Войти
Эта-функция Дедекинда является автоморфной формой в комплексная плоскость. В гармоническом анализе и теории чисел, автоморфная форма является хорошо управляемой функцией из топологической группы G в комплексные числа (или комплексное векторное пространство ), которое инвариантно относительно действия дискретной подгруппы 
Модульные формы - это автоморфные формы, определенные над группами SL (2, R) или PSL (2, R), где дискретная подгруппа является модульной группой, или одна из ее конгруэнтных подгрупп ; в этом смысле теория автоморфных форм является расширением теории модулярных форм. В более общем смысле, можно использовать подход adelic как способ иметь дело со всем семейством конгруэнтных подгрупп сразу. С этой точки зрения, автоморфная форма над группой G (AF) для алгебраической группы G и поля алгебраических чисел F является комплекснозначная функция на G (AF), которая остается инвариантной относительно G (F) и удовлетворяет некоторым условиям гладкости и роста.
Пуанкаре впервые обнаружил автоморфные формы как обобщения тригонометрической и эллиптические функции. Благодаря гипотезам Ленглендса автоморфные формы играют важную роль в современной теории чисел.
Автоморфная форма - функция F на G (со значениями в некотором фиксированном конечномерном векторном пространстве V, в векторнозначном случае), подчиняющаяся трем видам условий:
согласно заданному коэффициенту автоморфности j;Это первая из них, которая делает F автоморфной, то есть удовлетворяет интересному функциональному уравнению соотнесение F (g) с F (γg) для
. Формулировка требует общего понятия фактора автоморфности j для Γ, которое является типом 1 - коцикл на языке групповых когомологий. Значения j могут быть комплексными числами или на самом деле комплексными квадратными матрицами, соответствующими возможности векторных автоморфных форм. Условие коцикла, наложенное на фактор автоморфности, можно регулярно проверять, когда j получается из матрицы Якоби, с помощью цепного правила .
До того, как была предложена эта очень общая установка (около 1960 г.), уже были существенные разработки автоморфных форм, отличных от модульных. Случай Γ a фуксовой группы привлекал внимание еще до 1900 г. (см. Ниже). Вскоре после этого были предложены модулярные формы Гильберта (также называемые формами Гильберта-Блюменталя), хотя полная теория ждала долго. Модульные формы Зигеля, для которых G является симплектической группой, естественным образом возникли из рассмотрения пространств модулей и тета-функций. Послевоенный интерес к нескольким комплексным переменным сделал естественным продолжение идеи автоморфной формы в тех случаях, когда формы действительно комплексно-аналитические. Большая работа была проделана, в частности, Илья Пятецкий-Шапиро примерно в 1960 году для создания такой теории. Теория формулы следа Сельберга, применяемая другими, показала значительную глубину теории. Роберт Лэнглендс показал, как (в общем, известно много частных случаев) теорема Римана – Роха может быть применена к вычислению размерностей автоморфных форм; это своего рода апостериорная проверка обоснованности идеи. Он также разработал общую теорию ряда Эйзенштейна, которая соответствует тому, что в спектральной теории было бы «непрерывным спектром» для этой проблемы, оставляя куспид Или дискретную часть расследовать. С точки зрения теории чисел, куспидные формы были признаны со времен Шриниваса Рамануджана как суть дела.
Последующее понятие «автоморфное представление» доказало большую техническую ценность при работе с G алгебраической группой, рассматриваемой как адель алгебраическая группа. Он не полностью включает идею автоморфной формы, представленную выше, поскольку подход adelic является способом работы со всем семейством конгруэнтных подгрупп одновременно. Внутри L-пространства для фактора адельной формы группы G автоморфное представление - это представление, которое является бесконечным тензорным произведением представлений p-адических групп с конкретным охватывающая алгебра представления для бесконечного простого числа (ов). Один из способов выразить смещение акцента состоит в том, что операторы Гекке фактически находятся на том же уровне, что и операторы Казимира; что естественно с точки зрения функционального анализа, хотя и не столь очевидно для теории чисел. Именно эта концепция лежит в основе формулировки философии Ленглендса.
Одно из первых открытий Пуанкаре в математике., относящийся к 1880-м годам, имел автоморфные формы. Он назвал их фуксовыми функциями в честь математика Лазаря Фукса, потому что Фукс был известен как хороший учитель и занимался исследованиями дифференциальных уравнений и теории функций. Фактически Пуанкаре разработал концепцию этих функций в рамках своей докторской диссертации. По определению Пуанкаре автоморфная функция - это функция, аналитическая в своей области определения и инвариантная относительно дискретной бесконечной группы дробно-линейных преобразований. Затем автоморфные функции обобщают как тригонометрические, так и эллиптические функции..
Пуанкаре объясняет, как он открыл фуксовы функции:
Цитаты, относящиеся к автоморфной форме в Wikiquote