Anti-de Sitter space

В математике и физике n-мерное анти -de Пространство Ситтера (AdS n) - это максимально симметричное лоренцево многообразие с постоянной отрицательной скалярной кривизной. Пространства Анти-де-Ситтера и пространство де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессора астрономии Лейденского университета и директора Лейденская обсерватория. Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно работали вместе в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой Вселенной.

Коллекторы с постоянной кривизной наиболее известны в случае двух измерений, когда поверхность сферы представляет собой поверхность постоянной положительной кривизны, плоскую (евклидова ) плоскость - это поверхность постоянной нулевой кривизны, а гиперболическая плоскость - это поверхность постоянной отрицательной кривизны.

Общая теория относительности Эйнштейна ставит пространство и время на равные, так что каждый рассматривает геометрию единого пространства-времени вместо того, чтобы рассматривать пространство и время по отдельности. Случаи пространства-времени постоянной кривизны - это пространство де Ситтера (положительное), пространство Минковского (ноль) и пространство анти-де Ситтера (отрицательное). Таким образом, они являются точными решениями уравнений поля Эйнштейна для пустой вселенной с положительной, нулевой или отрицательной космологической постоянной, соответственно.

Пространство Анти-де-Ситтера обобщается на любое количество пространственных измерений. В более высоких измерениях он наиболее известен своей ролью в соответствии AdS / CFT, которое предполагает, что можно описать силу в квантовой механике (например, электромагнетизм, слабая сила или сильная сила ) в определенном количестве измерений (например, четыре) с теорией струн, где струны существуют в пространстве анти-де Ситтера, с одним дополнительным (некомпактным) измерением.

• 1 Нетехническое объяснение
  • 1.1 Переведенные технические термины
  • 1.2 Пространство-время в общей теории относительности
  • 1.3 Пространство Де Ситтера в общей теории относительности
  • 1.4 Пространство Анти-де Ситтера, отличное от пространства де Ситтера пространство
  • 1.5 Пространство Де Ситтера и пространство анти-де Ситтера, рассматриваемые как встроенные в пять измерений
  • 1.6 Предостережения
• 2 Определение и свойства
  • 2.1 Замкнутые времениподобные кривые и универсальное покрытие
  • 2.2 Симметрии
  • 2.3 Нестабильность
• 3 Координатные пятна
• 4 Как однородное симметричное пространство
• 5 Математическое определение пространства анти-де Ситтера и его свойств
  • 5.1 Глобальные координаты
  • 5.2 Координаты Пуанкаре
  • 5.3 Геометрические свойства
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Это нетехническое объяснение сначала определяет термины, используемые во вводном материале этой записи. Затем в нем кратко излагается основная идея пространства-времени, подобного общей теории относительности. Затем обсуждается, как пространство де Ситтера описывает отдельный вариант обычного пространства-времени общей теории относительности (называемого пространством Минковского), связанный с космологической постоянной, и как пространство анти-де Ситтера отличается от пространства де Ситтера. Это также объясняет, что пространство Минковского, пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера в применении к общей теории относительности можно рассматривать как вложенные в плоское пятимерное пространство-время. Наконец, он предлагает некоторые предостережения, которые в общих чертах описывают, как это нетехническое объяснение не может охватить все детали математической концепции.

Перевод технических терминов

Максимально симметричное лоренцево многообразие - это пространство-время, в котором ни одна точка в пространстве и времени не может быть отделена каким-либо образом от другой, и (будучи лоренцевой) единственным способом, которым направление (или касательное к пути в точке пространства-времени) можно различить в зависимости от того, является ли оно пространственноподобным, светоподобным или времениподобным. Пространство специальной теории относительности (пространство Минковского ) является примером.

A постоянная скалярная кривизна означает гравитационное изгибание пространства-времени по общей теории относительности, имеющее кривизну, описываемую одним числом, которое одинаково везде в пространстве-времени в отсутствие материи или энергии.

Отрицательная кривизна означает гиперболическую кривизну, как поверхность седла или поверхность Рога Габриэля, подобная поверхности трубы колокола. Его можно описать как «противоположность» поверхности сферы, имеющей положительную кривизну.

Пространство-время в общей теории относительности

Общая теория относительности - это теория природы времени, пространства и гравитации, в которой гравитация - это искривление пространства и времени, возникающее в результате наличия материи или энергии. Энергия и масса эквивалентны (как выражено в уравнении E = mc). Значения пространства и времени могут быть преобразованы в единицы времени или пространства путем умножения или деления значения на скорость света (например, секунды, умноженные на метры в секунду, равны метрам).

Распространенная аналогия включает в себя то, что погружение в плоский лист резины, вызванное сидящим на нем тяжелым предметом, влияет на путь, по которому катятся поблизости маленькие объекты, заставляя их отклоняться внутрь от пути, по которому они последовал бы, если бы тяжелый предмет отсутствовал. Конечно, в общей теории относительности и маленькие, и большие объекты взаимно влияют на кривизну пространства-времени.

Сила притяжения гравитации, создаваемая материей, возникает из-за отрицательной кривизны пространства-времени, представленной в аналогии с резиновым листом отрицательно изогнутым (похожим на трубный колокол) углублением в листе.

Ключевой особенностью общей теории относительности является то, что она описывает гравитацию не как обычную силу, подобную электромагнетизму, а как изменение геометрии пространства-времени в результате присутствия материи или энергии.

Приведенная выше аналогия описывает кривизну двумерного пространства, вызванную гравитацией в общей теории относительности, в трехмерном суперпространстве, в котором третье измерение соответствует эффекту гравитации. Геометрический подход к общей теории относительности описывает эффекты гравитации в четырехмерном пространстве реального мира геометрически, проецируя это пространство в пятимерное суперпространство, пятое измерение которого соответствует кривизне в пространстве-времени, создаваемой гравитацией и гравитацией. -подобные эффекты в общей теории относительности.

В результате, в общей теории относительности, знакомое уравнение гравитации Ньютона $F\; =\; G\; m\; 1\; m\; 2\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; F\; =\; G\; \{\backslash \; frac\; \{\; m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \}$(т.е. гравитационное притяжение между двумя объектами равно гравитационной постоянной, умноженной на произведение их масс, деленное на квадрат расстояния между ними) является всего лишь приближением гравитационных эффектов, наблюдаемых в общей теории относительности. Однако это приближение становится неточным в экстремальных физических ситуациях, таких как релятивистские скорости (в частности, свет) или большие, очень плотные массы.

В общей теории относительности гравитация вызвана искривлением («искажением») пространства-времени. Распространенное заблуждение - приписывать гравитацию искривленному пространству; ни пространство, ни время не имеют абсолютного значения в теории относительности. Тем не менее, чтобы описать слабую гравитацию, как на Земле, достаточно рассмотреть искажение времени в определенной системе координат. Мы находим гравитацию на Земле очень заметной, в то время как релятивистское искажение времени требует точных инструментов для обнаружения. Причина, по которой мы не осознаем релятивистские эффекты в нашей повседневной жизни, заключается в огромном значении скорости света (примерно c = 300000 км / с), которая заставляет нас воспринимать пространство и время как разные сущности.

Пространство Де Ситтера в общей теории относительности

Пространство де Ситтера включает в себя разновидность общей теории относительности, в которой пространство-время слегка искривлено в отсутствие материи или энергии. Это аналогично взаимосвязи между евклидовой геометрией и неевклидовой геометрией.

Внутренняя кривизна пространства-времени в отсутствие материи или энергии моделируется космологической постоянной в общей теории относительности. Это соответствует вакууму, имеющему плотность энергии и давление. Эта геометрия пространства-времени приводит к изначально параллельным времениподобным геодезическим расходящимся с пространственно-подобными участками, имеющими положительную кривизну.

Пространство анти-де Ситтера, отличное от пространства де Ситтера

Пространство анти-де Ситтера в общей теории относительности аналогично пространству де Ситтера, за исключением знака кривизна пространства-времени изменилась. В пространстве анти-де Ситтера в отсутствие материи или энергии кривизна пространственноподобных участков отрицательна, что соответствует гиперболической геометрии, и первоначально параллельные времениподобные геодезические в конечном итоге пересекаются. Это соответствует отрицательной космологической постоянной, где само пустое пространство имеет отрицательную плотность энергии, но положительное давление, в отличие от стандартной ΛCDM-модели нашей собственной Вселенной, для которой наблюдения далеких сверхновых обозначают положительную космологическую постоянную, соответствующую (асимптотической) пространству де Ситтера.

В пространстве анти-де Ситтера, как и в пространстве де Ситтера, собственная кривизна пространства-времени соответствует космологической постоянной.

Пространство Де Ситтера и пространство анти-де Ситтера, рассматриваемые как встроенные в пять измерений

Как отмечалось выше, использованная выше аналогия описывает кривизну двумерного пространства, вызванную гравитацией в общей теории относительности в трехмерное пространство вложения, которое является плоским, как пространство Минковского специальной теории относительности. Вложение пространств де Ситтера и анти-де Ситтера пяти плоских измерений позволяет определить свойства вложенных пространств. Расстояния и углы внутри встроенного пространства могут быть непосредственно определены из более простых свойств пятимерного плоского пространства.

Хотя пространство анти-де Ситтера не соответствует гравитации в общей теории относительности с наблюдаемой космологической постоянной, считается, что пространство анти-де Ситтера соответствует другим силам в квантовой механике (например, электромагнетизму, слабому ядерному взаимодействию и сильное ядерное взаимодействие). Это называется соответствием AdS / CFT.

Предостережениями

Остальная часть этой статьи объясняет детали этих концепций с гораздо более строгим и точным математическим и физическим описанием. Люди не подходят для визуализации предметов в пяти или более измерениях, но математические уравнения не столь сложны и могут представлять пятимерные концепции таким же подходящим образом, как и методы, которые математические уравнения используют для описания более простых для визуализации трех и четырех измерений. размерные концепции.

Существует особенно важное значение более точного математического описания, которое отличается от основанного на аналогии эвристического описания пространства де Ситтера и пространства анти-де Ситтера, приведенного выше. Математическое описание пространства анти-де Ситтера обобщает идею кривизны. В математическом описании кривизна - это свойство конкретной точки, и ее можно отделить от какой-то невидимой поверхности, с которой сливаются изогнутые точки в пространстве-времени. Так, например, такие понятия, как сингулярности (наиболее широко известными из которых в общей теории относительности является черная дыра ), которые не могут быть полностью выражены в геометрии реального мира, могут соответствовать определенным состояниям математического уравнения.

Полное математическое описание также отражает некоторые тонкие различия, проводимые в общей теории относительности между пространственно-подобными измерениями и временными измерениями.

Подобно тому, как сферические и гиперболические пространства можно визуализировать с помощью изометрического вложения в плоское пространство одного более высокого измерения (как сфера и псевдосфера соответственно), пространство анти-де Ситтера можно визуализировать как лоренцевский аналог сферы в пространстве еще одного измерения. Дополнительное измерение похоже на время. В этой статье мы принимаем соглашение, согласно которому метрика во времениподобном направлении отрицательна.

Изображение (1 + 1) -мерного пространства анти-де Ситтера, вложенного в плоское (1 + 2) -мерное пространство. Оси t 1 и t 2 лежат в плоскости симметрии вращения, а ось x 1 перпендикулярна этой плоскости. Вложенная поверхность содержит замкнутые времяподобные кривые, окружающие ось x 1, хотя от них можно избавиться, «развернув» вложение (точнее, взяв универсальное покрытие).

Пространство анти-де Ситтера сигнатуры (p, q) затем можно изометрически вложить в пространство $R\; p,\; q\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{p,\; q\; +\; 1\}\}$с координатами ( x 1,..., x p, t 1,..., t q + 1) и метрика

$ds\; 2\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; pdxi\; 2\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; q\; +\; 1\; dtj\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; dx\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{q\; +\; 1\}\; dt\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\}$

как квазисфера

$\sum \; i\; =\; 1\; pxi\; 2\; -\; \sum \; j\; Знак\; равно\; 1\; q\; +\; 1\; tj\; 2\; =\; -\; \alpha \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{q\; +\; 1\}\; t\_\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\},\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- ненулевая константа с размерами длины (радиус кривизны ). Это (обобщенная) сфера в том смысле, что это набор точек, для которых «расстояние» (определяемое квадратичной формой) от начала координат постоянно, но визуально это гиперболоид, поскольку на изображении показано.

Метрика в пространстве анти-де Ситтера индуцируется из. Это невырожденный и, в случае q = 1, имеет лоренцеву сигнатуру.

Когда q = 0, эта конструкция дает стандартное гиперболическое пространство. Дальнейшее обсуждение применимо, когда q ≥ 1.

Замкнутые времяподобные кривые и универсальное покрытие

Когда q ≥ 1, вложение выше имеет замкнутые времениподобные кривые ; например, путь, параметризованный как $t\; 1\; =\; \alpha \; sin\; \; (\tau ),\; t\; 2\; =\; \alpha \; cos\; \; (\tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sin\; (\backslash \; tau),\; t\_\; \{2\; \}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; (\backslash \; tau),\}$и все остальные нулевые координаты являются такой кривой. При q ≥ 2 эти кривые присущи геометрии (неудивительно, поскольку любое пространство с более чем одним временным измерением содержит замкнутые времениподобные кривые), но при q = 1 их можно исключить, перейдя к универсальному покрывающему пространству , эффективно «разворачивая» вложение. Аналогичная ситуация имеет место с псевдосферой , которая изгибается вокруг себя, хотя гиперболическая плоскость этого не делает; в результате он содержит самопересекающиеся прямые (геодезические), а гиперболическая плоскость - нет. Некоторые авторы определяют пространство анти-де Ситтера как эквивалент самой вложенной квазисферы, в то время как другие определяют его как эквивалент универсального покрытия вложения.

Симметрии

Если универсальное покрытие не взято, (p, q) пространство анти-де Ситтера имеет O (p, q + 1) в качестве группа изометрий. Если взять универсальное покрытие, то группа изометрий будет покрытием O (p, q + 1). Это легче всего понять, определив пространство анти-де Ситтера как симметричное пространство, используя конструкцию факторного пространства, приведенную ниже.

Неустойчивость

Недоказанная «гипотеза о нестабильности AdS», представленная физиками Петром Бизоном и Анджеем Ростворовски в 2011 году, гласит, что сколь угодно малые возмущения определенных форм в AdS приводят к образованию черных дыр. Математик Георгиос Мошидис доказал, что при сферической симметрии гипотеза верна для конкретных случаев нулевой по Эйнштейну пылевой системы с внутренним зеркалом (2017 г.) и безмассовой системы Власова Эйнштейна (2018 г.).

A координатный патч, покрывающий часть пространства, дает полупространство координацию пространства анти-де Ситтера. метрический тензор для этого патча:

$ds\; 2\; =\; 1\; y\; 2\; (-\; dt\; 2\; +\; dy\; 2\; +\; \sum \; idxi\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (-dt\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; dx\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

с $y>0\; \{\backslash \; displaystyle\; y>0\}$дает полупространство. Мы легко видим, что эта метрика конформно эквивалентна плоскому полупространству-пространству-времени Минковского.

Постоянные временные отрезки этого координатный патч - это гиперболические пространства в метрике полупространства Пуанкаре. В пределе $y\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; to\; 0\}$эта метрика полупространства конформно эквивалентен метрике Минковского $ds\; 2\; =\; -\; dt\; 2\; +\; \sum \; idxi\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; -\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; dx\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$. Таким образом, пространство анти-де Ситтера содержит бесконечно удаленное конформное пространство Минковского («бесконечность» с нулевой координатой y в этом пространстве тч).

В пространстве AdS время периодично, а универсальное покрытие имеет непериодическое время. Координатный патч выше покрывает половину единственного периода пространства-времени.

Поскольку конформная бесконечность AdS подобна времени, задание исходных данных на пространственно-подобной гиперповерхности не определило бы будущую эволюцию однозначно (т. Е. Детерминированно), если бы не граничные условия, связанные с конформной бесконечностью.

Область «полупространства» пространства анти-де Ситтера и его граница.

Другая часто используемая система координат, которая охватывает все пространство, задается координатами t, $r\; ⩾\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; geqslant\; 0\}$и гипер- полярные координаты α, θ и φ.

$ds\; 2\; =\; -\; (k\; 2\; r\; 2\; +\; 1)\; dt\; 2\; +\; 1\; k\; 2\; r\; 2\; +\; 1\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \Omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (k\; ^\; \{2\; \}\; r\; ^\; \{2\}\; +1\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\}$

Соседнее изображение представляет область "полупространства" пространства анти-де Ситтера и его границу. Внутренняя часть цилиндра соответствует пространству-времени анти-де Ситтера, а его цилиндрическая граница соответствует его конформной границе. Зеленая заштрихованная область внутри соответствует области AdS, покрытой координатами полупространства, и ограничена двумя нулевыми, так называемыми светоподобными, геодезическими гиперплоскостями; зеленая заштрихованная область на поверхности соответствует области конформного пространства, покрытой пространством Минковского.

Заштрихованная зеленым область покрывает половину пространства AdS и половину конформного пространства-времени; левые концы зеленых дисков соприкасаются так же, как и правые концы.

Так же, как 2-сфера

$S\; 2\; =\; O\; (3)\; O\; (2)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{\; 2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\; (3)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\; (2)\}\}\}$

является фактором двух ортогональных групп, анти-де Ситтера с четность (отражательная симметрия) и симметрия обращения времени можно рассматривать как частное двух обобщенных ортогональных групп

$A\; d\; S\; n\; =\; O\; (2,\; n\; -\; 1)\; O\; (1,\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\; (2,\; n-1)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{O\}\; (1,\; n-\; 1)\}\}\}$

тогда как AdS без P или C можно рассматривать как частное

$S\; pin\; +\; (2,\; n\; -\; 1)\; S\; pin\; +\; (1,\; n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{Spin\}\; ^\; \{+\}\; (2,\; n-1)\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{Spin\}\; ^\; \{+\}\; (1,\; n-1)\}\}\}$

из спиновых групп.

Это Формулировка частного дает $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$структуру однородного пространства. Алгебра Ли обобщенной ортогональной группы $o\; (1,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; o\; (1,\; n)\}$задается матрицами

$H\; =\; (0\; 0\; 0\; 0\; (\cdots \; 0\; \cdots \; \leftarrow \; vt\; \to )\; (⋮\; \uparrow \; 0\; v\; ⋮\; \downarrow )\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \backslash \; leftarrow\; v\; ^\; \{t\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; vdots\; \backslash \; uparrow\; \backslash \backslash \; 0\; v\; \backslash \; \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; downarrow\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; B\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$,

где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- кососимметричная матрица. Дополнительный генератор в алгебре Ли $G\; =\; o\; (2,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{o\}\; (2,\; n)\}$равен

$Q\; =\; (0\; a\; -\; a\; 0\; (\leftarrow \; wt\; \to \; \cdots \; 0\; \cdots )\; (\uparrow \; ⋮\; w\; 0\; \downarrow \; ⋮)\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; a\; \backslash \backslash \; -\; a\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; leftarrow\; w\; ^\; \{t\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \backslash \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; w\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; downarrow\; \backslash \; vdots\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}.\}$

Эти два соответствуют $G\; =\; H\; \oplus \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\; \backslash \; oplus\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\}$. Явное вычисление матрицы показывает, что $[H,\; Q]\; \subseteq \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; mathcal\; \{H\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}]\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\}$и $[Q,\; Q]\; \subseteq \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}]\; \backslash \; substeq\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\}$. Таким образом, анти-де Ситтер - это редуктивное однородное пространство, а нериманово симметричное пространство.

$A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$- n-мерное решение теории гравитации с действием Эйнштейна – Гильберта с отрицательной космологической постоянной $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$, (), то есть теория, описываемая следующей плотностью лагранжиана :

$L\; =\; 1\; 16\; \pi \; G\; (\; n)\; (R\; -\; 2\; \Lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; \backslash \; pi\; G\; \_\; \{(n)\}\}\}\; (R-2\; \backslash \; Lambda)\}$,

где G (n) - гравитационная постоянная в n-мерном пространстве-времени. Следовательно, это решение уравнений поля Эйнштейна :

$G\; \mu \; \nu \; +\; \Lambda \; g\; \mu \; \nu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; +\; \backslash \; Lambda\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; 0\}$

где $G\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$равно тензор Эйнштейна и $g\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$- метрика пространства-времени. Представляя радиус $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$как $\Lambda \; =\; -\; (n\; -\; 1)\; (n\; -\; 2)\; 2\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (n-1)\; (n-2)\}\; \{2\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\}$этот раствор можно погрузить в $n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; 1\}$мерное пространство-время с сигнатурой $(-,\; -,\; +,\; \cdots ,\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; (-,\; -,\; +,\; \backslash \; cdots,\; +)\}$следующим ограничением:

$-\; X\; 1\; 2\; -\; X\; 2\; 2\; +\; \sum \; i\; =\; 3\; n\; +\; 1\; X\; i\; 2\; =\; -\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -X\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -X\_\; \{2\}\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 3\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; X\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}$

Глобальные координаты

$A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$параметризуется в глобальных координатах параметрами $(\tau ,\; \rho ,\; \theta ,\; \phi \; 1,\; \cdots ,\; \phi \; n\; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; rho,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-3\})\}$как:

$\{X\; 1\; =\; \alpha \; ch\; \; \rho \; cos\; \; \tau \; X\; 2\; знак\; равно\; \alpha \; сш\; \; \rho \; грех\; \; \tau \; Икс\; я\; знак\; равно\; \alpha \; зп\; \; \rho \; Икс\; ^\; я\; \sum \; ix\; ^\; я\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; X\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cosh\; \backslash \; rho\; \backslash \; cos\; \backslash \; tau\; \backslash \; \backslash \; X\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cosh\; \backslash \; rho\; \backslash \; sin\; \backslash \; tau\; \backslash \backslash \; X\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sinh\; \backslash \; rh\; o\; \backslash ,\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где $x\; ^\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{i\}\}$параметризация $S\; n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n-2\}\}$сфера. т.е. у нас есть $х\; ^\; 1\; =\; грех\; \; \theta \; грех\; \; \phi \; 1\dots \; грех\; \; \phi \; N\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\; \}\; \backslash \; точки\; \backslash \; грех\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-3\}\}$, $x\; ^\; 2\; =\; грех\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; 1\dots \; cos\; \; \phi \; n\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-3\}\}$, $x\; ^\; 3\; =\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; 1\dots \; cos\; \; \phi \; n\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \_\; \{n-2\}\}$и т. д. Показатель $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$в этих координатах:

$ds\; 2\; =\; \alpha \; 2\; (-\; cosh\; 2\; \; \rho \; d\; \tau \; 2\; +\; d\; \rho \; 2\; +\; зп\; 2\; \; \rho \; d\; \Omega \; n\; -\; 2\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; (-\; \backslash \; cosh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash ,\; d\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sinh\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; d\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n-2\}\; ^\; \{2\})\}$

где $\tau \; \in \; [0,\; 2\; \pi \; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; in\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$и $\rho \; \in \; R\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{+\}\}$. Учитывая периодичность времени $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$и чтобы избежать замкнутых времениподобных кривых (CTC), следует взять универсальное покрытие $\tau \; \in \; Р\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тау\; \backslash \; ин\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. В пределе $\rho \; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$можно приблизиться к границе этого пространства-времени, обычно называемого $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\; \}\; \_\; \{n\}\}$конформная граница.

С преобразованиями $r\; \equiv \; \alpha \; sinh\; \; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sinh\; \backslash \; rho\}$и $t\; \equiv \; \alpha \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; alpha\; \backslash \; tau\}$мы можем иметь обычную метрику $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$в глобальных координатах:

$ds\; 2\; =\; -\; f\; (r)\; dt\; 2\; +\; 1\; f\; (r)\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \Omega \; n\; -\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; -\; f\; (r)\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (r)\}\}\; \backslash ,\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; Omega\; \_\; \{n-2\}\; ^\; \{2\}\}$

где $f\; (r)\; =\; 1\; +\; r\; 2\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (r)\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\}$

координаты Пуанкаре

С помощью следующей параметризации:

$\{X\; 1\; =\; \alpha \; 2\; 2\; r\; (1\; +\; r\; 2\; \alpha \; 4\; (\alpha \; 2\; +\; x\; \to \; 2\; -\; t\; 2))\; X\; 2\; =\; r\; \alpha \; t\; X\; i\; =\; r\; \alpha \; xii\; \in \; \{\; 3,\; \cdots ,\; n\}\; Икс\; N\; +\; 1\; знак\; равно\; \alpha \; 2\; 2\; р\; (1\; -\; r\; 2\; \alpha \; 4\; (\alpha \; 2\; -\; x\; \to \; 2\; +\; t\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; X\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{2r\}\}\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{4\}\}\}\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\})\; ^\; \{2\}\; -t\; ^\; \{2\}))\; \backslash \backslash \; X\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; t\; \backslash \backslash \; X\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; qquad\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{3,\; \backslash \; cdots,\; n\; \backslash \}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{2r\; \}\}\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{4\}\}\}\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; t\; ^\; \{2\})))\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

метрика $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$в координатах Пуанкаре:

$ds\; 2\; Знак\; равно\; -\; р\; 2\; \alpha \; 2\; dt\; 2\; +\; \alpha \; 2\; r\; 2\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; \alpha \; 2\; dx\; \to \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; d\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\}$

, в котором $0\; \le \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; r\}$. Поверхность коразмерности 2 $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$- горизонт Пуанкаре Киллинга, а $r\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$приближается к границе $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$пространства-времени, поэтому, в отличие от глобальных координат, координаты Пуанкаре не покрывают все $A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$многообразие. Используя $u\; \equiv \; r\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\}$, этот показатель можно записать следующим образом:

$ds\; 2\; знак\; равно\; \alpha \; 2\; (du\; 2\; u\; 2\; +\; u\; 2\; (dx\; \mu \; dx\; \mu ))\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash ,\; du\; ^\; \{2\}\}\; \{u\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; u\; ^\; \{2\}\; (\backslash ,\; dx\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\})\; \backslash \; right)\}$

где $x\; \mu \; =\; (t,\; x\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (t,\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\})\}$. Преобразованием $z\; \equiv \; 1\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{u\}\}\}$также можно записать как:

$ds\; 2\; =\; \alpha \; 2\; z\; 2\; (dz\; 2\; +\; dx\; \mu \; dx\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\; (\backslash ,\; dz\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash ,\; dx\_\; \{\; \backslash \; mu\}\; \backslash ,\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\})\}$

Геометрические свойства

$A\; d\; S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{AdS\}\; \_\; \{n\}\}$метрика с радиусом $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- одно из максимальных симметричных n-мерных пространств-времени. Он имеет следующие геометрические свойства:

тензор кривизны Римана :

$R\; \mu \; \nu \; \alpha \; \beta \; =\; -\; 1\; \alpha \; 2\; (g\; \mu \; \alpha \; g\; \nu \; \beta \; -\; g\; \mu \; \beta \; g\; \nu \; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; (g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; alpha\}\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; beta\}\; -g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta\}\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; alpha\})\}$

Кривизна Риччи :

$R\; \mu \; \nu \; =\; -\; (n\; -\; 1)\; \alpha \; 2\; g\; \mu \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (n-1)\}\; \{\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\}$

Скалярная кривизна :

$R\; =\; -\; n\; (n\; -\; 1)\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-n\; (n-1)\}\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}\}\}$

• Бенгтссон, Ингемар. «Анти-де-Ситтер-спейс» (PDF). Лекционные заметки (с Archive.org). Архивировано из оригинального (PDF) от 08.03.2018.
• Qingming Cheng (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Эллис, СКФ ; Хокинг, С.В. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени, Cambridge University Press, стр. 131–134.
• Фрэнсис, К. (2005). «Конформная граница пространства-времени анти-де Ситтера» (PDF). Соответствие AdS / CFT: метрики Эйнштейна и их конформные границы. IRMA Lect. Математика. Теор. Phys. 8 . Цюрих: Eur. Математика. Soc. С. 205–216.
• Мацуда, Х. (1984). «Замечание об изометрическом вложении верхнего полупространства в пространство анти-де Ситтера» (PDF). Математический журнал Хоккайдо. 13 (2): 123–132. doi : 10.14492 / hokmj / 1381757712.Проверено 04.02.2017.
• Вольф, Джозеф А. (1967). Пространства постоянной кривизны. п. 334.

• Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтеру Педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физическим или математическим образованием.