Модель Дебая

редактировать

Метод в физике

В термодинамике и физике твердого тела, модель Дебая - это метод, используйте Питером Дебаем в 1912 году для оценки вклада фононов в удельную теплоемкость (тепло емкость) в твердом теле. Он рассматривает колебания атомной решетки (тепло) как фононы в коробке, в отличие от модели Эйнштейна, которая рассматривает твердое тело как множество отдельных невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов. Модель Дебая правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости, которая пропорциональна $T 3 {\ displaystyle T ^ {3}}$ $T ^ {3}$ - закон Дебая T . Как и модель Эйнштейна, она также восстанавливает закон Дюлонга - Пети при высоких температурах. Его точность страдает при промежуточных температурах.

Содержание

1 Вывод
2 Вывод Дебая
3 Другой вывод
4 Предел низкой температуры
5 Предел высокой температуры
6 Дебая в сравнении с Эйнштейном
7 Таблица температур Дебая
8 Расширение на другие квазичастицы
9 Расширение на жидкости
10 Частота Дебая
- 10.1 Определение
- 10.2 Связь с температурой Дебая
- 10.3 Вывод Дебая
  - 10.3.1 Трехмерный кристалл
  - 10.3.2 Одномерная цепочка в трехмерном пространстве
  - 10.3.3 Двумерный кристалл
- 10.4.1 Возможность поляризации иметь значение
  - 10.4.1 Одно измерение
  - 10.4.2 Два измерения
  - 10.4.3 Три измерения
- 10.5 Вывод с фактическим использованием дисперсии
- 10.6 Альтернативный вывод
11 См. Также
12 Ссылки
13 Дополнительная литература
14 Внешние ссылки

Вывод

Модель Дебая является твердотельным эквивалентом закона излучения черного тела Планка, где электромагнитное излучение рассматривается как фотонный газ. Модель Дебая рассматривает атомные колебания как фононы в прямоугольнике (прямоугольник - твердое тело). Этапов идентичности, поскольку оба являются примерами безмассового бозе-газа с линейным распределением дисперсии.

Рассмотрим куб со стороной $L {\ displaystyle L}$ $L$ . Из частиц в цилиндрах из ящика, которые имеют резонирующие частицы, которые выровнены по одной оси, имеют длину волн, равные

λ n = 2 L n, {\ displaystyle \ lambda _ {n} = {2L \ over n} \,,}

\ lambda _ {n} = {2L \ over n} \,,

где $n {\ displaystyle n}$ $n$ - целое число. Энергия фонона равна

E n = h ν n, {\ displaystyle E_ {n} \ = h \ nu _ {n} \,,}

E_ {n} \ = h \ nu _ {n} \,,

где $h {\ displaystyle h}$ $h$ - постоянная Планка, и $ν n {\ displaystyle \ nu _ {n}}$ $\ nu _ {n}$ - частота фонона. Делая приближение, что частота обратно пропорциональна длине волны, мы имеем:

E n = h ν n = hcs λ n = hcsn 2 L, {\ displaystyle E_ {n} = h \ nu _ {n} = {hc _ {\ rm {s}} \ over \ lambda _ {n}} = {hc_ {s} n \ over 2L} \,,}

{\ displaystyle E_ {n } = h \ nu _ {n} = {hc _ {\ rm {s}} \ over \ lambda _ {n}} = {hc_ {s} n \ over 2L} \,,}

в котором $cs {\ displaystyle c_ {s}}$ $c_ {s}$ - скорость звука внутри твердого тела. В трех измерениях мы будем использовать:

E n 2 = pn 2 cs 2 = (hcs 2 L) 2 (nx 2 + ny 2 + nz 2), {\ displaystyle E_ {n} ^ {2} = {p_ {n} ^ {2} c _ {\ rm {s}} ^ {2}} = \ left ({hc _ {\ rm {s}} \ over 2L} \ right) ^ {2} \ left (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} \ right) \,,}

{\ displaystyle E_ {n} ^ {2} = {p_ {n} ^ {2} c _ {\ rm {s}} ^ {2} } = \ left ({hc _ {\ rm {s}} \ over 2L} \ right) ^ {2} \ left (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} \ right) \,,}

где $pn {\ displaystyle p_ {n}}$ $p_ {n}$ - величина трехмерного импульса фонона.

Приближение, согласно которой частота обратно пропорциональна длине волны (что дает постоянную скорость звука), подходит для фононов низкой энергии, но не для фононов высокой энергии (см. Статью о фононах.) несогласие является одним из ограничений модели Дебая и соответствует некорректности результатов при промежуточных температурах, тогда как при низких, так и при высоких температурах они точны.

Давайте теперь вычислим полную мощность в коробке,

E = ∑ n E n N ¯ (E n), {\ displaystyle E = \ sum _ {n} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \,,}

E = \ sum _ {n} E_ {n } \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \,,

где $N ¯ (E n) {\ displaystyle {\ bar {N}} (E_ {n})}$ ${\ bar {N}} (E_ {n})$ - количество фононов в коробке с энергией $E n {\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ . Другими словами, полная энергия равна сумме энергии, умноженной на фононов с этой энергией (в одном измерении). В трех измерениях мы имеем:

U = ∑ n x ∑ n y ∑ n z E n N ¯ (E n). {\ displaystyle U = \ sum _ {n_ {x}} \ sum _ {n_ {y}} \ sum _ {n_ {z}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \,.}

U = \ sum _ {n_ {x}} \ sum _ {n_ {y}} \ sum _ {n_ {z}} E_ {n} \, {\ bar {N }} (E_ {n}) \,.

Здесь модель Дебая и закон Планка излучения черного тела различаются. В отличие от электромагнитного числа излучения в коробке существует конечное энергетическое состояние фонона, потому что фонон не может иметь произвольно высокие частоты. Его частота ограничена средой его распространения - атомной решеткой твердого тела. Рассмотрим иллюстрацию поперечного фонона ниже.

Разумно предположить, что минимальная длина волны фонона в два раза больше расстояния между атомами, как показано на нижнем рисунке. В твердом теле $N {\ displaystyle N}$ $N$ элементы. Наше твердое тело представляет собой куб, а это означает, что на ребро приходится $N 3 {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {N}}}$ ${ \ sqrt [{3}] {N}}$ элементов. Разделение элементов тогда дается выражением $L / N 3 {\ displaystyle L / {\ sqrt [{3}] {N}}}$ $L / {\ sqrt [{3}] {N}}$ , а минимальная длина волны составляет

λ min = 2 LN 3, {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {min}} = {2L \ over {\ sqrt [{3}] {N}}} \,,}

\ lambda _ {\ rm {min}} = {2L \ over {\ sqrt [{3}] {N}}} \,,

, что делает максимальное число режима $n {\ displaystyle n}$ $n$ (бесконечно для фотонов )

nmax = N 3. {\ displaystyle n _ {\ rm {max}} = {\ sqrt [{3}] {N} } \,.}

n _ {\ rm {max}} = {\ sqrt [{3}] {N}} \,.

Это число ограничивает верхний предел тройной суммы энергии

U = ∑ nx N 3 ∑ ny N 3 ∑ nz N 3 E n N ¯ (E n). {\ Displaystyle U = \ amount _ {n_ {x}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ sum _ {n_ {y}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ sum _ {n_ {z}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \,.}

U = \ sum _ {n_ {x}} ^ { \ sqrt [{3}] {N}} \ sum _ {n_ {y}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ sum _ {n_ {z}} ^ {\ sqrt [{3} ] {N}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \,.

Для медленно изменяющихся функций с хорошим поведением, сумму можно заменить интегралом (также известное как приближение Томаса - Ферми )

U ≈ ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 E (n) N ¯ (E (n)) dnxdnydnz. {\ Displaystyle U \ приблизительно \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ в t _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {\ bar {N}} \ left (E (n) \ right) \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \,.}

U \ приблизительно \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0 } ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {\ bar {N}} \ left (E (п) \ право) \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \,.

До сих пор не упоминалось $N ¯ (E) {\ displaystyle {\ bar {N}} (E)}$ ${\ bar {N}} (E)$ , число фононов с энергией $E. {\ displaystyle E \,.}$ $E \,.$ Фононы подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна. Их определение дается известной формулой Бозе - Эйнштейна

N⟩ BE = 1 e E / k T - 1. {\ displaystyle \ langle N \ rangle _ {BE} = {1 \ over e ^ {E / kT} -1 } \,.}

\ langle N \ rangle _ {BE} = {1 \ over e ^ {E / kT} -1} \,.

3D фонон имеет три состояния поляризации (одно продольное, и два поперечного, которые приблизительно влияют на его энергию) формулу выше необходимо умножить на 3,

N ¯ (E) = 3 e E / k T - 1. {\ displaystyle {\ bar {N}} (E) = {3 \ over e ^ {E / kT} -1} \,.}

{\ bar {N}} (E) = {3 \ over e ^ {E / kT} -1} \,.

(На самом деле используется эффективная скорость звука $cs: = ceff {\ displaystyle c_ {s}: = c _ {\ rm {eff}}}$ $c_ {s}: = c _ {\ rm {eff}}$ , т.е. температура Дебая $TD {\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$ (см.) Пропорционально $ceff {\ displaystyle c _ {\ rm {eff}}}$ $c _ {\ rm {eff}}$ , точнее $TD - 3 ∝ ceff - 3: = (1/3) clong - 3 + (2/3) ctrans - 3 {\ displaystyle T _ {\ rm {D}} ^ {- 3} \ propto c _ {\ rm {eff}} ^ {- 3}: = (1/3) c _ {\ rm {long}} ^ {- 3} + (2/3) c _ {\ rm {trans }} ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}} ^ {-3 } \ propto c _ {\ rm {eff}} ^ {- 3}: = (1/3) c _ {\ rm {long}} ^ {- 3} + (2/3) c _ {\ rm { транс}} ^ {- 3}}$ , где разли чают продольные и поперечные скорости звуковых волн (вклад 1/3 и 2/3 соответственно. Температура Дебая или эффективная скорость звука являются мерой твердости кристалла.)

Подстановка в интеграл энергии дает

U = ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 E (n) 3 e E (n) / к Т - 1 днхдныднз. {\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {3 \ over e ^ {E (n) / kT} -1} \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \,.}

U = \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {3 \ over e ^ {E (n) / kT} -1} \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \,.

Легкость, с которой эти интегралы вычисляются для фотонов, обусловлена тем фактом, что частота света, по крайней мере, полуклассически, не связана. Как показано на рисунке выше, это неверно для фононов. Чтобы аппроксимировать этот тройной интеграл, Дебай использовал сферические координаты

(nx, ny, nz) = (n sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ, n sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ, n cos ⁡ θ) { \ displaystyle \ (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (n \ sin \ theta \ cos \ phi, n \ sin \ theta \ sin \ phi, n \ cos \ theta)}

\ (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (n \ sin \ theta \ cos \ phi, n \ грех \ тета \ грех \ фи, п \ соз \ тета)

и аппроксимировали куб восьмой части сферы

U ≈ ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 RE (n) 3 e E (n) / k T - 1 n 2 sin ⁡ θ dnd θ d ϕ, { \ Displaystyle U \ приблизительно \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {R} E (п) \, {3 \ над e ^ {E (n) / kT} -1} n ^ {2} \ sin \ theta \, dn \, d \ theta \, d \ phi \,,}

U \ приблизительно \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {R} E (n) \, {3 \ over e ^ {E (n) / kT} -1} n ^ {2} \ sin \ theta \, dn \, d \ theta \, d \ phi \,,

где $R {\ displaystyle R}$ $R$ - радиус этой сферы, который находится в пределах численности в кубе и в восьмой части сферы. Объем куба равен $N {\ displaystyle N}$ $N$ объем элементарной ячейки,

N = 1 8 4 3 π R 3, {\ displaystyle N = {1 \ over 8} {4 \ over 3} \ pi R ^ {3} \,,}

N = {1 \ более 8} {4 \ более 3} \ pi R ^ {3} \,,

, поэтому получаем:

R = 6 N π 3. {\ displaystyle R = {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi} } \,.}

R = {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} \,.

Замена правильного интеграла интегрированием по сфере вносит еще один источник неточности в модель.

Интеграл энергии принимает вид

U = 3 π 2 ∫ 0 R hcsn 2 L n 2 ehcsn / 2 L k T - 1 dn {\ displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} \ int _ {0} ^ {R} \, {hc_ {s} n \ over 2L} {n ^ {2} \ over e ^ {hc _ {\ rm {s}} n / 2LkT} -1} \, dn }

{\ displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} \ int _ {0} ^ {R} \, {hc_ {s} n \ over 2L} {n ^ {2} \ over e ^ {hc_ { \ rm {s}} n / 2LkT} -1} \, dn}

Изменение модели интегрирования на $x = hcsn 2 L k T {\ displaystyle x = {hc _ {\ rm {s}} n \ over 2LkT}}$ ${\ displaystyle x = {hc _ {\ rm {s}} n \ over 2LkT}}$ ,

U = 3 π 2 k T ( 2 L K T hcs) 3 ∫ 0 hcs R / 2 L K T x 3 ex - 1 dx {\ displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} kT \ left ({2LkT \ over hc _ {\ rm {s }})} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {hc _ {\ rm {s}} R / 2LkT} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx}

{\ displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} kT \ left ({2LkT \ over hc _ {\ rm {s}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {hc _ {\ rm {s}} R / 2LkT} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx}

Чтобы упростить внешний вид этого выражения, определите температуру Дебая $TD {\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

TD = defhcs R 2 L k = hcs 2 L К 6 N π 3 знак равно hcs 2 К 6 π NV 3 {\ displaystyle T _ {\ rm {D}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {hc _ {\ rm {s}} R \ более 2Lk} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2Lk} {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} = {hc _ {\ rm {s} } \ более 2k} {\ sqr t [{3}] {{6 \ over \ pi} {N \ over V}}}}

{\ displaystyle T _ {\ rm {D}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=} } \ {hc _ {\ rm {s}} R \ over 2Lk} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2Lk} {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} = {hc_ { \ rm {s}} \ over 2k} {\ sqrt [{3}] {{6 \ ov э \ pi } {N \ over V}}}}

Где $V {\ displaystyle V}$ $V$ - объемная кубическая рамка стороны $L {\ displaystyle L}$ $L$ .

Во многих источников температуры Дебая описывается как сокращение для некоторых констант и число, зависящих от материала. Однако, как показано ниже, $k TD {\ displaystyle kT _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle kT _ {\ rm { D}}}$ примерно равно энергии фононов моды с минимальной длиной волны, и поэтому мы можем интерпретировать температуру Дебая как температура, при которой возбуждается самая высокочастотная мода (и, следовательно, каждая мода).

Продолжая, мы получаем удельную внутреннюю энергию:

UN k = 9 T (TTD) 3 ∫ 0 TD / T x 3 ex - 1 dx = 3 TD 3 (TDT), {\ displaystyle {\ frac {U} {Nk}} = 9T \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D} } / T} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx = 3TD_ {3} \ left ({T _ {\ rm {D}} \ over T} \ right) \,,}

{\ displaystyle {\ frac {U } {Nk}} = 9T \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} { x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx = 3TD_ {3} \ left ({T _ {\ rm {D}} \ over T} \ right) \,,}

где $D 3 (x) {\ displaystyle D_ {3} (x)}$ $D_ {3} (x)$ - это (третья) функция Дебая.

, дифференцирующая по $T {\ displaystyle T}$ $T$ получаем безразмерную теплоемкость:

CVN k = 9 (TTD) 3 ∫ 0 TD / T x 4 ex (ex - 1) 2 dx. {\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} = 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ { T_ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx \,.}

{\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} = 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0 } ^ {T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx \,. }

Эти формулы относ к модели Дебая при всех температурах. Более элементарные формулы, приведенные ниже, дают асимптотику в пределе низких и высоких температур. Как уже указано, это поведение точное, в отличие от промежуточного поведения. Основная причина точности при низких и высоких энергиях, соответственно, заключается в том, что модель Дебая дает (i) точное дисперсионное соотношение $E (ν) {\ displaystyle E (\ nu)}$ $E (\ nu)$ на низких частотах, и (ii) соответствует точной плотности состояния $(∫ g (ν) d ν ≡ 3 N) {\ displaystyle (\ int g (\ nu) \, { \ rm {d \ nu}} \ Equiv 3N) \,}$ ${\ displaystyle (\ int g (\ nu) \, {\ rm {d \ nu}} \ эквивалент 3N) \,}$ , относительно количества колебаний на частотный интервал.

Вывод Дебая

Дебай вывел свое уравнение несколько иначе и проще. Используя механику сплошной среды, он обнаружил, что колебательных состояний с выбором меньше определенного количества было асимптотически

n ∼ 1 3 ν 3 VF, {\ displaystyle n \ sim {1 \ over 3} \ nu ^ {3} VF \,,}

n \ sim {1 \ over 3} \ nu ^ {3} VF \,,

, в котором $V {\ displaystyle V}$ $V$ - объем, а $F {\ displaystyle F}$ $F$ - коэффициент, который он рассчитал из коэффициентов эластичности и плотности. Комбинируя эту формулу с ожидаемой энергией гармонического осциллятора при температуре T (уже использованной Эйнштейном в его модели), мы получим энергию

U = ∫ 0 ∞ h ν 3 VF eh ν / k T - 1 d ν, {\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \,, }

U = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \,,

, если частоты колебания продолжаются до бесконечности. Эта форма дает поведение $T 3 {\ displaystyle T ^ {3}}$ $T ^ {3}$ , которое является правильным при низких температурах. Но Дебай понял, что для N атомов не может быть более $3 N {\ displaystyle 3N}$ $3N$ колебательных состояний. Он предположение, что в атомном твердом спектре частот колебательных состояний будет следовать указанным выше правилам до максимальной частоты $ν m {\ displaystyle \ nu _ {m}}$ $\ nu _ {m}$ выбрано так, чтобы общее число состояний было $3 N {\ displaystyle 3N}$ $3N$ :

3 N = 1 3 ν m 3 VF. {\ displaystyle 3N = {1 \ over 3} \ nu _ {m} ^ {3} VF \,.}

3N = {1 \ более 3} \ Nu _ {m} ^ {3} VF \,.

Дебай знал, что это предположение было неверным (более высокие частоты расположены друг к другу, чем предполагалось), но он гарантирует правильное поведение при высоких температурах (закон Дюлонга - Пети ). Тогда энергия определяется следующим образом:

U = ∫ 0 ν mh ν 3 VF а ν / k T - 1 d ν, {\ displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ nu _ {m}} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \,,}

U = \ int _ {0} ^ {\ nu _ {m}} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \,,

= VF k T (k T / h) 3 ∫ 0 TD / T x 3 ex - 1 dx, {\ displaystyle = VFkT (kT / h) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ над e ^ {x} -1} \, dx \,,}

{\ displaystyle = VFkT (kT / h) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T_ { \ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx \,,}

где

TD {\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}

{\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}

равно

h ν m / к {\ displaystyle h \ nu _ {m} / k}

h \ nu _ {m} / k

= 9 N k T (T / TD) 3 ∫ 0 TD / T x 3 ex - 1 dx, {\ displaystyle = 9NkT (T / T_ {\ rm {D}}) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1 } \, dx \,,}

{\ displaystyle = 9NkT (T / T _ {\ rm {D}}) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx \,,}

= 3 N k TD 3 (TD / T), {\ displaystyle = 3NkTD_ {3} (T _ {\ rm {D}} / T) \,,}

{\ displaystyle = 3NkTD_ {3} (T _ {\ rm {D}} / T) \,,}

где $D 3 {\ displaystyle D_ {3}}$ $D_ {3}$ - функция, позже получившая название третьего порядка функция Дебая.

Другой вывод

Сначала мы выводим колебательный Распределение частоты; следующий вывод основан на Приложении VI от. Рассмотрим трехмерное изотропное тело в форме прямоугольного параллелепипеда со стороны $L x, L y, L z {\ displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}}$ $L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}$ . Упругая волна будет подчиняться волновому уравнению и будет плоскими волнами ; рассмотрим волновой вектор $k = (kx, ky, kz) {\ displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$ $\ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})$ и определите $lx = kx | k |, l y = k y | k |, l z = k z | k | {\ displaystyle l_ {x} = {\ frac {k_ {x}} {| \ mathbf {k} |}}, l_ {y} = {\ frac {k_ {y}} {| \ mathbf {k} | }}, l_ {z} = {\ frac {k_ {z}} {| \ mathbf {k} |}}}$ $l_ {x} = {\ frac {k_ {x}} {| \ mathbf {k} |}}, l_ {y} = {\ frac {k_ {y}} {| \ mathbf {k} |}}, l_ {z} = {\ frac {k_ {z}} {| \ mathbf {k} |}}$ . Обратите внимание, что у нас есть

lx 2 + ly 2 + lz 2 = 1. {\ displaystyle l_ {x} ^ {2} + l_ {y} ^ {2} + l_ {z} ^ {2} = 1.}

l_ {x} ^ {2} + l_ {y} ^ {2} + l_ {z} ^ {2} = 1.

(1)

Решения волнового уравнения :

u (x, y, z, t) = sin ⁡ (2 π ν t) sin ⁡ (2 π lxx λ) грех ⁡ (2 π lyy λ) грех ⁡ (2 π lzz λ) {\ displaystyle u (x, y, z, t) = \ sin (2 \ pi \ nu t) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {x} x} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {y} y} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ( {\ frac {2 \ pi l_ {z} z} {\ lambda}} \ right)}

u (x, y, z, t) = \ sin (2 \ pi \ nu t) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {x} x} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {y} y} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {z} z} {\ lambda}} \ right)

и с граничными условиями $u = 0 {\ displaystyle u = 0}$ $u = 0$ при $x, y, z = 0, x = L x, y = L y, z = L z {\ displaystyle x, y, z = 0, x = L_ {x}, y = L_ {y}, z = L_ {z}}$ $x, y, z = 0, x = L_ {x}, y = L_ {y}, z = L_ {z}$ , имеем

2 лк L x λ = nx; 2 l y L y λ = n y; 2 lz L z λ знак равно nz {\ displaystyle {\ frac {2l_ {x} L_ {x}} {\ lambda}} = n_ {x}; {\ frac {2l_ {y} L_ {y}} {\ lambda}} = n_ {y}; {\ frac {2l_ {z} L_ {z}} {\ lambda}} = n_ {z}}

{\ frac {2l_ {x } L_ {x}} {\ lambda}} = n_ {x}; {\ frac {2l_ {y} L_ {y}} {\ lambda}} = n_ {y}; {\ frac {2l_ {z} L_ {z}} {\ lambda}} = n_ {z}

(2)

где $nx, ny, nz {\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$ $n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}$ - целые положительные числа. Подставляя (2) в (1), а также используя соотношение дисперсии $cs = λ ν {\ displaystyle c_ {s} = \ lambda \ nu}$ $c_ {s} = \ lambda \ nu$ , имеем

nx 2 (2 ν L x / cs) 2 + ny 2 (2 ν L y / cs) 2 + nz 2 (2 ν L z / cs) 2 = 1. {\ displaystyle {\ frac { n_ {x} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {x} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {y} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {y} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {z} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {z} / c_ {s}) ^ {2}}} = 1.}

{\ frac {n_ {x} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {x} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {y} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {y} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {z} ^ {2}} { (2 \ nu L_ {z} / c_ {s}) ^ {2}}} = 1.

Вышеприведенное уравнение для фиксированной частоты $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ появление восьмой части эллипса в «визу мод» (восьмую, потому что $nx, ny, nz {\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$ $n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}$ положительны). Таким образом, количество режимов с меньше $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ - это количество целых точек внутри эллипса, которое в пределах $L x, L y, L z → ∞ {\ displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ to \ infty}$ $L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ to \ infty$ (т.е. для очень большого параллелепипеда) может быть аппроксимировано объемом эллипса. Следовательно, количество способов $N (ν) {\ displaystyle N (\ nu)}$ $N (\ nu)$ с диапазоном в диапазоне $[0, ν] {\ displaystyle [0, \ nu]}$ $[0, \ nu]$ равно

N (ν) = 1 8 4 π 3 (2 ν cs) 3 L x L y L z = 4 π ν 3 V 3 CS 3, {\ displaystyle N (\ nu) = { \ frac {1} {8}} {\ frac {4 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {2 \ nu} {c _ {\ mathrm {s}}}} \ right) ^ {3 } L_ {x} L_ {y} L_ {z} = {\ frac {4 \ pi \ nu ^ {3} V} {3c _ {\ mathrm {s}} ^ {3}}},}

{\ displaystyle N ( \ nu) = {\ frac {1} {8}} {\ frac {4 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {2 \ nu} {c _ {\ mathrm {s}}}} \ right) ^ {3} L_ {x} L_ {y} L_ {z} = {\ frac {4 \ pi \ nu ^ {3} V} {3c _ {\ mathrm {s}} ^ {3}}},}

(3)

где $V = L x L y L z {\ displaystyle V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}}$ $V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}$ - объем параллелепипеда. Обратите внимание, что скорость волны в продольном направлении отличается от поперечного направления, и что волна может быть поляризована в одной стороне в продольном направлении и двумя способами в поперечном направлении; таким образом, мы определяем $3 cs 3 = 1 c long 3 + 2 c trans 3 {\ displaystyle {\ frac {3} {c_ {s} ^ {3}}} = {\ frac {1} {c _ {\ text {long}} ^ {3}}} + {\ frac {2} {c _ {\ text {trans}} ^ {3}}}}$ ${\ frac {3} {c_ {s} ^ {3}}} = {\ frac {1} {c_ { \ text {long}} ^ {3}}} + {\ frac {2} {c _ {\ text {trans}} ^ {3}}}$ .

Следуя производным от, мы определяем верхний предел частоты вибрации $ν D {\ displaystyle \ nu _ {D}}$ $\ Nu _ { D}$ ; Поскольку в твердом теле N элементов имеется 3N квантовых гармонических осцилляторов (по 3 для каждого направления x, y, z), колеблющихся в диапазоне частот $[0, ν D] {\ displaystyle [0, \ nu _ {D} ]}$ $[0, \ nu _ {D}]$ . Следовательно, мы можем определить $ν D {\ displaystyle \ nu _ {D}}$ $\ Nu _ { D}$ так:

3 N = N (ν D) = 4 π ν D 3 V 3 cs 3 { \ Displaystyle 3N = N (\ nu _ {\ rm {D}}) = {\ frac {4 \ pi \ nu _ {\ rm {D}} ^ {3} V} {3c _ {\ rm {s} } ^ {3}}}}

{\ displaystyle 3N = N (\ nu _ {\ rm {D}}) = {\ frac {4 \ pi \ nu _ {\ rm {D}} ^ {3} V} {3c_ {\ rm {s}} ^ {3}}}}

(4)

Определив $ν D = k TD h {\ displaystyle \ nu _ {\ rm {D}} = {\ frac {kT _ {\ rm {D}}} {h}}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {\ rm { D}} = {\ frac {kT _ {\ rm {D}}} {h}}}$ , где k - постоянная Больцмана, а h - постоянная Планка, и замена (4) на ( 3), получаем

N (ν) = 3 N час 3 ν 3 k 3 TD 3, {\ displaystyle N (\ nu) = {\ frac {3Nh ^ {3} \ nu ^ {3}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}},}

{\ displaystyle N (\ nu) = {\ frac {3Nh ^ {3} \ nu ^ {3}} {k ^ {3 } T _ {\ rm {D}} ^ {3}}},}

(5)

это определение более стандартное. Мы можем найти вкладчики энергии для всех осцилляторов, колеблющихся начастоту $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ . Квантовые гармонические осцилляторы могут иметь энергию $E i = (i + 1/2) h ν {\ displaystyle E_ {i} = (i + 1/2) h \ nu}$ ${\ displaystyle E_ {i} = (i + 1/2) h \ nu}$ где $i = 0, 1, 2,… {\ displaystyle i = 0,1,2, \ dotsc}$ ${\ displaystyle i = 0,1,2, \ dotsc}$ и используя статистику Максвелла-Больцмана, количество частиц с энергией $E я {\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ равно

ni = 1 A e - E i / (k T) = 1 A e - (i + 1/2) h ν / (к T) {\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- (i + 1/2) h \ nu / (kT)}}

n_ {i} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)} = {\ frac {1 } {A}} е ^ {- (я + 1/2) h \ nu / (kT)}

Вклад энергии для осцилляторов с выбором $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ тогда равенство

d U (ν) Знак равно ∑ я знак равно 0 ∞ E я 1 A е - E я / (К T) {\ Displaystyle dU (\ nu) = \ sum _ {я = 0} ^ {\ infty} E_ {i} {\ frac {1 } {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)}}

dU (\ nu) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} E_ {i} {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)}

(6)

Отметил, что $∑ i = 0 ∞ ni = d N (ν) {\ displaystyle \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} n_ {i} = dN (\ nu)}$ $\ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} n_ {i} = dN (\ nu)$ (потому что есть $d N (ν) {\ displaystyle dN (\ nu)}$ $dN (\ nu)$ моды, колеблющи е ся с указанием $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ ), мы имеем

1 A e - 1/2 h ν / (k T) ∑ i = 0 ∞ e - ih ν / (К T) знак равно 1 A e - 1/2 час ν / (k T) 1 1 - e - h ν / (К T) знак равно d N (ν) {\ Displaystyle {\ frac {1} { A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} e ^ {- ih \ nu / (kT)} = {\ frac {1} { A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} {\ frac {1} {1-e ^ {- h \ nu / (kT)}}} = dN (\ nu)}

{ \ frac {1} {A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} e ^ {- ih \ nu / (kT)} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} {\ frac {1} {1-e ^ {- h \ nu / (kT)}}} = dN (\ nu)

Из вышесказанного мы можем получить выражение для 1 / A; подставляя его в (6), получаем

d U = d N (ν) e 1/2 h ν / (k T) (1 - e - h ν / (k T)) ∑ i = 0 ∞ час ν (я + 1/2) е - час ν (я + 1/2) / (к T) = {\ displaystyle dU = dN (\ nu) e ^ {1/2h \ nu / (kT)} ( 1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} h \ nu (i + 1/2) e ^ {- h \ nu (i + 1 / 2) / (kT)} =}

dU = dN (\ nu) e ^ {1 / 2h \ nu / (kT)} (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} h \ nu (i + 1/2) e ^ {- h \ nu (i + 1/2) / (kT)} =

$= d N (ν) (1 - e - h ν / (k T)) ∑ i = 0 ∞ h ν (i + 1/2) e - h ν i / (k T) = d N (ν) h ν (1 2 + (1 - e - h ν / (k T)) ∑ i = 0 ∞, т.е. - h ν i / (k T)) знак равно {\ Displaystyle = dN (\ Nu) (1-е ^ {- ч \ nu / (kT)}) \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} ч \ nu (я + 1/2) е ^ {- h \ nu i / (kT)} = dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + (1-e ^ {- h \ nu / (kT) })) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} ie ^ {- h \ nu i / (kT)} \ right) =}$ $= dN (\ nu) (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} h \ nu (i + 1/2) e ^ {- h \ nu i / (kT)} = dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {я = 0} ^ {\ infty} т.е. ^ {- h \ nu i / (kT)} \ right) =$

d N (ν) h ν (1 2 + 1 eh ν / (к T) - 1) {\ displaystyle dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right)}

dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right)

Интегрирование по ν дает

U = 9 N h 4 k 3 TD 3 ∫ 0 ν D (1 2 + 1 eh ν / (k T) - 1) ν 3 d ν {\ displaystyle U = {\ frac {9Nh ^ {4}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ nu _ {D}} \ left ({\ f rac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right) \ nu ^ {3} d \ nu}

{\ displaystyle U = {\ frac {9Nh ^ {4}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ nu _ {D}} \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1} } \ right) \ nu ^ {3} d \ nu}

Нижний предел температуры

Температура твердого тела Дебая считается низкой, если $T ≪ TD {\ displaystyle T \ ll T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T \ ll T _ {\ rm {D}}}$ , что к

CVN k ∼ 9 (TTD) 3 ∫ 0 ∞ x 4 ex (ex - 1) 2 dx {\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ над T_ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {\ infty} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} - 1 \ right) ^ {2}} \, dx}

{\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {\ infty} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx}

Этот определенный интеграл можно вычислить точно:

CVN k ∼ 12 π 4 5 (TTD) 3 {\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} { Nk}} \ sim {12 \ pi ^ {4} \ over 5} \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim {12 \ pi ^ {4} \ over 5} \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3}}

В пределе низкой температуры ограничения упомянутой выше модели Дебая не применяются, и она дает правильное соотношение между (фононной) теплоемкостью, температурой, коэффициентами упругости ости и объем ом на атом (последние значения в температуре Дебая).

Предел высокой температуры

Температура твердого тела Дебая считается высокой, если $T ≫ TD {\ displaystyle T \ gg T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T \ gg T _ {\ rm {D}}}$ . Использование $e x - 1 ≈ x {\ displaystyle e ^ {x} -1 \ приблизительно x}$ $e ^ {x} -1 \ приблизительно x$ if $| х | ≪ 1 {\ displaystyle | х | \ ll 1}$ $| х | \ ll 1$ приводит к

CVN k ∼ 9 (TTD) 3 ∫ 0 TD / T x 4 x 2 dx {\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ { 4} \ over x ^ {2}} \, dx}

{\ displaystyle { \ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} \ over x ^ {2}} \, dx}

CVN k ∼ 3. {\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 3 \,.}

{\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 3 \,.

Это закон Дюлонга - Пети, и он довольно точен, хотя и не учитывает учет ангармонизма, который вызывает дальнейшее повышение теплоемкости. Общая теплоемкость твердого тела, если это проводник или полупроводник, также может содержать значительный вклад от электронов.

Дебай против Эйнштейна

Дебай против Эйнштейна . Прогнозируемая теплоемкость как функция температуры.

Итак, насколько точно модели Дебая и Эйнштейна соответствуют эксперименту? Удивительно близко, но Дебай верен при низких температурах, а Эйнштейн - нет.

Чем отличаются модели? Чтобы ответить на этот вопрос, структура построить их на одном наборе осей... за исключением одной. И модель Эйнштейна, и модель Дебая установите функциональную форму теплоемкости. Это модели, и ни одна модель не обходится без масштаба. Масштаб соотносит модель с ее реальным аналогом. Можно видеть, что масштаб модели Эйнштейна, который определяется как

CV = 3 N k (ϵ k T) 2 e ϵ / k T (e ϵ / k T - 1) 2 {\ displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ epsilon \ over kT} \ right) ^ {2} {e ^ {\ epsilon / kT} \ over \ left (e ^ {\ epsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}}

C_ {V} = 3Nk \ left ({\ epsilon \ over kT} \ right) ^ {2} {e ^ {\ epsilon / kT} \ over \ left (e ^ {\ epsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}

равно $ϵ / k {\ displaystyle \ epsilon / k}$ $\ epsilon / k$ . А масштаб модели Дебая - $T D {\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$ , температура Дебая. И то и другое обычно находят путем подгонки моделей к экспериментальным данным. (Температуру теоретически можно рассчитать, исходя из скорости звука и размеров кристалла.) При использовании этих двух методов подходят к проблеме с разными ориентациями и разной геометрии, шкалы Эйнштейна и Дебая не одинаковы, то есть скажем

ϵ k ≠ TD, {\ displaystyle {\ epsilon \ over k} \ neq T _ {\ rm {D}} \,,}

{\ displaystyle {\ epsilon \ over k} \ neq T _ {\ rm {D}} \,,}

, что означает их построение на одном наборе осей не имеет смысла. Это две модели одного и того же, но разного масштаба. Если определить температуру Эйнштейна как

TE = def ϵ k, {\ displaystyle T _ {\ rm {E}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ epsilon \ over k} \,,}

{\ displaystyle T _ {\ rm {E}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ epsilon \ over k} \,,}

, тогда можно сказать

TE ≠ TD, {\ displaystyle T _ {\ rm {E}} \ neq T _ {\ rm {D}} \,,}

{\ displaystyle T _ {\ rm {E}} \ neq T _ {\ rm {D}} \,,}

и, чтобы связать эти два, мы должны найти соотношение

TETD =? {\ displaystyle {\ frac {T _ {\ rm {E}}} {T _ {\ rm {D}}}} =?}

{\ displaystyle {\ frac {T _ {\ rm {E}}} {T _ {\ rm {D}}}} =?}

твердое тело Эйнштейна состоит из одиночного -частотные квантовые гармонические осцилляторы, $ϵ = ℏ ω = h ν {\ displaystyle \ epsilon = \ hbar \ omega = h \ nu}$ $\ epsilon = \ hbar \ omega = h \ nu$ . Эта частота, если бы она действительно существовала, была бы со скоростью звука в твердом теле. Если представить себе распространение звука как последовательность ударов атомов друг о друга, то становится очевидным, что частота колебаний должна соответствовать минимальной длине волны, поддерживаемой атомной решеткой, $λ min {\ displaystyle \ lambda _ {min}}$ $\ лямбда _ {мин}$ .

ν = CS λ = CS N 3 2 L = CS 2 NV 3 {\ Displaystyle \ Nu = {c _ {\ rm {s}} \ over \ lambda} = {c _ {\ rm {s}} {\ sqrt [{ 3}] {N}} \ over 2L} = {c _ {\ rm {s}} \ over 2} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}}}

{\ displaystyle \ nu = {c _ {\ rm {s}} \ over \ lambda} = {c _ {\ rm {s}} {\ sqrt [{3}] {N}} \ over 2L} = {c _ {\ rm {s}} \ over 2} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}}}

который делает температура Эйнштейна

TE = ϵ k = h ν k = hcs 2 k NV 3, {\ displaystyle T _ {\ rm {E}} = {\ epsilon \ over k} = {h \ nu \ над k} = {hc _ {\ rm {s}} \ над 2k} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}} \,,}

{\ displaystyle T _ {\ rm {E}} = {\ epsilon \ over k} = {h \ nu \ over k} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2k} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}} \,,}

, поэтому искомое отношение составляет

TETD = π 6 3 = 0.805995977... {\ displaystyle {T _ {\ rm {E}} \ over T _ {\ rm {D}}} = {\ sqrt [{3}] {\ pi \ over 6}} \ = 0.805995977...}

{\ displaystyle {T _ {\ rm {E}} \ over T _ {\ rm {D}}} = {\ sqrt [{3}] {\ pi \ over 6}} \ = 0.805995977...}

Теперь обе модели могут быть построены на одном графике. Обратите внимание, что это соотношение является одним из поправочных коэффициентов, используемым при аппроксимации интеграла энергии, приведенным выше.

С другой стороны, соотношение двух температур можно рассматривать как отношение одной частоты Эйнштейна, на которой колеблются все осцилляторы, и максимальная частота Дебая. Тогда единственная частота Эйнштейна может рассматривать как среднее значение частот, доступных для модели Дебая.

Таблица температур Дебая

Несмотря на то, что модель Дебая не полностью верна, она дает хорошее приближение для низкотемпературной теплоемкости изолирующих твердых тел, где другие факторы (например, высокая подвижная проводимость) электронов) незначительны. Для металлов вклад электронов в тепло пропорционален $T {\ displaystyle T}$ $T$ , который при низких температурах доминирует над дебаевским $T 3 {\ displaystyle T ^ {3}}$ $T ^ {3}$ результат для решетки. В этом случае можно сказать, что модель Дебая приближает только решеточный вклад в теплоемкость. В следующей таблице приведены температуры Дебая для нескольких чистых элементов и сапфира:

Алюминий	0428 K
Бериллий	1440 K
Кадмий	0209 K
Цезий	0038 K
Углерод	2230 K
Хром	0630 K

Медь	0343 K
Германий	0374 K
Золото	0170 K
Железо	0470 K
Свинец	0105 K
Марганец	0410 K

Никель	0450 K
Платина	0240 K
Рубидий	0056 K
Сапфир	1047 K
Селен	0090 K
Кремний	0645 K

Серебро	0215 K
Тантал	0240 K
Олово (белый)	0200 K
Титан	0420 K
Вольфрам	0400 K
Цинк	0327 K

Модель Дебая часто соответствует экспериментальным данным. феноменологически улучшено, позволив температуре Дебая стать зависимой от температуры; например, для водяного льда увеличивается примерно с 222 K до 300 K при изменении температуры от абсолютного нуля до примерно 100 K.

Распространение на другие квазичастицы

Для других бозонных квазичастиц, например, для магнонов (квантованные спиновые волны) в ферромагнетиках вместо фононов (квантованные звуковые волны) легко получить аналогичные результаты. В этом случае на низких частотах используются другие дисперсионные соотношения, например, $E (ν) ∝ k 2 {\ displaystyle E (\ nu) \ propto k ^ {2}}$ $E (\ nu) \ propto k ^ {2}$ для магнонов, вместо $E (ν) ∝ k {\ displaystyle E (\ nu) \ propto k}$ $E (\ nu) \ propto k$ для фононов (с $k = 2 π / λ {\ displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}$ $k = 2 \ pi / \ lambda$ ). Один имеет другую плотность (например, $∫ g (ν) d ν ≡ N {\ displaystyle \ int g (\ nu) {\ rm {d}} \ nu \ Equiv N \,}$ $\ int g (\ nu) {\ rm {d}} \ nu \ Equiv N \,$ ). Как следствие, в ферромагнетиках появляется магнонный вкладыш вемкость $Δ C V | магнон ∝ T 3/2 {\ displaystyle \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, magnon}}} \, \ propto T ^ {3/2}}$ $\ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, magnon}}} \, \ propto T ^ {3/2}$ , который доминирует при достаточно при низких температурах фононный вклад, $Δ CV | п ч о н о N ∝ T 3 {\ displaystyle \, \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, phonon}}} \ propto T ^ {3}}$ $\, \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, phonon}}} \ propto T ^ {3}$ . В металлах, напротив, основной вклад в теплоемкость при низких температурах, $∝ T {\ displaystyle \ propto T}$ $\ propto T$ , вносит электроны. Это фермионный, и он использует различные методы, восходящими к модели свободных электронов Зоммерфельда .

Распространение на жидкости

Долгое время считалось эта теория фононов не может Благодаря этому есть только продольные, но не поперечные фононы, которые в твердых телах обеспечивают 2/3 теплоемкости. эксперименты по рассеянию Бриллюэна с нейтронами и с рентгеновскими лучами, подтверждающие интуицию Якова Френкеля, показали, что поперечные фононы действительно существуют в жидкостях, хотя и ограничены частотами выше порогового значения, называемого. Поскольку большая часть энергии содержится в этих высокочастотных модах, простой модификации модели Дебая достаточно для получения хорошего приближения к экспериментальной теплоемкости простых жидкостей.

Частота Дебая

частота Дебая (Символ: $ω D ebye {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Debye}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Дебай}}}$ или $ω D {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} }$ ) - параметр в модели Дебая. Это относится к отсечке угловой частоты для волн гармонической цепочки масс, используемой для описания движения ионов в кристаллической решетке . и более конкретно, чтобы правильно спрогнозировать теплоемкость в таких кристаллах, чтобы она была постоянной при высоких температурах (закон Дюлонга – Пети ). Термин был впервые введен Питером Дебаем в 1912 году.

На протяжении всей этой статьи предполагаются периодические граничные условия.

Определение

Предполагая, что дисперсионное соотношение равно

ω = v s | k | {\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}

{\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}

с $vs {\ displaystyle v _ {\ rm {s}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {s}}}$ скорость звука в кристалле; и k волновой вектор, значение частоты Дебая выглядит следующим образом:

Для одномерной одноатомной цепочки частота Дебая равна

ω D = vs π / a знак равно против π N / L = против π λ {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = v _ {\ rm {s}} \ pi / a = v _ {\ rm {s}} \ pi N / L = v _ {\ rm {s}} \ pi \ lambda}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm { D}} = v _ {\ rm {s}} \ pi / a = v _ {\ rm {s}} \ pi N / L = v _ {\ rm {s}} \ pi \ lambda}

с $a {\ displaystyle a}$ $a$ расстоянием между двумя соседними атомами в цепочке, когда система находится в ее основное состояние (в данном случае это означает, что ни один из атомов не движется относительно друг друга); $N {\ displaystyle N}$ $N$ общее количество атомов в цепочке; и $L {\ displaystyle L}$ $L$ размер (объем) системы (длина цепочки); и $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - линейная числовая плотность. Если выполняется следующее соотношение: $L = N a {\ displaystyle L = Na}$ ${\ displaystyle L = Na}$ .

Для двумерной одноатомной квадратной решетки частота Дебая равна

ω D 2 = 4 π a 2 vs 2 = 4 π NA против 2 ≡ 4 π σ против 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi} {a ^ {2}}} v _ {\ rm { s}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm {s}} ^ {2} \ Equiv 4 \ pi \ sigma v _ {\ rm {s}} ^ { 2}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ { 2} = {\ frac {4 \ pi} {a ^ {2}}} v _ {\ rm {s}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm { s}} ^ {2} \ Equiv 4 \ pi \ sigma v _ {\ rm {s}} ^ {2}}

где $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $N {\ displaystyle N}$ $N$ такие же, как и раньше; $A ≡ L 2 = N a 2 {\ displaystyle A \ Equiv L ^ {2} {=} Na ^ {2}}$ ${\ Displaystyle А \ экв L ^ {2} {=} Na ^ {2}}$ - размер (площадь) поверхности; и $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ поверхностная числовая плотность.

Для трехмерного одноатомного примитивного кубического кристалла частота Дебая равна

ω D 3 знак равно 6 π 2 a 3 vs 3 = 6 π 2 NV vs 3 ≡ 6 π 2 ρ vs 3 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2}} {a ^ {3}}} v _ {\ rm {s}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ {\ rm { s}} ^ {3} \ Equiv 6 \ pi ^ {2} \ rho v _ {\ rm {s}} ^ {3}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac { 6 \ pi ^ {2}} {a ^ {3}}} v _ {\ rm {s}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ { \ rm {s}} ^ {3} \ Equiv 6 \ pi ^ {2} \ rho v _ {\ rm {s}} ^ {3}}

где $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $N {\ displaystyle N}$ $N$ такие же, как и раньше; $V ≡ L 3 = N a 3 {\ displaystyle V \ Equiv L ^ {3} = Na ^ {3}}$ ${\ displaysty le V \ Equiv L ^ {3} = Na ^ {3}}$ размер системы; и $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ объемная числовая плотность.

Скорость звука в кристалле может зависеть (среди прочего) от массы элементов, силы их взаимодействия, давление в системе и / или поляризация волны (продольная или поперечная), но в дальнейшем мы сначала примем скорость звука как то же самое для любой поляризации (однако это предположение не имеет далеко идущих последствий).

Предполагаемое дисперсионное соотношение легко доказано неверным для одномерной цепочки масс, но в моделях Дебая это не оказалось проблемой.

Отношение к температуре Дебая

Температура Дебая $θ D {\ displaystyle \ theta _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {D}}}$ , еще один параметр в модели Дебая, соответствует с выбором Дебая движение

$θ D = ℏ KB ω D, {\ displaystyle \ theta _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ hbar} {k _ {\ rm {B}}}} \ omega _ {\ rm {D}},}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ hbar} {k _ {\ rm {B}}}} \ omega _ {\ rm {D}},}$

где $ℏ {\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ - это уменьшенная постоянная Планка и $k B { \ displaystyle k _ {\ rm {B}}}$ ${\ displaystyle k _ {\ rm {B}}}$ - постоянная Больцмана.

вывод Дебая

Трехмерный кристалл

В теории Дебая при выводе теплоемкости он суммирует все возможные режимы работы системы. То есть: включая разные направления и поляризации. Он предположил, что общее количество мод на поляризацию составляет $3 N {\ displaystyle 3N}$ $3N$ (с $N {\ displaystyle N}$ $N$ количество масс в системе), или на математическом языке

∑ режимы 3 = 3 N {\ displaystyle \ sum _ {\ rm {Mode}} 3 = 3N}

{\ d isplaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = 3N}

, где $3 {\ displaystyle 3}$ $3$ с Другая сумма сторон из-за трех поляризаций проходит по всем модам для одной настройки. Дебай сделал это предположение, потому что он знал из классической механики, что количество мод на поляризацию в цепочке всегда должно быть равно количеству масс в цепочке.

Левая часть теперь должна быть явной, чтобы она зависела от частоты Дебая (здесь просто введена как частота среза, то есть более высокие частоты, чем частота Дебая, не может существовать), поэтому это выражение для него можно найти.

Прежде всего, предположив, что $L {\ displaystyle L}$ $L$ очень большой ( $L {\ displaystyle L}$ $L$ >>1, с $L {\ displaystyle L}$ $L$ размером системы в любом из трех направлений) наименьший волновой вектор в любом направлении можно аппроксимировать следующим образом: $dki = 2 π / L {\ displaystyle dk_ {i} = 2 \ pi / L}$ ${\ displaystyle dk_ {i} = 2 \ pi / L}$ , где $i = x, y, z {\ displaystyle i = x, y, z}$ ${\ displaystyle i = x, y, z}$ . Волновые меньшего размера не могут существовать из-за периодических граничных условий. Таким образом, суммирование будет следующим образом: 4

∑ режимы 3 = 3 V (2 π) 3 ∭ dk {\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k}}

где $k ≡ (kx, ky, kz) {\ displaystyle \ mathbf {k} \ Equiv (k_ {x}, k_ { y}, k_ {z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} \ Equiv (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$ ; $V ≡ L 3 {\ displaystyle V \ Equiv L ^ {3}}$ ${\ displaystyle V \ Equiv L ^ {3}}$ - размер системы; и интеграл (как суммирование) по всем возможным режимам, обязательной конечной областью.

Тройной интеграл можно переписать как единый интеграл по всем возможным значениям $k {\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ (см.: Якобиан для сферических координат ). Результат:

3 V (2 π) 3 ∭ d k = 3 V 2 π 2 ∫ 0 k D | k | 2 dk {\ displaystyle {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathb {k}}

{\ displaystyle {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ { 0} ^ {к _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k}}

с $k D {\ displaystyle k _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle k _ {\ rm {D}}}$ абсолютное значение волнового облака, форма дебаевской формы, поэтому $К D = ω D / vs {\ displaystyle k _ {\ rm {D}} = \ omega _ {\ rm {D}} / v _ {\ rm {s}}}$ ${\ displaystyle k_ { \ rm {D}} = \ omega _ {\ rm {D}} / v _ {\ rm {s}}}$ .

Мы знаем, что соотношение дисперсии $ω = vs | k | {\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}$ ${\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}$ , это можно записать как интеграл по всем возможным $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$

3 V 2 π 2 ∫ 0 k D | k | 2 dk знак равно 3 V 2 π 2 vs 3 ∫ 0 ω D ω 2 d ω {\ displaystyle {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} \ omega ^ {2} d \ omega}

{\ displaystyle {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ { k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} \ omega ^ {2} d \ omega}

После решения интеграла он снова приравнивается к $3 N {\ displaystyle 3N}$ ${\ displaystyle 3N }$ , чтобы найти

V 2 π 2 против 3 ω D 3 = 3 N {\ displaystyle {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = 3N}

{\ displaystyle {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = 3N}

Заключение:

ω D 3 = 6 π 2 NV против 3 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ { 2} N} {V}} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}

Одномерная цепочка в трехмерном пространстве

То же самое можно сделать для одномерного цепочки атомов. Количество мод остается неизменным, поскольку по-прежнему три. Итак,

∑ м о d е s 3 = 3 N {\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = 3N}

{\ d isplaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = 3N}

Остальная часть вывода аналогична предыдущему, поэтому снова переписывается левая часть;

∑ режимы 3 = 3 L 2 π ∫ - К D К D dk = 3 L π vs ∫ 0 ω D d ω {\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3L} {2 \ pi}} \ int _ {- k _ {\ rm {D}}} ^ {k _ {\ rm {D}}} dk = {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm { s}}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega}

{\ displaystyle \ sum _ {\ rm {Mode}} 3 = {\ frac { 3L} {2 \ pi}} \ int _ {- k _ {\ rm {D}}} ^ {k _ {\ rm {D}}} dk = {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s }}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega}

На последнем этапе умножения на два происходит потому, что $k {\ displaystyle k}$ $k$ имеет отрицательное значение, а $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - нет. Мы продолжим;

3 L π vs ∫ 0 ω D d ω знак равно 3 L π vs ω D = 3 N {\ displaystyle {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega = {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ omega _ {\ rm {D}} = 3N}

{\ Displaystyle {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s }}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega = {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ omega _ {\ rm {D}} = 3N}

Заключение:

ω D = π vs NL {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}} N} {L }}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}} N} {L}}}

Двумерный кристалл

То же самое можно сделать и для двумерного кристалла. Опять же, количество мод остается неизменным, потому что есть еще три поляризации. Вывод аналогичен двум предыдущим. Начнем с того же уравнения:

∑ mode 3 = 3 N {\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = 3N}

{\ d isplaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = 3N}

А переписываем левую часть и приравниваем к $3 N {\ displaystyle 3N}$ $3N$

∑ режимы 3 = 3 A (2 π) 2 ∬ dk = 3 A 2 π vs 2 ∫ 0 ω D ω d ω = 3 A ω D 2 4 π vs 2 = 3 N {\ displaystyle \ sum _ {\ rm {mode}} 3 = {\ frac {3A} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ iint d \ mathbf {k} = {\ frac {3A} {2 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} \ omega d \ omega = {\ frac {3A \ omega _ {\ rm { D}} ^ {2}} {4 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} = 3N}

{\ displaystyle \ sum _ {\ rm {Mode}} 3 = {\ frac {3A } {(2 \ pi) ^ {2}}} \ iint d \ mathbf {k} = {\ frac {3A} {2 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} \ int _ { 0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} \ omega d \ omega = {\ frac {3A \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2}} {4 \ pi v _ {\ rm { s}} ^ {2}}} = 3N}

где $A ≡ L 2 {\ displaystyle A \ Equiv L ^ { 2}}$ ${\ displaystyle A \ Equiv L ^ {2}}$ - размер системы.

Заключение

ω D 2 = 4 π NA vs 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm {s}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v_ { \ rm {s}} ^ {2}}

Разрешение поляризации имеет значение

Как упоминалось во введении: в общем, продольные волны имеют другую скорость волны, чем поперечные волны. Для ясности сначала предполагалось, что они равны, но теперь мы отказываемся от этого предположения.

Дисперсионное соотношение принимает вид $ω i = v s, i | k | {\ displaystyle \ omega _ {i} = v_ {s, i} | \ mathbf {k} |}$ ${\ displaystyle \ omega _ {i} = v_ { s, i} | \ mathbf {k} |}$ , где $i = 1, 2, 3 {\ displaystyle i = 1,2, 3}$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ , которые соответствуют трем поляризации. Однако частота среза (частота Дебая) не зависит от $i {\ displaystyle i}$ $я$ . И мы можем записать общее количество режимов как $∑ i ∑ mode 1 {\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ rm {mode}} 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} \ сумма _ {\ rm {режимы}} 1}$ , что снова равно к $3 N {\ Displaystyle 3N}$ ${\ displaystyle 3N }$ . Здесь суммирование по режимам (хотя явно не указано) зависит от $i {\ displaystyle i}$ $я$ .

Одно измерение

Еще раз суммирование по режимам переписывается

∑ i ∑ режимы 1 знак равно ∑ я L π vs, я ∫ 0 ω D d ω я знак равно 3 N {\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ rm {mode}} 1 = \ sum _ {i} {\ frac {L} { \ pi v_ {s, i}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega _ {i} = 3N}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ rm {mode}} 1 = \ sum _ {i} {\ frac {L} {\ pi v_ { s, i}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega _ {i} = 3N}

Результат:

L ω D π (1 против, 1 + 1 против, 2 + 1 против, 3) = 3 N {\ displaystyle {\ frac {L \ omega _ {\ rm {D}}} {\ pi}} ({\ frac {1 } {v_ {s, 1}}} + {\ frac {1} {v_ {s, 2}}} + {\ frac {1} {v_ {s, 3}}}) = 3N}

{\ displaystyle {\ frac {L \ omega _ {\ rm {D} }} {\ pi}} ({\ frac {1} {v_ {s, 1}}} + {\ f rac {1} {v_ {s, 2}}} + {\ frac {1} {v_ {s, 3}}}) = 3N}

Таким образом образом, частота Дебая находится

ω D = 3 π NL vs, 1 vs, 2 vs, 3 vs, 2 vs, 3 + vs, 1 vs, 3 + vs, 1 vs, 2 {\ displaystyle \ omega _ { \ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}} {v_ {s, 2} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 2}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}} {v_ {s, 2 } v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 2}}}}

Или предполагая две поперечные поляризации быть одинаковыми (иметь одинаковую фазовую скорость) и частоту)

ω D = 3 π NL vs, t 2 vs, l 2 vs, tvs, l + vs, t 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}} {2v_ {s, t} v_ {s, l} + v_ {s, t} ^ {2 }}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L }} {\ frac {v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}} {2v_ {s, t} v_ {s, l} + v_ {s, t} ^ {2}}}}

Можно проверить, что это соотношение эквивалентно найденному ранее (когда поляризация не имеет значения), задав $vs, t = vs, l {\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l }}$ ${\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$ .

Два измерения

Тот же вывод может быть выполнен для двумерного кристалла, чтобы найти (аналогичный предыдущим выводам)

ω D 2 = 12 π NA (vs, 1 vs, 2 vs, 3) 2 (vs, 2 vs, 3) 2 + (vs, 1 vs, 3) 2 + (vs, 1 vs, 2) 2 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {2}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {2} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ {2} + (v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {2}} }}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {2}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {2} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ {2} + (v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {2}}}}

Или, предполагая, что две поперечные поля измерения равны (хотя для двух измерений было бы логичнее, если бы все поляризации были разными):

ω D 2 = 12 π NA (vs, t 2 vs, l) 2 2 (vs, tvs, l) 2 + vs, т 4 {\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A} } {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {2}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {2} + v_ {s, t} ^ {4}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm { D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {2}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {2} + v_ {s, t} ^ {4}}}}

Опять же, можно проверить, что это соотношение эквивалентен найденному ранее, установив $vs, t = vs, l {\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$ ${\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$ .

Три измерения

Тот же вывод может выполнить трехмерный кристалл, чтобы найти (вывод предыдущим выводам)

ω D 3 = 18 π 2 NV (vs, 1 vs, 2 vs, 3) 3 (vs, 2 vs, 3) 3 + (vs, 1 vs, 3) 3 + (vs, 1 vs, 2) 3 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ {3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm{D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, 1 } v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ {3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {3}}}}

Предполагаемая две поперечные поляризации равны (хотя для трех измерений было бы логичнее, если бы все поляризации были одинаковыми):

ω D 3 = 18 π 2 NV (vs, т 2 вс, л) 3 2 (vs телеведущая изоры, l) 3 + vs, t 6 {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {( v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {3}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {3} + v_ {s, t} ^ {6}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {3}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {3} + v_ {s, t} ^ {6}}}}

Опять же, можно проверить, что это отношение эквивалентно найденному ранее, установив $vs, t = vs, l {\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$ ${\ displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$ .

Вывод с фактическим использованием дисперсии

имеют значение только дискретизированные точки, две волны могут отображать одинаковые физическое проявление (см. Phonon ).

Эту проблему можно было бы сделать более проницательной, сделав ее более сложной. Вместо использования дисперсионного соотношения $ω = v s k {\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} k}$ ${\ displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} k}$ теперь правильное дисперсионное соотношение. Из классической механики известно, что для эквидистантной цепочки масс, гармонически взаимодействующих друг с другом, дисперсионное соотношение имеет вид:

$ω (k) = 2 κ m | sin ⁡ (k a 2) | {\ displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$ ${\ displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$ .

После построения этой зависимости ясно, что оценка Дебая длины волныечки в конце концов была верной. Для каждого волнового числа больше $π / a {\ displaystyle \ pi / a}$ ${\ displaystyle \ pi / a}$ (то есть: $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ меньше, чем $2 a {\ displaystyle 2a}$ $2a$ ) волновое число меньше $π / a {\ displaystyle \ pi / a}$ ${\ displaystyle \ pi / a}$ может быть найдено с той же угловой границей. Это означает, что это означает, что физическое проявление моды с большим волновым числом неотличимо от моды с большим волновым числом. Таким образом, исследование дисперсионного соотношения может быть ограничено первой зоной бриллюэна, т.е. для $k ∈ [- π a, π a] {\ displaystyle k \ in [- {\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}}]}$ ${\ displaystyle k \ in [- {\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}}]}$ . Это возможно, потому что система состоит из дискретизированных точек, как показано на анимированном изображении. Разделив соотношение дисперсии на $k {\ displaystyle k}$ $k$ и вставив $π / a {\ displaystyle \ pi / a}$ ${\ displaystyle \ pi / a}$ для $k {\ displaystyle k }$ $k$ , мы находимся скоростью волны с $k = π / a {\ displaystyle k = \ pi / a}$ $k = \ pi / a$ как

$vs (k = π / a) знак равно 2 a π κ м {\ Displaystyle v _ {\ rm {s}} (k = \ pi / a) = {\ frac {2a} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {м }}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {s}} (k = \ pi / a) = {\ frac {2a} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}}}$ .

Просто вставив $k = π / a {\ displaystyle k = \ pi / a}$ $k = \ pi / a$ в исходное дисперсионное соотношение, мы находим

$ω (k знак равно π / а) знак равно 2 κ м = ω D {\ displaystyle \ omega (к = \ pi / a) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} = \ omega _ {\ rm {D} }}$ ${\ displaystyle \ omega (k = \ пи / а) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} = \ omega _ {\ rm {D}}}$ .

Объединяя эти результаты, мы снова получаем тот же результат

$ω D = π vsa {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s }}} {a}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} { a}}}$ .

Однако для двухатомных цепей соответствующая частота отсечки (и длина волны) не очень точны, поскольку длина волны отсечки вдвое больше, соотношение дисперсии состоит из двух ветвей (для объявления яатомная цепочка). Из этого также неясно, была ли частота отсечки точно предсказана Дебаем для более размерных систем.

Альтернативное происхождение

Физический результат двух волн может быть идентичным, если одна из них имеет длину волны, превышающую вдвое исходное расстояние между массами (взято из теоремы выборки Найквиста - Шеннона ).

Теорема выборки Найквиста - Шеннона используется в следующем выводе; главное отличие состоит в том, что в следующем выводе дискретизация не времени, но в пространстве. Таким образом, снова,

$ω (k) Знак равно 2 κ м | грех ⁡ (ка 2) | {\, дисперсии из последнего абзаца, станет ясно проницательным способом, почему частота среза имеет значение, полученное ранее (дважды). displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |} <940
Этот вывод полностью эквивалентен предыдущему, а именно: те же пр едположения сделаны для получения результат. Это не более-точно менее, это просто другой подход.
Чтобы определить, где должна быть граничная частота, сначала нужно определить, где должна быть граница длины волны. Из дисперсионного соотношения мы знаем, что для k>π / a {\ displaystyle k>\ pi / a}$ $k>\ pi / a$ повторяется каждый режим, поэтому длина волны отсечки будет на уровне $λ D = 2 a {\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = 2a}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = 2a}$ . Из этих периодических граничных условий вы можете сразу увидеть, что общее количество мод на поляризацию будет $N {\ displaystyle N}$ $N$ . Как видно на gif-изображении в предыдущем абзаце, это связано с тем, что каждая волна с длиной волны меньше $2 a {\ displaystyle 2a}$ $2a$ может быть заменена на волна с длиной волны больше, чем $2 a {\ displaystyle 2a}$ ${\ displaystyle 2a}$ , чтобы восстановить тот же физический результат.

Однако дисперсионное соотношение из предыдущего абзаца (правильное) не нужно даже при рассуждении о том, почему граница должна быть на $λ Знак равно 2 a {\ displaystyle \ lamb da = 2a}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2a}$ . Если показано, как показано, только волна с большей длиной волны, чем $2, {\ displaystyle 2a}$ ${\ displaystyle 2a}$ может дать тот же физический результат, что и другой. Таким образом, это еще один способ правильно предсказать длину волны отсечки без использования правильного дисперсионного соотношения. Однако, используя неправильное соотношение дисперсии, предположение, что это не приведет к появлению новых мод.

Это снова приводит к $k D = π / a {\ displaystyle k _ {\ rm {D}} = \ pi / a}$ ${\ displaystyle k _ {\ rm {D}} = \ pi / a}$ , рендеринг

$ω D = π vsa {\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} {a}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} { a}}}$ .

Также здесь не имеет значения, какое соотношение дисперсии используется такая или правильный тот, который использовал Дебай), будет найдена же частота среза.

К сожалению, тот же метод нельзя использовать для двух- или трехмерного кристалла, потому что диагональные волны имеют большую длину волны волны, что также трудно предсказать.

См. Также

Ссылки

^Дебай, Питер (1912). "Zur Theorie der spezifischen Waerme". Annalen der Physik (на немецком языке). 39 (4): 789–839. Bibcode : 1912AnP... 344..789D. doi : 10.1002 / andp.19123441404.
^ Киттель, Чарльз (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0471415268.
^Шредер, Дэниел В. «Введение в теплофизику» Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5.
^Хилл, Террелл Л. (1960). Введение в статистическую механику. Ридинг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 9780486652429.
^Обераи, М.М.; Srikantiah, G (1974). Первый курс термодинамики. Нью-Дели, Индия: Prentice-Hall of India Private Limited. ISBN 9780876920183.
^Паттерсон, Джеймс Д.; Бейли, Бернард С. (2007). Физика твердого тела: Введение в теорию. Springer. С. 96–97. ISBN 978-3-540-34933-4.
^Шульман, Л. М. (2004). «Теплоемкость водяного льда в межзвездных или межпланетных условиях». Астрономия и астрофизика. 416 : 187–190. Bibcode : 2004AA... 416..187S. doi : 10.1051 / 0004-6361: 20031746.
^Флубачер, П.; Leadbetter, A.J.; Моррисон, Дж. А. (1960). «Теплоемкость льда при низких температурах». Журнал химической физики. 33 (6): 1751. Bibcode : 1960JChPh..33.1751F. doi : 10.1063 / 1.1731497.
^В учебнике «Кинетическая теория жидкостей» (англ. 1947)
^Болматив, Бражин, Траченко, Фононная теория термодинамики жидкости, Sci Rep. 2 : 421 (2012)
^Дебай, П. (1912). "Zur Theorie der spezifischen Wärmen". Annalen der Physik. 344 (14): 789–839. doi : 10.1002 / andp.19123441404. ISSN 1521-3889.
^«Одномерное одноатомное твердое тело» (PDF). Проверено 27 апреля 2018 г.
^Фитцпатрик, Ричард (2006). «Удельная теплота твердого тел». Ричард Фицпатрик Техасский университет в Остине. Проверено 27 апреля 2018 г.
^ Саймон, Стивен Х. (20 июня 2013 г.). Основы Оксфордского твердого тела (первое издание). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199680764. OCLC 859577633.
^Шривастава Г.П. (16.07.2019). Физика фононов. Рутледж. ISBN 978-1-351-40955-1.

Дополнительная литература

Справочник CRC по химии и физике, 56-е издание (1975–1976)
Шредер, Дэниел В. Введение в теплофизику. Аддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5.