Войти
В теории чисел, раздел математики, куспид Форма - это особый вид модульной формы с нулевым постоянным коэффициентом в разложении в ряд Фурье.
В случае модульных форм для модульная группа обращением в нуль постоянного коэффициента a 0 в разложении в ряд Фурье (см. q-разложение )
Это разложение Фурье существует как следствие наличия у модулярной группы действия на верхней полуплоскости посредством преобразования
Для других групп может происходить некоторая трансляция через несколько единиц, и в этом случае расширение Фурье выражается в единицах другого параметра. Однако во всех случаях, предел при q → 0 является пределом в верхней полуплоскости как мнимая часть числа z → ∞. Если взять фактор по модулярной группе, этот предел соответствует куспиду модульной кривой (в смысле точки, добавленной для компактификации ). Итак, определение сводится к утверждению, что форма возврата - это модульная форма, которая исчезает в точке возврата. В случае других групп может быть несколько каспов, и определение становится модульной формой, исчезающей на всех каспах. Это может включать несколько расширений.
Размерности пространств куспид-форм, в принципе, вычисляются с помощью теоремы Римана – Роха. Например, тау-функция Рамануджана τ (n) возникает как последовательность коэффициентов Фурье куспида веса 12 для модульной группы с 1 = 1. Пространство таких форм имеет размерность 1, а значит такое определение возможно; и это объясняет действие операторов Гекке на пространство, являющееся результатом скалярного умножения (доказательство Морделла тождеств Рамануджана). В явном виде это модульный дискриминант
, который представляет (до нормирующей константы ) дискриминант кубики в правой части уравнения Вейерштрасса эллиптической кривой ; и 24-я степень функции Дедекинда. Коэффициенты Фурье здесь записываются
и называются «тау-функцией Рамануджана » с нормализацией τ (1) = 1.
На более широкой картине автоморфных форм, куспид-формы дополняют серию Эйзенштейна в дискретном / непрерывном спектре, или различие представления дискретных серий / индуцированного представления, характерное для разных частей спектральной теории. То есть ряд Эйзенштейна может быть «спроектирован» так, чтобы принимать заданные значения на порогах. Существует обширная общая теория, зависящая, однако, от довольно сложной теории параболических подгрупп и соответствующих каспидальных представлений.
