Волновое уравнение

редактировать
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, важное в физике

A импульс, проходящий через строку с фиксированными конечными точками, как моделируется волновое уравнение. сферические волны, исходящие от точечного источника. решение двумерного волнового уравнения

волновое уравнение является важным линейным уравнением в частных производных второго порядка для описания волн - как они встречаются в классической физике - таких как механические волны (например, волны воды, звуковые волны и сейсмические волны ) или световые волны. Он возникает в таких областях, как акустика, электромагнетизм и гидродинамика.

Исторически проблема вибрирующей струны, такой как проблема музыкальный инструмент изучал Жан ле Ронд д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниэль Бернулли и Жозеф-Луи Лагранж. В 1746 году Даламбер открыл одномерное волновое уравнение, а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение.

Содержание

  • 1 Введение
  • 2 Волновое уравнение в одном измерении пространства
    • 2.1 Вывод волнового уравнения
      • 2.1.1 Из закона Гука
      • 2.1.2 Импульс напряжения в стержне
    • 2.2 Общее решение
      • 2.2.1 Алгебраический подход
      • 2.2.2 Собственные моды плоской волны
  • 3 Скалярное волновое уравнение в трех измерениях пространства
    • 3.1 Сферические волны
      • 3.1.1 Пример
      • 3.1.2 Монохроматическая сферическая волна
    • 3.2 Решение общей начальной задачи
  • 4 Скалярное волновое уравнение в двух измерениях пространства
  • 5 Скалярное волновое уравнение в общей размерности и формулы Кирхгофа
    • 5.1 Нечетные измерения
    • 5.2 Четные измерения
  • 6 Проблемы с границами
    • 6.1 Одно измерение пространства
      • 6.1.1 Формулировка Штурма – Лиувилля
      • 6.1.2 Исследование численными методами
    • 6.2 Несколько пространственных измерений
  • 7 Неоднородное волновое уравнение в одном измерении
  • 8 Другое системы координат
  • 9 Дополнительные обобщения
    • 9.1 Упругие волны
    • 9.2 Отношение дисперсии
  • 10 См. также
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Введение

Волновое уравнение - это уравнение в частных производных, которое может ограничивать некоторую скалярную функцию u = u (x 1, x 2, …, X n ; t) временной переменной tи одной или нескольких пространственных переменных x 1, x 2,… x n. Величина u может быть, например, давлением в жидкости или газе или смещением в некотором определенном направлении частиц вибрирующего твердого тела от их положений покоя.. Уравнение имеет вид

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 (∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + ⋯ + ∂ 2 u ∂ xn 2) {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} \; = \; c ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} ^ { 2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} \ right)}{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} \; = \; c ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ частичный x_ {2} ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} \ right)}

где c - фиксированный неотрицательный действительный коэффициент.

Использование обозначений ньютоновской механики и векторное исчисление, волновое уравнение можно записать более компактно как

u ¨ = c 2 ∇ 2 u, {\ displaystyle {\ ddot {u}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} u,}{\ displaystyle {\ ddot {u}} = c ^ {2} \ nabla ^ {2} u,}

, где двойная точка обозначает двойную производную от u по времени, ∇ - это оператор набла, а ∇ = ∇ · ∇ - (пространственный) оператор лапласа :

u ¨ = ∂ 2 u ∂ t 2 ∇ = (∂ ∂ x 1, ∂ ∂ x 2,…, ∂ ∂ xn) ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ Xn 2 {\ Displaystyle {\ ddot {u}} = {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} \ quad \ quad \ nabla = \ left ({\ frac { \ partial} {\ partial x_ {1}}}, {\ frac {\ partia l} {\ partial x_ {2}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right) \ quad \ quad \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {n} ^ {2}}}}{\ displaystyle {\ ddot {u}} = {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} \ quad \ quad \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right) \ quad \ quad \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {n} ^ {2}}}}

Решение этого уравнения может быть довольно сложным, но его можно проанализировать как линейную комбинацию простых решений, которые синусоидальные плоские волны с различными направлениями распространения и длинами волн, но все с одинаковой скоростью распространения c. Такой анализ возможен, поскольку волновое уравнение линейно ; так что любое кратное решения также является решением, а сумма любых двух решений снова является решением. Это свойство в физике называется принципом суперпозиции.

Само по себе волновое уравнение не определяет физического решения; уникальное решение обычно получается путем постановки задачи с дополнительными условиями, такими как начальные условия, которые задают амплитуду и фазу волны. Другой важный класс проблем возникает в замкнутых пространствах, определяемых граничными условиями, для которых решения представляют стоячие волны или гармоники, аналогичные гармоникам музыкальных инструментов..

Волновое уравнение является простейшим примером дифференциального уравнения гиперболического типа. Он и его модификации играют фундаментальную роль в механике сплошной среды, квантовой механике, физике плазмы, общей теории относительности, геофизике. и многие другие научно-технические дисциплины.

Волновое уравнение в одном измерении пространства

Французский ученый Жан-Батист ле Ронд д'Аламбер (р. 1717) открыл волновое уравнение в одном измерении пространства.

Волна уравнение в одном пространственном измерении можно записать следующим образом:

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 {\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial t ^ {2}} = c ^ {2} {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}}}{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial t ^ {2}} = c ^ {2} {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}}} .

Это уравнение обычно описывается как имеющее только одно пространственное измерение x, потому что единственная другая независимая переменная - время t. Тем не менее, зависимая переменная u может представлять второе пространственное измерение, если, например, смещение u происходит в направлении y, как в случае строки, расположенной в плоскости x – y..

Вывод волнового уравнения

Волновое уравнение в одном пространственном измерении может быть получено в различных физических параметрах. Наиболее известно, что это может быть получено для случая струны, которая колеблется в двухмерной плоскости, причем каждый из ее элементов тянется в противоположных направлениях силой натяжения.

Другая физическая установка для получения волновое уравнение в одном пространственном измерении использует закон Гука. В теории упругости закон Гука является приближением для определенных материалов, утверждая, что величина, на которую деформируется материальное тело (деформация ), линейно связана с силой, вызывающей деформация (напряжение ).

Из закона Гука

Волновое уравнение в одномерном случае может быть получено из закона Гука следующим образом: представьте себе массив маленьких гирь массой m, связанных между собой безмассовыми пружинами длины час Пружины имеют жесткость пружины, равную k:

Массив масс.svg

Здесь зависимая переменная u (x) измеряет расстояние от точки равновесия массы, расположенной в точке x, так что u (x) по существу измеряет величину возмущение (т.е. деформация), которое распространяется в упругом материале. Силы, действующие на массу m в точке x + h, равны:

FN ewton = m ⋅ a (t) = m ⋅ ∂ 2 ∂ t 2 u (x + h, t) FH ooke = F x + 2 час - F Икс знак равно К [U (Икс + 2 час, T) - U (X + H, T)] - К [U (X + H, T) - U (X, T)] {\ Displaystyle {\ begin {align} F _ {\ rm {Newton}} = m \ cdot a (t) = m \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} u (x + h, t) \\ F _ {\ rm {Hooke}} = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k \ left [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t) } \ right] -k [u (x + h, t) -u (x, t)] \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ rm {Newton}} = m \ cdot a (t) = m \ cdot {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} u (x + h, t) \\ F _ {\ rm {Hooke}} = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k \ left [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t) } \ right] -k [u (x + h, t) -u (x, t)] \ end {align}}}

Уравнение движения груза в точке x + h задается уравнением эти две силы:

∂ 2 ∂ t 2 u (x + h, t) = km [u (x + 2 h, t) - u (x + h, t) - u (x + h, t) + U (Икс, T)] {\ Displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ over m} [u (x + 2h, t) -u (x + h, t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ over m} [u (x + 2h, t) -u (х + час, t) -u (x + час, t) + u (x, t)]}

где зависимость u (x) от времени была сделана явной.

Если массив грузов состоит из N грузов, равномерно расположенных по длине L = Nh общей массы M = Nm, и общая жесткость пружины массива K = k / N мы можно записать вышеприведенное уравнение как:

∂ 2 ∂ t 2 u (x + h, t) = KL 2 M u (x + 2 h, t) - 2 u (x + h, t) + u (x, т) ч 2. {\ Displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ over h ^ {2}}.}{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ над h ^ {2}}.}

Переходя к пределу N → ∞, h → 0 и предполагая гладкость, получаем:

∂ 2 u ( Икс, T) ∂ T 2 знак равно KL 2 M ∂ 2 U (x, t) ∂ Икс 2, {\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}},}{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}},}

который взят из определения второй производной. KL / M - квадрат скорости распространения в данном конкретном случае.

1-мерная стоячая волна как суперпозиция двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях

Импульс напряжения в стержне

В случае импульса напряжения, распространяющегося в продольном направлении через стержень, стержень действует аналогично бесконечное количество пружин, включенных последовательно, и его можно рассматривать как расширение уравнения, выведенного для закона Гука. Однородный стержень, то есть постоянного поперечного сечения, сделанный из линейного эластичного материала, имеет жесткость K, определяемую как

K = EAL, {\ displaystyle K = {EA \ over L},}{\ displaystyle K = {EA \ over L},}

где A - площадь поперечного сечения, а E - модуль Юнга материала. Волновое уравнение принимает вид

∂ 2 u (x, t) ∂ t 2 = E A L M ∂ 2 u (x, t) ∂ x 2. {\ Displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {EAL \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}.}{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {EAL \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}.}

AL равен объему стержня, поэтому

ALM = 1 ρ, {\ displaystyle {\ frac {AL} {M}} = {\ frac {1} {\ rho}},}{\ displaystyle {\ frac {AL} {M}} = {\ frac {1} {\ rho}},}

где ρ - плотность материала. Волновое уравнение сводится к

∂ 2 u (x, t) ∂ t 2 = E ρ ∂ 2 u (x, t) ∂ x 2. {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u (x, t)} {\ partial t ^ {2}}} = {E \ over \ rho} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}.}{\ displaystyle { \ frac {\ partial ^ {2} u (x, t)} {\ partial t ^ {2}}} = {E \ over \ rho} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ частичный x ^ {2}}.}

Следовательно, скорость волны напряжения в стержне равна √E / ρ.

Общее решение

Алгебраический подход

Одномерное волновое уравнение необычно для уравнения в частных производных тем, что относительно простое общее решение может быть найденный. Определение новых переменных:

ξ = x - ct η = x + ct {\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x-ct \\\ eta = x + ct \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ xi = x-ct \\\ eta = x + ct \ end {align}}}

изменяет волновое уравнение на

∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} = 0,}{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ xi \ partial \ eta}} = 0,}

которое приводит к общему решению

u (ξ, η) = F (ξ) + G (η) {\ displaystyle u (\ xi, \ eta) = F (\ xi) + G (\ eta)}u (\ xi, \ eta) = F (\ xi) + G ( \ eta)

или эквивалентно:

u (x, t) = F (x - ct) + G (x + ct). {\ displaystyle u (x, t) = F (x-ct) + G (x + ct).}{\ displaystyle u (x, t) = F (x-ct) + G (x + ct).}

Другими словами, решения одномерного волнового уравнения представляют собой суммы бегущей вправо функции F и бегущей влево функция G. «Перемещение» означает, что форма этих отдельных произвольных функций по отношению к x остается постоянной, однако функции перемещаются влево и вправо со временем со скоростью c. Это было получено Жаном ле Рондом Даламбером.

Другой способ получить этот результат - отметить, что волновое уравнение может быть "факторизовано":

[∂ ∂ t - c ∂ ∂ x] [ ∂ ∂ T + с ∂ ∂ x] U знак равно 0. {\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} - c {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + c {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] u = 0.}{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} - c { \ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + c {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] u = 0.}

В результате, если мы определим v таким образом,

∂ u ∂ T + c ∂ u ∂ x = v, {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + c {\ frac {\ partial u} {\ partial x} } = v,}{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + c {\ гидроразрыв {\ partial u} {\ partial x}} = v,}

, затем

∂ v ∂ t - c ∂ v ∂ x = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} - c {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} = 0.}{\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} - c {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} = 0.}

Отсюда v должно иметь форму G (x + ct), и отсюда можно вывести правильную форму полного решения u.

Для задачи с начальным значением можно определить произвольные функции F и G, удовлетворяющие начальным условиям:

u (x, 0) = f (x) {\ displaystyle u (x, 0) = f (x)}{\ displaystyle u (x, 0) = f (x)}
ut (x, 0) = g (x). {\ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x).}{\ displaystyle u_ {t} (x, 0) = g (x).}

Результат: формула Даламбера :

u (x, t) = f (x - ct) + f (Икс + CT) 2 + 1 2 с ∫ Икс - CTX + CTG (s) DS {\ Displaystyle и (х, т) = {\ гидроразрыва {е (х-CT) + f (х + CT)} {2 }} + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} g (s) \ mathrm {d} s}{ \ displaystyle u (x, t) = {\ frac {f (x-ct) + f (x + ct)} {2}} + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x-ct} ^ {х + ct} г (ы) \ mathrm {d} s}

В классическом смысле, если f (x) ∈ C и g (x) ∈ C, тогда u (t, x) ∈ C. Однако формы сигналов F и G также могут быть обобщенными функциями, такими как дельта-функция. В этом случае решение можно интерпретировать как импульс, идущий вправо или влево.

Основное волновое уравнение - это линейное дифференциальное уравнение, поэтому оно будет соответствовать принципу суперпозиции. Это означает, что чистое смещение, вызванное двумя или более волнами, представляет собой сумму смещений, которые были бы вызваны каждой волной в отдельности. Кроме того, поведение волны можно проанализировать, разбив волну на составляющие, например преобразование Фурье разбивает волну на синусоидальные составляющие.

Собственные моды плоской волны

Другой способ найти решения одномерного волнового уравнения - сначала проанализировать его частоту собственных мод. Так называемая собственная мода - это решение, которое колеблется во времени с четко определенной постоянной угловой частотой ω, с которой временная часть волновой функции для такой собственной моды принимает конкретную форму e. Остальная часть волновой функции тогда зависит только от пространственной переменной x, следовательно, составляет разделение переменных. Теперь запишем волновую функцию как

u ω (x, t) = e - i ω tf (x), {\ displaystyle u _ {\ omega} (x, t) = e ^ {- i \ omega t} f. (x),}u _ {\ omega} (х, т) знак равно е ^ {{- я \ омега т}} е (х),

мы можем получить обыкновенное дифференциальное уравнение для пространственной части f (x)

∂ 2 u ω ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 (e - i ω tf (x)) знак равно - ω 2 e - я ω tf (x) = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 (e - i ω tf (x)), {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u_ {\ omega}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ left (e ^ {- i \ omega t} f (x) \ right) = - \ omega ^ {2} e ^ {- i \ omega t} f (x) = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ { 2}}} \ left (e ^ {- i \ omega t} f (x) \ right),}{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u _ {\ omega}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ left (e ^ {- i \ omega t} f (x) \ right) = - \ omega ^ {2} e ^ {- i \ omega t} f (x) = c ^ {2 } {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left (e ^ {- i \ omega t} f (x) \ right),}

Следовательно:

d 2 dx 2 f (x) = - (ω c) 2 f ( х), {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} f (x) = - \ left ({\ frac {\ omega} { c}} \ right) ^ {2} f (x),}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} f (x) = - \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} f (x),}

что в точности является уравнением на собственные значения для f (x), отсюда и название собственной моды. Он имеет хорошо известные решения для плоских волн

f (x) = A e ± ikx, {\ displaystyle f (x) = Ae ^ {\ pm ikx},}{\ displaystyle f (x) = Ae ^ {\ pm ikx},}

с волновое число k = ω / c.

Полная волновая функция для этой собственной моды будет тогда линейной комбинацией

u ω (x, t) = e - i ω t (A e - ikx + B eikx) = A e - i (kx + ω T) + B ei (kx - ω t), {\ displaystyle u _ {\ omega} (x, t) = e ^ {- i \ omega t} \ left (Ae ^ {- ikx} + Be ^ { ikx} \ right) = Ae ^ {- i (kx + \ omega t)} + Be ^ {i (kx- \ omega t)},}u _ {\ omega} (x, t) = e ^ {{- i \ omega t}} \ left (Ae ^ {{- ikx}} + Be ^ {{ikx} } \ right) = Ae ^ {{- i (kx + \ omega t)}} + Be ^ {{i (kx- \ omega t)}},

где комплексные числа A, B, вообще говоря, зависят от любых начальных и граничных условия проблемы.

Собственные моды полезны при построении полного решения волнового уравнения, потому что каждая из них изменяется во времени тривиально с фазовым фактором e - i ω t {\ displaystyle e ^ {- i \ omega t }}e ^ {- i \ omega t} . так что полное решение может быть разложено на расширение собственных мод

u (x, t) = ∫ - ∞ ∞ s (ω) u ω (x, t) d ω {\ displaystyle u (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (\ omega) u _ {\ omega} (x, t) \ mathrm {d} \ omega}{\ displaystyle u (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (\ omega) u_ { \ omega} (x, t) \ mathrm {d} \ omega}

или в терминах плоских волн,

u (x, t) = ∫ - ∞ ∞ s + (ω) e - i (kx + ω t) d ω + ∫ - ∞ ∞ s - (ω) ei (kx - ω t) d ω = ∫ - ∞ ∞ s + (ω) e - ik (x + ct) d ω + ∫ - ∞ ∞ s - (ω) eik (x - ct) d ω = F (x - ct) + G (x + ct) {\ Displaystyle {\ begin {выровнены} и (х, т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s _ {+} (\ omega) e ^ {- i (kx + \ omega t)} \ mathrm {d} \ omega + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s _ {-} (\ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ mathrm {d} \ omega \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s _ {+} (\ omega) e ^ {- ik (x + ct)} \ mathrm {d} \ omega + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s _ {-} (\ omega) e ^ {ik (x-ct)} \ mathrm {d} \ omega \\ = F (x-ct) + G (x + ct) \ end { выровненный}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} u (x, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s _ {+} (\ omega) e ^ {- i (kx + \ omega t)} \ mathrm {d} \ omega + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s _ {-} (\ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ mathrm {d} \ omega \\ = \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} s _ {+} (\ omega) e ^ {- ik (x + ct)} \ mathrm {d} \ omega + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s_ {-} (\ omega) e ^ {ik (x-ct)} \ mathrm {d} \ omega \\ = F (x-ct) + G (x + ct) \ end {align}}}

который имеет ту же форму, что и в алгебраическом подходе. Функции s ± (ω) известны как компонент Фурье и определяются начальными и граничными условиями. Это так называемый метод частотной области, альтернативный прямым временным распространениям, таким как метод FDTD, волнового пакета u (x, t), что является полным для представления волн в отсутствие замедления времени. Полнота разложения Фурье для представления волн в присутствии замедления времени была поставлена ​​под сомнение из-за решений для чирп-волн, учитывающих изменение ω во времени. Решения с чирп-волнами кажутся особенно подразумеваемыми из-за очень больших, но ранее необъяснимых остатков радара в аномалии пролета, и отличаются от синусоидальных решений тем, что они могут быть приняты на любом расстоянии только при пропорционально смещенных частотах и ​​временных замедлениях, соответствующих прошлому chirp состояния источника.

Скалярное волновое уравнение в трех измерениях пространства

Швейцарский математик и физик Леонард Эйлер (р. 1707) открыл волновое уравнение в трех измерениях пространства.

Решение исходного -значная задача для волнового уравнения в трехмерном пространстве может быть получена из соответствующего решения для сферической волны. Затем результат можно использовать для получения того же решения в двух пространственных измерениях.

Сферические волны

Волновое уравнение может быть решено с использованием техники разделения переменных. Чтобы получить решение с постоянными частотами, сначала преобразуем волновое уравнение по Фурье по времени как

Ψ (r →, t) = ∫ - ∞ ∞ Ψ (r →, ω) e - i ω t d ω. {\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Psi ({\ vec {r}}, \ omega) e ^ {- i \ омега t} \ mathrm {d} \ omega.}{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Пси ({\ vec {r}}, \ omega) e ^ {- я \ omega t} \ mathrm {d} \ omega.}

Таким образом, мы получаем,

(∇ 2 + ω 2 c 2) Ψ (r →, ω) = 0. {\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ Psi ({\ vec {r}}, \ omega) = 0.}{\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ Psi ({\ vec {r}}, \ omega) = 0.}

Это уравнение Гельмгольца и может быть решено с использованием разделения переменных. Если для описания проблемы используются сферические координаты, то решение угловой части уравнения Гельмгольца дается сферическими гармониками, а радиальное уравнение теперь принимает вид

[d 2 dr 2 + 2 rddr + к 2 - l (l + 1) р 2] fl (r) = 0 {\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} r ^ {2}} } + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} + k ^ {2} - {\ frac {l (l + 1)} { r ^ {2}}} \ right] f_ {l} (r) = 0}{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} + k ^ {2} - {\ frac {l (l + 1)} {r ^ {2}}} \ right] f_ {l} (r) = 0}

Здесь k ≡ ω / c, а полное решение теперь дается выражением

Ψ (r →, ω) = ∑ lm [A lm (1) hl (1) (kr) + A lm (2) hl (2) (kr)] Y lm (θ, ϕ), {\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, \ омега) = \ sum _ {lm} \ left [A_ {lm} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + A_ {lm} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) \ right] Y_ {lm} (\ theta, \ phi),}{\ displaystyle \ Psi ({\ vec {r}}, \ omega) = \ sum _ {lm} \ left [A_ {lm} ^ {(1)} h_ {l} ^ {(1)} (kr) + A_ { lm} ^ {(2)} h_ {l} ^ {(2)} (kr) \ right] Y_ {lm} (\ theta, \ phi),}

где h. l(kr) и h. l(kr) - сферические Функции Ганкеля.

Пример

Чтобы лучше понять природу этих сферических волн, вернемся назад и рассмотрим случай, когда l = 0. В этом случае нет углового зависимости, а амплитуда зависит только от радиального расстояния, т.е. Ψ (r →, t) → u (r, t). В этом случае волновое уравнение сводится к

(∇ 2 - 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2) Ψ (r →, t) = 0 → (∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r - 1 c 2 ∂ 2 ∂ T 2) u (г, t) знак равно 0 {\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) \ Psi ({\ vec {r}}, t) = 0 \ rightarrow \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac { \ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) u (r, t) = 0}\ left (\ nabla ^ { 2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) \ Psi ({\ vec {r} }, t) = 0 \ rightarrow \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) u (r, t) = 0

Это уравнение можно переписать как

∂ 2 (ru) ∂ t 2 - c 2 ∂ 2 (ru) ∂ r 2 = 0; {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} (ru)} {\ partial t ^ {2}}} - c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} (ru)} {\ partial r ^ {2}}} = 0; \,}\ frac {\ partial ^ 2 (ru) } {\ partial t ^ 2} -c ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 (ru)} {\ partial r ^ 2} = 0; \,

где величина ru удовлетворяет одномерному волновому уравнению. Следовательно, существуют решения в виде

u (r, t) = 1 r F (r - ct) + 1 r G (r + ct), {\ displaystyle u (r, t) = {\ frac { 1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),}u (r, t) = {\ frac {1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),

где F и G - общие решения одномерного волнового уравнения, и можно интерпретировать как исходящую или приходящую сферическую волну соответственно. Такие волны генерируются точечным источником , и они создают резкие сигналы, форма которых изменяется только за счет уменьшения амплитуды с увеличением r (см. Иллюстрацию сферической волны вверху справа). Такие волны существуют только в случаях пространства с нечетными размерами.

Физические примеры несферических волновых решений трехмерного волнового уравнения, которые обладают угловой зависимостью, см. В разделе дипольное излучение.

Монохроматическая сферическая волна

Срез сферических волновых фронтов с длиной волны 10 единиц, распространяющихся от точечного источника.

Хотя слово «монохроматический» не совсем точное, поскольку оно относится к свету или электромагнитному излучению с четко определенной частотой цель заключается в обнаружении собственной моды волнового уравнения в трех измерениях. Следуя выводам из предыдущего раздела о собственных модах плоских волн, если мы снова ограничим наши решения сферическими волнами, которые колеблются во времени с четко определенной постоянной угловой частотой ω, тогда преобразованная функция ru (r, t) имеет решения с простой плоской волной,

ru (r, t) = A ei (ω t ± kr), {\ displaystyle ru (r, t) = Ae ^ {i (\ omega t \ pm kr)},}{\ dis playstyle ru (r, t) = Ae ^ {i (\ omega t \ pm kr)},} or
u (r, t) = A rei (ω t ± kr). {\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {A} {r}} e ^ {i \ left (\ omega t \ pm kr \ right)}.}{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {A} {r}} e ^ {i \ left (\ омега t ​​\ pm kr \ right)}.}

Отсюда видно, что пик интенсивность колебания сферической волны, характеризуемая квадратом амплитуды волны

I = | u (r, t) | 2 = | А | 2 r 2 {\ displaystyle I = | u (r, t) | ^ {2} = {\ frac {| A | ^ {2}} {r ^ {2}}}}I знак равно | и (г, т) | ^ 2 = \ гидроразрыва {| А | ^ 2} {г ^ 2} .

падает со скоростью, пропорциональной до 1 / r, пример закона обратных квадратов.

Решение общей задачи с начальным значением

Волновое уравнение линейно по u, и оно остается неизменным из-за перемещений в пространстве и время. Следовательно, мы можем генерировать большое количество решений, переводя и суммируя сферические волны. Пусть φ (ξ, η, ζ) - произвольная функция трех независимых переменных, а сферическая волновая форма F - дельта-функция: то есть пусть F - слабый предел непрерывных функций, интеграл которых равен единице, но носитель (область, где функция отлична от нуля) сжимается до начала координат. Пусть семейство сферических волн имеет центр в (ξ, η, ζ), и пусть r будет радиальным расстоянием от этой точки. Таким образом,

r 2 = (x - ξ) 2 + (y - η) 2 + (z - ζ) 2. {\ displaystyle r ^ {2} = (x- \ xi) ^ {2} + (y- \ eta) ^ {2} + (z- \ zeta) ^ {2}.}r ^ {2} = (x- \ xi) ^ {2} + (y- \ eta) ^ {2} + (z- \ zeta) ^ {2}.

Если u - a суперпозиция таких волн с весовой функцией φ, то

u (t, x, y, z) = 1 4 π c ∭ φ (ξ, η, ζ) δ (r - ct) rd ξ d η d ζ; {\ Displaystyle и (T, Икс, Y, Z) = {\ гидроразрыва {1} {4 \ pi c}} \ iiint \ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta) {\ frac {\ delta (r- ct)} {r}} \ mathrm {d} \ xi \, \ mathrm {d} \ eta \, \ mathrm {d} \ zeta;}{\ displaystyle u (t, x, y, z) = {\ frac {1} {4 \ pi c}} \ iiint \ varphi (\ xi, \ eta, \ zeta) {\ frac {\ delta (r-ct)} {r}} \ mathrm {d} \ xi \, \ mathrm {d} \ eta \, \ mathrm {d} \ zeta;}

знаменатель 4πc используется для удобства.

Из определения дельта-функции u можно также записать как

u (t, x, y, z) = t 4 π ∬ S φ (x + ct α, y + ct β, z + ct γ) d ω, {\ displaystyle u (t, x, y, z) = {\ frac {t} {4 \ pi}} \ iint _ {S} \ varphi (x + ct \ alpha, y + ct \ beta, z + ct \ gamma) \ mathrm {d} \ omega,}{\ displaystyle u (t, x, y, z) = {\ frac {t} {4 \ pi}} \ iint _ {S} \ varphi (x + ct \ alpha, y + ct \ beta, z + ct \ gamma) \ mathrm {d} \ omega,}

где α, β и γ - координаты на единичной сфере S, а ω - элемент площади на S. Этот результат имеет интерпретацию, что u (t, x) в t раз больше среднего значения φ на сфере радиуса ct с центром x:

u (t, x, y, z) = t M ct [ϕ]. {\ displaystyle u (t, x, y, z) = tM_ {ct} [\ phi].}u (t, x, y, z) = tM _ {{ct}} [\ phi].

Отсюда следует, что

u (0, x, y, z) = 0, ut (0, x, y, z) = ϕ (x, y, z). {\ displaystyle u (0, x, y, z) = 0, \ quad u_ {t} (0, x, y, z) = \ phi (x, y, z).}u (0, x, y, z) знак равно 0, \ quad u_ {t} (0, x, y, z) = \ phi (x, y, z).

Среднее значение четная функция от t, и, следовательно, если

v (t, x, y, z) = ∂ ∂ t (t M ct [ψ]), {\ displaystyle v (t, x, y, z) = { \ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (tM_ {ct} [\ psi] \ right),}{\ displaystyle v (t, x, y, z) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (tM_ {ct} [\ psi] \ right),}

, затем

v (0, x, y, z) = ψ (x, y, z), vt (0, x, y, z) = 0. {\ displaystyle v (0, x, y, z) = \ psi (x, y, z), \ quad v_ {t} (0, x, y, z) = 0.}v (0, x, y, z) = \ psi (x, y, z), \ quad v_ {t} (0, x, y, z) = 0.

Эти формулы обеспечивают решение начальной задачи для волнового уравнения. Они показывают, что решение в данной точке P, заданном (t, x, y, z), зависит только от данных о сфере радиуса ct, которую пересекает световой конус, проведенный назад от P. Это не зависит от данных о внутренней части этой сферы. Таким образом, внутренняя часть сферы является лакуной для решения. Это явление получило название принцип Гюйгенса. Это верно для нечетных чисел пространственного измерения, где для одного измерения интегрирование выполняется по границе интервала относительно меры Дирака. Его не устраивают даже пространственные измерения. Феномен лакуны подробно исследовался в Атии, Ботте и Гординге (1970, 1973).

Скалярное волновое уравнение в двух измерениях пространства

В двух измерениях пространства волновое уравнение имеет вид

u t t = c 2 (u x x + u y y). {\ displaystyle u_ {tt} = c ^ {2} \ left (u_ {xx} + u_ {yy} \ right).}{\ displaystyle u_ {tt} = c ^ {2} \ left (u_ {xx} + u_ {yy} \ right).}

Мы можем использовать трехмерную теорию для решения этой проблемы, если мы рассматриваем u как функция в трех измерениях, которая не зависит от третьего измерения. Если

u (0, x, y) = 0, ut (0, x, y) = ϕ (x, y), {\ displaystyle u (0, x, y) = 0, \ quad u_ {t } (0, x, y) = \ phi (x, y),}{\ displaystyle u (0, x, y) = 0, \ quad u_ {t} (0, x, y) = \ phi (x, y),}

тогда формула трехмерного решения принимает вид

u (t, x, y) = t M ct [ϕ] = t 4 π ∬ S ϕ (x + ct α, y + ct β) d ω, {\ displaystyle u (t, x, y) = tM_ {ct} [\ phi] = {\ frac {t} {4 \ pi} } \ iint _ {S} \ phi (x + ct \ alpha, \, y + ct \ beta) \ mathrm {d} \ omega,}{\ displaystyle u (t, x, y) = tM_ {ct} [\ phi] = {\ frac {t} {4 \ pi}} \ iint _ { S} \ phi (х + ct \ альфа, \, y + ct \ beta) \ mathrm {d} \ omega,}

где α и β - первые две координаты на единичной сфере, а dω - элемент площади на сфере. Этот интеграл можно переписать в виде двойного интеграла по кругу D с центром (x, y) и радиусом ct:

u (t, x, y) = 1 2 π ct ∬ D ϕ (x + ξ, y + η) (ct) 2 - ξ 2 - η 2 d ξ d η. {\ displaystyle u (t, x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi ct}} \ iint _ {D} {\ frac {\ phi (x + \ xi, y + \ eta)} {\ sqrt {(ct) ^ {2} - \ xi ^ {2} - \ eta ^ {2}}}} \ mathrm {d} \ xi \, \ mathrm {d} \ eta.}{\ displaystyle u (t, x, y) = {\ frac {1} {2 \ pi ct}} \ iint _ {D} {\ frac {\ phi (x + \ xi, y + \ eta)} {\ sqrt {(ct) ^ {2} - \ xi ^ {2} - \ eta ^ {2}}}} \ mathrm {d} \ xi \, \ mathrm {d} \ eta.}

Очевидно, что решение в точке (t, x, y) зависит не только от данных светового конуса, где

(x - ξ) 2 + (y - η) 2 = c 2 t 2, {\ displaystyle (x- \ xi) ^ {2} + (y- \ eta) ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2},}{\ displaystyle (x- \ xi) ^ {2} + (y- \ eta) ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2},}

, но также и для данных, находящихся внутри этого конуса.

Скалярное волновое уравнение в общей размерности и формулы Кирхгофа

Мы хотим найти решение u tt - Δu = 0 для u: R × (0, ∞) → R с u (x, 0) = g (x) и u t (x, 0) = h (x). См. Evans для более подробной информации.

Нечетные размеры

Предположим, что n ≥ 3 - нечетное целое число и g ∈ C (R ), h ∈ C (R ) для m = (п + 1) / 2. Пусть γ n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅… ⋅ (n - 2) и пусть

u (x, t) = 1 γ n [∂ t (1 t ∂ t) n - 3 2 (tn - 2 1 | ∂ B t (x) | ∫ ∂ B t (x) gd S) + (1 t ∂ t) n - 3 2 (tn - 2 1 | ∂ B t (x) | ∫ ∂ В t (x) hd S)] {\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {\ gamma _ {n}}} \ left [\ partial _ {t} \ left ({\ frac { 1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} {\ frac {1} {| \ partial B_ { t} (x) |}} \ int _ {\ partial B_ {t} (x)} gdS \ right) + \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} {\ frac {1} {| \ partial B_ {t} (x) |}} \ int _ {\ partial B_ { t} (x)} hdS \ right) \ right]}{ \ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {\ gamma _ {n}}} \ left [\ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ { t} \ right) ^ {\ frac {n-3} {2}} \ left (t ^ {n-2} {\ frac {1} {| \ partial B_ {t} (x) |}} \ int _ {\ partial B_ {t} (x)} gdS \ right) + \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-3} {2 }} \ left (t ^ {n-2} {\ frac {1} {| \ partial B_ {t} (x) |}} \ int _ {\ partial B_ {t} (x)} hdS \ right) \ right]}

тогда

u ∈ C (R × [0, ∞))
utt- Δu = 0 в R × (0, ∞)
lim (x, t) → (x 0, 0) u (x, t) = g (x 0) lim (x, t) → (x 0, 0).) ут (Икс, Т) знак равно час (Икс 0) {\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} \ lim _ {(х, т) \ к (х ^ {0}, 0)} и (х, т) = g (x ^ {0}) \\\ lim _ {(x, t) \ to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) = h (x ^ {0}) \ end {align}}}\ begin {align} \ lim _ {(x, t) \ to (x ^ 0,0)} u (x, t) = g (x ^ 0) \\ \ lim _ {(x, t) \ to (x ^ 0,0)} u_t (x, t) = час (x ^ 0) \ end {align}

Четные размеры

Предположим, что n ≥ 2 - четное целое число и g ∈ C (R ), h ∈ C (R ) для m = (n + 2) / 2. Пусть γ n = 2 ⋅ 4 ⋅… ⋅ n и пусть

u (x, t) = 1 γ n [∂ t (1 t ∂ t) n - 2 2 (tn 1 | B t (x) | ∫ B t (x) g (t 2 - | y - x | 2) 1 2 dy) + (1 t ∂ t) n - 2 2 (tn 1 | B t (x) | ∫ B t (Икс) час (T 2 - | Y - Икс | 2) 1 2 dy)] {\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {\ gamma _ {n}}} \ left [\ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ {n} {\ гидроразрыв {1} {| B_ {t} (x) |}} \ int _ {B_ {t} (x)} {\ frac {g} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ mathrm {d} y \ right) + \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac { n-2} {2}} \ left (t ^ {n} {\ frac {1} {| B_ {t} (x) |}} \ int _ {B_ {t} (x)} {\ frac { h} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ mathrm {d} y \ right) \ right]}{\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1} {\ gamma _ {n}}} \ left [\ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ {n} {\ frac {1} {| B_ {t} ( x) |}} \ int _ {B_ {t} (x)} {\ frac {g} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}} }} \ mathrm {d} y \ right) + \ left ({\ frac {1} {t}} \ partial _ {t} \ right) ^ {\ frac {n-2} {2}} \ left (t ^ {n} {\ frac {1} {| B_ {t} (x) |}} \ int _ {B_ {t} (x)} {\ frac {h} {(t ^ {2} - | yx | ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ mathrm {d} y \ right) \ right]}

затем

u ∈ C (R × [0, ∞))
utt- Δu = 0 в R × (0, ∞)
lim (x, t) → (Икс 0, 0) U (Икс, T) знак равно г (Икс 0) lim (Икс, T) → (Икс 0, 0) UT (Икс, T) = H (Икс 0) {\ Displaystyle {\ begin { выровнено} \ lim _ {(x, t) \ to (x ^ {0}, 0)} u (x, t) = g (x ^ {0}) \\\ lim _ {(x, t) \ to (x ^ {0}, 0)} u_ {t} (x, t) = h (x ^ {0}) \ end {align}}}\ begin {align} \ lim _ {(x, t) \ to (x ^ 0,0)} u (x, t) = g (x ^ 0) \\ \ lim _ {(x, t) \ to (x ^ 0,0)} u_t (x, t) = h (x ^ 0) \ end {align}

Проблемы с границами

Одно измерение пространства

Формулировка Штурма – Лиувилля

Гибкая струна, натянутая между двумя точками x = 0 и x = L, удовлетворяет волновому уравнению для t>0 и 0 < x < L. On the boundary points, u may satisfy a variety of boundary conditions. A general form that is appropriate for applications is

- ux (t, 0) + au (t, 0) = 0, {\ displaystyle -u_ {x} (t, 0) + au (t, 0) = 0,}{\ displaystyle -u_ {x} (t, 0) + au (t, 0) = 0,}
ux (t, L) + bu (t, L) = 0, {\ displaystyle u_ {x} (t, L) + bu (t, L) = 0,}{\ displaystyle u_ {x} (t, L) + bu (t, L) = 0,}

где a и b не являются -отрицательный. Случай, когда u требуется, чтобы обратиться в нуль в конечной точке, является пределом этого условия, когда соответствующие a или b стремятся к бесконечности. Метод разделения переменных заключается в поиске решения этой задачи в специальной форме

u (t, x) = T (t) v (x). {\ displaystyle u (t, x) = T (t) v (x).}{\ displaystyle u (t, x) = T (t) v (x).}

Следовательно,

T ″ c 2 T = v ″ v = - λ. {\ displaystyle {\ frac {T ''} {c ^ {2} T}} = {\ frac {v ''} {v}} = - \ lambda.}{\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda.}

Собственное значение λ необходимо определить так, чтобы было нетривиальное решение краевой задачи

v ″ + λ v = 0, {\ displaystyle v '' + \ lambda v = 0,}{\displaystyle v''+\lambda v=0,}
- v ′ (0) + av (0) знак равно 0, v '(L) + bv (L) = 0. {\ displaystyle -v' (0) + av (0) = 0, \ quad v '(L) + bv (L) = 0.}{\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.}

Это частный случай общей проблемы теории Штурма – Лиувилля. Если a и b положительны, все собственные значения положительны, а решения являются тригонометрическими функциями. Решение, которое удовлетворяет интегрируемым с квадратом начальным условиям для u и u t, может быть получено путем разложения этих функций в соответствующий тригонометрический ряд.

Исследование численными методами

Аппроксимируя непрерывную колонну конечным числом равноудаленных материальных точек, получаем следующую физическую модель:

Рисунок 1: Три последовательные массовые точки дискретной модели для струна

Если каждая материальная точка имеет массу m, натяжение струны равно f, расстояние между массовыми точками равно Δx и u i, i = 1,…, n - смещение для этих n точек от их точек равновесия (то есть их положения на прямой между двумя точками крепления струны) вертикальная составляющая силы по направлению к точке i + 1 равна

ui + 1 - ui Δ xf {\ displaystyle {\ frac {u_ {i + 1} -u_ {i}} {\ Delta x}} f}{\ displaystyle {\ frac {u_ {i + 1} -u_ {i}} {\ Delta x}} f}

(1)

и вертикальная составляющая силы по направлению к точке i - 1 равна

ui - 1 - ui Δ xf {\ displaystyle {\ frac {u_ {i-1} -u_ {i}} {\ Delta x}} f}{\ displaystyle {\ frac {u_ {i-1} -u_ {i}} {\ Delta x}} f}

(2)

Сумма этих двух сил и делением на массу m получаем для вертикального движения:

u ¨ i = (fm Δ x) (ui + 1 + ui - 1 - 2 ui) {\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {i} = \ left ({\ frac {f} {m \ Delta x}} \ right) \ left (u_ {i + 1} + u_ {i -1} -2u_ {i} \ right)}{\ displaystyle {\ ddot {u} } _ {i} = \ left ({\ frac {f} {m \ Delta x}} \ right) \ left (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} \ right)}

(3)

Поскольку массовая плотность равна

ρ = m Δ x {\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {\ Delta x }}}\ rho = \ frac {m} {\ Delta x}

это может быть записано

u ¨ i = (f ρ Δ x 2) (ui + 1 + ui - 1 - 2 ui) {\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {i} = \ left ({\ frac {f} {\ rho {\ Delta x} ^ {2}}} \ right) \ left (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} \ right)}{\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {i} = \ left ({\ frac {f} {\ rho {\ Delta x} ^ {2}}} \ right) \ left (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} \ right)}

(4)

Волновое уравнение получается, если Δx → 0, и в этом случае u i (t) принимает вид u (x, t), где u (x, t) является непрерывной функцией двух переменных, ·· u i принимает вид ∂u / ∂t и

ui + 1 + ui - 1 - 2 ui Δ x 2 → ∂ 2 u ∂ x 2 {\ displaystyle {\ frac {u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i}} {{\ Delta x} ^ {2}}} \ to {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}}{\ displaystyle {\ frac {u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i}} {{\ Delta x} ^ {2}}} \ to {\ frac {\ partial ^ {2} u} { \ partial x ^ {2}}}}

Но дискретная формулировка (3) уравнения состояния с конечным числом массовых точек как раз подходит для численного распространения движения струны. Граничное условие

u (0, t) = u (L, t) = 0 {\ displaystyle u (0, t) = u (L, t) = 0}u (0, t) = u (L, t) = 0

где L - длина В дискретной формулировке струна принимает вид, что для крайних точек u 1 и u n уравнения движения имеют вид

u ¨ 1 = (c Δ x) 2 (u 2–2 u 1) {\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {1} = {\ left ({\ frac {c} {\ Delta x}} \ right)} ^ {2} \ left (u_ { 2} -2u_ {1} \ right)}{\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {1} = { \ left ({\ frac {c} {\ Delta x}} \ right)} ^ {2} \ left (u_ {2} -2u_ {1} \ right)}

(5)

и

u ¨ n = (c Δ x) 2 (un - 1-2 un) {\ displaystyle {\ ddot {u }} _ {n} = {\ left ({\ frac {c} {\ Delta x}} \ right)} ^ {2} \ left (u_ {n-1} -2u_ {n} \ right)}{\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {n} = {\ left ({\ frac { c} {\ Delta x}} \ right)} ^ {2} \ left (u_ {n-1} -2u_ {n} \ right)}

(6)

в то время как для 1 < i < n

u ¨ i = (c Δ x) 2 (ui + 1 + ui - 1-2 ui) {\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {i} = {\ left ({\ frac {c} {\ Delta x}} \ right)} ^ {2} \ left (u_ {i + 1} + u_ {i-1} -2u_ {i} \ right)}{\ displaystyle {\ ddot {u}} _ {i} = {\ left ({\ frac {c} {\ Delta x}} \ right)} ^ {2} \ left (u_ {i + 1} + u_ {i -1} -2u_ {i} \ right)}

(7)

где c = √f / ρ.

Если струна аппроксимируется 100 дискретными массовыми точками, получается 100 связанных дифференциальных уравнений второго порядка (5), (6) и (7) или эквивалентно 200 связанных дифференциальных уравнений первого порядка..

Распространение их до времени

L ck (0,05), k = 0, ⋯, 5 {\ displaystyle {\ frac {L} {c}} k (0,05), \, k = 0, \ cdots, 5}{\ displaystyle {\ frac {L} { c}} к (0,05), \, k = 0, \ cdots, 5}

с использованием многошагового метода 8-го порядка найдены 6 состояний, показанных на рисунке 2:

Рисунок 2: Строка в 6 последовательных эпохах, первая (красная) соответствует начальному времени со строкой в ​​состоянии покоя Рисунок 3: Строка в 6 последовательных эпохах Рисунок 4: Строка в 6 последовательных эпохах Рисунок 5: Строка в 6 последовательных эпохах Рисунок 6: Строка в 6 последовательных эпохах Рисунок 7: Строка в 6 последовательных эпохах

Красная кривая - это начальное состояние в нулевой момент времени, в котором струна «освобождена» в предопределенной форме со всеми U ˙ я знак равно 0 {\ displaystyle {\ dot {u}} _ {i} = 0}{\ displaystyle {\ dot {u }} _ {i} = 0} . Синяя кривая - это состояние в момент времени L c (0,25), {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} (0,25),}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} (0,25),} т.е. по прошествии времени, соответствующего времени, волне, движущейся с номинальной волновой скоростью c = √ f / ρ, потребуется одна четвертая длины струны.

На рис. 3 показана форма струны в моменты времени L ck (0,05), k = 6, ⋯, 11 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05)., \, k = 6, \ cdots, 11}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} к (0,05), \, k = 6, \ cdots, 11} . Волна движется в правильном направлении со скоростью c = √ f / ρ без активного ограничения граничными условиями на двух крайних точках струны. Форма волны постоянна, т.е. кривая действительно имеет форму f (x - ct).

На рисунке 4 показана форма строки в моменты времени L ck (0,05), k = 12, ⋯, 17 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05)., \, k = 12, \ cdots, 17}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05), \, k = 12, \ cdots, 17} . Ограничение на правую крайнюю st искусства, чтобы препятствовать движению, предотвращая волну, чтобы поднять конец струны.

На рис. 5 показана форма струны в моменты времени L ck (0,05), k = 18, ⋯, 23 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05)., \, k = 18, \ cdots, 23}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05), \, k = 18, \ cdots, 23} , когда направление движения меняется на противоположное. Красная, зеленая и синяя кривые - это состояния в моменты времени L ck (0,05), k = 18, ⋯, 20 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05), \, k = 18, \ cdots, 20}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05), \, k = 18, \ cdots, 20} , а 3 черные кривые соответствуют состояниям в моменты времени L ck (0,05), k = 21, ⋯, 23 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05), \, k = 21, \ cdots, 23}{\ displaystyle {\ tfrac {L } {c}} k (0,05), \, k = 21, \ cdot s, 23} с волной, начинающей движение назад влево.

На рисунках 6 и 7 наконец показана форма струны в моменты времени L ck (0,05), k = 24, ⋯, 29 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} k (0,05), \, k = 24, \ cdots, 29}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c}} к (0,05), \, k = 24, \ cdots, 29} и L ck (0,05), k = 30, ⋯, 35 {\ displaystyle {\ tfrac {L} {c }} k (0,05), \, k = 30, \ cdots, 35}{\ displaystyle {\ tfrac {L} {c }} k (0,05), \, k = 30, \ cdots, 35} . Теперь волна движется влево, и ограничения в конечных точках больше не действуют. Когда, наконец, другой край струны, направление снова изменится на противоположное, как показано на рисунке 6.

Несколько пространственных измерений

Решение волнового уравнения в двух измерениях с нулем -смещение граничного условия по всей внешней кромке.

Теория одномерных начально-краевых значений может быть расширена до произвольного числа пространственных измерений. Рассмотрим область D в m-мерном x-пространстве с границей B. Тогда волновое уравнение должно выполняться, если x находится в D и t>0. На границе D решение u должно удовлетворять

∂ u ∂ n + au = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} + au = 0, \,}{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial n}} + au = 0, \,}

где n - единичная внешняя нормаль к B, а a - неотрицательная функция, определенная на B. Случай, когда u обращается в нуль на B, является предельным случаем для приближения к бесконечности. Начальные условия:

u (0, x) = f (x), ut (0, x) = g (x), {\ displaystyle u (0, x) = f (x), \ quad u_ { t} (0, x) = g (x), \,}u (0, x) = f (x), \ quad u_t (0, x) = г (x), \,

где f и g определены в D. Эта проблема может быть решена путем разложения f и g в собственные функции лапласиана в D, которые удовлетворяют граничные условия. Таким образом, собственная функция v удовлетворяет

∇ ⋅ ∇ v + λ v = 0, {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla v + \ lambda v = 0, \,}\ nabla \ cdot \ nabla v + \ lambda v = 0, \,

в D и

∂ v ∂ n + av = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial n}} + av = 0, \,}{\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial n}} + av = 0, \,}

на B.

В случае двух измерений пространства, собственные функции можно интерпретировать как режимы вибрации барабанной пластинки, натянутой на границу B. Если B представляет собой круг, то эти собственные функции имеют угловую составляющую, которая является тригонометрической функцией полярного угла θ, умноженного на Функция Бесселя (целого порядка) радиальной составляющей. Дополнительные сведения см. В уравнении Гельмгольца.

. Если граница является сферой в трех измерениях пространства, угловые компоненты собственных функций - это сферические гармоники, а радиальные компоненты - функции Бесселя полуцелого порядка.

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении

Неоднородное волновое уравнение в одном измерении выглядит следующим образом:

utt (x, t) - c 2 uxx (x, t) = s ( x, t) {\ displaystyle u_ {tt} (x, t) -c ^ {2} u_ {xx} (x, t) = s (x, t) \,}{\ displaystyle u_ {tt} (x, t) -c ^ {2} u_ {xx} (x, t) = s (x, t) \,}

с начальными условиями, заданными как

U (Икс, 0) знак равно е (Икс) {\ Displaystyle и (х, 0) = е (х) \,}u (x, 0) = f (x) \,
ут (х, 0) = г (х) {\ Displaystyle и_ {т } (x, 0) = g (x) \,}u_t (x, 0) = g (x) \,

Функцию s (x, t) часто называют функцией источника, потому что на практике она описывает влияние источников волн на среду, переносящую их. Физические примеры функций источника включают силу, движущую волну на струне, или заряд или плотность тока в датчике Лоренца из электромагнетизм.

Один метод решения задачи начального значения (с начальные значения, как указано выше) заключается в использовании особого свойства волнового уравнения в нечетном числе пространственных измерений, а именно, что его решения учитывают причинность. То есть для любой точки (x i, t i) значение u (x i, t i) зависит только на значениях f (x i + ct i) и f (x i - ct i) и значениях функция g (x) между (x i - ct i) и (x i + ct i). Это можно увидеть в формуле Даламбера, приведенной выше, где только эти количества фигурируют в ней. Физически, если максимальная скорость распространения равна c, то никакая часть волны, которая не может распространиться в данную точку за данный момент времени, не может повлиять на амплитуду в той же точке и в тот же момент времени.

С точки зрения поиска решения это свойство причинности означает, что для любой данной точки на рассматриваемой линии единственная область, которую необходимо учитывать, - это область, охватывающая все точки, которые могут причинно повлиять на точку считается. Обозначим область, которая случайно влияет на точку (x i, t i) как R C. Предположим, мы интегрируем неоднородное волновое уравнение по этой области.

R C (c 2 u x x (x, t) - u t t (x, t)) d x d t = ∬ R C s (x, t) d x d t. {\ displaystyle \ iint \ limits _ {R_ {C}} \ left (c ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) \ right) \, \ mathrm {d } x \, \ mathrm {d} t = \ iint \ limits _ {R_ {C}} s (x, t) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} t.}{\ displaystyle \ iint \ limits _ {R_ {C}} \ left (c ^ {2} u_ {xx} (x, t) -u_ {tt} (x, t) \ справа) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} t = \ iint \ limits _ {R_ {C}} s (x, t) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d } t.}

Чтобы значительно упростив это, мы можем использовать теорему Грина, чтобы упростить левую часть, чтобы получить следующее:

∫ L 0 + L 1 + L 2 (- c 2 ux (x, t) dt - ut (x, t) dx) = ∬ RC s (x, t) dxdt. {\ Displaystyle \ int _ {L_ {0} + L_ {1} + L_ {2}} \ left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} t-u_ {t} (x, t) \ mathrm {d} x \ right) = \ iint \ limits _ {R_ {C}} s (x, t) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} t.}{\ displaystyle \ int _ {L_ {0} + L_ {1} + L_ {2}} \ left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} t-u_ {t} (x, t) \ mathrm {d} x \ right) = \ iint \ limits _ {R_ {C}} s (x, t) \, \ mathrm { d} x \, \ mathrm {d} t.}

Теперь левая часть представляет собой сумму трех линейных интегралов по границам области причинности. Их оказалось довольно легко вычислить

∫ x i - c t i x i + c t i - u t (x, 0) d x = - ∫ x i - c t i x i + c t i g (x) d x. {\ displaystyle \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} - u_ {t} (x, 0) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x.}{\ displaystyle \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} - u_ {t} (x, 0) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x.}

В приведенном выше термине интегрированное по времени исчезает, потому что задействованный временной интервал равен нулю, таким образом, dt = 0.

Для двух других сторон области стоит отметить, что x ± ct является константой, а именно x i ± ct i, где знак выбран соответствующим образом. Используя это, мы можем получить соотношение dx ± cdt = 0, снова выбрав правильный знак:

∫ L 1 (- c 2 ux (x, t) dt - ut (x, t) dx) = ∫ L 1 (cux (x, t) dx + cut (x, t) dt) = c ∫ L 1 du (x, t) = cu (xi, ti) - cf (xi + cti). {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {L_ {1}} \ left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) \, \ mathrm {d} x \ right) = \ int _ {L_ {1}} \ left (cu_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} x + cu_ {t } (x, t) \, \ mathrm {d} t \ right) \\ = c \ int _ {L_ {1}} \, \ mathrm {d} u (x, t) \\ = cu ( x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {L_ {1}} \ left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} t-u_ {t} (x, t) \, \ mathrm {d} x \ right) = \ int _ {L_ {1}} \ left (cu_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} x + cu_ {t} (x, t) \, \ mathrm {d} t \ right) \ \ = c \ int _ {L_ {1}} \, \ mathrm {d} u (x, t) \\ = cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {я}). \ конец {выровнено}}}

И аналогично для последнего сегмента границы:

∫ L 2 (- c 2 ux (x, t) dt - ut (x, t) dx) = - ∫ L 2 (cux (x, t) dx + cut (x, t) dt) = - c ∫ L 2 du (x, t) = cu (xi, ti) - cf (xi - cti). {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {L_ {2}} \ left (-c ^ {2} u_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} t-u_ {t} ( x, t) \, \ mathrm {d} x \ right) = - \ int _ {L_ {2}} \ left (cu_ {x} (x, t) \, \ mathrm {d} x + cu_ { t} (x, t) \, \ mathrm {d} t \ right) \\ = - c \ int _ {L_ {2}} \, \ mathrm {d} u (x, t) \\ = cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}). \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {L_ {2}} \ left (-c ^ {2} u_ {x} ( x, t) \, \ mathrm {d} t-u_ {t} (x, t) \, \ mathrm {d} x \ right) = - \ int _ {L_ {2}} \ left (cu_ { x} (x, t) \, \ mathrm {d} x + cu_ {t} (x, t) \, \ mathrm {d} t \ right) \\ = - c \ int _ {L_ {2} } \, \ mathrm {d} u (x, t) \\ = cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}). \ end {выравнивается}} }

Сложение трех результатов вместе и возвращение их в исходный интеграл:

∬ RC s (x, t) dxdt = - ∫ xi - ctixi + ctig (x) dx + cu (xi, ti) - cf (xi + cti) + cu (xi, ti) - cf (xi - cti) знак равно 2 cu (xi, ti) - cf (xi + cti) - cf (xi - cti) - ∫ xi - ctixi + ctig (x) dx {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ iint _ {R_ { C}} s (x, t) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} t = - \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ { i}} g (x) \, \ mathrm {d} x + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) \\ = 2cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) - \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ iint _ {R_ {C}} s (x, t) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} t = - \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x + cu (x_ { i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) + cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) \\ = 2cu (x_ {i}, t_ {i}) - cf (x_ {i} + ct_ {i}) - cf (x_ {i} -ct_ {i}) - \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x \ end {align}}}

Решение относительно u (x i, t i) получаем

u (xi, ti) = f (xi + cti) + f (xi - cti) 2 + 1 2 c ∫ xi - ctixi + ctig (x) dx + 1 2 c ∫ 0 ti ∫ xi - c (ti - t) xi + c (ti - t) s (x, t) dxdt. {\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {i}) = {\ frac {f (x_ {i} + ct_ {i}) + f (x_ {i} -ct_ {i})} {2}} + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ {x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x + { \ frac {1} {2c}} \ int _ {0} ^ {t_ {i}} \ int _ {x_ {i} -c \ left (t_ {i} -t \ right)} ^ {x_ {i } + c \ left (t_ {i} -t \ right)} s (x, t) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} t.}{\ displaystyle u (x_ {i}, t_ {i}) = {\ frac {f (x_ {i} + ct_ {i}) + f (x_ {i} -ct_ {i})} {2}} + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {x_ {i} -ct_ {i}} ^ { x_ {i} + ct_ {i}} g (x) \, \ mathrm {d} x + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {0} ^ {t_ {i}} \ int _ {x_ {i} -c \ left (t_ {i} -t \ right)} ^ {x_ {i} + c \ left (t_ {i} -t \ right)} s (x, t) \, \ mathrm { d} х \, \ mathrm {d} t.}

В последнем уравнении последовательности, границы интеграла по функции источника указаны в явном виде. Глядя на это решение, которое действительно для всех вариантов (x i, t i), совместимых с волновым уравнением, становится ясно, что первые два члена - это просто формула Даламбера, как указано выше, как решение однородного волнового уравнения в одномерном пространстве. Разница в третьем члене, интеграле по источнику.

Другие системы координат

В трех измерениях волновое уравнение, записанное в эллиптических цилиндрических координатах, может быть решено путем разделения переменных, что приводит к Дифференциальное уравнение Матье.

Дополнительные обобщения

Упругие волны

Уравнение упругих волн (также известное как уравнение Навье – Коши ) в трех измерениях описывает распространение волн в изотропной однородной эластичной среде. Большинство твердых материалов эластичны, поэтому это уравнение описывает такие явления, как сейсмические волны в земных и ультразвуковых волнах, используемых для обнаружения дефектов в материалах. Хотя это уравнение является линейным, оно имеет более сложную форму, чем приведенные выше уравнения, поскольку оно должно учитывать как продольное, так и поперечное движение:

ρ u ¨ = f + (λ + 2 μ) ∇ (∇ ⋅ u) - μ ∇ × (∇ × u) {\ displaystyle \ rho {\ ddot {\ mathbf {u}}} = \ mathbf {f} + (\ lambda +2 \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) - \ mu \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {u})}{\ displaystyle \ rho {\ ddot {\ mathbf {u}}} = \ mathbf {f} + (\ lambda +2 \ mu) \ набла (\ наб la \ cdot \ mathbf {u}) - \ mu \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {u})}

где:

  • λ и μ - так называемые параметры Ламе, описывающие упругие свойства среды,
  • ρ - плотность,
  • f- функция источника (движущая сила),
  • и u - вектор смещения.

Используя ∇ × (∇ × u ) = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∇ ⋅ ∇ u = ∇ (∇ ⋅ u ) - ∆ u уравнение упругой волны можно переписать в более общую форму уравнения Навье – Коши.

Обратите внимание, что в уравнении упругой волны и сила, и смещение являются векторными величинами. Таким образом, это уравнение иногда называют векторным волновым уравнением. В помощь пониманию читатель заметит, что если f и ∇ ⋅ u установлены в ноль, это становится (фактически) уравнением Максвелла для распространения электрического поля E, имеющий только поперечные волны.

Дисперсионное соотношение

В дисперсионных волновых явлениях скорость распространения волны зависит от длины волны, которая отражается дисперсионным соотношением

ω = ω (k), {\ displaystyle \ omega = \ omega (\ mathbf {k}),}\ omega = \ omega ({\ mathbf {k}}),

, где ω - угловая частота, а k - волновой вектор, описывающий решения плоской волны. Для световых волн соотношение дисперсии ω = ± c | k |, но в целом постоянная скорость c заменяется переменной фазовой скоростью :

vp = ω (k) k. {\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega (k)} {k}}.}v _ {{\ mathrm {p}}} = {\ frac {\ omega (k)} {k}}.

См. также

Примечания

Литература

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с Волновым уравнением.
Последняя правка сделана 2021-06-20 09:51:41
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте