Войти
В анализе измерений безразмерная величина - это количество, которому не назначено физическое измерение, также известное как чистое, чистое, или скалярное количество или количество размер один, с соответствующей единицей измерения в SI единицы один (или 1 ), которая явно не показана. Безразмерные величины широко используются во многих областях, таких как математика, физика, химия, инженерия и экономика. Примером величины, имеющей размерность, является время, измеренное в секундах.
Величины, имеющие размерность 1, безразмерные величины, регулярно встречаются в науке и формально рассматриваются в области анализа измерений. В девятнадцатом веке французский математик Жозеф Фурье и шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вели значительные разработки в современных концепциях измерения и единицы.. Более поздние работы британских физиков Осборна Рейнольдса и лорда Рэлея внесли свой вклад в понимание безразмерных чисел в физике. Основываясь на методе анализа размерностей Рэлея, Эдгар Бэкингем доказал π-теорему (независимо от предыдущей работы французского математика Жозефа Бертрана ), чтобы формализовать природу этих
Многочисленные безразмерные числа, в основном отношения, были придуманы в начале 1900-х, особенно в областях механики жидкости и теплопередачи. Коэффициенты измерения в (производной) единице дБ (децибел ) в настоящее время находят широкое применение.
В начале 2000-х годов Международный комитет мер и весов обсуждал обозначение единицы 1 как «uno », но идея просто ввести новый Имя SI для 1 было опущено.
Все чистые числа являются безразмерными величинами, например 1, i, π, e и φ. Числовые единицы, такие как дюжина, брутто, гугол и число Авогадро, также могут считаться безразмерными.
Безразмерные величины часто получаются как отношения величин, которые не являются безразмерными, но чьи размеры сокращаются в математической операции. Примеры включают вычисление наклонов или коэффициентов преобразования. Более сложным примером такого отношения является инженерная деформация, мера физической деформации, определяемая как изменение длины, деленное на исходную длину. Поскольку обе величины имеют размерную длину, их соотношение безразмерно. Другой набор примеров - массовые доли или мольные доли, часто записываемые с использованием обозначений частей на, таких как ppm (= 10), ppb (= 10) и ppt (= 10), или, возможно, сбивает с толку как отношения двух идентичных единиц (кг / кг или моль / моль). Например, объемный спирт, который характеризует концентрацию этанола в алкогольном напитке, можно записать как мл / 100 мл.
Другими распространенными пропорциями являются проценты % (= 0,01), ‰ (= 0,001) и угловые единицы, такие как радиан, градус (° = π / 180) и град (= π / 200). В статистике коэффициент вариации представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему и используется для измерения дисперсии. в данных .
Утверждалось, что величины, определенные как отношения Q = A / B, имеющие равные размеры в числителе и знаменателе, на самом деле являются только безразмерными величинами и по-прежнему имеют физический размер, определяемый как dim Q = dim A × dim B. Например, влажность может быть определена как отношение объемов (объемная влажность, мм⋅м, размер L⋅L) или как отношение масс (гравиметрическая влажность, единицы кг unitsкг, размер M⋅M); оба будут безразмерными величинами, но разной размерности.
π-теорема Бакингема указывает на то, что действие законов физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны между собой Закон Бойля - они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бэкингема не выполнялась.
Еще одно следствие теоремы состоит в том, что функциональная зависимость между определенным числом (скажем, n) из переменных может быть уменьшена на число (скажем, k) независимых измерений, встречающихся в этих переменных, чтобы дать набор p = n - k независимых, безразмерных величин. Для экспериментатора разные системы, которые имеют одно и то же описание безразмерной величиной, эквивалентны.
Чтобы продемонстрировать применение π-теоремы, рассмотрим потребляемую мощность мешалкой данной формы. Мощность P в размерах [M · L / T] является функцией плотности, ρ [M / L] и вязкости жидкости, подлежащей перемешиванию., μ [M / (L · T)], а также размер мешалки, определяемый ее диаметром, D [L] и угловой скоростью мешалки, n [1 / T]. Таким образом, у нас есть всего n = 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных построены из k = 3 основных измерений, длина: L (SI единиц: m ), время: T (s ) и масса: M (кг ).
Согласно π-теореме, n = 5 переменных могут быть уменьшены на k = 3 измерения, чтобы сформировать p = n - k = 5 - 3 = 2 независимых безразмерных числа. Эти величины равны 
Определенные универсальные размерные физические константы, такие как скорость света в вакууме, универсальная гравитационная постоянная, Постоянная Планка, постоянная Кулона и постоянная Больцмана могут быть нормализованы до 1, если соответствующие единицы для времени, длины, Выбраны масса, заряд и температура. Результирующая система единиц известна как натуральные единицы, особенно в отношении этих пяти констант, единиц Планка. Однако не все физические константы можно нормализовать таким образом. Например, значения следующих констант не зависят от системы единиц, не могут быть определены и могут быть определены только экспериментально:
.Физика часто использует безразмерные величины для упрощения описания систем с множеством взаимодействующих физических явлений. Их можно найти, применив π-теорему Бэкингема, или иным образом они могут появиться в результате преобразования уравнений в частных производных без единиц измерения в процессе обезразмеривания. Инженерия, экономика и другие области часто расширяют эти идеи в проектировании и анализе соответствующих систем.
СМИ, связанные с Безразмерными числами на Wikimedia Commons