Модель Весса – Зумино – Виттена

В теоретической физике и математике, а Весс –Зумино – Виттен (WZW ) модель, также называемая моделью Весса – Зумино – Новикова – Виттена, является разновидностью двух -мерная конформная теория поля имени Юлиуса Весса, Бруно Зумино, Сергея Новикова и Эдварда Виттена. Модель WZW связана с группой Ли (или супергруппой ), а ее алгебра симметрий - это аффинная алгебра Ли, построенная на основе соответствующей алгебры Ли. (или супералгебра Ли ). В более широком смысле, название WZW-модель иногда используется для любой конформной теории поля, алгебра симметрий которой является аффинной алгеброй Ли.

• 1 Действие
  • 1.1 Определение
  • 1.2 Топологические свойства члена Весса – Зумино
  • 1.3 Геометрическая интерпретация члена Весса – Зумино
• 2 Алгебра симметрии
  • 2.1 Обобщенная групповая симметрия
  • 2.2 Аффинная алгебра Ли
  • 2.3 Конструкция Сугавары
• 3 Спектр
  • 3.1 Модели WZW с компактные односвязные группы
  • 3.2 Модели WZW с другими типами групп
  • 3.3 Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли
• 4 Поля и корреляционные функции
  • 4.1 Поля
  • 4.2 Корреляционные функции
• 5 Измеренные модели WZW
• 6 Применения
• 7 Ссылки

Определение

Для $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$a Римановая поверхность, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$a группа Ли и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$(обычно комплексное) число, давайте определим $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-WZW модель на $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$на уровне $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$. Модель представляет собой нелинейную сигма-модель, действие которой является функционалом поля $\gamma :\; \Sigma \; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; to\; G\}$:

$S\; k\; (\gamma )\; =\; -\; k\; 8\; \pi \; \int \; \Sigma \; d\; 2\; x\; K\; (\gamma \; -\; 1\; \partial \; \mu \; \gamma ,\; \gamma \; -\; 1\; \partial \; \mu \; \gamma )\; +\; 2\; \pi \; k\; SWZ\; (\gamma ).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{8\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; d\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash ,\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; gamma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; gamma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; gamma\; \backslash \; right)\; +2\; \backslash \; pi\; kS\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{W\}\; Z\}\; (\backslash \; gamma).\}$

Здесь $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$оснащен плоской евклидовой метрикой, $\partial \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; частичное\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$- это частная производная, а $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\}$- Форма убийства на алгебре Ли из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Член Весса – Зумино действия равен

$SWZ\; (\gamma )\; =\; -\; 1\; 48\; \pi \; 2\; \int \; B\; 3\; d\; 3\; y\; ϵ\; ijk\; K\; (\gamma \; -\; 1\; \partial \; i\; \gamma ,\; [\gamma \; -\; 1\; \partial \; j\; \gamma ,\; \gamma \; -\; 1\; \partial \; k\; \gamma ]).\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{W\}\; Z\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{48\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash ,\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{ijk\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; gamma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{i\}\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; left\; [\backslash \; gamma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{j\}\; \backslash \; gamma,\; \backslash \; gamma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{k\}\; \backslash \; gamma\; \backslash \; right]\; \backslash \; right).\}$

Здесь $ϵ\; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{ijk\}\}$- полностью антисимметричный тензор , а $[.,.\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [.,.]\}$- это скобка Ли. Член Весса – Зумино представляет собой интеграл по трехмерному многообразию $B\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}\}$с границей $\partial \; B\; 3\; =\; \Sigma \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; Sigma\}$.

Топологические свойства члена Весса – Зумино

Чтобы термин Весса – Зумино имел смысл, нам нужно поле $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, чтобы иметь расширение до $B\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}\}$. Для этого требуется, чтобы гомотопическая группа $\pi \; 2\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; (G)\}$была тривиальной, что, в частности, имеет место для любого компактная группа Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

Расширение заданного $\gamma :\; \Sigma \; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; to\; G\}$до $B\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}\}$, как правило, не уникален. Чтобы модель WZW была четко определена, $ei\; S\; k\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{iS\_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\}\}$не должно зависеть от выбора расширения.. Член Весса – Зумино инвариантен относительно малых деформаций $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$и зависит только от его гомотопического класса. Возможные гомотопические классы контролируются гомотопической группой $\pi \; 3\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{3\}\; (G)\}$.

Для любой компактной связной простой группы Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, у нас есть $\pi \; 3\; (G)\; =\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{3\}\; (G)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$и различные расширения $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$приводит к значениям $SWZ\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{W\}\; Z\}\; (\backslash \; gamma)\}$которые различаются целыми числами. Следовательно, они приводят к одному и тому же значению $ei\; S\; k\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{iS\_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\}\}$при условии, что уровень соответствует

$k\; \in \; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$

Целочисленные значения уровня также играют важную роль в теории представлений алгебры симметрии модели, которая является аффинной алгеброй Ли. Если уровень является положительным целым числом, аффинная алгебра Ли имеет унитарные представления со старшим весом с наивысшим весами, которые являются доминирующим интегралом. Такие представления разлагаются на конечномерные подпредставления относительно подалгебр, натянутых на каждый простой корень, соответствующий отрицательный корень и их коммутатор, который является генератором Картана.

В случае некомпактного простая группа Ли $SL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, гомотопическая группа $\pi \; 3\; (SL\; (2,\; R))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{3\}\; (\backslash \; mathrm\; \{SL\}\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\}))\}$тривиально, и уровень не ограничивается целым числом.

Геометрическая интерпретация члена Весса – Зумино

Если e a являются базисными векторами для алгебры Ли, то $K\; (ea,\; [eb,\; ec])\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; (e\_\; \{a\},\; [e\_\; \{b\},\; e\_\; \{c\}])\}$- структурные константы алгебры Ли. Структурные константы полностью антисимметричны, и поэтому они определяют 3-форму на групповом многообразии группы G. Таким образом, подынтегральное выражение выше - это просто откат гармонической 3-формы к шару $B\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}.\}$Обозначение гармонической 3-формы через c и откат через $\gamma \; \ast ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ^\; \{*\},\}$тогда

$SWZ\; (\gamma )\; =\; \int \; B\; 3\; \gamma \; \ast \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{W\}\; Z\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{3\}\}\; \backslash \; gamma\; ^\; \{*\}\; c.\}$

Эта форма ведет непосредственно к топологический анализ члена WZ.

Геометрически этот термин описывает кручение соответствующего коллектора. Наличие этого кручения вызывает телепараллельность многообразия и, таким образом, тривиализацию тензора кривизны кручения ; и, следовательно, остановка потока перенормировки, инфракрасная фиксированная точка ренормализационной группы, явление, называемое геометростазом .

Обобщенная групповая симметрия

Модель Весса-Зумино-Виттена не только симметрична относительно глобальных преобразований элементом группы в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, но также имеет гораздо более богатую симметрию. Эту симметрию часто называют симметрией $G\; (z)\; \times \; G\; (z\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\; \backslash \; times\; G\; (\{\backslash \; bar\; \{z\}\})\}$. А именно, для любой голоморфной $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-значной функции $\Omega \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (z)\}$и любой другой ( полностью независима от $\Omega \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (z)\}$) антиголоморфной $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-значной функции $\Omega \; ¯\; (z\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Omega\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{z\}\})\}$, где мы определили $z\; =\; x\; +\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; x\; +\; iy\}$и $z\; ¯\; =\; x\; -\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; =\; x-iy\}$в координатах евклидова пространства $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$, выполняется следующая симметрия:

$S\; k\; (\gamma )\; =\; S\; k\; (\Omega \; \gamma \; \Omega \; ¯\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{k\}\; (\backslash \; gamma)\; =\; S\_\; \{k\}\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; gamma\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; Omega\}\}\; ^\; \{-\; 1\})\}$

Одним из способов доказать существование этой симметрии является повторное применение тождества Полякова-Вигмана относительно произведения из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$-значных полей:

$S\; k\; (\alpha \; \beta \; -\; 1)\; =\; S\; k\; (\alpha )\; +\; S\; k\; (\beta )\; +\; k\; 16\; \pi \; 2\; \int \; d\; 2\; x\; Tr\; (\alpha \; -\; 1\; \partial \; Z\; ¯\; \alpha \; \beta \; -\; 1\; \partial \; Z\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{k\}\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; S\_\; \{k\}\; (\backslash \; alpha)\; +\; S\_\; \{k\}\; (\backslash \; beta)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{16\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{2\}\; x\; \{\backslash \; textrm\; \{Tr\}\}\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\}\; \backslash \; beta)\}$

Голоморфный и антиголоморфный токи $J\; (z)\; =\; -\; 1\; 2\; k\; (\partial \; z\; \gamma )\; \gamma \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (z)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; k\; (\backslash \; partial\; \_\; \{z\}\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; gamma\; ^\; \{-\; 1\}\}$и $J\; ¯\; (z\; ¯)\; =\; -\; 1\; 2\; К\; \gamma \; -\; 1\; \partial \; Z\; ¯\; \gamma \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{J\}\}\; (\{\backslash \; bar\; \{z\}\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; k\; \backslash \; gamma\; ^\; \{\; -1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; \backslash \; gamma\}$- это сохраняющиеся токи, связанные с этой симметрией. Особое поведение продуктов этих токов с другими квантовыми полями определяет, как эти поля трансформируются при бесконечно малых действиях $G\; (z)\; \times \; G\; (z\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (z)\; \backslash \; times\; G\; (\{\backslash \; bar\; \{z\}\})\}$группа.

Аффинная алгебра Ли

Пусть $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$будет локальной комплексной координатой на $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$, $\{ta\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{t\; ^\; \{a\}\; \backslash \}\}$ортонормированный базис (относительно формы Киллинга ) алгебры Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и $J\; a\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{a\}\; (z)\}$квантование поля $K\; (ta,\; \partial \; zgg\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; (t\; ^\; \{a\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\}\; gg\; ^\; \{-\; 1\})\}$. У нас есть следующее операторное разложение :

$J\; a\; (z)\; J\; b\; (w)\; =\; k\; \delta \; ab\; (z\; -\; w)\; 2\; +\; ifcab\; J\; c\; (w)\; z\; -\; w\; +\; O\; (1),\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; J\; ^\; \{a\}\; (z)\; J\; ^\; \{b\}\; (w)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \backslash \; delta\; ^\; \{ab\}\}\; \{(zw)\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{if\_\; \{c\}\; ^\; \{ab\}\; J\; ^\; \{c\}\; (w)\}\; \{zw\}\}\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (1),\}$

где $fcab\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{c\}\; ^\; \{ab\}\}$- это коэффициенты, такие что $[ta,\; tb]\; =\; fcabtc\; \{\backslash \; displaystyle\; [t\; ^\; \{a\},\; t\; ^\; \{b\}]\; =\; f\_\; \{c\}\; ^\; \{ab\}\; t\; ^\; \{c\; \}\}$. Эквивалентно, если $J\; a\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{a\}\; (z)\}$раскрывается в режимах

$J\; a\; (z)\; =\; \sum \; n\; \in \; ZJ\; naz\; -\; n\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{a\}\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; J\_\; \{n\}\; ^\; \{a\}\; z\; ^\; \{-\; n-1\},\}$

затем текущая алгебра, сгенерированная $\{J\; na\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{J\_\; \{n\}\; ^\; \{a\}\; \backslash \}\}$- это аффинная алгебра Ли связанный с алгеброй Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, с уровнем, который совпадает с уровнем $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$модели WZW. Если $g\; =\; L\; ie\; (G)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Lie\}\; (G)\}$, обозначение аффинной алгебры Ли будет $g\; ^\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}\; \_\; \{k\}\}$. Коммутационные соотношения аффинной алгебры Ли следующие:

$[J\; n\; a,\; J\; m\; b]\; =\; f\; c\; a\; b\; J\; m\; +\; n\; c\; +\; k\; n\; \delta \; a\; b\; \delta \; n\; +\; m,\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [J\_\; \{n\}\; ^\; \{a\},\; J\_\; \{m\}\; ^\; \{b\}]\; =\; f\_\; \{c\}\; ^\; \{ab\}\; J\_\; \{m\; +\; n\}\; ^\; \{c\}\; +\; kn\; \backslash \; delta\; ^\; \{ab\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\; +\; m,\; 0\}.\}$

Эта аффинная алгебра Ли является алгеброй киральной симметрии, связанной с токами, движущимися влево $K\; (ta,\; \partial \; zgg\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\; \}\}\; (t\; ^\; \{a\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{z\}\; gg\; ^\; \{-\; 1\})\}$. Вторая копия той же аффинной алгебры Ли связана с токами, движущимися вправо $K\; (ta,\; g\; -\; 1\; \partial \; z\; ¯\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; (t\; ^\; \{a\},\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; bar\; \{z\}\}\; g)\}$. Генераторы $J\; ¯\; a\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{J\}\}\; ^\; \{a\}\; (z)\}$этой второй копии антиголоморфны. Полная алгебра симметрий модели WZW является произведением двух копий аффинной алгебры Ли.

Конструкция Сугавары

Конструкция Сугавары - это вложение алгебры Вирасоро в универсальную обертывающую алгебру аффинной алгебры Ли. Существование вложения показывает, что модели WZW являются конформными теориями поля. Более того, это приводит к уравнениям Книжника-Замолодчикова для корреляционных функций.

Конструкция Сугавары наиболее кратко записана на уровне токов: $J\; a\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{a\}\; (z)\}$для аффинной лжи. алгебры и тензор энергии-импульса $T\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (z)\}$для алгебры Вирасоро:

$T\; (z)\; =\; 1\; 2\; (К\; +\; час\; \vee )\; \sum \; a:\; J\; a\; J\; a:\; (z),\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; (k\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; vee\})\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; a\}:\; J\; ^\; \{a\}\; J\; ^\; \{a\}\; :(\; z),\}$

где $:\; \{\backslash \; displaystyle:\}$обозначает нормальный порядок, а $h\; \vee \; \{\; \backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\backslash \; vee\}\}$- это двойное число Кокстера. Используя OPE токов и версию теоремы Вика, можно сделать вывод, что OPE $T\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (z)\}$с самим собой определяется как

$T\; (y)\; T\; (z)\; =\; c\; 2\; (y\; -\; z)\; 4\; +\; 2\; T\; (z)\; (y\; -\; z)\; 2\; +\; \partial \; T\; (z)\; y\; -\; z\; +\; О\; (1),\; \{\backslash \; Displaystyle\; T\; (y)\; T\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\}\}\; \{(yz)\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2T\; (z)\}\; \{(yz)\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\; (z)\}\; \{yz\}\}\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (1),\}$

что эквивалентно коммутации алгебры Вирасоро связи. Центральный заряд алгебры Вирасоро задается в терминах уровня $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$аффинной алгебры Ли как

$c\; =\; k\; d\; i\; m\; (g)\; k\; +\; h\; \vee .\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \backslash \; mathrm\; \{dim\}\; (\{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\})\}\; \{k\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; vee\}\}\}.\}$

На уровне генераторов аффинного Алгебра Ли, конструкция Сугавары гласит:

$L\; n\; \ne \; 0\; =\; 1\; 2\; (k\; +\; h\; \vee )\; \sum \; a\; \sum \; m\; \in \; ZJ\; n\; -\; ma\; J\; ma,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\; \backslash \; neq\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\; (k\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; vee\})\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{a\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; J\_\; \{nm\}\; ^\; \{a\}\; J\_\; \{m\}\; ^\; \{a\; \},\}$

$L\; 0\; =\; 1\; 2\; (k\; +\; h)\; (2\; \sum \; a\; m\; =\; 1\; \infty \; J\; -\; ma\; J\; ma\; +\; J\; a\; 0\; J\; a\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; (k\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; vee\})\}\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; sum\; \_\; \{a\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; J\; \_\; \{-\; m\}\; ^\; \{a\}\; J\_\; \{m\}\; ^\; \{a\}\; +\; J\_\; \{a\}\; ^\; \{0\}\; J\_\; \{a\}\; ^\; \{0\}\; \backslash \; right).\}$

где генераторы $L\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\}$алгебры Вирасоро - это моды тензора энергии-импульса, $T\; (z)\; =\; \sum \; n\; \in \; ZL\; nz\; -\; n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; L\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{-\; n-2\}\}$.

Модели WZW с компактными односвязными группами

Если группа Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$компактна и односвязна, то модель WZW рациональна и диагональна: рациональна, потому что спектр строится из (зависящего от уровня) конечное множество неприводимых представлений аффинной алгебры Ли, называемое интегрируемыми представлениями со старшим весом, и диагональным, поскольку представление алгебры, движущейся влево, связано с тем же представлением алгебры, движущейся вправо.

Например, спектр $SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (2)\}$WZ Модель W на уровне $k\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$равна

$S\; k\; =\; ⨁\; j\; =\; 0,\; 1\; 2,\; 1,\dots ,\; k\; 2\; R\; j\; \otimes \; р\; ¯\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; bigoplus\; \_\; \{j\; =\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; 1,\; \backslash \; dots,\; \{\backslash \; frac\; \{k\; \}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; otimes\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathcal\; \{R\}\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\}$

где $R\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{R\}\}\; \_\; \{j\}\}$- это аффинное представление с наибольшим весом для спина $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$: представление, созданное состоянием $|\; v⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; v\; \backslash \; rangle\}$так, что

, где $J\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{-\}\}$- текущий который соответствует генератору $t\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; ^\; \{-\}\}$алгебры Ли $SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (2)\}$.

WZW-моделей с другими типами групп

Если группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$компактна, но не односвязна, модель WZW является рациональной, но не обязательно диагональной. Например, $SO\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; SO\; (3)\}$WZW-модель существует для четных целочисленных уровней $k\; \in \; 2\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; 2\; \backslash \; mathbb\; \{N\; \}\}$, и его спектр представляет собой недиагональную комбинацию конечного числа интегрируемых представлений со старшим весом.

Если группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$не компактна, модель WZW нерациональна. Более того, его спектр может включать в себя представления не самого высокого веса. Например, спектр модели $SL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; SL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$WZW построен из представлений с наибольшим весом плюс их изображения под автоморфизмы спектрального потока аффинной алгебры Ли.

Если $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является супергруппой, спектр может включать представления, которые не факторизуются как тензорные произведения представлений алгебр симметрий, движущихся влево и вправо. Это происходит, например, в случае $G\; =\; GL\; (1\; |\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; GL\; (1\; |\; 1)\}$, а также в более сложных супергруппах, таких как $G\; =\; БП\; (1,\; 1\; |\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; =\; БП\; (1,1\; |\; 2)\}$. Нефакторизуемые представления ответственны за тот факт, что соответствующие модели WZW являются логарифмическими конформными теориями поля.

Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли

Известные конформные теории поля, основанные на аффинных алгебрах Ли, не являются ограничено моделями WZW. Например, в случае аффинной алгебры Ли модели $SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (2)\}$WZW модульные инвариантные функции разбиения тора подчиняются классификации ADE, где $SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (2)\}$Модель WZW предназначена только для серии A. Серия D соответствует модели $S\; O\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; SO\; (3)\}$WZW, а серия E не соответствует ни одной модели WZW.

Другой пример - модель $H\; 3\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; ^\; \{+\}\}$. Эта модель основана на той же алгебре симметрии, что и модель $SL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; SL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$WZW, с которой она связана Виком вращение. Однако $H\; 3\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; ^\; \{+\}\}$, строго говоря, не является моделью WZW, поскольку $H\; 3\; +\; =\; SL\; (2,\; C)\; /\; SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; ^\; \{+\}\; =\; SL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; /\; SU\; (2)\}$не группа, а смежный класс.

Поля

Дано простое представление $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$алгебры Ли из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, аффинное первичное поле $\Phi \; \rho \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; (z)\}$- это поле, которое принимает значения в пространстве представления $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$, такое, что

$J\; a\; (y)\; \Phi \; \rho \; (z)\; =\; -\; \rho \; (ta)\; Ф\; \rho \; (z)\; y\; -\; z\; +\; O\; (1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; ^\; \{a\}\; (y)\; \backslash \; Phi\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; (z)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (t\; ^\; \{a\})\; \backslash \; Phi\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; (z)\}\; \{yz\}\; \}\; +\; O\; (1)\; \backslash .\}$

Аффинное первичное поле также является первичным полем для алгебры Вирасоро, которое является результатом конструкции Сугавары. Конформная размерность аффинного первичного поля дается в терминах квадратичного Казимира $C\; 2\; (\rho )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\; (\backslash \; rho)\}$представления $\rho \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$(т.е. собственное значение квадратичного элемента Казимира $K\; abtatb\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{ab\}\; t\; ^\; \{a\}\; t\; ^\; \{b\}\}$где $K\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{ab\}\}$- это обратная матрица $K\; (ta,\; tb)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{K\}\}\; (t\; ^\; \{a\},\; t\; ^\; \{b\})\}$формы Киллинга) на

$\Delta \; \rho \; =\; C\; 2\; (\rho )\; 2\; (k\; +\; h\; \vee ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\_\; \{2\}\; (\backslash \; rho)\}\; \{2\; (k\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; vee\})\}\}\; \backslash .\}$

Например, в $SU\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; SU\; (2)\}$модель WZW, конформное измерение первичного поля spin $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$равно

$\Delta \; j\; =\; j\; (j\; +\; 1)\; k\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{j\; (j\; +\; 1)\}\; \{k\; +\; 2\}\}\; \backslash .\}$

По соответствию полей состояния аффинные первичные поля соответствуют аффинным первичным состояния, которые являются состояниями наивысшего веса представлений аффинной алгебры Ли со старшим весом.

Корреляционные функции

Если группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$компактна, спектр модели WZW состоит из представлений с наибольшим весом, и все корреляционные функции могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей с помощью тождеств Уорда.

Если риманова поверхность $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$является сферой Римана, корреляционные функции аффинных первичные поля подчиняются уравнениям Книжника-Замолодчикова. На римановых поверхностях высшего рода корреляционные функции подчиняются уравнениям Книжника-Замолодчикова-Бернара, которые включают производные не только от положения полей, но и от модулей поверхности.

Учитывая подгруппу Ли $H\; \subset \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; subset\; G\}$, $G\; /\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; H\}$измеренный WZW модель (или модель смежного класса ) - это нелинейная сигма-модель, целевое пространство которой является частным $G\; /\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; H\}$для сопряженное действие из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$. Эта калиброванная модель WZW представляет собой конформную теорию поля, алгебра симметрий которой является частным из двух аффинных алгебр Ли $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$модели WZW, центральный заряд которых равен разности их центральных зарядов.

Модель WZW, группа Ли которой является универсальным покрытием группы $SL\; (2,\; R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; (\; 2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$использовался Хуаном Малдасена и Хироси Оогури для описания бозонной теории струн на трех -мерное пространство анти-де Ситтера $A\; d\; S\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; AdS\_\; \{3\}\}$. Суперструны на $A\; d\; S\; 3\; \times \; S\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; AdS\_\; \{3\}\; \backslash \; times\; S\; ^\; \{3\}\}$описываются моделью WZW в супергруппе $PSU\; (1,\; 1\; |\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; PSU\; (1,1\; |\; 2)\}$, или его деформация, если включен поток Рамона-Рамона.

Модели WZW и их деформации были предложены для описание перехода на плато в целочисленном квантовом эффекте Холла.

The $SL\; (2,\; R)\; /\; U\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; SL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; /\; U\; (1)\}$калиброванная модель WZW интерпретируется в теории струн как двумерная евклидова черная дыра Виттена. Эта же модель также описывает некоторые двумерные статистические системы при критичности, такие как критическая антиферромагнитная модель Поттса.