Модульная функция Weber

редактировать

В математике модульные функции Вебера представляют собой семейство из трех модульных функций f, f 1 и f 2, изученные Генрихом Мартином Вебером.

Содержание

1 Определение
2 Отношение к тета-функциям
3 Отношение к j-функции
4 См. также
5 Ссылки

Определение

Пусть $q = e 2 π i τ {\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau }}$ $q = e ^ {2 \ pi i \ tau}$ где τ - элемент верхней полуплоскости .

f (τ) = q - 1 48 ∏ n>0 (1 + qn - 1 2) = e - π i 24 η (τ + 1 2) η (τ) = η 2 (τ) η (τ 2) η (2 τ) f 1 (τ) = q - 1 48 ∏ n>0 (1 - qn - 1 2) знак равно η (τ 2) η (τ) е 2 (τ) = 2 q 1 24 ∏ n>0 (1 + qn) = 2 η (2 τ) η (τ) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {f}} ( \ tau) = q ^ {- {\ frac {1} {48}}} \ prod _ {n>0} (1 + q ^ {n - {\ frac {1} {2}}}) = e ^ {- {\ frac {\ pi {\ rm {i}}} {24}}} {\ frac {\ eta {\ big (} {\ frac {\ tau +1} {2}} {\ big) }} {\ eta (\ tau)}} = {\ frac {\ eta ^ {2} (\ tau)} {\ eta {\ big (} {\ tfrac {\ tau} {2}} {\ big) } \ eta (2 \ tau)}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) = q ^ {- {\ frac {1} {48}}} \ prod _ {n>0} (1-q ^ {n - {\ frac {1} {2}}}) = {\ frac {\ eta {\ big (} {\ tfrac {\ tau} {2}} {\ big)} } {\ eta (\ tau)}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {2}} \, q ^ {\ frac {1} {24}} \ prod _ {n>0} (1 + q ^ {n}) = {\ frac {{\ sqrt {2}} \, \ eta (2 \ tau)} {\ eta (\ tau)}} \ end {выровнено}}}

{\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau)=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0} (1 + q ^ {n - {\ frac {1} {2}}}) = e ^ {- {\ frac {\ pi {\ rm {i}) }} {24}}} {\ frac {\ eta {\ big (} {\ frac {\ tau +1} {2}} {\ big)}} {\ eta (\ tau)}} = {\ frac {\ eta ^ {2} (\ tau)} {\ eta {\ big (} {\ tfrac {\ tau} {2}} {\ big)} \ eta (2 \ tau)}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) = q ^ {- {\ frac {1} {48}}} \ prod _ {n>0} (1-q ^ {n - {\ frac {1) } {2}}}) = {\ frac {\ eta {\ big (} {\ tfrac {\ tau} {2}} {\ big)}} {\ eta (\ tau)}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {2}} \, q ^ {\ frac {1} {24}} \ prod _ {n>0} (1 + q ^ {n }) = {\ frac {{\ sqrt {2}} \, \ eta (2 \ tau)} {\ eta (\ tau)}} \ end {align}}

где $η (τ) {\ displaystyle \ eta (\ tau)}$ $\ eta (\ tau)$ эта функция Дедекинда. Обратите внимание на такие описания, как $η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ частные, сразу подразумевающие

f (τ) f 1 (τ) f 2 (τ) = 2. {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {2 }}.}

{\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {2}}.}

Преобразование τ → –1 / τ фиксирует f и меняет местами f 1 и f 2. Таким образом, 3-мерное комплексное векторное пространство с базисом f, f 1 и f 2 обрабатывается группой SL 2(Z).

Связь с тета-функциями

Пусть аргументом тета-функции Якоби будет номер $q = e π i τ {\ стиль отображения q = е ^ {\ пи я \ тау}}$ $q = e ^ {\ pi i \ tau}$ . Тогда

f (τ) = θ 3 (0, q) η (τ) f 1 (τ) = θ 4 (0, q) η (τ) f 2 (τ) = θ 2 (0, q) η (τ) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {f}} (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ theta _ {3} (0, q)} {\ eta ( \ tau)}}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ theta _ {4} (0, q)} {\ eta (\ tau)}}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {\ frac {\ theta _ {2} (0, q)} {\ eta (\ tau)} }} \\\ end {align}}}

\ begin {align} \ mathfrak {f} (\ tau) = \ sqrt {\ frac {\ theta_3 (0, q)} {\ eta (\ tau)}} \\ \ mathfrak {f} _1 (\ tau) = \ sqrt {\ frac {\ theta_4 (0, q)} {\ eta (\ tau)}} \\ \ mathfrak {f} _2 (\ tau) = \ sqrt {\ frac {\ theta_2 (0, q)} {\ eta (\ tau)}} \\ \ end {align}

Используя известное тождество,

θ 2 (0, q) 4 + θ 4 (0, q) 4 = θ 3 (0, q) 4 {\ displaystyle \ theta _ {2} (0, q) ^ {4} + \ theta _ {4} (0, q) ^ {4} = \ theta _ {3} (0, q) ^ {4} }

\ theta_2 (0, q) ^ 4 + \ theta_4 (0, q) ^ 4 = \ theta_3 (0, q) ^ 4

таким образом,

f 1 (τ) 8 + f 2 (τ) 8 = f (τ) 8 {\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) ^ {8} + {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) ^ {8} = {\ mathfrak {f}} (\ tau) ^ {8}}

\ mathfrak {f} _1 (\ tau) ^ 8 + \ mathfrak {f} _2 (\ tau) ^ 8 = \ mathfrak {f} (\ tau) ^ 8

Связь с j-функцией

Три корня кубического уравнения,

j (τ) = (x - 16) 3 x {\ displaystyle j (\ tau) = {\ frac {(x-16) ^ {3}} { x}}}

{\ displaystyle j (\ tau) = {\ frac {(x-16) ^ {3}} {x}}}

где j (τ) - j-функция задаются как $xi = f (τ) 24, - f 1 (τ) 24, - f 2 (τ) 24 {\ Displaystyle х _ {i} = {\ mathfrak {f}} (\ tau) ^ {24}, - {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) ^ {24}, - {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) ^ {24}}$ ${\ displaystyle x_ {i} = {\ mathfrak {f}} (\ tau) ^ {24}, - {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) ^ {24}, - {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) ^ {24}}$ . Кроме того, поскольку,

j (τ) = 32 (θ 2 (0, q) 8 + θ 3 (0, q) 8 + θ 4 (0, q) 8) 3 (θ 2 (0, q) θ 3 (0, q) θ 4 (0, q)) 8 {\ displaystyle j (\ tau) = 32 {\ frac {{\ Big (} \ theta _ {2} (0, q) ^ {8} + \ theta _ {3} (0, q) ^ {8} + \ theta _ {4} (0, q) ^ {8} {\ Big)} ^ {3}} {{\ Big (} \ theta _ {2} (0, q) \ theta _ {3} (0, q) \ theta _ {4} (0, q) {\ Big)} ^ {8}}}}

j (\ tau) = 32 \ frac {\ Big (\ theta_2 (0, q) ^ 8 + \ theta_3 (0, q) ^ 8 + \ theta_4 (0, q) ^ 8 \ Big) ^ 3} {\ Big (\ theta_2 (0, q) \ theta_3 (0, q) \ theta_4 (0, q) \ Big) ^ 8}

тогда

J (τ) знак равно (е (τ) 16 + е 1 (τ) 16 + f 2 (τ) 16 2) 3 {\ displaystyle j (\ tau) = \ left ({\ frac {{\ mathfrak {f }} (\ tau) ^ {16} + {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) ^ {16} + {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) ^ {16} } {2}} \ right) ^ {3}}

j (\ tau) = \ left (\ frac {\ mathfrak {f} (\ tau) ^ {16} + \ mathfrak {f} _1 (\ tau) ^ {16} + \ mathfrak {f} _2 (\ tau) ^ {16}} {2} \ right) ^ 3

См. Также

Серия Рамануджана – Сато, уровень 4

Ссылки

Вебер, Генрих Мартин (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (на немецком языке), 3 (3-е изд.), Нью-Йорк: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971 -4
Юи, Норико; Загир, Дон (1997), "О сингулярных значениях модулярных функций Вебера", Математика вычислений, 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00854-5, MR 1415803