Корень куба

редактировать

График y = √x. График симметричен относительно начала координат, так как это нечетная функция. При x = 0 этот график имеет вертикальную касательную.

Единичный куб (сторона = 1) и куб с удвоенным объемом (сторона = √2 = 1,2599... OEIS : A002580 ).

В математике кубический корень числа x - это такое число y, что y = x. Все ненулевые действительные числа имеют ровно один действительный кубический корень и пара комплексно сопряженных кубических корней, и все отличные от нуля комплексные числа имеют три различных комплексных кубических корня. Например, действительный кубический корень из 8, обозначенный √ 8 равно 2, потому что 2 = 8, в то время как другие кубические корни 8 равны −1 + √3i и −1 - √3i. Три кубических корня −27i равны

3 i, 3 ​​3 2 - 3 2 я и - 3 3 2 - 3 2 я. {\ displaystyle 3i, \ quad {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} - {\ frac {3} {2}} i, \ quad {\ text {and}} \ quad - {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} - {\ frac {3} {2}} i.}

3i, \ quad {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2} } - {\ frac {3} {2}} i, \ quad {\ text {and}} \ quad - {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} - {\ frac {3} {2}} i.

Операция с корнем куба не распределительный с сложением или вычитанием.

В некоторых контекстах, особенно когда число, кубический корень которого должен быть взят, является реальным оцепенением э., один из кубических корней (в данном конкретном случае действительный) называется главным кубическим корнем и обозначается знаком корня √. Операция кубического корня является ассоциативной с возведением в степень и распределительной с умножением и делением, если рассматриваются только действительные числа, но не всегда, если рассматриваются комплексные числа: например, куб любого кубического корня из 8 равен 8, но три кубических корня из 8 равны 8, −4 + 4i√3 и −4 - 4i√3.

Содержание

1 Формальное определение
2 Свойства
- 2.1 Действительные числа
- 2.2 Комплексные числа
3 Невозможность построения циркуля и линейки
4 Численные методы
5 Внешний вид в решениях уравнений третьей и четвертой степени
6 История
7 См. также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Формальное определение

Кубические корни числа x являются числа y, которые удовлетворяют уравнению

y 3 = x. {\ displaystyle y ^ {3} = x. \}

y ^ { 3} = x. \

Свойства

Действительные числа

Для любого действительного числа x существует одно действительное число y такое, что y = x. Функция куба увеличивается, поэтому не дает одинаковых результатов для двух разных входов, плюс она охватывает все действительные числа. Другими словами, это взаимно однозначное соответствие. Затем мы можем определить обратную функцию, которая также взаимно однозначна. Для действительных чисел мы можем определить уникальный кубический корень из всех действительных чисел. Если используется это определение, кубический корень отрицательного числа является отрицательным числом.

Три кубических корня из 1

Если x и y могут быть сложными, тогда есть три решения (если x не равно нулю), и поэтому x имеет три кубических корня. Действительное число имеет один действительный кубический корень и два дополнительных кубических корня, которые образуют комплексно-сопряженную пару. Например, кубические корни 1 равны:

1, - 1 2 + 3 2 i, - 1 2 - 3 2 i. {\ displaystyle 1, \ quad - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i, \ quad - {\ frac {1} {2}} - { \ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}

{\ displaystyle 1, \ quad - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i, \ quad - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}

Последние два из этих корней определяют связь между всеми корнями любого действительного или комплексного числа. Если число представляет собой один кубический корень определенного действительного или комплексного числа, два других кубических корня можно найти, умножив этот кубический корень на один или другой из двух комплексных кубических корней из 1.

Комплексные числа

Построение комплексного корня куба вместе с двумя его дополнительными листами. На первом изображении показана основная ветвь, описанная в тексте.

Риманова поверхность корня куба. Можно увидеть, как все три листа подходят друг к другу.

Для комплексных чисел главный корень куба обычно определяется как корень куба, имеющий наибольшую действительную часть, или, что то же самое, корень куба, аргумент имеет наименьшее абсолютное значение. Он связан с главным значением натурального логарифма формулой

x 1 3 = exp ⁡ (1 3 ln ⁡ x). {\ displaystyle x ^ {\ frac {1} {3}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {3}} \ ln {x} \ right).}

{\ displaystyle x ^ {\ frac {1} {3}} = \ exp \ left ({\ frac {1} { 3}} \ ln {x} \ right).}

Если мы запишем x как

x = r exp ⁡ (i θ) {\ displaystyle x = r \ exp (i \ theta) \,}

x = r \ exp (i \ theta) \,

, где r - неотрицательное действительное число, а θ лежит в диапазоне

- π < θ ≤ π {\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }

- \ pi <\ theta \ leq \ pi

тогда главный комплексный корень куба равен

x 3 = r 3 exp ⁡ (i θ 3). {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} \ right).}

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ sqrt [{3}] {r }} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} \ right).}

Это означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень из радиуса и делим полярный угол на три, чтобы определить кубический корень. Согласно этому определению, главный кубический корень отрицательного числа является комплексным числом, и, например, √ − 8 будет не −2, а скорее 1 + i√3.

Эту трудность также можно решить, рассматривая корень куба как многозначную функцию : если мы запишем исходное комплексное число x в трех эквивалентных формах, а именно

x = {r exp ⁡ (я θ), г ехр ⁡ (я θ + 2 я π), г ехр ⁡ (я θ - 2 я π). {\ displaystyle x = {\ begin {case} r \ exp (i \ theta), \\ [3px] r \ exp (i \ theta + 2i \ pi), \\ [3px] r \ exp (i \ theta -2i \ pi). \ End {ases}}}

{\ displaystyle x = {\ begin {case} r \ exp (i \ theta), \\ [3px] r \ exp (i \ theta + 2i \ pi), \\ [3px] r \ exp (i \ theta -2i \ pi). \ End {ases}}}

Геометрическое представление корней 2–6-го комплексного числа z в полярной форме re, где r = | z | и φ = arg z. Если z вещественное число, φ = 0 или π. Главные корни показаны черным.

Тогда главные комплексные кубические корни этих трех форм равны соответственно

x 3 = {r 3 exp ⁡ (i θ 3), r 3 exp ⁡ (i θ 3 + 2 i π 3), r 3 ехр ⁡ (i θ 3 - 2 i π 3). {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ begin {case} {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3} } \ right), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} + {\ frac {2i \ pi} {3}} \ справа), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} - {\ frac {2i \ pi} {3}} \ right). \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ begin {cases} {\ sqrt [{3}] { r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} \ right), \\ { \ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} + {\ frac {2i \ pi} {3}} \ right), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} - {\ frac {2i \ pi} {3}} \ right). \ End {cases}}}

Если x = 0, эти три комплексных числа различны, даже если три представления x были эквивалентны. Например, √ − 8 может быть вычислено как −2, 1 + i√3 или 1 - i√3.

Это связано с концепцией монодромии : если следовать по непрерывности корень функционального куба по замкнутой траектории вокруг нуля, после поворота значение кубический корень умножается (или делится) на $e 2 i π / 3. {\ displaystyle e ^ {2i \ pi / 3}.}$ ${\ displaystyle e ^ {2i \ pi /3}.}$

Невозможность построения циркуля и линейки

Кубические корни возникают в задаче нахождения угла, мера которого составляет одну треть от заданной угол (трисекция угла ) и в задаче поиска ребра куба, объем которого вдвое больше, чем у куба с данным ребром (удвоение куба ). В 1837 г. Пьер Ванцель доказал, что ни одно из этих действий не может быть выполнено с помощью конструкции циркуля и линейки.

Численные методы

Метод Ньютона является итерационным методом, который можно использовать для вычисления кубического корня. Для вещественных чисел с плавающей запятой этот метод сводится к следующему итерационному алгоритму для последовательного получения более точных приближений кубического корня из a:

x n + 1 = 1 3 (a x n 2 + 2 x n). {\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {a} {x_ {n} ^ {2}}} + 2x_ {n} \ right).}

x _ {{n + 1}} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {a} {x_ {n} ^ {2}}} + 2x_ {n} \ right).

Метод просто усредняет три фактора, выбранных таким образом, что

xn × xn × axn 2 = a {\ displaystyle x_ {n} \ times x_ {n} \ times {\ frac {a} {x_ {n} ^ {2}}} = a}

x_ {n} \ times x_ {n} \ times {\ frac {a} {x_ {n} ^ {2}}} = a

на каждой итерации.

Метод Галлея улучшает это за счет алгоритма, который сходится быстрее с каждым шагом, хотя и требует большего количества операций умножения:

x n + 1 = x n (x n 3 + 2 a 2 x n 3 + a). {\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} \ left ({\ frac {x_ {n} ^ {3} + 2a} {2x_ {n} ^ {3} + a}} \ right).}

x _ {{n + 1}} = x_ {n} \ left ({\ frac {x_ {n} ^ {3} + 2a} {2x_ {n} ^ {3} + a}} \ right).

В любом из этих методов плохое начальное приближение x 0 может дать очень низкую производительность алгоритма, а получение хорошего начального приближения - своего рода чёрное искусство. Некоторые реализации манипулируют битами экспоненты числа с плавающей запятой; т.е. они приходят к начальному приближению путем деления показателя степени на 3.

Появление в решениях уравнений третьей и четвертой степени

Кубические уравнения, которые являются полиномиальными уравнениями Третья степень (что означает, что наибольшая степень неизвестного равна 3) всегда может быть решена для их трех решений в терминах кубических корней и квадратных корней (хотя более простые выражения только в терминах квадратных корней существуют для всех трех решений, если хотя бы одно из это рациональное число ). Если два решения являются комплексными числами, тогда все три выражения решения включают вещественный кубический корень действительного числа, а если все три решения являются действительными числами, то они могут быть выражены в терминах комплексного кубического корня комплексного число.

Уравнения четвертой степени также могут быть решены в терминах кубических корней и квадратных корней.

История

Вычисление кубических корней можно проследить до вавилонских математиков еще с 1800 года до нашей эры. В четвертом веке до нашей эры Платон поставил задачу удвоения куба, что потребовало построения ребра куба с помощью циркуля и линейки. с удвоенным объемом данного куба; для этого потребовалось построить, как теперь известно, невозможно, длины √2.

Метод извлечения кубических корней представлен в Девяти главах математического искусства, китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэй в 3 веке нашей эры. Греческий математик Герой Александрии разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. Его формула снова упоминается Евтокиосом в комментарии к Архимеду. В 499 г. н.э. Арьябхата, математик - астроном из классической эпохи индийской математики и индийской астрономии, предоставил метод нахождения кубического корня из чисел, состоящих из многих цифр, в Арьябхатия (раздел 2.5).