Алгебра Вирасоро

редактировать

В математике используется алгебра Вирасоро (названа в честь физика Мигеля Анхель Вирасоро ) - сложная алгебра Ли, уникальное центральное расширение алгебры Витта. Он широко используется в двумерной конформной теории поля и в теории струн.

Содержание

1 Определение
2 Теория представлений
- 2.1 Представления наивысшего веса
- 2.2 Сингулярные векторы
- 2.3 Эрмитова форма и унитарность
- 2.4 Персонажи
3 Приложения
- 3.1 Конформная теория поля
- 3.2 Теория струн
4 Обобщения
- 4.1 Супералгебры Вирасоро
- 4.2 W -алгебры
- 4.3 Аффинные алгебры Ли
- 4.4 Мероморфные векторные поля на римановых поверхностях
- 4.5 Вершинная алгебра Вирасоро и конформная алгебра Вирасоро
5 История
6 См. также
7 Примечания
8 Ссылки

Определение

Алгебра Вирасоро охвачена генераторами Lnдля n ∈ ℤ и центрального заряда с. Эти генераторы удовлетворяют $[c, L n] = 0 {\ displaystyle [c, L_ {n}] = 0}$ $[c, L_ {n}] = 0$ и

$[L m, L n] = (m - n) L м + п + с 12 (м 3 - м) δ м + п, 0. {\ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + {\ frac {c} {12}} (m ^ {3} -m) \ delta _ {m + n, 0}.}$ ${\ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + {\ frac {c} {12}} (m ^ {3} -m) \ delta _ {m + n, 0}.}$

Коэффициент 1/12 является просто условием. Для вывода алгебры как единственного центрального расширения алгебры Витта см. вывод алгебры Вирасоро.

Алгебра Вирасоро имеет представление в терминах 2 генераторы (например, L 3 и L −2) и 6 отношений.

Теория представлений

Представления с наибольшим весом

A представление с наибольшим весом алгебры Вирасоро - это представление, сгенерированное первичным состоянием : вектор $v {\ displaystyle v}$ $v$ такой, что

L n>0 v = 0, L 0 v = hv, {\ displaystyle L_ {n>0} v = 0, \ quad L_ {0} v = hv,}

L_{n>0} v = 0, \ quad L_ {0} v = hv,

где число h, называемое конформным размером или конформным весом для $v {\ displaystyle v}$ $v$ .

Представление наивысшего веса охватывает собственные состояния $L 0 {\ displaystyle L_ {0}}$ $L_ {0}$ . Собственные значения имеют вид $h + N {\ displaystyle h + N}$ ${\ displaystyle h + N}$ , где целое число $N ≥ 0 {\ displaystyle N \ geq 0}$ $N \ geq 0$ называется уровень соответствующего собственного состояния.

Точнее, представление с наибольшим весом охватывается $L 0 {\ displaystyle L_ {0}}$ $L_ {0}$ -собственными состояниями типа $L - n 1 L - n 2 ⋯ L - nkv {\ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} \ cdots L _ {- n_ {k}} v}$ ${\ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} \ cdots L _ {- n_ {k}} v}$ с $0 < n 1 ≤ n 2 ≤ ⋯ n k {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <n_ {1} \ leq n_ {2} \ leq \ cdots n_ {k}}$ и $k ≥ 0 {\ displaystyle k \ geq 0}$ $k \ geq 0$ , уровни которого равны $N = ∑ i = 1 kni {\ displaystyle N = \ sum _ {i = 1} ^ {k} n_ { i}}$ $N = \ сумма _ {{я = 1}} ^ {k} n_ {i}$ . Любое состояние, уровень которого не равен нулю, называется состоянием-потомком для $v {\ displaystyle v}$ $v$ .

. Для любой пары комплексных чисел h и c модуль Verma $V c, h {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h}}$ - максимально возможное представление с наибольшим весом. (Одна и та же буква c используется как для элемента c алгебры Вирасоро, так и для его собственного значения в представлении.)

Состояния $L - n 1 L - n 2 ⋯ L - nkv {\ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} \ cdots L _ {- n_ {k}} v}$ ${\ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} \ cdots L _ {- n_ {k}} v}$ с $0 < n 1 ≤ n 2 ≤ ⋯ n k {\displaystyle 0$ ${\ displaystyle 0 <n_ {1} \ leq n_ {2} \ leq \ cdots n_ {k}}$ и $k ≥ 0 {\ displaystyle k \ geq 0}$ $k \ geq 0$ составляют основу модуля Verma. Модуль Верма неразложим, и для общих значений h и c он также неприводим. Когда оно сводимо, существуют другие представления со старшим весом с этими значениями h и c, называемые вырожденными представлениями, которые являются смежными классами модуля Верма. В частности, единственное неприводимое представление со старшим весом с этими значениями h и c является фактором модуля Верма по его максимальному подмодулю.

Модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет особых векторов.

Особые векторы

A сингулярный вектор или нулевой вектор представления с наивысшим весом - это состояние, которое одновременно является потомком и первичным.

Достаточное условие для модуля Верма $V c, h {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h}}$ , чтобы иметь сингулярный вектор в level $N {\ displaystyle N}$ $N$ is $h = hr, s (c) {\ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ ${\ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ для некоторые положительные целые числа $r, s {\ displaystyle r, s}$ $r,s$ такие, что $N = rs {\ displaystyle N = rs}$ ${\ displaystyle N = rs}$ , с

часами, s (c) = 1 4 ((b + b - 1) 2 - (br + b - 1 s) 2), где c = 1 + 6 (b + b - 1) 2. {\ displaystyle h_ {r, s} (c) = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} (b + b ^ {- 1}) ^ {2} - (br + b ^ {- 1} s) ^ {2} {\ Big)} \, \ quad {\ text {where}} \ quad c = 1 + 6 (b + b ^ {- 1}) ^ {2} \.}

{\ displaystyle h_ {r, s} (c) = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} (b + b ^ {- 1}) ^ { 2} - (br + b ^ {- 1} s) ^ {2} {\ Big)} \, \ quad {\ text {where}} \ quad c = 1 + 6 (b + b ^ {- 1}) ^ {2} \.}

В частности, $h 1, 1 (c) = 0 {\ displaystyle h_ {1,1} (c) = 0}$ ${\ displaystyle h_ {1,1} (c) = 0}$ , и сводимый модуль Верма $V c, 0 {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, 0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, 0}}$ имеет сингулярный вектор $L - 1 v {\ displaystyle L _ {- 1} v}$ ${\ displaystyle L _ {- 1} v}$ на уровне $N = 1 {\ displaystyle N = 1}$ $N = 1$ . Тогда $h 2, 1 (c) = - 1 2 - 3 4 b 2 {\ displaystyle h_ {2,1} (c) = - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {3 } {4}} b ^ {2}}$ ${\ displaystyle h_ {2,1} (c) = - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {3} {4}} b ^ {2}}$ , и соответствующий приводимый модуль Верма имеет сингулярный вектор $(L - 1 2 + b 2 L - 2) v {\ displaystyle (L_ { -1} ^ {2} + b ^ {2} L _ {- 2}) v}$ ${\ displaystyle (L _ {- 1} ^ {2} + b ^ {2} L _ {- 2}) v}$ на уровне $N = 2 {\ displaystyle N = 2}$ $N = 2$ .

Это условие для наличие сингулярного вектора на уровне $N {\ displaystyle N}$ $N$ не обязательно. В частности, существует сингулярный вектор на уровне $N {\ displaystyle N}$ $N$ , если $N = rs + r ′ s ′ {\ displaystyle N = rs + r's '}$ $N=rs+r's'$ с $h = hr, s (c) {\ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ ${\ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ и $h + rs = hr ′, s ′ (c) {\ displaystyle h + rs = h_ {r ', s'} (c)}$ $h+rs=h_{r',s'}(c)$ . Этот сингулярный вектор теперь является потомком другого сингулярного вектора на уровне $r s {\ displaystyle rs}$ ${\ displaystyle rs}$ . Однако этот тип сингулярных векторов может существовать только в том случае, если центральный заряд имеет тип

c = 1-6 (p - q) 2 pq с p, q ∈ Z {\ displaystyle c = 1-6 {\ frac { (pq) ^ {2}} {pq}} \ quad {\ text {with}} \ quad p, q \ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle c = 1-6 {\ frac {(pq) ^ {2}} {pq}} \ quad {\ text {with}} \ quad p, q \ in \ mathbb {Z}}

(для $p>q ≥ 2 {\ displaystyle p>q \ geq 2}$ $p>q \ geq 2$ взаимно простые, это центральные обвинения минимальных моделей.)

эрмитовой формы и унитарности

Представление наивысшего веса с действительным значением $c { \ displaystyle c}$ $c$ имеет уникальную эрмитову форму такую, что сопряженное к $L n {\ displaystyle L_ {n}}$ $L_ {n}$ равно $L - n {\ displaystyle L _ {- n}}$ $L _ {{ -n}}$ , а норма первичного состояния равна единице. Представление называется унитарным, если эта эрмитова форма положительно определена. Поскольку любая особая форма вектор имеет нулевую норму, все унитарные представления старшего веса неприводимы.

Определитель Грама базиса уровня $N {\ displaystyle N}$ $N$ дается формулой определителя Каца,

AN ∏ 1 ≤ р, s ≤ N (час - час, s (с)) п (N - rs), {\ displaystyle A_ {N} \ prod _ {1 \ leq r, s \ leq N} {\ big ( } h-h_ {r, s} (c) {\ big)} ^ {p (N-rs)},}

{\ displaystyle A_ {N} \ prod _ {1 \ leq р, s \ leq N} {\ big (} h-h_ {r, s} (c) {\ big)} ^ {p (N-rs)},}

где функция p (N) - это функция распределения, и A N - положительная константа, которая не зависит от $h {\ displaystyle h}$ $час$ или $c {\ displaystyle c}$ $c$ . Формула определителя Каца была сформулирована В. Kac (1978), а первое опубликованное доказательство было дано Фейгиным и Фуксом (1984).

Неприводимое представление старшего веса со значениями h и c является унитарным тогда и только тогда, когда либо c ≥ 1 и h ≥ 0, либо

c ∈ {1-6 m (m + 1)} m = 2, 3, 4,… = {0, 1 2, 7 10, 4 5, 6 7, 25 28,…} {\ displaystyle c \ in \ left \ {1 - {\ frac {6} {m (m +1)}} \ right \} _ {m = 2,3,4, \ ldots} = \ left \ {0, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {7} {10}}, {\ frac {4} {5}}, {\ frac {6} {7}}, {\ frac {25} {28}}, \ ldots \ right \}}

{\ displaystyle c \ in \ left \ {1 - {\ frac { 6} {m (m + 1)}} \ right \} _ {m = 2,3,4, \ ldots} = \ left \ {0, {\ frac {1} {2}}, {\ frac { 7} {10}}, {\ frac {4} {5}}, {\ frac {6} {7}}, {\ frac {25} {28}}, \ ldots \ right \}}

и h является одним из значения

час = час, s (c) = ((m + 1) r - ms) 2-1 4 m (m + 1) {\ displaystyle h = h_ {r, s} (c) = {\ frac {{\ big (} (m + 1) r-ms {\ big)} ^ {2} -1} {4m (m + 1)}}}

{\ displaystyle h = h_ {r, s}) (c) = {\ frac {{\ big (} (m + 1) r-ms {\ big)} ^ {2} -1} {4m (m + 1)}}}

для r = 1, 2, 3,..., m - 1 и s = 1, 2, 3,..., r.

Дэниел Фридан, Зонган Цю и Стивен Шенкер (1984) показали, что эти условия необходимы, а Питер Годдард, Адриан Кент и Дэвид Олив (1986) использовал конструкцию смежного класса или конструкцию GKO (идентифицирующую унитарные представления алгебры Вирасоро внутри тензорных произведений унитарных представлений аффинных алгебр Каца – Муди ), чтобы показать, что их достаточно.

Символы

Символ представления $R {\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${ \ mathcal {R}}$ алгебры Вирасоро функция

χ R (q) = Tr R ⁡ q L 0 - c 24. {\ displaystyle \ chi _ {\ mathcal {R}} (q) = \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal {R}} q ^ {L_ {0} - {\ frac {c} {24}}}. }

{\ displaystyle \ chi _ {\ mathcal {R}} (q) = \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal {R}} q ^ {L_ {0} - {\ frac {c} {24}}}.}

Символ модуля Верма $V c, h {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h}}$ равен

χ V c, h ( q) = qh - c 24 ∏ n = 1 ∞ (1 - qn) = qh - c - 1 24 η (q) = qh - c 24 (1 + q + 2 q 2 + 3 q 3 + 5 q 4 + ⋯), {\ displaystyle \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h}} (q) = {\ frac {q ^ {h - {\ frac {c} {24}}}} { \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {n})}} = {\ frac {q ^ {h - {\ frac {c-1} {24}}}} {\ eta (q)}} = q ^ {h - {\ frac {c} {24}}} \ left (1 + q + 2q ^ {2} + 3q ^ {3} + 5q ^ {4} + \ cdots \ right),}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ mathcal { V}} _ {c, h}} (q) = {\ frac {q ^ {h - {\ frac {c} {24}}}} {\ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} ( 1-q ^ {n})}} = {\ frac {q ^ {h - {\ frac {c-1} {24}}}} {\ eta (q)}} = q ^ {h - {\ гидроразрыв {c} {24}}} \ left (1 + q + 2q ^ {2} + 3q ^ {3} + 5q ^ {4} + \ cdots \ right),}

где $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ - это функция эта Дедекинда.

для любого $c ∈ C {\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$ , а для $r, s ∈ N ∗ {\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ верма модуль $V c, hr, s {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ сводится из-за существования сингулярного вектора на уровне $RS {\ Displaystyle RS}$ ${\ displaystyle rs}$ . Этот сингулярный вектор порождает подмодуль, который изоморфен модулю Верма $V c, hr, s + rs {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ . Частное от $V c, hr, s {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ на этот подмодуль неприводимо, если $V c, hr, s {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ не имеет других сингулярных векторов, и его характер равен

χ V c, hr, s / V c, hr, s + rs = χ V c, hr, s - χ V c, hr, s + rs = (1 - qrs) χ V c, hr, s. {\ displaystyle \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}} - \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = (1 -q ^ ​​{rs}) \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}.}

{\ displaystyle \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}} - \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = (1-q ^ {rs}) \ chi _ {{\ mathcal {V} } _ {c, h_ {r, s}}}.}

Пусть $c = cp, p ′ {\ displaystyle c = c_ {p, p '}}$ $c=c_{p,p'}$ с $2 ≤ p < p ′ {\displaystyle 2\leq p$ $2\leq p<p'$ и $p, p' {\ displaystyle p, p '}$ $p,p'$ взаимно простое и $1 ≤ r ≤ p - 1 {\ displaystyle 1 \ leq r \ leq p-1}$ ${\ displaystyle 1 \ leq r \ leq p -1}$ и $1 ≤ s ≤ p ′ - 1 {\ displaystyle 1 \ leq s \ leq p'-1}$ $1\leq s\leq p'-1$ . (Тогда $(r, s) {\ displaystyle (r, s)}$ $(r, s)$ находится в таблице Kac соответствующей минимальной модели ). Модуль Верма $V c, hr, s {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ имеет бесконечно много сингулярных векторов и поэтому может приводиться с бесконечно большим числом подмодулей. Этот модуль Верма имеет неприводимый фактор по своему наибольшему нетривиальному подмодулю. (Спектры минимальных моделей строятся из таких неприводимых представлений.) Характер неприводимого частного равен

χ V c, hr, s / (V c, hr, s + rs + V c, hr, s + ( p - r) (p ′ - s)) = ∑ k ∈ Z (χ V c, 1 4 pp ′ ((p ′ r - ps + 2 kpp ′) 2 - (p - p ′) 2) - χ V c, 1 4 pp ′ ((p ′ r + ps + 2 kpp ′) 2 - (p - p ′) 2)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / ({\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s } + rs} + {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + (pr) (p'-s)})} \\ = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z }} \ left (\ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, {\ frac {1} {4pp '}} \ left ((p'r-ps + 2kpp') ^ {2} - ( p-p ') ^ {2} \ right)}} - \ chi _ {{\ mathcal {V}} _ {c, {\ frac {1} {4pp'}} \ left ((p'r + ps + 2kpp ') ^ {2} - (p-p') ^ {2} \ right)}} \ right). \ End {align}}}

{\begin{aligned}\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/({\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}+{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)})}\\=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r-ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r+ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}\right).\end{aligned}}

Это выражение представляет собой бесконечную сумму, потому что подмодули $V c, hr, s + rs {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ и $V c, hr, s + ( p - r) (p ′ - s) {\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + (pr) (p'-s)}}$ ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}$ иметь нетривиальное пересечение, которое само по себе является сложным подмодулем.

Приложения

Конформная теория поля

В двух измерениях алгебра локальных конформных преобразований состоит из двух копий алгебры Витта. Отсюда следует, что алгебра симметрий двумерной конформной теории поля - это алгебра Вирасоро. Технически подход конформной начальной загрузки к двумерной CFT опирается на конформные блоки Вирасоро, специальные функции, которые включают и обобщают символы представлений алгебры Вирасоро.

Теория струн

Поскольку алгебра Вирасоро включает генераторы конформной группы мирового листа, тензор напряжений в теории струн подчиняется коммутационным соотношениям (двух копий) алгебры Вирасоро. Это связано с тем, что конформная группа распадается на отдельные диффеоморфизмы прямого и заднего световых конусов. Из инвариантности диффеоморфизма мирового листа дополнительно следует, что тензор напряжений обращается в нуль. Это известно как ограничение Вирасоро, и в квантовой теории оно не может применяться ко всем состояниям в теории, а скорее только к физическим состояниям (сравните Гупта –Блейлер формализм ).

Обобщения

Супералгебры Вирасоро

Существуют два суперсимметричных N = 1 расширения алгебры Вирасоро, которые называются алгеброй Невё – Шварца. и алгебра Рамона. Их теория похожа на теорию алгебры Вирасоро, теперь она включает числа Грассмана. Существуют и другие расширения этих алгебр с большей суперсимметрией, такие как N = 2 суперконформная алгебра.

W-алгебры

W-алгебры - это ассоциативные алгебры, содержащие алгебру Вирасоро и играющие роль важная роль в двумерной конформной теории поля. Среди W-алгебр алгебра Вирасоро имеет особенность быть алгеброй Ли.

Аффинные алгебры Ли

Алгебра Вирасоро является подалгеброй универсальной обертывающей алгебры любой аффинной алгебры Ли, как показывает конструкция Сугавара. В этом смысле аффинные алгебры Ли являются расширениями алгебры Вирасоро.

Мероморфные векторные поля на римановых поверхностях

Алгебра Вирасоро является центральным расширением алгебры Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами на римановой поверхности рода 0. На компактной римановой поверхности высшего рода алгебра Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами также имеет центральное расширение, которое является обобщением алгебры Вирасоро. В дальнейшем это можно обобщить на супермногообразия.

Вершинная алгебра Вирасоро и конформная алгебра Вирасоро

Алгебра Вирасоро также имеет вертексно-алгебраический и конформно-алгебраический аналоги, которые в основном возникают из-за организации всех базовых элементов в виде серий и работы с отдельными объектами.

История

Алгебра Витта (алгебра Вирасоро без центрального расширения) была открыта Э. Картан (1909). Его аналоги над конечными полями изучал Э. Виттом примерно в 1930-е гг. Центральное расширение алгебры Витта, дающее алгебру Вирасоро, было впервые найдено (в характеристике p>0) Р. E. Блок (1966, стр. 381) и независимо переоткрытый (в характеристике 0) I. М. Гельфанд и Д. Б. Фукс [de ] (1968). Вирасоро (1970) записал некоторые операторы, порождающие алгебру Вирасоро (позже известные как операторы Вирасоро ), изучая модели двойного резонанса, хотя он не нашел центрального расширения. Центральное расширение, дающее алгебру Вирасоро, было повторно открыто в физике вскоре после этого Дж. Х. Вайсом, согласно Брауэру и Торну (1971, сноска на стр. 167).

См. Также

Примечания

Литература

Александр Белавин, Александр Поляков и Александр Замолодчиков (1984). «Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля». Ядерная физика B. 241 (2): 333–380. Bibcode : 1984NuPhB.241..333B. doi : 10.1016 / 0550-3213 (84) 90052-X.
R. Э. Блок (1966). «Об аксиомах Миллса – Селигмана для алгебр Ли классического типа». Труды Американского математического общества. 121 (2): 378–392. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1966-0188356-3. JSTOR 1994485.
Р. К. Брауэр; К. Б. Торн (1971). «Устранение ложных состояний из модели двойного резонанса». Ядерная физика B. 31(1): 163–182. Bibcode : 1971NuPhB..31..163B. doi : 10.1016 / 0550-3213 (71) 90452-4..
E. Картана (1909). "Les groupes de transformations continus, infinis, simples". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 26 : 93–161. doi : 10.24033 / asens.603. JFM 40.0193.02.
B. Л. Фейгин, Д. Б. Фукс, Модули Верма над алгеброй Вирасоро Л. Д. Фаддеев (ред.) А. А. Мальцев (ред.), Топология. Proc. Междунар. Тополь. Конф. Ленинград 1982, Лект. примечания по математике., 1060, Springer (1984) pp. 230–245
Фридан Д., Цю З. и Шенкер С. (1984). «Конформная инвариантность, унитарность и критические показатели в двух измерениях». Physical Review Letters. 52(18): 1575–1578. Bibcode : 1984PhRvL..52.1575F. doi : 10.1103 / PhysRevLett.52.1575. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка ).
И.М. Гельфанд, DB Fuchs, Когомологии алгебры Ли векторных полей в окружности Функц. Анализ и приложение, 2 (1968) с. 342–343 Функц. Анализ и приложения, 2: 4 (1968) с. 92–93
П. Годдард, А. Кент и Д. Олив (1986). «Унитарные представления алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро». Сообщения в математической физике. 103 (1): 105–119. Bibcode : 1986CMaPh.103..105G. doi : 10.1007 / BF01464283. MR 0826859. Zbl 0588.17014..
Йохара, Кенджи; Кога, Йошиюки (2011), Теория представлений алгебры Вирасоро, Монографии Springer по математике, Лондон: Springer-Verlag London Ltd., doi : 10.1007 / 978-0-85729-160-8, ISBN 978-0-85729-159-2, MR 2744610
А. Кент (1991). «Особые векторы алгебры Вирасоро». Physics Letters B. 273 (1–2): 56–62. arXiv : hep-th / 9204097. Bibcode : 1991PhLB..273... 56K. doi : 10.1016 / 0370-2693 (91) 90553-3.
Виктор Кац (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
В. Г. Кац, "Представления со старшим весом бесконечномерных алгебр Ли", Proc. Междунар. Математики Конгресса (Хельсинки, 1978), стр.299-304
V. Г. Кац, А. К. Райна, Бомбейские лекции по представлениям наивысшего веса, Мировая наука. (1987) ISBN 9971-5-0395-6.
Добрев, В. К. (1986). «Мультиплетная классификация неразложимых модулей старшего веса над супералгебрами Невё-Шварца и Рамона». Lett. Математика. Phys. 11 (3): 225–234. Bibcode : 1986LMaPh..11..225D. doi : 10.1007 / bf00400220.и исправление: там же. 13 (1987) 260.
В. К. Добрев, "Характеры неприводимых модулей старшего веса над алгебрами Вирасоро и супервирасоро", Прил. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Numero 14 (1987) 25-42.
Энтони Вассерманн (2010). «Конспект лекций по алгебрам Каца-Муди и Вирасоро». arXiv : 1004.1287 [math.RT ].
Энтони Вассерманн (2010). «Прямые доказательства формулы характера Фейгина-Фукса для унитарных представлений алгебры Вирасоро». arXiv :1012.6003 [math.RT pting.