Войти
В квантовой теории поля нелинейная σ-модель описывает скалярное поле Σ, который принимает значения в нелинейном многообразии, называемом целевым многообразием T. Нелинейная σ-модель была введена Гелл-Манном и Леви (1960, раздел 6), которые назвали ее в честь поля, соответствующего бесспиновому мезону, названному в их модели σ. Эта статья посвящена в первую очередь квантованию нелинейной сигма-модели; пожалуйста, обратитесь к базовой статье по сигма-модели для получения общих определений, классических (неквантовых) формулировок и результатов.
Целевое многообразие T снабжено римановой метрикой g. Σ - дифференцируемое отображение из пространства Минковского M (или другого пространства) в T.
плотность лагранжиана в современной киральной форме задается как
, где мы использовали метрическую сигнатуру + - - - , а частная производная ∂Σ задается сечение струйного пучка из T × M, а V - потенциал.
В обозначении координат с координатами Σ, a = 1,..., n, где n - размерность T,
В более чем двух измерениях нелинейные σ-модели содержат размерную константу связи и, следовательно, не могут быть перенормированы пертурбативно. Тем не менее, они обнаруживают нетривиальную ультрафиолетовую неподвижную точку ренормализационной группы как в решеточной формулировке, так и в двойном разложении, первоначально предложенном Кеннетом Г. Уилсоном.
В обоих подходах нетривиальная ренормализационная группа фиксировалась точка, найденная для O (n) -симметричной модели, как видно, просто описывает в размерах больше двух критическую точку, отделяющую упорядоченную фазу от неупорядоченной. Кроме того, улучшенные предсказания решеточной или квантовой теории поля можно затем сравнить с лабораторными экспериментами по критическим явлениям, поскольку модель O (n) описывает физические ферромагнетики Гейзенберга и связанные с ними системы. Таким образом, приведенные выше результаты указывают на неспособность наивной теории возмущений правильно описать физическое поведение O (n) -симметричной модели над двумя измерениями, а также на необходимость более сложных непертурбативных методов, таких как формулировка на решетке.
Это означает, что они могут возникать только как эффективные теории поля. Новая физика необходима примерно на шкале расстояний, где две точки связаны корреляционной функцией того же порядка, что и кривизна целевого многообразия. Это называется УФ-завершением теории. Существует специальный класс нелинейных σ-моделей с группой внутренней симметрии G *. Если G является группой Ли и H является подгруппой Ли, то фактор-пространство G / H является многообразием (с некоторыми техническими ограничениями, такими как замкнутое подмножество), а также является однородным пространством группы G или, другими словами, нелинейной реализацией группы G. Во многих случаях G / H может быть оснащен Риманова метрика, G-инвариантная. Это всегда так, например, если G - compact. Нелинейная σ-модель с G / H в качестве целевого многообразия с G-инвариантной римановой метрикой и нулевым потенциалом называется нелинейной σ-моделью фактор-пространства (или пространства смежных классов).
При вычислении интегралов по путям функциональная мера должна быть «взвешена» квадратным корнем из определителя числа g,
Эта модель оказалась актуальной в теории струн, где двумерное многообразие названо мировой лист. Оценка его обобщенной перенормируемости была дана Дэниелом Фриданом. Он показал, что теория допускает уравнение ренормгруппы в главном порядке теории возмущений в виде
Rabтензор Риччи целевого многообразия.
Представляет поток Риччи, подчиняющийся уравнениям поля Эйнштейна для целевого коллектора как фиксированной точки. Существование такой фиксированной точки имеет значение, поскольку в этом порядке теории возмущений она дает, что конформная инвариантность не теряется из-за квантовых поправок, так что квантовая теория поля этой модели разумна (перенормируема).
Дальнейшее добавление нелинейных взаимодействий, представляющих ароматно-киральные аномалии, приводит к модели Весса – Зумино – Виттена, которая дополняет геометрию потока за счет включения кручения, сохраняя перенормируемость и приводя к инфракрасной фиксированной точке, также из-за телепараллельности ("geometrostasis").
Знаменитым примером, представляющим особый интерес из-за своих топологических свойств, является O (3) нелинейная σ-модель в 1 + 1 измерениях с плотностью лагранжиана
где n̂ = (n 1, n 2, n 3) с ограничением n̂⋅n̂ = 1 и μ = 1,2.
Эта модель допускает топологические решения с конечным действием, поскольку в бесконечном пространстве-времени плотность лагранжиана должна исчезнуть, что означает n̂ = константа на бесконечности. Следовательно, в классе решений с конечным действием можно идентифицировать бесконечно удаленные точки как одну точку, т.е. это пространство-время можно отождествить с сферой Римана.
Поскольку n Since-поле живет на сфере также имеется отображение S → S, решения которого классифицируются второй гомотопической группой 2-сферы: эти решения называются O (3) Instantons.
Эту модель также можно рассматривать в измерениях 1 + 2, где топология теперь исходит только из пространственных срезов. Они моделируются как R ^ 2 с точкой на бесконечности и, следовательно, имеют ту же топологию, что и инстантоны O (3) в 1 + 1 измерениях. Их называют шишками сигма-модели.
