Эта функция Дедекинда

η-функция Дедекинда в верхней полуплоскости

В математике, Эта функция Дедекинда, названная в честь Ричарда Дедекинда, представляет собой модульную форму веса 1/2 и является функцией, определенной на верхней полуплоскости из комплексных чисел, где мнимая часть положительна. Это также встречается в теории бозонных струн.

• 1 Определение
• 2 Комбинаторные тождества
• 3 Специальные значения
• 4 Коэффициенты Eta
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Для любого комплексного числа $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$с $I\; m\; (\tau )>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (\backslash \; tau)>0\}$, пусть $q\; =\; e\; 2\; \pi \; i\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\}\}$, тогда определяется функция эта по,

$\eta \; (\tau )\; знак\; равно\; е\; \pi \; я\; \tau \; 12\; \prod \; N\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; e\; 2\; n\; \pi \; я\; \tau )\; =\; q\; 1\; 24\; \prod \; N\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; qn).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{\{i\}\; \backslash \; tau\}\}\}\; \{12\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (1-e\; ^\; \{2n\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{\{i\}\; \backslash \; tau\}\}\})\; =\; q\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (1-q\; ^\; \{n\}).\; \}$

Обозначение $q\; \equiv \; e\; 2\; \pi \; i\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; Equiv\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{\{i\}\; \backslash \; tau\}\}\}\; \backslash ,\}$является теперь стандартный номер теория, хотя многие старые книги используют q для нома $e\; \pi \; i\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{\{i\}\; \backslash \; tau\}\}\}\; \backslash ,\}$. Возведение уравнения эта в 24-й степени и умножение на (2π) дает

$\Delta \; (\tau )\; =\; (2\; \pi )\; 12\; \eta \; 24\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; tau)\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\; 12\}\; \backslash \; eta\; ^\; \{24\}\; (\backslash \; tau)\}$

где Δ - модульный дискриминант. Присутствие 24 можно понять, связав его с другими случаями, например, в 24-мерной решетке пиявки.

Эта функция голоморфна в верхней половине - плоскость, но не может быть продолжена аналитически за ее пределы.

Модуль Эйлера фи на единичном диске, окрашенный так, что черный = 0, красный = 4 Действительная часть модульного дискриминанта как функция q.

Эта функция удовлетворяет функционалу уравнения

$\eta \; (\tau \; +\; 1)\; знак\; равно\; е\; \pi \; я\; 12\; \eta \; (\tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau\; +1)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\}\; \{12\; \}\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau),\; \backslash ,\}$

$\eta \; (-\; 1\; \tau )\; =\; -\; i\; \tau \; \eta \; (\tau ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (-\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; tau\}\})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; \backslash \; tau\}\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau).\; \backslash ,\}$

Дополнительно в общем, предположим, что a, b, c, d - целые числа с ad - bc = 1, так что

$\tau \; \mapsto \; a\; \tau \; +\; bc\; \tau \; +\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; tau\; +\; b\}\; \{c\; \backslash \; tau\; +\; d\}\}\}$

- это преобразование, принадлежащее модульной группе. Можно считать, что либо c>0, либо c = 0 и d = 1. Тогда

$\eta \; (a\; \tau \; +\; bc\; \tau \; +\; d)\; =\; ϵ\; (a,\; b,\; c,\; d)\; (c\; \tau \; +\; d)\; 1\; 2\; \eta \; (\tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; tau\; +\; b\}\; \{c\; \backslash \; tau\; +\; d\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; epsilon\; (a,\; b,\; c,\; d)\; (c\; \backslash \; tau\; +\; d)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau),\}$

где

$ϵ\; (a,\; b,\; c,\; d)\; =\; ebi\; \pi \; 12\; (c\; =\; 0,\; d\; =\; 1);\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (a,\; b,\; c,\; d)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; \backslash \; pi\}\; \{12\}\}\; \backslash \; quad\; (c\; =\; 0,\; d\; =\; 1);\}$

$ϵ\; (a,\; b,\; c,\; d)\; =\; ei\; \pi \; [a\; +\; d\; 12\; c\; -\; s\; (d,\; c)\; -\; 1\; 4]\; (c>0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (a,\; b,\; c,\; d)\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; rm\; \{i\}\}\; \backslash \; pi\; [\{\backslash \; frac\; \{a\; +\; d\}\; \{12c\}\}\; -\; s\; (d,\; c)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}]\}\; \backslash \; quad\; (c>0).\}$

Здесь $s\; (h,\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (h,\; k)\}$- это сумма Дедекинда

$s\; (h,\; k)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; k\; -\; 1\; nk\; (hnk\; -\; \lfloor \; hnk\; \rfloor \; -\; 1\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\; (h,\; k)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{k-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{k\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{hn\}\; \{k\}\}\; -\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{hn\}\; \{k\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\}$

Из-за этих функциональных уравнений функция эта является модульной формой веса 1/2 и уровня 1 для определенного персонажа порядок 24 метаплектического двойного покрытия модульной группы, и может использоваться для определения других модульных форм. В частности, модульный дискриминант из Weierstrass может быть определен как

$\Delta \; (\tau )\; знак\; равно\; (2\; \pi )\; 12\; \eta \; (\tau )\; 24\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; tau)\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{12\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; ^\; \{\; 24\}\; \backslash ,\}$

и является модульной формой веса 12. (Некоторые авторы опускают множитель (2π), так что разложение в ряд имеет целые коэффициенты).

Тройное произведение Якоби подразумевает, что эта является (с точностью до множителя) тета-функцией Якоби для специальных значений аргументов:

$\eta \; (\tau )\; Знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; \chi \; (N)\; ехр\; \; (1\; 12\; \pi \; в\; 2\; \tau ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; chi\; (n)\; \backslash \; ехр\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{12\}\}\; \backslash \; пи\; в\; ^\; \{2\}\; \backslash \; тау),\}$

где $\chi \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (n)\}$- это «» символ Дирихле по модулю 12 с $\chi \; (\pm \; 1)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; pm\; 1)\; =\; 1\}$, $\chi \; (\pm \; 5)\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; pm\; 5)\; =\; -\; 1\}$. Явно

$\eta \; (\tau )\; =\; e\; \pi \; i\; \tau \; 12\; \vartheta \; (\tau \; +\; 1\; 2;\; 3\; \tau ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\}\; \{12\}\}\; \backslash \; vartheta\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; tau\; +1\}\; \{2\}\};\; 3\; \backslash \; tau).\}$

функция Эйлера

$\varphi \; (q)\; =\; \prod \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; -\; qn),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (q)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (1-q\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right),\}$

связано с $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash ,\}$посредством $\varphi \; (q)\; =\; q\; -\; 1\; /\; 24\; \eta \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (q)\; =\; q\; ^\; \{-\; 1/24\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\}$, имеет степенной ряд по тождеству Эйлера :

$\varphi \; (q)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (-\; 1)\; nq\; (3\; n\; 2\; -\; n)\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (q)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; q\; ^\; \{(3n\; ^\; \{2\}\; -n)\; /\; 2\}.\}$

Поскольку функцию эта легко вычислить численно из любого степенного ряда, при вычислениях часто бывает полезно выразить другие функции в терминах этой функции, когда это возможно, а также произведений и частных функций эта, называемых частными эта, можно использовать для выражения большого разнообразия модульных форм.

На рисунке на этой странице показан модуль функции Эйлера: дополнительный множитель $q\; 1/24\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{1/24\}\}$между этим и eta почти не делает визуальной разницы (она только вводит крошечный укол в начале координат). Таким образом, это изображение может быть принято как изображение эта как функция q.

Теория алгебраических характеров аффинных алгебр Ли дает начало большому классу ранее неизвестных тождеств для эта функция. Эти тождества следуют из формулы характера Вейля – Каца, а точнее из так называемых «тождеств знаменателя». Сами символы позволяют построить обобщения тета-функции Якоби, которые преобразуются по модульной группе ; вот что ведет к идентичностям. Пример одного такого нового тождества:

$\eta \; (8\; \tau )\; \eta \; (16\; \tau )\; =\; \sum \; m,\; n\; \in \; Z\; m\; \le \; |\; 3\; н\; |\; (-\; 1)\; mq\; (2\; м\; +\; 1)\; 2-32\; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (8\; \backslash \; tau)\; \backslash \; eta\; (16\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m,\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; наверху\; m\; \backslash \; leq\; |\; 3n\; |\}\; (-\; 1)\; ^\; \{m\}\; q\; ^\; \{(2m\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\; -32n\; ^\; \{2\}\}\}$

где $q\; =\; exp\; \; 2\; \pi \; i\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; \backslash \; exp\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau\}$- q-аналог или «деформация» наибольшего веса модуля.

Из указанной выше связи с функцией Эйлера вместе со специальными значениями последней можно легко вывести, что

$\eta \; (i)\; =\; \Gamma \; (1\; 4)\; 2\; \pi \; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (i)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\; \backslash \; pi\; ^\; \{3/4\}\}\}\}$

$\eta \; (1\; 2\; я)\; знак\; равно\; \Gamma \; (1\; 4)\; 2\; 7/8\; \pi \; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; я\; \backslash \; справа)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Гамма\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\; ^\; \{7/8\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{3/4\}\}\}\}$

$\eta \; (2\; i)\; =\; \Gamma \; (1\; 4)\; 2\; 11/8\; \pi \; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (2i)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\; ^\; \{\{11\}\; /\; 8\; \}\; \backslash \; pi\; ^\; \{3/4\}\}\}\}$

$\eta \; (3\; i)\; =\; \Gamma \; (1\; 4)\; 2\; (3\; 1/3)\; (3\; +\; 2\; 3)\; 1/12\; \pi \; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (3i)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\; (3\; ^\; \{1/3\})\; (3\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\; ^\; \{1/12\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{3/4\}\}\}\}$

$\eta \; (4\; я)\; =\; -\; 1\; +\; 2\; 4\; \Gamma \; (1\; 4)\; 2\; 29/16\; \pi \; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (4i)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{-\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{2\; ^\; \{\{29\}\; /\; 16\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{3/4\}\}\}\}$

$\eta \; (e\; 2\; \pi \; i\; /\; 3)\; =\; e\; -\; \pi \; i\; 24\; 3\; 8\; \Gamma \; (1\; 3)\; 3/2\; 2\; \pi \; \{\backslash \; dis\; playstyle\; \backslash \; eta\; (e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; /\; 3\})\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; i\}\; \{24\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; [\{8\}]\; \{3\}\}\; \backslash \; Гамма\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3/2\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}$

Эти-коэффициенты определяются частными от форма

Где $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- неотрицательное целое число, а $rd\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{d\}\}$любое целое число. Линейные комбинации отношений эта при мнимых квадратичных аргументах могут быть алгебраическими, в то время как комбинации частных эта могут даже быть целыми. Например, определите

$j\; (\tau )\; =\; ((\eta \; (\tau )\; \eta \; (2\; \tau ))\; 8\; +\; 2\; 8\; (\eta \; (2\; \tau )\; \eta \; (\tau ))\; 16)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (2\; \backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{8\}\; +\; 2\; ^\; \{8\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (2\; \backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{16\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{3\}\}$

$j\; 2\; A\; (\; \tau )\; знак\; равно\; ((\eta \; (\tau )\; \eta \; (2\; \tau ))\; 12\; +\; 2\; 6\; (\eta \; (2\; \tau )\; \eta \; (\tau ))\; 12)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{2A\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (2\; \backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{12\}\; +\; 2\; ^\; \{6\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; \backslash \; eta\; (2\; \backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{12\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{2\}\}$

$j\; 3\; A\; (\tau )\; =\; ((\eta \; (\; \tau )\; \eta \; (3\; \tau ))\; 6\; +\; 3\; 3\; (\eta \; (3\; \tau )\; \eta \; (\tau ))\; 6)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{3A\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (3\; \backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{6\}\; +\; 3\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (3\; \backslash \; tau)\; \}\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{6\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{2\}\}$

$j\; 4\; A\; (\tau )\; =\; ((\eta \; (\tau )\; \eta \; (4\; \tau ))\; 4\; +\; 4\; 2\; (\eta \; (4\; \tau )\; \eta \; (\tau ))\; 4)\; 2\; =\; (\eta \; 2\; (2\; \tau )\; \eta \; (\tau )\; \eta \; (4\; \tau ))\; 24\; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{4A\}\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (4\; \backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{4\}\; +\; 4\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big\; (\; \}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; eta\; (4\; \backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; (2\; \backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\; \backslash \; eta\; (4\; \backslash \; tau)\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; ^\; \{24\}\}$

с 24-й степенью Модульная функция Вебера $f\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{f\}\}\; (\backslash \; tau)\}$. Тогда

$j\; (1\; +\; -\; 163\; 2)\; =\; -\; 640320\; 3,\; e\; \pi \; 163\; \approx \; 640320\; 3\; +\; 743.99999999999925\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-163\}\})\; \}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; =\; -\; 640320\; ^\; \{3\},\; \backslash \; quad\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 640320\; ^\; \{3\}\; +743.99999999999925\; \backslash \; dots\}$

$j\; 2\; A\; (-\; 58\; 2)\; =\; 396\; 4,\; e\; \pi \; 58\; \approx \; 396\; 4\; -\; 104.00000017\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{2A\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; sqrt\; \{-58\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Big)\; \}\; =\; 396\; ^\; \{4\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{58\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 396\; ^\; \{4\}\; -104.00000017\; \backslash \; dots\}$

$j\; 3\; A\; (1\; +\; -\; 89/3\; 2)\; =\; -\; 300\; 3,\; e\; \pi \; 89/3\; \approx \; 300\; 3\; +\; 41.999971\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{3A\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-89/3\}\}\}\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; Big)\}\; =\; -\; 300\; ^\; \{3\},\; \backslash \; quad\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{89/3\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 300\; ^\; \{3\}\; +41.999971\; \backslash \; dots\}$

$j\; 4\; A\; (\; -\; 7\; 2)\; =\; 2\; 12,\; e\; \pi \; 7\; \approx \; 2\; 12\; -\; 24,06\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; j\_\; \{4A\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; sqrt\; \{-7\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; =\; 2\; ^\; \{12\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{7\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 2\; ^\; \{12\}\; -24.06\; \backslash \; dots\}$

и так далее, значения, которые появляются в Серия Рамануджана – Сато.

Эта-коэффициенты также могут быть полезным инструментом для описания основ модульных форм, которые ch, как известно, сложно вычислить и выразить напрямую. В 1993 году Бэзил Гордон и Ким Хьюз доказали, что если коэффициент эта $\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$вида удовлетворяет

, тогда $\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$- это вес $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$модульная форма для подгруппы конгруэнции $\Gamma \; 0\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N)\}$(до голоморфность ), где

Этот результат был расширен в 2019 г., так что обратное верно для случаев, когда $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$равно взаимно простое с $6\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\}$, и остается открытым, что исходная теорема точна для всех целых чисел $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$. Это также распространяется на утверждение, что любой модульный коэффициент эта для любого уровня $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$подгруппа конгруэнтности также должен быть модульной формой для группа $\Gamma \; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (N)\}$. Хотя эти теоремы характеризуют модульные эти-частные, условие голоморфности необходимо проверять отдельно, используя теорему, появившуюся из работ Жерара Лигозата и Ива Мартина:

Если $\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$- это частное от эта, удовлетворяющее указанным выше условиям для целого числа $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$и $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- взаимно простые целые числа, тогда порядок исчезновения в cusp $cd\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{d\}\}\}$относительно $\Gamma \; 0\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N)\}$is

.

Эти теоремы предоставляют эффективные средства для создания голоморфных модульных коэффициентов эта, однако этого может быть недостаточно для построения основы для векторного пространства модульных форм и бугорков. Полезная теорема для ограничения количества рассматриваемых модульных факторов эта утверждает, что голоморфный вес $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$модульное частное эта на $\Gamma \; 0\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N)\}$должен удовлетворять

, где $ord\; p\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{ord\}\}\; \_\; \{p\}\; (N)\; \}$обозначает наибольшее целое число $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$такое, что $pm\; \mid \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{m\}\; \backslash \; mid\; N\}$. Эти результаты приводят к нескольким характеристикам пространств модулярных форм, которые могут быть охарактеризованы модулярными факторами эта. Используя структуру градуированного кольца на кольце модульных форм, мы можем вычислить базы векторных пространств модульных форм, состоящих из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$- линейные комбинации эта-частных. Например, если мы предположим, что $N\; =\; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; pq\}$является полупростым числом, то следующий процесс можно использовать для вычисления базиса эта-частного для $M\; k\; (\Gamma \; 0\; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\}\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N))\}$.

Шаг 1. Зафиксируйте полупростое число $N\; =\; pq\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; pq\}$, который взаимно прост с 6. Мы знаем, что любой модульный коэффициент эта может быть найден с помощью приведенных выше теорем, поэтому разумно вычислить их алгоритмически.

Шаг 2: Вычислить размер $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$из $M\; k\; (\Gamma \; 0\; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\}\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N))\}$. Это говорит нам, сколько линейно независимых модульных коэффициентов эта нам необходимо вычислить, чтобы сформировать основу.

Шаг 3. Уменьшите количество рассматриваемых факторов эта. Для полупростых чисел мы можем уменьшить количество разделов, используя границу

и заметив, что сумма порядков исчезновения в точках возврата $\Gamma \; 0\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N)\}$должно быть равно

$S:\; =\; (p\; +\; 1)\; (q\; +\; 1)\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; S:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(p\; +\; 1)\; (q\; +\; 1)\}\; \{6\}\}\}$.

Шаг 4: Найдите все разделы $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$на 4-кортежи (есть 4 куспида $\Gamma \; 0\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N)\}$), и среди них рассматриваются только разбиения, удовлетворяющие условиям Гордона и Хьюза (мы можем преобразовать порядки исчезновения в экспоненты). Каждому из этих разделов соответствует уникальный коэффициент эта.

Шаг 5: Определите минимальное количество терминов в q-разложении каждого фактора эта, необходимого для однозначной идентификации элементов (здесь используется результат, известный как граница Штурма). Затем используйте линейную алгебру, чтобы определить максимальное независимое множество среди этих факторов эта.

Шаг 6: Предположим, что мы не нашли $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$многих линейно независимых частных частных эта. Найдите подходящее векторное пространство $M\; k\; \text{'}(\Gamma \; 0\; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\text{'}\}\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N))\}$такое, что $k\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; k\; \text{'}\}$и $M\; k\; \prime \; (\Gamma \; 0\; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\text{'}\}\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N))\}$состоит из (слабо голоморфных ) частных, а $M\; k\; \prime \; -\; k\; (\Gamma \; 0\; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\text{'}-k\}\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{\; 0\}\; (N))\}$содержит коэффициент эта $\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$.

Шаг 7. Возьмите вес $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$модульная форма $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$вне диапазона наших вычисленных эта-частных и вычисляем $f\; \eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\; \}\}$как линейная комбинация эта-частных в $M\; k\; \text{'}(\Gamma \; 0\; (N))\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\text{'}\}\; (\backslash \; Gamma\; \_\; \{0\}\; (N))\}$, а затем разделить на $\eta \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{g\}\}$. Результатом будет выражение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в виде желаемой линейной комбинации отношений эта. Повторяйте это до тех пор, пока не будет сформирована основа.

• Формула Чоула – Сельберга
• Ряд Рамануджана – Сато
• q-серия
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Функция распределения (теория чисел)
• Формула предела Кронекера
• Аффинная алгебра Ли

1. ^Siegel, CL (1954). "Простое доказательство $\eta \; (-\; 1\; /\; \tau )\; =\; \eta \; (\tau )\; \tau \; /\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (-1\; /\; \backslash \; tau)\; =\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tau\; /\; \{\; \backslash \; rm\; \{i\}\}\}\}\; \backslash ,\}$". Математика. 1 : 4. doi : 10.1112 / S0025579300000462.
2. ^Bump, Daniel (1998), Автоморфные формы и представления, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55098-X
3. ^Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы, Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
4. ^Бэзил Гордон и Ким Хьюз. Мультипликативные свойства η-произведений. II. В памяти Эмиля Гроссвальда: теория чисел и связанный с ней анализ, том 143 Contemp. Math., Страницы 415–430. Амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1993.
5. ^Майкл Аллен и др. «Эти-частные простых или полупростых уровней и эллиптических кривых». В: arXiv e-prints, arXiv : 1901.10511 (январь 2019 г.), arXiv : 1901.10511. arXiv : 1901.10511 [math.NT].
6. ^Г. Лигозат. Модульные курсы жанра 1. U.E.R. Mathématique, Université Paris XI, Orsay, 1974. Публикация Mathématique d’Orsay, № 75 7411.
7. ^Ив Мартен. Мультипликативные η-факторы. Пер. Амер. Математика. Soc., 348 (12): 4825–4856, 1996.
8. ^Джереми Роуз и Джон Дж. Уэбб. О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-факторы. Adv. Math., 272: 200–224, 2015.
9. ^Джереми Роуз и Джон Дж. Уэбб. О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-факторы. Adv. Math., 272: 200–224, 2015.
10. ^Майкл Аллен и др. «Эти-частные простых или полупростых уровней и эллиптических кривых». В: arXiv e-prints, arXiv : 1901.10511 (январь 2019 г.), arXiv : 1901.10511. arXiv : 1901.10511 [math.NT].
11. ^Майкл Аллен и др. «Эти-частные простых или полупростых уровней и эллиптических кривых». В: arXiv e-prints, arXiv : 1901.10511 (январь 2019 г.), arXiv : 1901.10511. arXiv : 1901.10511 [math.NT].
12. ^Джереми Роуз и Джон Дж. Уэбб. О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-факторы. Adv. Math., 272: 200–224, 2015.

• Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Тексты для выпускников по математике 41(1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 См. Главу 3.
• Нил Коблитц, Введение в эллиптические кривые и модульные формы (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2