Войти
A топологический солитон или «торон» возникает, когда две смежные структуры или пространства каким-либо образом находятся «не совпадают по фазе» друг с другом, что делает невозможным плавный переход между ними. Один из простейших и наиболее распространенных примеров топологического солитона встречается в старомодных спиральных телефонных шнурах телефонных трубок, которые обычно наматываются по часовой стрелке. Годы взятия трубки в руки могут привести к тому, что части шнура будут наматываться в противоположном направлении против часовой стрелки, и когда это произойдет, будет характерная большая петля, разделяющая два направления наматывания. Эта странно выглядящая петля перехода, которая не вращается ни по часовой, ни против часовой стрелки, является отличным примером топологического солитона. Независимо от того, насколько сложен контекст, все, что квалифицируется как топологический солитон, должно на каком-то уровне демонстрировать ту же простую проблему согласования, что и в примере скрученного телефонного кабеля.
Топологические солитоны легко возникают при создании кристаллических полупроводников, используемых в современной электронике, и в этом контексте их эффекты почти всегда вредны. По этой причине такие кристаллические переходы называются топологическими дефектами . Однако эта в основном твердотельная терминология отвлекает от богатых и интригующих математических свойств таких граничных областей. Таким образом, для большинства нетвердотельных контекстов предпочтительнее более позитивная и математически богатая фраза «топологический солитон».
Более подробное обсуждение топологических солитонов и связанных тем приведено ниже.
В математике и физике топологический солитон или топологический дефект является решением системы уравнения в частных производных или квантовой теории поля , гомотопически отличные от вакуумного решения.
существование топологического дефекта может быть продемонстрировал всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит из-за того, что граница, на которой заданы условия , имеет нетривиальную гомотопическую группу, которая сохраняется в дифференциальных уравнениях ; тогда решения дифференциальных уравнений топологически различны и классифицируются по их гомотопическому классу. Топологические дефекты не только устойчивы к небольшим возмущениям, но и не могут распадаться, устраняться или распутываться именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отобразит их (гомотопически) в однородный или «тривиальный» решение.
Топологические дефекты возникают в уравнениях в частных производных и, как полагают, вызывают фазовые переходы в физике конденсированного состояния.
Подлинность топологического дефекта зависит от природы вакуума, в который система будет стремиться, если истечет бесконечное время; ложные и истинные топологические дефекты можно различить, если дефект находится в ложном вакууме и истинном вакууме, соответственно.
Примеры включают солитон или уединенную волну, которая возникает в точно решаемых моделях, таких как
Топологические дефекты в лямбда-переходах системы классов универсальности, включая:
Топологические дефекты космологического типа - это явления чрезвычайно высоких энергий, которые, как считается, нецелесообразно вызывать в физических экспериментах, связанных с Землей. Топологические дефекты, возникшие при формировании Вселенной, теоретически можно наблюдать без значительных затрат энергии.
Согласно теории Большого взрыва, Вселенная охлаждается из начального горячего плотного состояния, вызывая серию фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах с конденсированной материей, таких как как сверхпроводники. Некоторые теории великого объединения предсказывают образование устойчивых топологических дефектов в ранней Вселенной во время этих фазовых переходов.
Считается, что в зависимости от природы нарушения симметрии в ранней Вселенной в соответствии с механизмом Киббла-Зурека. Хорошо известными топологическими дефектами являются:
Также возможны другие более сложные гибриды этих типов дефектов.
По мере того, как Вселенная расширялась и остывала, симметрии законов физики начали нарушаться в областях, которые распространяются со скоростью скорости света ; топологические дефекты возникают на границах прилегающих областей. Вещество, составляющее эти границы, находится в упорядоченной фазе, которая сохраняется после завершения фазового перехода в неупорядоченную фазу для окружающих областей.
Также были обнаружены дефекты в биохимии, особенно в процессе сворачивания белка.
Упорядоченный носитель определяется как область пространства, описываемая функцией f (r), которая присваивает каждой точке в области параметр порядка, а возможные значения пространства параметров порядка составляют пространство параметров порядка. Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, стабильности и классификации топологических дефектов в этой среде.
Предположим, R - параметр порядка. пространство для среды, и пусть G - группа Ли преобразований на R. Пусть H - подгруппа симметрии G для среды. Тогда пространство параметров порядка можно записать как фактор-группу Ли R = G / H.
Если G является универсальным покрытием для G / H, то можно показать, что π n (G / H) = π n − 1 (H), где π i обозначает i-ю гомотопическую группу.
Различные типы дефектов в среде могут быть охарактеризованы элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка.. Например, (в трех измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π 1 (R), точечные дефекты соответствуют элементам π 2 (R), текстуры соответствуют элементам π 3 (R). Однако дефекты, которые принадлежат к одному и тому же классу сопряженности π 1 (R), могут непрерывно деформироваться относительно друг друга, и, следовательно, отдельные дефекты соответствуют разным классам сопряженности.
Поэнару и Тулуза показали, что перекрестные дефекты запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π 1 (R).
Топологические дефекты не наблюдались астрономами; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы доменные границы и монополи присутствовали в наблюдаемой Вселенной, они бы привели к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.
Из-за этих наблюдений образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено, что требует особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, космические струны были предложены как обеспечивающие начальную «зародышевую» гравитацию, вокруг которой конденсировалась крупномасштабная структура космоса материи. Текстуры также безобидны. В конце 2007 года холодное пятно в космическом микроволновом фоне предоставило доказательства возможной текстуры.
Классы стабильных дефектов в двуосных нематиках В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественные условия для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. Топологические методы использовались в ряде задач теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуза использовали топологические методы для получения условия для линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Это было нетривиальное применение топологии, которое впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в A-фазе сверхтекучего гелия -3.
Теория гомотопии глубоко связана со стабильностью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь можно непрерывно деформировать в одну точку, дефект не является устойчивым, а в противном случае - устойчивым.
В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированной среде наблюдались экспериментально. Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. нематик и биаксиальный нематик жидкие кристаллы демонстрируют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. Д.
Статическое решение 
в (1 + 1) -мерном пространстве-времени. 
Солитон и антисолитон, сталкивающиеся со скоростями ± sh (0,05) и аннигилирующие. 