Действие Полякова

редактировать

В физике действие Полякова является действием двумерной конформной теории поля, описывающей мировой лист струны в теории струн. Он был введен Стэнли Дезером и Бруно Зумино и независимо Л. Бринк, П. Ди Веккья и П.С. Хоу (в «Локально суперсимметричном и инвариантном к репараметризации действии для вращающейся струны», Physics Letters B, 65, стр. 369 и 471 соответственно) и стал ассоциироваться с Александр Поляков после того, как он использовал его при квантовании струны (в «Квантовой геометрии бозонной струны», Physics Letters B, 103, 1981, стр. 207). Действие выглядит следующим образом:

S = T 2 ∫ d 2 σ - hhabg μ ν (X) ∂ a X μ (σ) ∂ b X ν (σ) {\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} (X) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ {\ nu} (\ sigma)}

{\ mathcal {S}} = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h }} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} (X) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ {\ nu} (\ sigma)

где $T {\ displaystyle T}$ $T$ - натяжение струны , $g μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ - метрика целевого коллектора, $hab {\ displaystyle h_ {ab}}$ $h _ {{ab}}$ - метрика мирового листа, $hab {\ displaystyle h ^ {ab}}$ $h ^ {ab}$ - обратная, а $h {\ displaystyle h}$ $h$ - определитель $hab {\ displaystyle h_ {ab}}$ $h _ {{ab}}$ . Метрическая сигнатура выбрана так, что времениподобные направления равны +, а пространственноподобные направления -. Координата пространственноподобного мирового листа называется $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ , тогда как подобная времени координата мирового листа называется $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ . Это также известно как нелинейная сигма-модель.

Действие Полякова должно быть дополнено действием Лиувилля для описания флуктуаций струны.

Содержание

1 Глобальные симметрии
2 Локальные симметрии
- 2.1 Диффеоморфизмы
- 2.2 Преобразование Вейля
3 Связь с действием Намбу – Гото
4 Уравнения движения
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Глобальные симметрии

NB: Здесь симметрия считается локальной или глобальной с точки зрения теории двух измерений (на мировом листе). Например, преобразования Лоренца, которые являются локальными симметриями пространства-времени, являются глобальными симметриями теории на мировом листе.

Действие инвариантно относительно пространства-времени трансляций и бесконечно малых преобразований Лоренца :

(i)

X α → Икс α + б α {\ Displaystyle X ^ {\ alpha} \ rightarrow X ^ {\ alpha} + b ^ {\ alpha}}

X ^ {\ alpha} \ rightarrow X ^ {\ alpha} + b ^ {\ alpha}

(ii)

X α → X α + ω β α X β {\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ rightarrow X ^ {\ alpha} + \ omega _ {\ \ beta} ^ {\ alpha} X ^ {\ beta}}

X ^ {\ alpha} \ rightarrow X ^ {\ alpha} + \ omega _ {\ \ beta} ^ {\ alpha} X ^ {\ beta}

где $ω μ ν = - ω ν μ {\ displaystyle \ omega _ {\ mu \ nu} = - \ omega _ {\ nu \ mu}}$ $\ omega _ {\ mu \ nu} = - \ omega _ {\ nu \ mu}$ и $b α {\ displaystyle b ^ {\ alpha}}$ $b ^ {\ alpha}$ - постоянная величина. Это формирует симметрию Пуанкаре целевого многообразия.

Инвариантность согласно (i) следует, поскольку действие $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ зависит только от первой производной $X α { \ Displaystyle X ^ {\ alpha}}$ $Икс ^ {\ альфа}$ . Доказательство инвариантности согласно (ii) выглядит следующим образом:

$S ′ {\ displaystyle {\ mathcal {S}} '\,}$ ${\mathcal {S}}'\,$	$= T 2 ∫ d 2 σ - hhabg μ ν ∂ a (X μ + ω δ μ Икс δ) ∂ б (Икс ν + ω δ ν Икс δ) {\ displaystyle = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h} } h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} \ partial _ {a} \ left (X ^ {\ mu} + \ omega _ {\ \ delta} ^ {\ mu} X ^ {\ delta} \ right) \ partial _ {b} \ left (X ^ {\ nu} + \ omega _ {\ \ delta} ^ {\ nu} X ^ {\ delta} \ right) \,}$ $= { T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} \ partial _ {a} \ left (X ^ { \ mu} + \ omega _ {\ \ delta} ^ {\ mu} X ^ {\ delta} \ right) \ partial _ {b} \ left (X ^ {\ nu} + \ omega _ {\ \ delta} ^ {\ nu} X ^ {\ delta} \ right) \,$
	$= S + T 2 ∫ d 2 σ - ххаб (ω μ δ ∂ a Икс μ ∂ б Икс δ + ω ν δ ∂ a X δ ∂ б X ν) + O (ω 2) {\ Displaystyle = {\ mathcal {S}} + { T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ left (\ omega _ {\ mu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + \ omega _ {\ nu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ delta} \ partial _ {b} X ^ {\ nu } \ right) + O (\ omega ^ {2}) \,}$ $= {\ mathcal {S}} + {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt { -h}} h ^ {ab} \ left (\ omega _ {\ mu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + \ omega _ { \ nu \ delta} \ partial _ {a} X ^ {\ delta} \ partial _ {b} X ^ {\ nu} \ right) + O (\ omega ^ {2}) \,$
	$= S + T 2 ∫ d 2 σ - hhab (ω μ δ + ω δ μ) ∂ a X μ ∂ b X δ + O (ω 2) знак равно S + O (ω 2) {\ Displaystyle = {\ mathcal {S}} + {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h} } h ^ {ab} \ left (\ omega _ {\ mu \ delta} + \ omega _ {\ delta \ mu} \ right) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + O (\ omega ^ {2}) = {\ mathcal {S}} + O (\ omega ^ {2 })}$ $= {\ mathcal {S}} + {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ left (\ omega _ {\ mu \ delta} + \ omega _ {\ delta \ mu} \ right) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ delta} + O (\ omega ^ {2}) = {\ mathcal {S}} + O (\ omega ^ {2})$

Локальные симметрии

Действие инвариантно относительно диффеоморфизмов мирового листа (или преобразований координат) и преобразований Вейля.

диффеоморфизмов

Предположим следующее преобразование:

σ α → σ ~ α (σ, τ) {\ displaystyle \ sigma ^ {\ alpha} \ rightarrow {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha} \ left (\ sigma, \ tau \ right)}

\ sigma ^ {\ alpha} \ rightarrow {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha} \ left (\ sigma, \ tau \ right)

Он преобразует метрический тензор следующим образом:

hab (σ) → h ~ ab = hcd (σ ~) ∂ σ a ∂ σ ~ c ∂ σ b ∂ σ ~ d {\ displaystyle h ^ {ab} (\ sigma) \ rightarrow {\ tilde {h}} ^ {ab} = h ^ {cd} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {a}} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {b}} {\ частичное {\ tilde {\ sigma}} ^ {d}}}}

{\ displaystyle h ^ {ab } (\ sigma) \ rightarrow {\ tilde {h}} ^ {ab} = h ^ {cd} ({\ tilde {\ sigma}) }) {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {a}} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {b}} { \ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {d}}}}

Видно, что:

h ~ ab ∂ ∂ σ a X μ (σ ~) ∂ ∂ σ b X ν (σ ~) = hcd (σ ~) ∂ σ a ∂ σ ~ c ∂ σ b ∂ σ ~ d ∂ ∂ σ a X μ (σ ~) ∂ ∂ σ b X ν (σ ~) = hab (σ ~) ∂ ∂ σ ~ а X μ (σ ~) ∂ ∂ σ ~ б Икс ν (σ ~) {\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {ab} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {a}}} X ^ { \ mu} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {b}}} X ^ {\ nu} ({\ tilde {\ sigma}}) = h ^ {cd} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {a}} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {b}} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {d}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {a}}} X ^ {\ mu} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {b}}} X ^ {\ nu} ({\ tilde {\ sigma}}) = h ^ {ab} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}}} X ^ {\ mu} ({\ тильда {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}}} X ^ {\ nu} ({\ tilde {\ sigma}})}

{\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {ab} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {a}}} X ^ {\ mu} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {b}} } X ^ {\ nu} ({\ tilde {\ sigma}}) = h ^ {cd} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {a}} {\ частичный {\ tilde {\ sigma}} ^ {c}}} {\ frac {\ partial {\ sigma} ^ {b}} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {d}}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ sigma} ^ {a}}} X ^ {\ mu} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ pa rtial} {\ partial {\ sigma} ^ {b}}} X ^ {\ nu} ({\ tilde {\ sigma}}) = h ^ {ab} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {a}}} X ^ {\ mu} ({\ tilde {\ sigma}}) {\ frac {\ partial} {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {b}}} X ^ {\ nu} ({\ tilde {\ sigma}})}

Известно, что якобиан этого преобразования задается следующим образом:

J = det (∂ σ ~ α ∂ σ β) {\ displaystyle \ mathrm {J} = \ mathrm {det} \ left ({\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha}} {\ partial \ sigma ^ {\ beta}}} \ right)}

\ mathrm {J} = \ mathrm {det} \ left ({\ frac {\ partial {\ tilde {\ sigma}} ^ {\ alpha}} {\ partial \ sigma ^ {\ beta}}} \ right)

что приводит к:

d 2 σ ~ = J d 2 σ {\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} {\ tilde {\ sigma}} = \ mathrm {J} \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma \,}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} {\ tilde {\ sigma}} = \ mathrm {J} \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma \,}

h = det (hab) → h ~ = J 2 h {\ displaystyle h = \ mathrm {det} \ left (h_ {ab} \ right) \ rightarrow {\ tilde {h}} = \ mathrm {J} ^ {2} h \,}

{\ displaystyle h = \ mathrm {det} \ left (h_ {ab} \ right) \ rightarrow {\ тильда {h}} = \ mathrm {J} ^ {2} h \,}

и каждый видит, что:

- час ~ d 2 σ = - час (σ ~) d 2 σ ~ {\ displaystyle {\ sqrt {- {\ tilde {h}}}} \ mathrm {d} ^ {2} {\ sigma} = {\ sqrt {-h ({\ tilde {\ sigma}})}} \ mathrm {d} ^ {2} {\ tilde {\ sigma}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {- {\ tilde {h}}}} \ mathrm {d} ^ {2} {\ sigma} = {\ sqrt {-h ({\ tilde { \ sigma}})}} \ mathrm {d} ^ {2} {\ tilde {\ sigma}}}

подведение итогов этого преобразования и изменение названия $σ ~ = σ {\ displaystyle {\ tilde {\ sigma}} = \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ sigma}} = \ sigma}$ мы видим, что действие инвариантно.

Преобразование Вейля

Предположим, что преобразование Вейля :

hab → h ~ ab = Λ (σ) hab {\ displaystyle h_ {ab} \ rightarrow {\ tilde {h} } _ {ab} = \ Lambda (\ sigma) h_ {ab}}

h_ {ab} \ rightarrow {\ tilde {h}} _ {ab } = \ Lambda (\ sigma) h_ {ab}

, тогда:

h ~ ab = Λ - 1 (σ) hab {\ displaystyle {\ tilde {h}} ^ {ab} = \ Lambda ^ {- 1} (\ sigma) h ^ {ab}}

{\ tilde {h}} ^ {ab} = \ Lambda ^ {- 1} (\ sigma) h ^ {ab}

det (h ~ ab) = Λ 2 (σ) det (hab) {\ displaystyle \ mathrm {det} ({\ тильда { h}} _ {ab}) = \ Lambda ^ {2} (\ sigma) \ mathrm {det} (h_ {ab})}

\ mathrm {det} ({\ tilde {h}} _ {ab}) = \ Lambda ^ {2} (\ sigma) \ mathrm {det} (h_ {ab})

И наконец:

S ′ {\ displaystyle {\ mathcal {S }} '\,}

{\mathcal {S}}'\,

= T 2 ∫ d 2 σ - h ~ h ~ abg μ ν (X) ∂ a X μ (σ) ∂ b X ν (σ) {\ displaystyle = {T \ over 2 } \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {- {\ tilde {h}}}} {\ tilde {h}} ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} (X) \ частичный _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ {\ nu} (\ sigma) \,}

= {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {- {\ tilde {h}}}} { \ tilde {h}} ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} (X) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ {\ nu} (\ sigma) \,

= T 2 ∫ d 2 σ - h (Λ Λ - 1) habg μ ν (Икс) ∂ a Икс μ (σ) ∂ б Икс ν (σ) = S {\ displaystyle = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} \ left (\ Lambda \ Lambda ^ {- 1} \ right) h ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} (X) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ { \ nu} (\ sigma) = {\ mathcal {S}}}

= {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} \ left (\ Lambda \ Lambda ^ {- 1} \ right) h ^ {ab} g_ {\ mu \ nu} (X) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ {\ nu} (\ sigma) = {\ mathcal {S}}

И можно видеть, что действие инвариантно относительно преобразования Вейля. Если мы рассмотрим n-мерные (пространственно) протяженные объекты, действие которых пропорционально их площади / гиперпространству на мировом листе, если n = 1, соответствующее действие Полякова будет содержать другой член, нарушающий симметрию Вейля.

Можно определить тензор энергии-напряжения :

T ab = - 2 - h δ S δ hab {\ displaystyle T ^ {ab} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-h}}} {\ frac {\ delta S} {\ delta h_ {ab}}}}

{\ displaystyle T ^ {ab} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-h}}} {\ frac {\ дельта S} {\ delta h_ {ab}}}}

Определим:

h ^ ab = exp ⁡ (ϕ (σ)) hab {\ displaystyle { \ hat {h}} _ {ab} = \ exp \ left (\ phi (\ sigma) \ right) h_ {ab}}

{\ displaystyle {\ hat {h}} _ {ab} = \ exp \ left (\ phi (\ sigma) \ right) h_ {ab }}

Из-за симметрии Вейля действие не зависит от $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ :

δ S δ ϕ = δ S δ h ^ ab δ h ^ ab δ ϕ = - 1 2 - h T abe ϕ hab = - 1 2 - h T aae ϕ = 0 ⇒ T aa = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta \ phi}} = {\ frac {\ delta S} {\ delta {\ hat {h}} _ {ab}}} { \ frac {\ delta {\ hat {h}} _ {ab}} {\ delta \ phi}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-h}} \, T_ {ab} \, e ^ {\ phi} \, h ^ {ab} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-h}} \, T _ {\ a} ^ {a} \, e ^ {\ phi} = 0 \ Rightarrow T _ {\ a} ^ {a} = 0,}

{ \ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta \ phi}} = {\ frac {\ delta S} {\ delta {\ hat {h}} _ {ab}}} {\ frac {\ delta {\ шляпа {h}} _ {ab}} {\ delta \ phi}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-h}} \, T_ {ab} \, e ^ {\ phi } \, h ^ {ab} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-h}} \, T _ {\ a} ^ {a} \, e ^ {\ phi} = 0 \ Стрелка вправо T _ {\ a} ^ {a} = 0,}

где мы использовали правило цепочки функциональной производной.

Связь с действием Намбу – Гото

Написание уравнения Эйлера – Лагранжа для метрического тензора $hab {\ displaystyle h ^ { ab}}$ $h ^ {ab}$ получаем, что:

δ S δ hab = T ab = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta h ^ {ab}}} = T_ {ab } = 0}

{\ frac {\ delta S} {\ delta h ^ {ab}}} = T_ {ab} = 0

Зная также, что:

δ - h = - 1 2 - hhab δ hab {\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-h}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-h}} h_ {ab} \ delta h ^ {ab}}

\ delta {\ sqrt {-h}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-h}} h_ {ab} \ delta h ^ {ab}

Можно записать вариационную производную действия:

δ S δ hab = T 2 - h (G ab - 1 2 habhcd G cd) {\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta h ^ {ab}}} = {\ frac {T} {2}} {\ sqrt {-h}} \ left (G_ { ab} - {\ frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd} \ right)}

{\ frac {\ delta S} {\ delta h ^ {ab}}} = {\ frac {T} {2}} {\ sqrt {-h}} \ left (G_ {ab} - {\ frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd} \ справа)

где $G ab = g μ ν ∂ a X μ ∂ b X ν {\ displaystyle G_ {ab} = g _ {\ mu \ nu} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ nu}}$ $G_ {ab} = g _ {\ mu \ nu} \ partial _ { a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} X ^ {\ nu}$ , что приводит к :

T ab = T (G ab - 1 2 habhcd G cd) = 0 {\ displaystyle T_ {ab} = T \ left (G_ {ab} - {\ frac {1} {2}} h_ {ab } h ^ {cd} G_ {cd} \ right) = 0}

T_ {ab} = T \ left (G_ {ab} - {\ frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd} \ справа) = 0

G ab = 1 2 habhcd G cd {\ displaystyle G_ {ab} = {\ frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd}}

G_ {ab} = {\ frac {1} {2}} h_ {ab} h ^ {cd} G_ {cd}

G = det (G ab) = 1 4 h (hcd G cd) 2 { \ Displaystyle G = \ mathrm {det} \ left (G_ {ab} \ right) = {\ frac {1} {4}} h \ left (h ^ {cd} G_ {cd} \ right) ^ {2} }

G = \ mathrm {det} \ left (G_ {ab} \ right) = {\ frac {1} {4}} h \ left (h ^ {cd} G_ {cd} \ right) ^ {2}

Если вспомогательный worldsheet метрический тензор $- h {\ displaystyle {\ sqrt {-h}}}$ ${\ sqrt {-h}}$ вычисляется по формулам движения:

- h = 2 - G hcd G cd {\ displaystyle {\ sqrt {-h}} = {\ frac {2 {\ sqrt {-G}}} {h ^ {cd} G_ {cd }}}}

{\ sqrt {- h}} = {\ frac {2 {\ sqrt {-G}}} {h ^ {cd} G_ {cd}}}

и заменяется обратно на действие, оно становится действием Намбу – Гото :

S = T 2 ∫ d 2 σ - hhab G ab = T 2 ∫ d 2 σ 2 - G hcd G cdhab G ab знак равно T ∫ d 2 σ - G {\ displaystyle S = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} G_ {ab} = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ frac {2 {\ sqrt {-G}}} {h ^ {cd} G_ {cd}}} h ^ {ab} G_ {ab} = T \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-G}}}

S = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-h }} h ^ {ab} G_ {ab} = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ frac {2 {\ sqrt {-G}}} {h ^ {cd } G_ {cd}}} h ^ {ab} G_ {ab} = T \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma {\ sqrt {-G}}

Однако действие Полякова легче квантовать потому что это линейно.

Уравнения движения

Использование диффеоморфизмов и транс Вейля формация, с целевым пространством Минковского, можно выполнить физически незначительное преобразование $- hhab → η ab {\ displaystyle {\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ rightarrow \ eta ^ {ab}}$ ${\ sqrt {-h}} h ^ {ab} \ rightarrow \ eta ^ {ab}$ , таким образом записывая действие в конформной калибровке:

S = T 2 ∫ d 2 σ - η η abg μ ν (X) ∂ a X μ (σ) ∂ б Икс ν (σ) знак равно T 2 ∫ d 2 σ (Икс ˙ 2 - X ′ 2) {\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2 } \ sigma {\ sqrt {- \ eta}} \ eta ^ {ab} g _ {\ mu \ nu} (X) \ partial _ {a} X ^ {\ mu} (\ sigma) \ partial _ {b} X ^ {\ nu} (\ sigma) = {T \ over 2} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma \ left ({\ dot {X}} ^ {2} -X '^ {2 } \ right)}

{\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-\eta }}\eta ^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma)\partial _{b}X^{\nu }(\sigma)={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right)

где $η ab = (1 0 0 - 1) {\ displaystyle \ eta _ {ab} = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 0 \\ 0 -1 \ end {array}} \ right)}$ $\ eta _ {ab} = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 0 \\ 0 -1 \ end {array}} \ справа)$

Имея в виду, что $T ab = 0 {\ displaystyle T_ {ab} = 0}$ $T_ {ab} = 0$ , можно вывести ограничения:

T 01 = T 10 = X ˙ X ′ = 0 {\ displaystyle T_ {01} = T_ {10} = {\ dot {X}} X '= 0}

T_{01}=T_{10}={\dot {X}}X'=0

T 00 = T 11 = 1 2 (X ˙ 2 + X ′ 2) = 0 {\ displaystyle T_ {00} = T_ {11} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ do t {X}} ^ {2} + X '^ {2} \ right) = 0}

T_{00}=T_{11}={\frac {1}{2}}\left({\dot {X}}^{2}+X'^{2}\right)=0

Подставляем $X μ → X μ + δ X μ {\ displaystyle X ^ {\ mu} \ rightarrow X ^ {\ mu} + \ delta X ^ {\ mu}}$ $X ^ {\ mu} \ rightarrow X ^ {\ mu} + \ delta X ^ {\ mu}$ получаем:

δ S = T ∫ d 2 σ η ab ∂ a X μ ∂ b δ X μ = {\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = T \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma \ eta ^ {ab} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} \ delta X _ {\ mu} =}

\ delta {\ mathcal {S}} = T \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma \ eta ^ {ab} \ partial _ {a} X ^ {\ mu} \ partial _ {b} \ delta X _ {\ mu} =

= - T ∫ d 2 σ η ab ∂ a ∂ b X μ δ X μ + (T ∫ d τ X ′ δ X) σ = π - (T ∫ d τ X ′ δ Икс) σ знак равно 0 знак равно 0 {\ Displaystyle = -T \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ sigma \ eta ^ {ab} \ partial _ {a} \ partial _ {b} X ^ {\ mu } \ delta X _ {\ mu} + \ left (T \ int d \ tau X '\ delta X \ right) _ {\ sigma = \ pi} - \ left (T \ int d \ tau X' \ delta X \ справа) _ {\ sigma = 0} = 0}

=-T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \eta ^{ab}\partial _{a}\partial _{b}X^{\mu }\delta X_{\mu }+\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =\pi }-\left(T\int d\tau X'\delta X\right)_{\sigma =0}=0

И, следовательно:

◻ X μ = η ab ∂ a ∂ b X μ = 0 {\ displaystyle \ square X ^ {\ mu} = \ eta ^ {ab} \ partial _ {a} \ partial _ {b} X ^ {\ mu} = 0}

\ квадрат X ^ {\ mu} = \ eta ^ {ab} \ parti al _ {a} \ partial _ {b} X ^ {\ mu} = 0

С граничными условиями, чтобы удовлетворить вторую часть вариации действия.

Замкнутые строки

Периодические граничные условия :

X μ (τ, σ + π) = X μ (τ, σ) {\ displaystyle X ^ {\ mu} (\ tau, \ sigma + \ pi) = X ^ {\ mu} (\ tau, \ sigma) \}

X ^ {\ mu} (\ tau, \ sigma + \ pi) = X ^ { \ mu} (\ tau, \ sigma) \

Открытые строки

(i) Граничные условия Неймана :

∂ σ X μ (τ, 0) знак равно 0, ∂ σ Икс μ (τ, π) знак равно 0 {\ Displaystyle \ partial _ {\ sigma} X ^ {\ mu} (\ tau, 0) = 0, \ partial _ {\ sigma} X ^ {\ mu} (\ tau, \ pi) = 0}

\ partial _ {\ sigma} X ^ {\ mu} (\ tau, 0) = 0, \ partial _ {\ sigma } X ^ {\ mu} (\ tau, \ pi) = 0

(ii) Граничные условия Дирихле :

X μ (τ, 0) = b μ, X μ (τ, π) знак равно b ′ μ {\ Displaystyle X ^ {\ mu} (\ tau, 0) = b ^ {\ mu}, X ^ {\ mu} (\ tau, \ pi) = b '^ {\ mu} \}

X^{\mu }(\tau,0)=b^{\mu },X^{\mu }(\tau,\pi)=b'^{\mu }\

Работа в координатах светового конуса $ξ ± = τ ± σ {\ displaystyle \ xi ^ {\ pm} = \ tau \ pm \ sigma}$ $\ xi ^ {\ pm} = \ tau \ pm \ sigma$ , мы можем переписать уравнения движения как:

∂ + ∂ - X μ = 0 {\ displaystyle \ partial _ {+} \ partial _ {-} X ^ {\ mu} = 0}

\ partial _ {+} \ partial _ {-} X ^ {\ mu} = 0

(∂ + Икс) 2 знак равно (∂ - Икс) 2 знак равно 0 {\ Displaystyle (\ partial _ {+} X) ^ {2} = (\ partial _ {-} X) ^ {2} = 0}

(\ partial _ {+} X) ^ {2} = (\ partial _ {-} X) ^ {2} = 0

Таким образом, решение можно записать как $X μ = X + μ (ξ +) + X - μ (ξ -) {\ displaystyle X ^ {\ mu} = X _ {+} ^ {\ mu} (\ xi ^ {+}) + X _ {-} ^ {\ mu} (\ xi ^ {-})}$ $X ^ {\ mu} = X _ {+} ^ {\ mu} (\ xi ^ {+}) + X _ {- } ^ {\ mu} (\ xi ^ {-})$ и тензор энергии-импульса теперь диагонален. Благодаря расширению Фурье решения и наложению канонических коммутационных соотношений на коэффициенты, применение второго уравнения движения мотивирует определение операторов Вирасоро и приводит к ограничениям Вирасоро которые исчезают при воздействии на физические состояния.

См. Также

Примечания

Ссылки

Полчински (ноябрь 1994 г.). Что такое теория струн, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv: hep-th / 9411028v1
Оогури, Инь (февраль 1997 г.). Лекции TASI по теории пертурбативных струн, UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80pp, arXiv:hep-th/9612254v3