингема, это поправка на силу сопротивления из-за проскальзывания мелких частиц (т.е. d p< 5 μm). The flow of water through a nozzle will usually be a situation with a low Knudsen number.

Смеси газы с разными молекулярными массами можно частично разделить, направив смесь через небольшие отверстия в тонкой стенке, потому что количество молекул, которые проходят через отверстие, пропорционально давлению газа и обратно пропорционально его молекулярной массе. был использован для разделения смесей изотопов, таких как уран, с использованием пористых мембран. Он также был успешно продемонстрирован для использования в производстве водорода из воды.

Число Кнудсена также играет важную роль в теплопроводности газов. Например, для изоляционных материалов, где газы находятся под низким давлением, число Кнудсена должно быть как можно большим, чтобы обеспечить низкую теплопроводность.

См. Также

Литература

^Дай; и другие. (2016). «Эффективная теплопроводность субмикронных порошков: численное исследование». Прикладная механика и материалы. 846 : 500–505. doi : 10.4028 / www.scientific.net / AMM.846.500.
^Dai, W.; и другие. (2017). «Влияние давления газа на эффективную теплопроводность керамических галечников-размножителей». Fusion Engineering и дизайн. 118 : 45–51. doi : 10.1016 / j.fusengdes.2017.03.073.
^ Карниадакис, Г., Бескок, А. и Алуру, Н. (2000). Микропотоки и нанопотоки: основы и моделирование. Springer. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
^ Laurendeau, Normand M. (2005). Статистическая термодинамика: основы и приложения. Cambridge University Press. Стр. 306. ISBN 0-521-84635-8., Приложение N, стр. 434
^Виллани, С. (1976). Разделение изотопов. Хинсдейл, Иллинойс: Американское ядерное общество. 199>Коган А. (1998). «Прямое солнечное термическое разделение воды и разделение продуктов на месте - II. Экспериментальное технико-экономическое обоснование». Международный журнал водородной энергетики. Великобритания: Elsevier Science Ltd. 23 (2): 89–98. doi : 10.1016 / S0360-3199 (97) 00038-4.
^tec-science (2020-01-27). «Теплопроводность газов». Tec-science. Проверено 22 марта 2020 г.

Cussler, EL (1997). Diffusion: Mass Transfer in Fluid Systems. Cambridge University Press. ISBN 0-521-45078-0.

Внешние ссылки

Калькуляторы числа Кнудсена и коэффициента диффузии