Телепараллелизм

редактировать

Телепараллелизм (также называемый телепараллелизмом ) был попыткой Альберта Эйнштейна основать единую теорию электромагнетизма и гравитации на математической структуре далекого параллелизма, также называемого абсолютным или телепараллелизмом. В этой теории пространство-время характеризуется линейной связью без кривизны в сочетании с полем метрического тензора, оба определяемых в терминах динамического поле тетрада.

Содержание

1 Телепараллельное пространство-время
2 Новая телепараллельная теория гравитации
- 2.1 Тетрадная теория гравитации Меллера
3 Новый перевод телепараллельной калибровочной теории гравитации
4 Негравитационные контексты
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Телепараллельное пространство-время

Ключевой новой идеей для Эйнштейна было введение тетрады поле, т. е. набор {X 1, X 2, X 3, X 4 } из четырех векторных полей определен на всем M таким образом, что для каждого p ∈ M множество {X 1 (p), X 2 (p), X 3 (p), X 4 (p)} является базисом из T p M, где T p M обозначает волокно над p касательного векторного расслоения TM. Следовательно, четырехмерное многообразие M пространства-времени должно быть распараллеливаемым многообразием. Поле тетрад было введено, чтобы позволить дистанционное сравнение направления касательных векторов в разных точках многообразия, отсюда и название отдаленный параллелизм. Его попытка не удалась, потому что в его упрощенном уравнении поля не было решения Шварцшильда.

Фактически, можно определить соединение распараллеливания (также называемое соединение Weitzenböck ) {X i } быть линейной связью ∇ на M, такой что

∇ v (fi X i) = (vfi) X i (p), {\ displaystyle \ nabla _ {v} \ left ( f ^ {i} \ mathrm {X} _ {i} \ right) = \ left (vf ^ {i} \ right) \ mathrm {X} _ {i} (p),}

{\ displaystyle \ nabla _ {v} \ left (f ^ {i} \ mathrm {X} _ {i} \ right) = \ left (vf ^ {i} \ right) \ mathrm {X} _ {i} (p),}

где v ∈ T p M и f являются (глобальными) функциями на M; таким образом, fX i является глобальным векторным полем на M. Другими словами, все коэффициенты связи Weitzenböck ∇ относительно {X i } равны нулю, неявно определяется следующим образом:

∇ X i X j = 0, {\ displaystyle \ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} = 0,}

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} = 0,}

следовательно

W kij знак равно ω К (∇ Икс я Икс J) ≡ 0, {\ displaystyle {W ^ {k}} _ {ij} = \ omega ^ {k} \ left (\ nabla _ {\ mathrm {X } _ {i}} \ mathrm {X} _ {j} \ right) \ Equiv 0,}

{\ displaystyle {W ^ {k}} _ {ij} = \ omega ^ {k} \ left (\ nabla _ {\ mathrm {X} _ {i}} \ mathrm {X } _ {j} \ right) \ Equiv 0,}

для коэффициентов связи (также называемых коэффициентами Вайтценбека) в этом глобальном базисе. Здесь ω - двойственный глобальный базис (или кофрейм), определенный как ω (X j) = δ. j.

Это то, что обычно происходит в R, в любом аффинном пространстве. или группа Ли (например, «криволинейная» сфера S, но «плоское» многообразие Вайтценбека).

Используя закон преобразования связи или, что эквивалентно, свойства ∇, мы получаем следующий результат.

Предложение . В естественном базисе, связанном с локальными координатами (U, x), т. Е. В голономной системе отсчета ∂ μ, (локальные) коэффициенты связности связности Вайтценбека задаются выражением:

Γ β μ ν знак равно привет β ∂ ν час μ я, {\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ beta}} _ {\ mu \ nu} = h_ {i} ^ {\ beta} \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu } ^ {i},}

{\ displaystyle {\ Gamma ^ {\ beta}} _ {\ mu \ nu} = h_ {i} ^ {\ beta} \ partial _ {\ nu} h _ {\ mu} ^ {i},}

где X i = h. i∂μдля i, μ = 1, 2,… n - локальные выражения глобального объекта, то есть данной тетрады.

Соединение Weitzenböck имеет исчезающую кривизну, но - в целом - ненулевое кручение.

Учитывая поле кадра {X i }, можно также определить метрику, представив поле фрейма как ортонормированное векторное поле. Тогда можно получить псевдориманов поле метрического тензора g подписи (3,1) по

g (X i, X j) = η ij, {\ displaystyle g \ left (\ mathrm {X} _ {i}, \ mathrm {X} _ {j} \ right) = \ eta _ {ij},}

{\ displaystyle g \ left (\ mathrm {X} _ {i}, \ mathrm {X} _ {j} \ right) = \ eta _ {ij},}

где

η ij = diag ⁡ (- 1, - 1, - 1, 1). {\ displaystyle \ eta _ {ij} = \ operatorname {diag} (-1, -1, -1,1).}

{\ displaystyle \ eta _ {ij} = \ operatorname {diag} (-1, -1, -1,1).}

Соответствующее базовое пространство-время в данном случае называется Weitzenböck пространство-время.

Стоит отметить, что эти «параллельные векторные поля» порождают метрический тензор как побочный продукт.

Новая теория телепараллельной гравитации

Новая теория телепараллельной гравитации (или новая общая теория относительности ) - это теория гравитации в пространстве-времени Вейценбека, которая приписывает гравитацию тензору кручения, образованному из параллельные векторные поля.

В новой теории телепараллельной гравитации фундаментальные допущения заключаются в следующем:

В основе пространства-времени лежит пространство-время Вейтценбека, которое имеет четверку параллельных векторных полей в качестве фундаментальной структуры. Эти параллельные векторные поля порождают метрический тензор как побочный продукт. Все физические законы выражаются уравнениями, которые являются ковариантными или инвариантными относительно группы общих преобразований координат.
Принцип эквивалентности действует только в классической физике.
Гравитационный уравнения поля выводятся из принципа действия.
Уравнения поля представляют собой уравнения в частных производных от переменных поля не выше второго порядка.

В 1961 году Кристиан Мёллер возродил идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебански нашли лагранжеву формулировку абсолютного параллелизма.

Тетрадная теория гравитации Мёллера

В 1961 году Мёллер показал, что тетрадное описание гравитационных полей позволяет более рационально рассматривать комплекс энергии-импульса, чем в теории, основанной только на метрическом тензоре. Преимущество использования тетрад в качестве гравитационных переменных было связано с тем, что это позволяло строить выражения для комплекса энергия-импульс, который имел более удовлетворительные свойства преобразования, чем в чисто метрической формулировке. Недавно было показано, что полная энергия материи и гравитации пропорциональна скаляру Риччи трехмерного пространства вплоть до линейного порядка возмущения.

Новый перевод телепараллельной калибровочной теории гравитации

Независимо в 1967 году Хаяси и Накано возродили идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебански начали формулировать калибровочную теорию группы трансляций пространства-времени. Хаяси указал на связь между калибровочной теорией группы трансляций пространства-времени и абсолютным параллелизмом. Первый состав пучка волокон был предоставлен Чо. Эта модель позже была изучена Швейцером и др., Ничем и Хелем, Мейером, а более поздние достижения можно найти у Альдрованди и Перейры, Гронвальда, Итина, Малуф и да Роча Нето, Мюнх, Обухов и Перейра, а также Шукинг и Суровиц.

В наши дни люди изучают телепараллелизм исключительно как теорию гравитации, не пытаясь объединить ее с электромагнетизмом. В этой теории гравитационное поле оказывается полностью представленным поступательным калибровочным потенциалом Bμ, как и должно быть в калибровочной теории для группы трансляций.

Если сделать этот выбор, то больше не будет никакой Лоренца калибровочной симметрии, потому что внутреннее пространство Минковского волокно - над каждой точкой пространства-времени многообразие - принадлежит пучку волокон с абелевым R как структурной группой. Однако трансляционная калибровочная симметрия может быть введена таким образом: вместо того, чтобы рассматривать тетрады как фундаментальные, мы вместо этого вводим фундаментальную трансляционную калибровочную симметрию R (которая действует на внутренние волокна пространства Минковского аффинно, так что этот слой снова становится локальным) с связью B и «координатным полем» x, принимающим значения в слое пространства Минковского.

Точнее, пусть π: M → M - расслоение Минковского расслоение над пространственно-временным многообразием M. Для каждой точки p ∈ M слой M p является аффинным пространством. В волокнистой диаграмме (V, ψ) координаты обычно обозначаются как ψ = (x, x), где x - координаты на пространственно-временном многообразии M, а x - координаты в волокне M p.

Использование абстрактного индекса обозначение, пусть a, b, c,… относятся к M p, а μ, ν,… относятся к касательному пучку TM. В любой конкретной калибровке значение x в точке p задается секцией

x μ → (x μ, x a = ξ a (p)). {\ displaystyle x ^ {\ mu} \ to \ left (x ^ {\ mu}, x ^ {a} = \ xi ^ {a} (p) \ right).}

{\ displaystyle x ^ {\ mu} \ to \ left (x ^ {\ mu}, x ^ {a} = \ xi ^ {a} (p) \ right).}

Ковариантная производная

D μ ξ a ≡ (d ξ a) μ + B a μ = ∂ μ ξ a + B a μ {\ displaystyle D _ {\ mu} \ xi ^ {a} \ Equiv \ left (d \ xi ^ {a} \ right) _ {\ mu} + {B ^ {a}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu }}

{\ displaystyle D _ {\ mu} \ xi ^ {a} \ Equiv \ left (d \ xi ^ {a} \ right) _ { \ mu} + {B ^ {a}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu}}

определен относительно формы соединения B, 1-формы, принимающей значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы R . Здесь d - это внешняя производная компоненты ath x, которая является скалярным полем (так что это не чисто абстрактная нотация индекса). При калибровочном преобразовании полем сдвига α,

xa → xa + α a {\ displaystyle x ^ {a} \ to x ^ {a} + \ alpha ^ {a}}

{\ displaystyle x ^ {a} \ к x ^ {a} + \ alpha ^ {a}}

B a μ → B a μ - ∂ μ α a {\ displaystyle {B ^ {a}} _ {\ mu} \ to {B ^ {a}} _ {\ mu} - \ partial _ {\ mu} \ alpha ^ {a}}

{\ displaystyle {B ^ {a} } _ {\ mu} \ to {B ^ {a}} _ {\ mu} - \ partial _ {\ mu} \ alpha ^ {a}}

и поэтому ковариантная производная x = ξ (p) является калибровочно-инвариантной. Это отождествляется с трансляционной (со-) тетрадой

ha μ = ∂ μ ξ a + B a μ {\ displaystyle {h ^ {a}} _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu}}

{\ displaystyle {h ^ {a} } _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu}}

который является одноформой, которая принимает значения в алгебре Ли трансляционного Абелева группа R, поэтому калибровочно инвариантна. Но что это значит? x = ξ (p) является локальным участком (чисто трансляционного) аффинного внутреннего расслоения M → M, другой важной структуры в дополнение к трансляционному калибровочному полю B μ. Геометрически это поле определяет происхождение аффинных пространств; он известен как радиус-вектор Картана. В теоретико-калибровочной системе одно-форма

ha = ha μ dx μ = (∂ μ ξ a + B a μ) dx μ {\ displaystyle h ^ {a} = {h ^ {a}} _ {\ mu} dx ^ {\ mu} = \ left (\ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu} \ right) dx ^ {\ mu}}

{\ displaystyle h ^ {a} = {h ^ {a}} _ {\ mu} dx ^ {\ mu} = \ слева (\ partial _ {\ mu} \ xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ {\ mu} \ right) dx ^ {\ mu}}

возникает как нелинейное поступательное калибровочное поле с ξ, интерпретируемым как поле Голдстоуна, описывающее спонтанное нарушение трансляционной симметрии.

Грубая аналогия: представьте M p как экран компьютера, а внутреннее смещение как положение указателя мыши. Думайте о изогнутом коврике для мыши как о пространстве-времени, а положение мыши - как о положении. Сохраняя ориентацию мыши фиксированной, если мы перемещаем мышь вокруг изогнутого коврика для мыши, положение указателя мыши (внутреннее смещение) также изменяется, и это изменение зависит от пути; т.е. это зависит не только от начальной и конечной позиции мыши. Изменение внутреннего смещения, когда мы перемещаем мышь по замкнутому пути на коврике для мыши, является кручением.

Другая грубая аналогия: представьте себе кристалл с линейными дефектами (краевыми дислокациями и винтовой дислокацией, но не дисклинации ). Параллельный перенос точки M вдоль пути определяется путем подсчета количества пересеченных (вверх / вниз, вперед / назад и влево / вправо) кристаллических связей. Вектор Бюргерса соответствует кручению. Отклонения соответствуют кривизне, поэтому они не учитываются.

Кручение, т.е. поступательная напряженность поля телепараллельной гравитации (или поступательная «кривизна»),

T a μ ν ≡ (DB a) μ ν = D μ B a ν - D ν B a μ, {\ displaystyle {T ^ {a}} _ {\ mu \ nu} \ Equiv \ left (DB ^ {a} \ right) _ {\ mu \ nu} = D_ { \ mu} {B ^ {a}} _ {\ nu} -D _ {\ nu} {B ^ {a}} _ {\ mu},}

{\ displaystyle {T ^ {a}} _ {\ mu \ nu} \ Equiv \ left (DB ^ {a} \ right) _ {\ mu \ nu} = D _ {\ mu} {B ^ {a}} _ {\ nu} -D _ {\ nu } {B ^ {a}} _ {\ mu},}

калибровочно инвариантен.

Конечно, мы всегда можем выбрать калибровку, где x везде равен нулю (хотя проблема; M p - это аффинное пространство, а также слой, поэтому мы должны определить начало координат по пунктам, но это всегда можно сделать произвольно), и это возвращает нас к теории, в которой тетрада является фундаментальной.

Телепараллелизм относится к любой теории гравитации, основанной на этой структуре. Существует особый выбор действия действия, который делает его в точности эквивалентным общей теории относительности, но есть также другие варианты действия, которые не эквивалентны ОТО. В некоторых из этих теорий нет эквивалента между инерционной и гравитационной массой.

В отличие от ОТО, гравитация не является следствием кривизны пространства-времени. Это из-за кручения.

Негравитационные контексты

Существует близкая аналогия геометрии пространства-времени со структурой дефектов в кристалле. Дислокации представлены кручением, дисклинации по кривизне. Эти дефекты не независимы друг от друга. Дислокация эквивалентна паре дисклинация-антидисклинация, дисклинация эквивалентна веренице дислокаций. Это основная причина, по которой теория Эйнштейна, основанная исключительно на кривизне, может быть переписана как телепараллельная теория, основанная только на кручении. Более того, существует бесконечно много способов переписать теорию Эйнштейна, в зависимости от того, какую часть кривизны нужно повторно выразить в терминах кручения, а телепараллельная теория является лишь одной конкретной версией этих теорий.

Дальнейшее применение теории телепараллелизм встречается в квантовой теории поля, а именно в двумерных нелинейных сигма-моделях с целевым пространством на простых геометрических многообразиях, поведение перенормировки которых контролируется потоком Риччи, который включает кручение. Это кручение изменяет тензор Риччи и, следовательно, приводит к неподвижной инфракрасной точке для связи из-за телепараллельности («геометростазиса»).

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Bishop, RL ; Гольдберг, С. И. (1968). Тензорный анализ на многообразиях (Первое изд. Dover 1980 г.). Макмиллан. ISBN 978-0-486-64039-6.
Weitzenböck, R. (1923). Инвариантная теория. Гронинген: Нордхофф.
Альдрованди, Р.; Перейра, Дж. Г. (2012). Телепараллельная гравитация: введение. Спрингер: Дордрехт. ISBN 978-94-007-5142-2.

Внешние ссылки