Диффузия Кнудсена

редактировать

Схематическое изображение молекулы в цилиндрической поре в случае диффузии Кнудсена; указаны диаметр поры (d) и свободный пробег частицы (l).

В физике, диффузия Кнудсена, названа в честь Мартина Кнудсена, представляет собой средство диффузии, которое происходит, когда масштаб системы сравним или меньше средней длины свободного пробега вовлеченных частиц. Примером этого является длинная пора с узким диаметром (2–50 нм), потому что молекулы часто сталкиваются со стенкой поры.

Рассмотрим диффузию молекул газа через очень маленькие капиллярные поры. Если диаметр пор меньше, чем длина свободного пробега молекул диффундирующего газа, и плотность газа низкая, молекулы газа сталкиваются со стенками поры чаще, чем друг с другом. Этот процесс известен как поток Кнудсена или диффузия Кнудсена.

Число Кнудсена - хороший показатель относительной важности диффузии Кнудсена. Число Кнудсена, намного превышающее единицу, указывает на важность диффузии Кнудсена. На практике диффузия Кнудсена применяется только к газам, потому что средний свободный пробег для молекул в жидком состоянии очень мала, обычно около диаметра самой молекулы.

Содержание

1 Математическое описание
2 Самодиффузия Кнудсена
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Математическое описание

Коэффициент диффузии для диффузии Кнудсена получается из коэффициента самодиффузии, полученного из кинетической теории газов :

DAA ∗ = λ u 3 = λ 3 8 RT π MA {\ displaystyle {D_ {AA *}} = {{\ lambda u } \ over {3}} = {{\ lambda} \ over {3}} {\ sqrt {{8RT} \ over {\ pi M_ {A}}}}}

{\ displaystyle {D_ {AA *}} = {{\ lambda u} \ over {3}} = {{\ lambda} \ over {3}} {\ sqrt {{8RT}) \ over {\ pi M_ {A}}}}}

Для диффузии Кнудсена длина пути λ равна заменен на диаметр поры $d {\ displaystyle d}$ $d$ , так как разновидность A теперь с большей вероятностью столкнется со стенкой поры, чем с другой молекулой. Коэффициент диффузии Кнудсена для диффундирующих частиц A, $DKA {\ displaystyle D_ {KA}}$ $D _ {{KA}}$ , таким образом, равен

DKA = du 3 = d 3 8 RT π MA, {\ displaystyle {D_ {KA }} = {du \ over {3}} = {d \ over {3}} {\ sqrt {{8RT} \ over {\ pi M_ {A}}}},}

{\ displaystyle {D_ {KA}} = {du \ over {3}} = {d \ over {3}} {\ sqrt {{8RT} \ over {\ pi M_ {A}}} },}

где $R { \ displaystyle R}$ $R$ - газовая постоянная (8,3144 Дж / (моль · K) в единицах СИ), молярная масса $MA {\ displaystyle M_ {A}}$ $M _ {{A}}$ выражается в единицах кг / моль, а температура T (в кельвинах ). Коэффициент диффузии Кнудсена $D K A {\ displaystyle D_ {KA}}$ $D _ {{KA}}$ , таким образом, зависит от диаметра пор, молярной массы вещества и температуры. Выраженная в виде молекулярного потока, диффузия Кнудсена следует уравнению первого закона диффузии Фика :

JK = ∇ n DKA {\ displaystyle J_ {K} = \ nabla nD_ {KA}}

{\ displaystyle J_ {K} = \ nabla nD_ {KA}}

Здесь $JK {\ displaystyle J_ {K}}$ ${\ displaystyle J_ {K}}$ - молекулярный поток в моль / м² · с, $n {\ displaystyle n}$ $n$ - молярная концентрация в $моль / м 3 {\ displaystyle {\ rm {моль / м ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle {\ rm {моль / м ^ {3 }}}}$ . Диффузионный поток управляется градиентом концентрации, который в большинстве случаев представляет собой градиент давления (т.е. $n = P / RT {\ displaystyle n = P / RT}$ ${\ displaystyle n = P / RT}$ , следовательно, $∇ n = Δ PRT l {\ displaystyle \ nabla n = {\ frac {\ Delta P} {RTl}}}$ ${\ displaystyle \ nabla n = {\ frac {\ Delta P} {RTl}}}$ где $Δ P {\ displaystyle \ Delta P}$ $\ Delta P$ - разница давлений между обеими сторонами поры, а $l {\ displaystyle l}$ $l$ - длина поры).

Если предположить, что $Δ P {\ displaystyle \ Delta P}$ $\ Delta P$ намного меньше $P ave {\ displaystyle P _ {\ rm {ave}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ rm {ave} }}$ , среднее абсолютное давление в системе (например, $Δ P ≪ P ave {\ displaystyle \ Delta P \ ll P _ {\ rm {ave}}}$ ${\ displaystyle \ Delta P \ ll P _ {\ rm {ave}}}$ ), тогда мы можем выразить поток Кнудсена как объемный расход следующим образом:

QK = Δ P d 3 6 l P ave 2 π RTMA {\ displaystyle Q_ {K} = {\ frac {\ Delta Pd ^ {3}} {6lP_ {\ rm {ave}}}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi RT} {M_ {A}}}}}

{\ displaystyle Q_ {K} = {\ frac {\ Delta Pd ^ {3}} {6lP _ {\ rm {ave}}}} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi RT} {M_ {A}}}}}

где $QK {\ displaystyle Q_ {K}}$ ${\ displaystyle Q_ {K}}$ - объемный расход в $м 3 / с {\ displaystyle {\ rm {m ^ {3} / s}}}$ ${\ displaystyle {\ rm {m ^ {3} / s}}}$ . Если пора относительно короткая, входные эффекты могут значительно снизить чистый поток через пору. В этом случае закон излияния можно довольно легко использовать для вычисления избыточного сопротивления из-за входных эффектов, подставив эффективную длину $le = l + 4 3 d {\ displaystyle l _ {\ rm {e}} = l + {\ tfrac {4} {3}} d}$ ${\ displaystyle l _ {\ rm {e}} = l + {\ tfrac {4} {3}} d}$ in для $l {\ displaystyle l}$ $l$ . Обычно процесс Кнудсена имеет значение только при низком давлении и небольшом диаметре пор. Однако могут быть случаи, когда важны как диффузия Кнудсена, так и молекулярная диффузия $D A B {\ displaystyle D_ {AB}}$ $D _ {{AB}}$ . Эффективный коэффициент диффузии вида A в бинарной смеси A и B, $DA e {\ displaystyle D_ {Ae}}$ $D _ {{Ae}}$ определяется как

1 DA e = 1 - α ya DAB + 1 DKA, {\ displaystyle {\ frac {1} {{D} _ {Ae}}} = {\ frac {1- \ alpha {{y} _ {a}}} {{D} _ {AB}} } + {\ frac {1} {{D} _ {KA}}},}

{\ displaystyle {\ frac {1 } {{D} _ {Ae}}} = {\ frac {1- \ alpha {{y} _ {a}}} {{D} _ {AB}}} + {\ frac {1} {{D } _ {KA}}},}

где $α = 1 + NBNA. {\ displaystyle \ alpha = 1 + {\ tfrac {{N} _ {B}} {{N} _ {A}}}.}$ ${\ displaystyle \ alpha = 1 + {\ tfrac {{N} _ {B}} {{N} _ {A}}}.}$ Для случаев, когда α = 0 ( $NA = - NB {\ displaystyle N_ {A} = - N_ {B}}$ ${\ displaystyle N_ {A} = - N_ {B}}$ ) или где $y A {\ displaystyle y_ {A}}$ $y _ {{A}}$ близко к нулю, уравнение сводится к

1 DA e = 1 DAB + 1 DKA. {\ displaystyle {\ frac {1} {{D} _ {Ae}}} = {\ frac {1} {{D} _ {AB}}} + {\ frac {1} {{D} _ {KA }}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {{D} _ { Ae}}} = {\ frac {1} {{D} _ {AB}}} + {\ frac {1} {{D} _ {KA}}}.}

Самодиффузия Кнудсена

В режиме диффузии Кнудсена молекулы не взаимодействуют друг с другом, поэтому они движутся по прямым линиям между точками на поверхности порового канала. Самодиффузия - это мера поступательной подвижности отдельных молекул. В условиях термодинамического равновесия молекула маркируется, и ее траектория отслеживается в течение длительного времени. Если движение является диффузным и в среде без дальнодействующих корреляций, квадрат смещения молекулы от ее исходного положения в конечном итоге будет линейно расти со временем (уравнение Эйнштейна ). Чтобы уменьшить статистические ошибки при моделировании, самодиффузия, $DS {\ displaystyle D_ {S}}$ $D _ {{S}}$ , вида определяется из ансамбля, усредняющего уравнение Эйнштейна по достаточно большому количеству молекул N.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Калькуляторы числа Кнудсена и коэффициента диффузии