Функция высоты

A функция высоты является функцией , который определяет сложность математических объектов. В диофантовой геометрии функции высоты количественно определяют размер решений диофантовых уравнений и обычно являются функциями от набора точек на алгебраических разновидностях (или наборе алгебраических разновидностей) к действительным числам.

Например, классическая или наивная высота над рациональными числами обычно определяется как максимум числителей и знаменателей координат (например, 3 для координаты (3/9, 1/2)), но в логарифмическом масштабе.

• 1 Значение
• 2 Функции высоты в диофантовой геометрии
  • 2.1 История
  • 2.2 Наивная высота
  • 2.3 Высота Нерона – Тейта
  • 2.4 Высота Вейля
    • 2.4.1 Высота Аракелова
  • 2.5 Высота Faltings
• 3 Функции высоты в алгебре
  • 3.1 Высота многочлена
    • 3.1.1 Соотношение по мере Малера
• 4 Функции высоты в автоморфных формах
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Источники
• 8 Внешние ссылки

Функции высоты позволяют математикам считать объекты, такие как рациональные точки, количество которых в противном случае бесконечно. Например, набор рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя, когда выражается в наименьших членах ) ниже любой заданной константы является конечным, несмотря на бесконечность набора рациональных чисел. В этом смысле функции высоты могут использоваться для доказательства асимптотических результатов, таких как теорема Бейкера в теории трансцендентных чисел, которая была доказана Аланом Бейкером (1966, 1967a, 1967b).

В других случаях функции высоты могут различать некоторые объекты в зависимости от их сложности. Например, теорема о подпространстве, доказанная Вольфгангом М. Шмидтом (1972), демонстрирует, что точки небольшой высоты (то есть малой сложности) в проективном пространстве лежит в конечном числе гиперплоскостей и обобщает теорему Зигеля о целочисленных точках и решение уравнения S-единицы.

Функции высоты имели решающее значение для доказательств. теоремы Морделла – Вейля и теоремы Фалтингса авторами Weil (1929) и Faltings (1983) соответственно. Несколько нерешенных нерешенных проблем о высоте рациональных точек на алгебраических многообразиях, таких как гипотеза Манина и гипотеза Войты, имеют далеко идущие последствия для проблем в диофантовом приближении, Диофантовы уравнения, арифметическая геометрия и математическая логика.

История

Диофантовы высоты Геометрия была первоначально разработана Андре Вейлем и Дугласом Норткоттом, начиная с 1920-х годов. Нововведениями 1960-х годов были высота Нерона – Тейта и осознание того, что высота была связана с проективными представлениями почти так же, как широкие линейные пучки в других частях алгебраической геометрии.. В 1970-е годы Сурен Аракелов развил Аракеловские высоты в теории Аракелова. В 1983 году Фалтингс разработал свою теорию высот Фальтингса в своем доказательстве теоремы Фалтингса.

Наивная высота

Классическая или наивная высота определяется в терминах обычного абсолютного значения на однородных координатах. Обычно это логарифмическая шкала, и поэтому ее можно рассматривать как пропорциональную «алгебраической сложности» или количеству бит, необходимых для сохранения точки. Обычно он определяется как логарифм максимального абсолютного значения вектора взаимно простых целых чисел, полученного путем умножения на наименьший общий знаменатель. Это может быть использовано для определения высоты точки в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, исходя из высоты его минимального многочлена.

Наивная высота рационального числа x = p / q (в младших терминах) равна

• мультипликативной высоте $H\; (p\; /\; q)\; =\; max\; \{|\; p\; |,\; |\; q\; |\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (p\; /\; q)\; =\; \backslash \; max\; \backslash \; \{|\; p\; |,\; |\; q\; |\; \backslash \}\}$
• логарифмическая высота: $h\; (p\; /\; q)\; =\; log\; \; H\; (p\; /\; q)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; h\; (p\; /\; q)\; =\; \backslash \; log\; H\; (p\; /\; q)\}$

Следовательно, наивная мультипликативная и логарифмическая высоты 4/10 равны 5 и log (5), например.

Наивная высота H эллиптической кривой E, заданная как y = x + Ax + B, определяется как H (E) = log max (4 | A |, 27 | B |).

Высота Нерона – Тейта

Высота Нерона – Тейта, или каноническая высота, представляет собой квадратичную форму на группе Морделла – Вейля из рациональных точек абелевого многообразия, определенного над глобальным полем. Он назван в честь Андре Нерона, который первым определил его как сумму локальных высот, и Джона Тейта, который определил его глобально в неопубликованной работе.

Вейль. height

Высота Вейля определена на проективном многообразии X над числовым полем K, снабженным линейным пучком L на X. Учитывая очень обширный линейный пучок L0на X, можно определить функцию высоты, используя наивную функцию высоты h. Поскольку L 0 'очень обильно, его полная линейная система дает отображение ϕ из X в проективное пространство. Тогда для всех точек p на X определим $h\; L\; 0\; (p):\; =\; h\; (\varphi \; (p)).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{L\_\; \{0\}\}\; (p):\; =\; h\; (\backslash \; phi\; (p)).\}$

Можно записать произвольный линейный пучок L на X как разность двух очень широких линейных пучков L 1 и L 2 на X, вплоть до скручивающего пучка Серра O (1), поэтому можно определить высоту Вейля h L на X относительно L через $h\; L:\; =\; h\; L\; 1\; -\; h\; L\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{L\}:\; =\; h\_\; \{L\_\; \{1\}\}\; -\; h\_\; \{L\_\; \{2\}\},\}$(до O (1)).

Высота Аракелова

Высота Аракелова на проективном пространстве над полем алгебраических чисел является глобальной функцией высоты с локальными вкладами от Фубини - Изучите метрику в архимедовых полях и обычную метрику неархимедовых полей. Это обычная высота Вейля, снабженная другой метрикой.

Высота Фальтингса

Высота Фальтингса абелевой разновидности, определенной над числовым полем является мерой его арифметической сложности. Он определяется в терминах высоты метризованного линейного пакета. Он был введен Фалтингсом (1983) в его доказательстве гипотезы Морделла.

Высота многочлена

Для многочлена P степени n, заданного как

$P\; =\; a\; 0\; +\; a\; 1\; x\; +\; a\; 2\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; тревога,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; x\; +\; a\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\},\}$

высота H (P) определяется как максимальная величин его коэффициентов:

$H\; (P)\; =\; max\; i\; |\; а\; я\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (P)\; =\; \{\backslash \; underset\; \{i\}\; \{\backslash \; max\}\}\; \backslash ,\; |\; a\_\; \{i\}\; |.\}$

Аналогичным образом можно определить length L (P) как сумма значений коэффициентов:

$L\; (P)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; |\; а\; я\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (P)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; |\; a\_\; \{i\}\; |.\}$

Отношение к мере Малера

мере Малера M (P) для P также является мерой сложности P. Три функции H (P), L (P) и M (P) связаны неравенствами

$(n\; \lfloor \; n\; /\; 2\; \rfloor )\; -\; 1\; H\; (P)\; \le \; M\; (P)\; \le \; H\; (P)\; n\; +\; 1;\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; binom\; \{п\}\; \{\backslash \; lfloor\; n\; /\; 2\; \backslash \; rfloor\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; H\; (P)\; \backslash \; Leq\; M\; (P)\; \backslash \; Leq\; H\; (P)\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; +\; 1\}\};\; \}$

$L\; (p)\; \le \; 2\; n\; M\; (p)\; \le \; 2\; n\; L\; (p);\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; (p)\; \backslash \; leq\; 2\; ^\; \{n\}\; M\; (p)\; \backslash \; leq\; 2\; ^\; \{n\}\; L\; (p);\}$

$H\; (p)\; \le \; L\; (p)\; \le \; (n\; +\; 1)\; H\; (п)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (p)\; \backslash \; leq\; L\; (p)\; \backslash \; leq\; (n\; +\; 1)\; H\; (p)\}$

где $(n\; \lfloor \; n\; /\; 2\; \rfloor )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{\backslash \; lfloor\; n\; /\; 2\; \backslash \; rfloor\}\}\}$- биномиальный коэффициент.

Одно из условий в определении автоморфная форма на общей линейной группе адельной алгебраической группы имеет умеренный рост, что является асимптотическим условием роста функции высоты на общем линейная группа, рассматриваемая как аффинное многообразие.

• гипотеза abc
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
• Эллиптическая гипотеза Лемера
• Константа Хита-Брауна-Мороза
• Высота формальный групповой закон
• Дзета-функция высоты
• Теорема об изогении Рейно
• Высота дерева

• Бейкер, Алан (1966). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I». Математика. Журнал чистой и прикладной математики. 13 : 204–216. doi : 10.1112 / S0025579300003971. ISSN 0025-5793. MR 0220680. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Бейкер, Алан (1967a). «Линейные формы в логарифмы алгебраических чисел. II ". Математика. Журнал чистой и прикладной математики. 14 : 102–107. doi : 10.1112 / S0025579300008068. ISSN 0025-5793. MR 0220680. CS1 maint: ref = harv (link )
• Baker, Alan (1967b). «Линейные формы в логарифмах алгебраические числа. III ". Математика. Журнал чистой и прикладной математики. 14 : 220–228. doi : 10.1112 / S0025579300003843. ISSN 0025-5793. MR 0220680. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Бейкер, Алан; Вустхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия. Новые математические монографии. 9. Cambridge University Press. P. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.2277 / 0521846153. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. CS1 maint: ref = harv (link )
• Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Теория чисел. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. Pp. 2, 3, 14148. ISBN 0-387-95444 -9. Zbl 1020.12001. CS1 maint: ref = harv (link )
• Bump, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления. Кембриджские исследования в области высшей математики. 55 . Cambridge University Press. p. 300. ISBN 9780521658188. CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0387963111.→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. doi : 10.1007 / BF01388432. MR 0718935. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Faltings, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Анналы математики. 123 (3): 549–576. doi : 10.2307 / 2944319. MR 1109353. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Фили, Пол; Петше, Клейтон; Прицкер, Игорь (2017). «Интегралы энергии и малые точки для высоты Аракелова». Archiv der Mathematik. 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900. doi : 10.1007 / s00013-017-1080-x. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Малер, К. ( 1963). «О двух экстремальных свойствах многочленов». Illinois J. Math. 7 : 681–701. doi : 10.1215 / ijm / 1255645104. Zbl 0117.04003. CS1 maint: ref = harv (link )
• Néron, André (1965). "Quasi- fonctions et hauteurs sur les varétés abéliennes ". Ann. of Math. (на французском языке). 82 : 249–331. doi : 10.2307 / 1970644. MR 0179173. CS1 maint: ref = harv (link )
• Schinzel, Andrzej (2000). Многочлены с особым учетом сводимости. Энциклопедия математики и ее приложений. 77 . Кембридж: Cambridge University Press. п. 212. ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001.
• Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Уравнения нормальной формы». Анналы математики. Вторая серия. 96 (3): 526–551. doi : 10.2307 / 1970824. MR 0314761. CS1 maint: ref = harv (link )
• Lang, Serge (1988). Введение теории Аракелова. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96793-1. MR 0969124. Zbl 0667.14001. CS1 maint: ref = harv (link )
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Weil, Андре (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques". Acta Mathematica. 52(1): 281–315. doi : 10.1007 / BF02592688. MR 1555278. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения значений. Конспект лекций в Математика. 1239 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0072989. ISBN 978-3-540-17551-3. MR 0883451. Zbl 0609.14011. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• Полиномиальная высота в Mathworld