Теория бозонных струн

редактировать

Теория бозонных струн - это оригинальная версия теории струн, разработанная в конце 1960-х годов. Он назван так потому, что содержит в спектре только бозонов.

В 1980-х годах суперсимметрия была открыта в контексте теории струн, и новая версия теории струн под названием теория суперструн (суперсимметричная теория струн) стала настоящей фокус. Тем не менее, теория бозонных струн остается очень полезной моделью для понимания многих общих особенностей теории пертурбативных струн, и многие теоретические трудности суперструн на самом деле уже можно найти в контексте бозонных струн.

Содержание

1 Задачи
2 Типы бозонных струн
3 Математика
- 3.1 Теория возмущений с интегралом по траекториям
  - 3.1.1 h = 0
  - 3.1.2 h = 1
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Проблемы

Хотя теория бозонных струн имеет много привлекательных особенностей, она не является жизнеспособной физической моделью в двух важных областях.

Во-первых, он предсказывает существование только бозонов, тогда как многие физические частицы являются фермионами.

Во-вторых, он предсказывает существование моды струны с мнимым масса, подразумевая, что теория имеет нестабильность по отношению к процессу, известному как «тахионная конденсация ».

Кроме того, теория бозонных струн в общем пространственно-временном измерении обнаруживает несоответствия из-за конформной аномалии . Но, как впервые заметил Клод Лавлейс, в пространстве-времени 26 измерений (25 измерений пространства и одно измерение времени), критическое измерение для теории, аномалия сокращается. Эта высокая размерность не обязательно является проблемой для теории струн, потому что ее можно сформулировать таким образом, что вдоль 22 дополнительных измерений пространство-время складывается, образуя небольшой тор или другое компактное многообразие. Это оставит только знакомые четыре измерения пространства-времени видимыми для экспериментов с низкими энергиями. Существование критического измерения, в котором происходит сокращение аномалии, является общей чертой всех теорий струн.

Типы бозонных струн

Существует четыре возможных теории бозонных струн, в зависимости от того, разрешены ли открытые струны и имеют ли струны указанную ориентацию. Напомним, что теория открытых струн должна включать и замкнутые струны; открытые строки можно представить как фиксированные на D25-бране, которая заполняет все пространство-время. Определенная ориентация строки означает, что разрешено только взаимодействие, соответствующее ориентируемому мировому листу (например, две строки могут объединяться только с одинаковой ориентацией). Набросок спектров четырех возможных теорий выглядит следующим образом:

Теория бозонных струн	Неположительные $M 2 {\ displaystyle M ^ {2}}$ $M ^ {2}$ состояния
Открытый и закрытый, ориентированный	тахион, гравитон, дилатон, безмассовый антисимметричный тензор
Открытый и закрытый, неориентированный	тахион, гравитон, дилатон
Замкнутый, ориентированный	тахион, гравитон, дилатон, антисимметричный тензор, U(1) векторный бозон
Замкнутый, неориентированный	тахион, гравитон, дилатон

Обратите внимание, что все четыре теории имеют тахион с отрицательной энергией ( $M 2 = - 1 α ′ {\ displaystyle M ^ {2} = - {\ frac {1} {\ alpha '}}}$ $M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}$ ) и безмассовый гравитон.

Остальная часть этой статьи относится к закрытой ориентированной теории, соответствующей ориентируемым мировым листам без полей.

Математика

Теория возмущений с интегралом по траекториям

Можно сказать, что теория бозонных струн определяется с помощью квантования с интегралом по путям действия Полякова. :

я 0 [г, Икс] знак равно T 8 π ∫ M d 2 ξ ggmn ∂ mx μ ∂ Nx ν G μ ν (x) {\ displaystyle I_ {0} [g, X] = {\ frac {T } {8 \ pi}} \ int _ {M} d ^ {2} \ xi {\ sqrt {g}} g ^ {mn} \ partial _ {m} x ^ {\ mu} \ partial _ {n} x ^ {\ nu} G _ {\ mu \ nu} (x)}

I_ {0} [g, X] = {\ frac {T} {8 \ pi}} \ int _ {M } d ^ {2} \ xi {\ sqrt {g}} g ^ {mn} \ partial _ {m} x ^ {\ mu} \ partial _ {n} x ^ {\ nu} G _ {\ mu \ nu } (x)

$x μ (ξ) {\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ xi)}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ xi)}$ - поле на таблица мира, описывающая вложение строки в пространство-время 25 + 1; в формулировке Полякова $g {\ displaystyle g}$ $g$ следует понимать не как индуцированную метрику из вложения, а как независимое динамическое поле. $G {\ displaystyle G}$ $G$ - это метрика целевого пространства-времени, которая обычно принимается в качестве метрики Минковского в теории возмущений. При вращении фитиля это преобразуется в евклидову метрику $G μ ν = δ μ ν {\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu \ nu}}$ $G _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu \ nu}$ . M - это мировой лист как топологическое многообразие, параметризованное координатами $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ . $T {\ displaystyle T}$ $T$ - натяжение струны, связанное с наклоном Редже как $T = 1 2 π α ′ {\ displaystyle T = {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}}}$ $T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}$ .

$I 0 {\ displaystyle I_ {0}}$ $I_ {0}$ имеет диффеоморфизм и инвариантность Вейля. Симметрия Вейля нарушается при квантовании (Конформная аномалия ), и поэтому это действие необходимо дополнить контрчленом вместе с гипотетическим чисто топологическим членом, пропорциональным эйлеровой характеристике :

I = I 0 + λ χ (M) + μ 0 2 ∫ M d 2 ξ g {\ displaystyle I = I_ {0} + \ lambda \ chi (M) + \ mu _ {0} ^ {2} \ int _ {M } d ^ {2} \ xi {\ sqrt {g}}}

I = I_ {0} + \ lambda \ chi (M) + \ mu _ {0} ^ {2} \ int _ {M} d ^ {2} \ xi {\ sqrt {g}}

Явное нарушение инвариантности Вейля контрчленом может быть отменено в критическом измерении 26.

Затем конструируются физические величины из (евклидовой) статистической суммы и N-точечной функции :

Z = ∑ h = 0 ∞ ∫ D gmn DX μ N exp ⁡ (- I [g, X]) {\ displaystyle Z = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} \ int {\ frac {{\ mathcal {D}} g_ {mn} {\ mathcal {D} } X ^ {\ mu}} {\ mathcal {N}}} \ exp (-I [g, X])}

Z = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} \ int {\ frac {{\ mathcal {D}} g_ {mn} { \ mathcal {D}} X ^ {\ mu}} {\ mathcal {N}}} \ exp (-I [g, X])

⟨V i 1 (k 1 μ) ⋯ V ip (kp μ)⟩ = ∑ час знак равно 0 ∞ ∫ D gmn DX μ N ехр ⁡ (- I [g, X]) V i 1 (k 1 μ) ⋯ V ip (kp μ) {\ displaystyle \ left \ langle V_ {i_ {1}} (k_ {1} ^ {\ mu}) \ cdots V_ {i_ {p}} (k_ {p} ^ {\ mu}) \ right \ rangle = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} \ int {\ frac {{\ mathcal {D}} g_ {mn} {\ mathcal {D}} X ^ {\ mu}} {\ mathcal {N}}} \ exp (-I [g, X]) V_ {i_ {1}} (k_ {1} ^ {\ mu}) \ cdots V_ {i_ {p}} (k_ {p} ^ {\ mu})}

\ left \ langle V_ {i_ {1}} (k_ {1} ^ {\ mu}) \ cdots V_ {i_ {p}} (k_ {p} ^ {\ mu}) \ right \ rangle = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} \ int {\ frac {{\ mathcal {D}} g_ {mn} {\ mathcal {D}} X ^ {\ mu}} {\ mathcal {N}}} \ exp ( -I [g, X]) V_ {i_ {1}} (k_ {1} ^ {\ mu}) \ cdots V_ {i_ {p}} (k_ {p} ^ {\ mu})

Пертурбативный ряд выражается как сумма по топологии, индексируемые родом.

Дискретная сумма - это сумма по возможным топологиям, которые для евклидовых бозонно-ориентируемых замкнутых цепочек являются компактными ориентируемыми римановыми поверхностями и, таким образом, отождествляются с родом $h { \ отображает tyle h}$ $h$ . Коэффициент нормализации $N {\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ введен для компенсации перерасчета из-за симметрии. В то время как вычисление статистической суммы соответствует космологической постоянной, N-точечная функция, включая вертексные операторы $p {\ displaystyle p}$ $p$ , описывает амплитуду рассеяния строк.

Группа симметрии действия на самом деле резко сокращает пространство интегрирования до конечномерного многообразия. $g {\ displaystyle g}$ $g$ интеграл по путям в статистической сумме априори является суммой возможных римановых структур; однако факторизация относительно преобразований Вейля позволяет нам рассматривать только конформные структуры, то есть классы эквивалентности метрик при идентификации метрик, связанных

g ′ (ξ) знак равно e σ (ξ) g (ξ) {\ displaystyle g '(\ xi) = e ^ {\ sigma (\ xi)} g (\ xi)}

g'(\xi)=e^{\sigma (\xi)}g(\xi)

Поскольку мировой лист двумерен, существует соответствие 1-1 между конформными структурами и сложными структурами. Еще нужно выделить диффеоморфизмы. Это оставляет нам интегрирование по пространству всех возможных комплексных структур по модулю диффеоморфизмов, которое является просто пространством модулей данной топологической поверхности и фактически является конечномерным комплексным многообразием. Таким образом, фундаментальной проблемой пертурбативных бозонных струн становится параметризация пространства модулей, что нетривиально для рода $h ≥ 4 {\ displaystyle h \ geq 4}$ $h \ geq 4$ .

h = 0

At tree -уровень, соответствующий роду 0, космологическая постоянная обращается в нуль: $Z 0 = 0 {\ displaystyle Z_ {0} = 0}$ $Z_ {0} = 0$ .

Четырехточечная функция для рассеяния четырех тахионов - это амплитуда Шапиро-Вирасоро :

A 4 ∝ (2 π) 26 δ 26 (k) Γ (- 1 - s / 2) Γ (- 1 - t / 2) Γ (- 1 - u / 2) Γ (2 + s / 2) Γ (2 + t / 2) Γ (2 + u / 2) {\ displaystyle A_ {4} \ propto (2 \ pi) ^ {26} \ delta ^ {26} (k) {\ frac {\ Гамма (-1-s / 2) \ Gamma (-1-t / 2) \ Gamma (-1-u / 2)} {\ Gamma (2 + s / 2) \ Gamma (2 + t / 2) \ Гамма (2 + u / 2)}}}

A_ {4} \ propto (2 \ pi) ^ {26} \ delta ^ {26} (k) {\ frac { \ Gamma (-1-s / 2) \ Gamma (-1-t / 2) \ Gamma (-1-u / 2)} {\ Gamma (2 + s / 2) \ Gamma (2 + t / 2) \ Gamma (2 + u / 2)}}

Где $k {\ displaystyle k}$ $k$ - общий импульс, а $s {\ displaystyle s}$ $s$ , $t {\ displaystyle t}$ $t$ , $u {\ displaystyle u}$ $u$ - переменные Мандельштама.

h = 1

Заштрихованная область - возможная фундаментальная область для модульной группы.

Род 1 - й тор, и соответствует однопетлевому уровню. Статистическая сумма составляет:

Z 1 = ∫ M 1 d 2 τ 8 π 2 τ 2 2 1 (4 π 2 τ 2) 12 | η (τ) | - 48 {\ displaystyle Z_ {1} = \ int _ {{\ mathcal {M}} _ {1}} {\ frac {d ^ {2} \ tau} {8 \ pi ^ {2} \ tau _ { 2} ^ {2}}} {\ frac {1} {(4 \ pi ^ {2} \ tau _ {2}) ^ {12}}} \ left | \ eta (\ tau) \ right | ^ { -48}}

Z_ {1} = \ int _ {{\ mathcal {M}} _ {1}} {\ frac {d ^ {2} \ tau} {8 \ pi ^ {2} \ tau _ {2} ^ {2 }}} {\ frac {1} {(4 \ pi ^ {2} \ tau _ {2}) ^ {12}}} \ left | \ eta (\ tau) \ right | ^ {- 48}

$τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - комплексное число с положительной мнимой частью $τ 2 {\ displaystyle \ tau _ {2}}$ $\ tau _ {2}$ ; $M 1 {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1}}$ ${\ mathcal {M}} _ {1}$ , голоморфный пространству модулей тора, - это любая фундаментальная область для модульной группы $PSL (2, Z) {\ displaystyle PSL (2, \ mathbb {Z})}$ $PSL (2, \ mathbb {Z})$ , действующий на верхнюю полуплоскость, например ${τ 2>0, | τ | 2>1, - 1 2 < τ 1 < 1 2 } {\displaystyle \left\{\tau _{2}>0, | \ tau | ^ {2}>1, - {\ frac {1} {2}} <\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$ $\left\{\tau _{2}>0, | \ tau | ^ {2}>1, - {\ frac {1} {2}} <\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}$ . $η (τ) {\ displaystyle \ eta (\ tau)}$ $\ eta (\ tau)$ - это функция эта Дедекинда. Подынтегральное выражение, конечно, инвариантно относительно модулярной группы: мера $d 2 τ τ 2 2 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ tau} {\ tau _ {2} ^ {2}}} }$ ${\ frac {d ^ {2} \ tau} {\ tau _ {2} ^ {2}}}$ - это просто метрика Пуанкаре, которая имеет PSL (2, R) в качестве группы изометрии; остальная часть подынтегрального выражения также инвариантна в силу $τ 2 → | c τ + d | 2 τ 2 {\ displaystyle \ tau _ {2} \ rightarrow | c \ tau + d | ^ {2} \ tau _ {2}}$ $\ tau _ {2} \ rightarrow | c \ tau + d | ^ {2} \ tau _ {2}$ и тот факт, что $η (τ) { \ displaystyle \ eta (\ tau)}$ $\ eta (\ tau)$ - это модульная форма веса 1/2.

Этот интеграл расходится. Это связано с наличием тахиона и нестабильностью пертурбативного вакуума.

См. Также

Примечания

Ссылки

Д'Хокер, Эрик и Фонг, DH ( Октябрь 1988 г.). «Геометрия струнной теории возмущений». Ред. Мод. Phys. Американское физическое общество. 60 (4): 917–1065. Bibcode : 1988RvMP... 60..917D. doi : 10.1103 / RevModPhys.60.917.

Белавин, А.А. Книжник, В. (Февраль 1986 г.). «Сложная геометрия и теория квантовых струн». ЖЭТФ. 91 (2): 364–390. Bibcode : 1986ZhETF..91..364B.

Внешние ссылки